Resumos · Matemática BPT · Secundário

Trigonometria e resolução de problemas métricos

A trigonometria mede triângulos e, com eles, o mundo. Estudam-se as razões trigonométricas de um ângulo agudo no triângulo retângulo, a resolução de triângulos, a lei dos senos e a lei dos cossenos, e o cálculo de áreas. É a base dos problemas métricos e das distâncias inacessíveis, e integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0888 / 14

Perfil de exame

Definir e usar seno, cosseno e tangente de um ângulo agudoResolver triângulos retângulosAplicar a lei dos senos e a lei dos cossenosCalcular áreas e resolver problemas métricos

Operadores:calculadeterminaaplicaresolvejustificarelaciona

nível básico

Usar as razões trigonométricas no triângulo retângulo e resolver triângulos retângulos.

nível avançado

Aplicar as leis dos senos e dos cossenos e calcular áreas em triângulos quaisquer.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Trigonometria e resolução de problemas métricos

Razões trigonométricas e triângulo retângulo#

PadrãoAE-matematica-b-trigonometria

Num triângulo retângulo, fixado um ângulo agudo «α», os lados recebem nomes: a hipotenusa (o maior lado, oposto ao ângulo reto), o cateto oposto a «α» e o cateto adjacente a «α». As razões trigonométricas de «α» são quocientes entre estes lados: «sin α = cateto oposto / hipotenusa», «cos α = cateto adjacente / hipotenusa» e «tan α = cateto oposto / cateto adjacente» (ver Fig. 1).

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Fig. 1Fig. 1 — Triângulo retângulo (3-4-5): para α em A, sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4.

Estas razões dependem apenas do ângulo, e não do tamanho do triângulo: dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes, logo têm os lados proporcionais e as mesmas razões. É por isso que «sin 30°», «cos 30°» e «tan 30°» são números bem definidos, tabelados e disponíveis na calculadora — uma propriedade que a semelhança de triângulos garante.

A Fig. 1 mostra um triângulo retângulo com o ângulo reto em «C», cateto oposto a «α» igual a «3», cateto adjacente igual a «4» e hipotenusa «5» (um triângulo pitagórico, pois «3² + 4² = 5²»). Para o ângulo «α» em «A»: «sin α = 3/5 = 0,6», «cos α = 4/5 = 0,8» e «tan α = 3/4 = 0,75». Da razão obtém-se o ângulo com a função inversa da calculadora: «α = tan⁻¹(3/4) ≈ 36,87°».

Resolver um triângulo retângulo é determinar todos os seus lados e ângulos a partir de alguns dados. Conhecido um ângulo agudo e um lado, os outros lados obtêm-se escolhendo a razão que relaciona o lado conhecido com o desconhecido; conhecidos dois lados, um ângulo obtém-se pela razão apropriada e depois pela função trigonométrica inversa. Atenção à calculadora: para estes problemas deve estar em modo de GRAUS, não de radianos.

\sin\alpha = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan\alpha = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}

Razões trigonométricas

Definidas para um ângulo agudo de um triângulo retângulo; dependem só do ângulo, por semelhança de triângulos.

Exemplo resolvido

Resolver um triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, o cateto oposto a α mede 3 e o adjacente mede 4. Determina a hipotenusa e o ângulo α.

Hipotenusa (Pitágoras)
h = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Razões de α
sin α = 3/5 = 0,6; cos α = 4/5 = 0,8; tan α = 3/4 = 0,75.
Ângulo
α = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,87° (calculadora em graus).

Resultado: Hipotenusa 5; α ≈ 36,87°.

Erros frequentes

Trocar seno com cosseno (confundir cateto oposto com adjacente relativamente ao ângulo).
Ter a calculadora em radianos quando o problema está em graus (ou vice-versa).

Revisão ativa

Numa rampa, o piso sobe 3 m ao longo de um comprimento inclinado de 5 m. Determina o seno do ângulo de inclinação e o valor do ângulo, em graus.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Lei dos senos#

PadrãoAE-matematica-b-trigonometria

As razões trigonométricas resolvem triângulos retângulos, mas muitos problemas envolvem triângulos quaisquer (sem ângulo reto). Para estes valem duas leis gerais. A primeira é a lei dos senos: em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante — «a/sin A = b/sin B = c/sin C». Cada lado «a, b, c» é oposto ao ângulo «A, B, C» com o mesmo nome (ver Fig. 2).

Triângulo qualquer: lados e ângulos opostos

Fig. 2Fig. 2 — Convenção da lei dos senos: cada lado (a, b, c) é oposto ao ângulo do mesmo nome (A, B, C).

A lei dos senos aplica-se quando se conhecem um lado e dois ângulos (e se procura outro lado), ou dois lados e um ângulo oposto a um deles. Como a soma dos ângulos internos é «180°», conhecidos dois ângulos obtém-se de imediato o terceiro, e a lei fornece então todos os lados a partir de um único lado conhecido.

