Resumos · Matemática BPT · Secundário

Distâncias Inacessíveis

Como medir o que não se pode alcançar — a largura de um rio, a altura de um edifício, a distância a um ponto do outro lado de um obstáculo. Aplica-se a trigonometria (razões, lei dos senos e lei dos cossenos) à triangulação e à topografia, com atenção ao arredondamento em cálculos encadeados. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0999 / 14

Perfil de exame

Modelar situações reais de medição indireta com triângulosAplicar a lei dos senos e dos cossenos a distâncias inacessíveisDeterminar alturas inacessíveis com ângulos de elevaçãoEncadear cálculos controlando o arredondamento

Operadores:modelacalculadeterminaaplicajustificainterpreta

nível básico

Determinar distâncias e alturas inacessíveis com uma base medível e ângulos.

nível avançado

Resolver problemas de topografia com triângulos encadeados, controlando o arredondamento.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Distâncias Inacessíveis

Triangulação: o método#

PadrãoAE-matematica-b-11-distancias-inacessiveis

A triangulação é o método clássico de medir distâncias inacessíveis: em vez de medir diretamente a distância pretendida, medem-se uma distância acessível (uma base) e alguns ângulos, e a partir deles calcula-se a distância procurada. É a técnica que sustenta a topografia, a cartografia e a navegação — e que permitiu, antes de qualquer instrumento moderno, medir a Terra.

A ideia assenta numa propriedade fundamental dos triângulos: um triângulo fica completamente determinado por um lado e os dois ângulos adjacentes (caso «ângulo-lado-ângulo»). Ou seja, se conseguirmos medir uma base «[AB]» acessível e os ângulos que as visadas ao ponto inacessível «C» fazem com essa base, o triângulo «[ABC]» fica determinado e todos os seus lados podem ser calculados (ver Fig. 1).

Esquema de triangulação

Fig. 1Fig. 1 — Triangulação: mede-se a base [AB] e os ângulos de visada a C; o triângulo fica determinado.

O procedimento é sistemático: (1) escolhe-se uma base «[AB]» que se possa medir; (2) de cada extremo mede-se o ângulo de visada ao ponto inacessível «C»; (3) o terceiro ângulo obtém-se por «180°» menos a soma dos outros dois; (4) aplica-se a lei dos senos para obter a distância pretendida. A escolha da base — nem muito curta (amplia erros) nem inconveniente de medir — é uma decisão prática importante.

A Fig. 1 mostra o esquema-tipo: a base «[AB]» no terreno acessível e o ponto «C» inacessível (do outro lado de um rio, por exemplo), com os ângulos medidos em «A» e em «B». A partir daqui, a distância «AC» ou «BC» calcula-se por trigonometria. Todas as situações deste tema são variações desta figura: mudam os dados e o que se procura, mas o método é sempre o mesmo.

Exemplo resolvido

Planear uma triangulação

Descreve o método para determinar a distância de A a um ponto C inacessível, dispondo de uma base [AB] medível.

Medir a base
Marca-se e mede-se uma base [AB] no terreno acessível (por exemplo, AB = 50 m).
Medir os ângulos
De A e de B medem-se os ângulos das visadas a C: α = ângulo CAB e β = ângulo CBA.
Terceiro ângulo
O ângulo em C é 180° − (α + β).
Lei dos senos
AC = AB·sin β / sin C (a distância procurada sai do único lado conhecido, a base).

Resultado: Com a base e os dois ângulos adjacentes, a lei dos senos dá qualquer distância do triângulo.

Erros frequentes

Tentar medir diretamente a distância inacessível em vez de a calcular a partir da base e dos ângulos.
Esquecer que o terceiro ângulo do triângulo se obtém por 180° − (soma dos dois medidos).

Revisão ativa

Explica, passo a passo, como medirias a distância a uma árvore do outro lado de um rio, dispondo apenas de uma fita métrica (para uma base na tua margem) e de um instrumento para medir ângulos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Distância a um ponto inacessível#

PadrãoAE-matematica-b-11-distancias-inacessiveis

O problema-tipo é medir a distância de um observador a um ponto do outro lado de um obstáculo (um rio, um vale). Dispõe-se de uma base «[AB]» na margem acessível e medem-se os ângulos de visada ao ponto inacessível «P» a partir de «A» e de «B». Com estes três dados — um lado e dois ângulos — o triângulo «[ABP]» fica determinado (ver Fig. 2).

Distância a um ponto do outro lado do rio

Fig. 2Fig. 2 — Base AB = 50 m, ângulos 65° (A) e 48° (B): ângulo em P = 67° e AP ≈ 40,37 m.