A Fig. 2 fixa a convenção fundamental: o lado «a» é oposto ao vértice (e ângulo) «A», o lado «b» oposto a «B» e o lado «c» oposto a «C». Respeitar rigorosamente esta correspondência lado–ângulo oposto é o passo onde mais erros se cometem; vale a pena marcá-la na figura antes de escrever a lei.

Uma aplicação típica: conhecidos «A = 40°», «B = 75°» e o lado «a = 10», determina-se «b» por «b/sin 75° = 10/sin 40°», donde «b = 10·sin 75° / sin 40° ≈ 15,03». O terceiro ângulo é «C = 180° − 40° − 75° = 65°», e «c» obtém-se do mesmo modo. A lei dos senos é a ferramenta central da triangulação e das distâncias inacessíveis, tema que se lhe segue.

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Lei dos senos

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante.

Exemplo resolvido

Resolver um triângulo com a lei dos senos

Num triângulo, A = 40°, B = 75° e a = 10 (lado oposto a A). Determina C, b e c.

Terceiro ângulo
C = 180° − 40° − 75° = 65°.
Lado b
b = a·sin B / sin A = 10·sin 75° / sin 40° ≈ 10·0,9659 / 0,6428 ≈ 15,03.
Lado c
c = a·sin C / sin A = 10·sin 65° / sin 40° ≈ 10·0,9063 / 0,6428 ≈ 14,10.

Resultado: C = 65°; b ≈ 15,03; c ≈ 14,10.

Erros frequentes

Associar mal os lados aos ângulos (usar sin do ângulo errado no denominador).
Esquecer que o terceiro ângulo se obtém por 180° − (soma dos outros dois).

Revisão ativa

Num triângulo, A = 40°, B = 75° e o lado a (oposto a A) mede 10. Determina o ângulo C e os lados b e c.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Lei dos cossenos#

PadrãoAE-matematica-b-trigonometria

A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras a triângulos quaisquer: «a² = b² + c² − 2bc·cos A». O termo «−2bc·cos A» corrige o Pitágoras conforme o ângulo «A» se afasta de «90°»; quando «A = 90°», «cos 90° = 0» e a lei reduz-se a «a² = b² + c²», o próprio teorema de Pitágoras. Há uma versão análoga para cada ângulo (ver Fig. 3).

Lei dos cossenos: dois lados e o ângulo incluído

Fig. 3Fig. 3 — Dois lados (b = 7, c = 5) e o ângulo incluído A = 60°: a² = 7² + 5² − 2·7·5·cos 60° = 39, logo a = √39 ≈ 6,24.

A lei dos cossenos aplica-se em dois casos que a lei dos senos não resolve diretamente: quando se conhecem dois lados e o ângulo por eles formado (o ângulo «incluído»), para determinar o terceiro lado; e quando se conhecem os três lados, para determinar qualquer ângulo (resolvendo a fórmula em ordem ao cosseno). São exatamente as situações «lado-ângulo-lado» e «lado-lado-lado».

A Fig. 3 mostra o caso «dois lados e o ângulo incluído»: «b = 7», «c = 5» e o ângulo «A = 60°» entre eles; procura-se o lado oposto «a». Aplicando a lei, «a² = 7² + 5² − 2·7·5·cos 60° = 49 + 25 − 70·0,5 = 74 − 35 = 39», logo «a = √39 ≈ 6,24». O ângulo incluído é sempre o que está ENTRE os dois lados conhecidos — é esse cosseno que entra na fórmula.

Para determinar um ângulo a partir dos três lados, resolve-se a lei em ordem ao cosseno: «cos A = (b² + c² − a²)/(2bc)», e obtém-se «A» com a função inversa «cos⁻¹». Um cosseno negativo indica um ângulo obtuso (maior do que «90°»), o que a lei deteta automaticamente — uma vantagem sobre a lei dos senos, que é ambígua para ângulos obtusos.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos A

Lei dos cossenos

Generaliza Pitágoras; com A = 90° (cos 90° = 0) reduz-se a a² = b² + c².

\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Ângulo a partir dos três lados

Resolvendo a lei em ordem ao cosseno; um cosseno negativo indica ângulo obtuso.

Exemplo resolvido

Terceiro lado e um ângulo

Num triângulo, b = 7, c = 5 e o ângulo incluído A = 60°. Determina o lado a e o ângulo B.