A resolução aplica diretamente a lei dos senos. Determinado o ângulo em «P» por «180°» menos a soma dos ângulos em «A» e «B», a distância pretendida obtém-se relacionando-a com a base pela razão dos senos: «AP / sin(ângulo em B) = AB / sin(ângulo em P)». Repare-se na correspondência lado–ângulo oposto: «AP» opõe-se ao ângulo em «B», e a base «AB» opõe-se ao ângulo em «P».

A Fig. 2 concretiza: base «AB = 50 m», ângulo em «A» de «65°» e ângulo em «B» de «48°». O ângulo em «P» é «180° − 65° − 48° = 67°». Então «AP = 50·sin 48° / sin 67° ≈ 50·0,7431 / 0,9205 ≈ 40,37 m». A distância ao ponto inacessível ficou determinada sem nunca a atravessar — apenas com uma medição de comprimento e duas de ângulo, todas do lado acessível.

Quando o ângulo procurado é o incluído entre dois lados conhecidos, ou quando se conhecem os três lados, usa-se antes a lei dos cossenos. A escolha da lei depende dos dados: dois ângulos e um lado (ou dois lados e um ângulo oposto) pedem a lei dos senos; dois lados e o ângulo incluído (ou três lados) pedem a lei dos cossenos. Identificar corretamente os dados é o primeiro passo da resolução.

\dfrac{AP}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{AB}{\sin(\hat{P})}

Lei dos senos aplicada

AP opõe-se ao ângulo em B e a base AB opõe-se ao ângulo em P; daqui sai AP.

Exemplo resolvido

Largura até um ponto inacessível

Base AB = 50 m; ângulo em A = 65°, ângulo em B = 48°. Determina AP.

Ângulo em P
P̂ = 180° − 65° − 48° = 67°.
Lei dos senos
AP / sin 48° = 50 / sin 67°, logo AP = 50·sin 48° / sin 67°.
Cálculo
AP ≈ 50·0,7431 / 0,9205 ≈ 37,157 / 0,9205 ≈ 40,37 m (arredondando só no fim).

Resultado: AP ≈ 40,37 m.

Erros frequentes

Associar o lado procurado ao ângulo errado ao escrever a lei dos senos.
Arredondar o ângulo em P antes de o usar, propagando o erro para a distância.

Revisão ativa

Numa margem, mede-se a base AB = 50 m; o ângulo de visada a um ponto P na outra margem é 65° em A e 48° em B. Determina a distância AP.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Alturas inacessíveis#

PadrãoAE-matematica-b-11-distancias-inacessiveis

Medir a altura de um objeto alto (um edifício, uma torre, uma árvore) faz-se com o ângulo de elevação: o ângulo que a linha de visada ao topo faz com a horizontal. Se o observador está a uma distância horizontal «d» da base e o ângulo de elevação ao topo é «θ», a altura acima do olho é «h = d·tan θ», porque no triângulo retângulo formado «tan θ = altura / distância» (ver Fig. 3).

Altura por ângulo de elevação

Fig. 3Fig. 3 — Distância 30 m, elevação 40°: h = 30·tan 40° ≈ 25,17 m (acima do nível do olho).

O ângulo de elevação mede-se «para cima» a partir da horizontal; o simétrico, medido «para baixo» (por exemplo, do alto de uma falésia para um barco), é o ângulo de depressão. Por serem ângulos alternos internos entre retas horizontais paralelas, o ângulo de depressão de «A» para «B» é igual ao ângulo de elevação de «B» para «A» — uma equivalência útil para reformular problemas.

A Fig. 3 mostra um observador a «30 m» da base de uma torre, com ângulo de elevação ao topo de «40°». A altura da torre (acima do nível do olho) é «h = 30·tan 40° ≈ 30·0,8391 ≈ 25,17 m». Se a medição partir do nível do solo, esta é a altura total; se partir do nível do olho do observador, soma-se a altura do olho para obter a altura real do objeto — um pormenor que o enunciado deve esclarecer.

Quando não se pode medir a distância à base (por exemplo, a base é inacessível), recorre-se a duas observações a partir de dois pontos alinhados, a uma distância conhecida um do outro — o que conduz a um problema de dois triângulos, tratado na secção seguinte. A tangente é a razão-chave destes problemas por ligar diretamente a altura (cateto oposto) à distância horizontal (cateto adjacente).

h = d\,\tan\theta

Altura por ângulo de elevação

No triângulo retângulo, tan θ = altura / distância horizontal, logo h = d·tan θ.

Exemplo resolvido

Altura de uma torre

De um ponto a 30 m da base, o ângulo de elevação ao topo é 40°. Determina a altura acima do olho e, com o olho a 1,6 m do solo, a altura total.