Lado a
a² = 7² + 5² − 2·7·5·cos 60° = 49 + 25 − 70·0,5 = 74 − 35 = 39. a = √39 ≈ 6,24.
Ângulo B (lei dos senos)
sin B / b = sin A / a ⇒ sin B = 7·sin 60° / √39 ≈ 7·0,8660 / 6,245 ≈ 0,9707. B ≈ 76,1°.
$\sin B = \dfrac{b\,\sin A}{a} = \dfrac{7\sin 60^{\circ}}{\sqrt{39}} \approx 0{,}971$
Verificação
C = 180° − 60° − 76,1° ≈ 43,9°; o maior ângulo (B) opõe-se ao maior lado (b = 7), como esperado.

Resultado: a = √39 ≈ 6,24; B ≈ 76,1° (e C ≈ 43,9°).

Erros frequentes

Usar como «ângulo incluído» um ângulo que não está entre os dois lados conhecidos.
Errar a ordem das operações: calcular 2bc·cos A antes de o subtrair a b² + c².

Revisão ativa

Um triângulo tem lados b = 7 e c = 5 e o ângulo entre eles A = 60°. Determina o lado a oposto a A e, depois, o ângulo B.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Área de triângulos e problemas métricos#

AprofundamentoAE-matematica-b-trigonometria

A área de um triângulo é «A = ½ · base · altura». Esta fórmula elementar exige conhecer uma altura, o que nem sempre é dado. A Fig. 4 ilustra o caso direto: base «8» e altura «5» dão «A = ½·8·5 = 20». A altura é o segmento perpendicular da base ao vértice oposto — não uma aresta do triângulo, um erro frequente quando o triângulo é obtusângulo.

Área pela base e pela altura

Fig. 4Fig. 4 — Área = ½·base·altura = ½·8·5 = 20 (a altura é a perpendicular da base ao vértice oposto).

Quando não se conhece a altura, mas sim dois lados e o ângulo por eles formado, a trigonometria fornece a área diretamente: «A = ½ · b · c · sin A», onde «A» é o ângulo incluído entre os lados «b» e «c». A fórmula obtém-se reconhecendo que a altura relativa a um dos lados é o outro lado vezes o seno do ângulo incluído — a trigonometria «calcula a altura» por nós.

Estas ferramentas resolvem uma grande variedade de problemas métricos reais: áreas de terrenos triangulares, forças e componentes, estruturas e treliças, e composições geométricas em design. A estratégia é sempre a mesma: identificar o triângulo relevante, escolher a lei ou fórmula adequada aos dados (razões no retângulo; senos ou cossenos no triângulo qualquer; ½bc·sin A para a área) e trabalhar em graus com a calculadora.

Um cuidado essencial nos problemas encadeados — em que o resultado de um triângulo alimenta o cálculo seguinte — é o arredondamento: deve arredondar-se APENAS no fim, mantendo os valores intermédios com mais casas decimais (ou na memória da calculadora). Arredondar cedo propaga o erro e pode falsear o resultado final, um ponto que a resolução de distâncias inacessíveis torna crítico.

A = \dfrac{1}{2}\,\text{base}\cdot\text{altura}

Área (base e altura)

A altura é a perpendicular da base ao vértice oposto.

A = \dfrac{1}{2}\,b\,c\,\sin A

Área (dois lados e o ângulo incluído)

Útil quando não se conhece a altura mas sim dois lados e o ângulo entre eles.

Exemplo resolvido

Área de um triângulo por trigonometria

Calcula a área de um triângulo com b = 7, c = 5 e ângulo incluído A = 60°, e compara com um triângulo de base 8 e altura 5.

Área por ½·b·c·sin A
A = ½·7·5·sin 60° = 17,5·0,8660 ≈ 15,16.
Área por base e altura
A = ½·8·5 = 20.
Comparação
O segundo triângulo tem maior área (20 > 15,16), apesar de os lados 7 e 5 do primeiro somarem mais — a área depende também do ângulo (ou da altura), não só dos lados.

Resultado: Área do 1.º triângulo ≈ 15,16; do 2.º = 20.

Erros frequentes

Usar uma aresta do triângulo como «altura» quando a altura é a perpendicular à base.
Arredondar valores intermédios em problemas encadeados, propagando o erro.

Revisão ativa

Um triângulo tem lados b = 7 e c = 5 e o ângulo incluído A = 60°. Calcula a sua área. Compara com a área de um triângulo de base 8 e altura 5.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023)

Trigonometria e resolução de problemas métricos

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

Trigonometria e resolução de problemas métricos

Pontos-chave

Resolver um triângulo retângulo

Pontos-chave

Resolver um triângulo com a lei dos senos

Pontos-chave

Terceiro lado e um ângulo

Pontos-chave

Área de um triângulo por trigonometria

Fontes

Trigonometria e resolução de problemas métricos

Pontos-chave

Resolver um triângulo retângulo

Pontos-chave

Resolver um triângulo com a lei dos senos

Pontos-chave

Terceiro lado e um ângulo

Pontos-chave

Área de um triângulo por trigonometria

Fontes