Altura acima do olho
h = 30·tan 40° ≈ 30·0,8391 ≈ 25,17 m.
Altura total
Soma-se a altura do olho: 25,17 + 1,6 ≈ 26,77 m.

Resultado: Altura acima do olho ≈ 25,17 m; altura total ≈ 26,77 m.

Erros frequentes

Usar o seno ou o cosseno onde a razão correta é a tangente (altura sobre distância horizontal).
Esquecer de somar a altura do olho do observador quando o enunciado a distingue do solo.

Revisão ativa

De um ponto a 30 m da base de uma torre, o ângulo de elevação ao topo é 40°. Determina a altura da torre acima do nível do olho. Se o olho está a 1,6 m do solo, qual a altura total?

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Topografia e cálculos encadeados#

AprofundamentoAE-matematica-b-11-distancias-inacessiveis

Muitos problemas reais exigem encadear vários triângulos: o resultado de um cálculo é dado de entrada do seguinte. Um caso clássico é determinar uma altura quando a base é inacessível, medindo o ângulo de elevação a partir de DOIS pontos alinhados com a base, a uma distância conhecida um do outro. Cada ponto dá um triângulo, e os dois combinam-se para eliminar a distância desconhecida à base (ver Fig. 4).

Altura com base inacessível (dois pontos)

Fig. 4Fig. 4 — Ângulos de elevação 30° (A) e 45° (B), com AB = 20 m: BT ≈ 38,64 m e altura h ≈ 27,32 m.

A Fig. 4 mostra o esquema: do ponto «A», o ângulo de elevação ao topo «T» é «30°»; avançando «20 m» até «B» (mais próximo da torre), o ângulo passa a «45°». No triângulo «[ABT]», o ângulo em «A» é «30°» e o ângulo «AB̂T» é «180° − 45° = 135°» (suplementar do de elevação em «B», porque «T» fica do outro lado). Logo o ângulo em «T» é «180° − 30° − 135° = 15°».

Aplicando a lei dos senos ao triângulo «[ABT]», obtém-se a distância inclinada «BT»: «BT = AB·sin 30° / sin 15° = 20·0,5 / 0,2588 ≈ 38,64 m». Finalmente, no triângulo retângulo da torre, a altura é «h = BT·sin 45° ≈ 38,64·0,7071 ≈ 27,32 m». O problema resolveu-se em dois passos encadeados — primeiro a lei dos senos, depois uma razão trigonométrica.

Em cálculos encadeados, o controlo do arredondamento é decisivo. Se «BT» fosse arredondado grosseiramente antes do segundo passo, o erro propagar-se-ia para «h». A regra prática é conservar todas as casas decimais (ou o valor na memória da calculadora) ao longo dos passos intermédios e arredondar SÓ o resultado final. É um dos pontos onde a Informação-Prova valoriza o rigor e onde mais se perdem cotações por descuido.

BT = \dfrac{AB\,\sin 30^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}, \qquad h = BT\,\sin 45^{\circ}

Dois passos encadeados

Primeiro a lei dos senos no triângulo [ABT] dá BT; depois a razão trigonométrica dá a altura h.

Exemplo resolvido

Altura de uma torre com base inacessível

Ângulo de elevação ao topo: 30° em A; avançando 20 m até B, 45°. Determina a altura da torre.

Ângulos do triângulo [ABT]
Em A: 30°. Em B (suplementar do de elevação): 180° − 45° = 135°. Em T: 180° − 30° − 135° = 15°.
Lei dos senos (BT)
BT = AB·sin 30° / sin 15° = 20·0,5 / 0,2588 ≈ 38,64 m (sem arredondar ainda).
Altura (razão trigonométrica)
No triângulo retângulo em D: h = BT·sin 45° ≈ 38,64·0,7071 ≈ 27,32 m.
Arredondamento
Manteve-se BT com casas decimais até ao fim; só a altura final foi arredondada a 27,32 m.

Resultado: Altura da torre ≈ 27,32 m.

Erros frequentes

Esquecer que o ângulo em B no triângulo [ABT] é o suplementar (180° − 45°) do ângulo de elevação.
Arredondar os valores intermédios (BT) e propagar o erro para a altura final.

Revisão ativa

De um ponto A, o ângulo de elevação ao topo de uma torre é 30°. Avançando 20 m até B, passa a 45°. Determina a altura da torre, controlando o arredondamento.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023)

Distâncias Inacessíveis

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

Distâncias Inacessíveis

Pontos-chave

Planear uma triangulação

Pontos-chave

Largura até um ponto inacessível

Pontos-chave

Altura de uma torre

Pontos-chave

Altura de uma torre com base inacessível

Fontes

Distâncias Inacessíveis

Pontos-chave

Planear uma triangulação

Pontos-chave

Largura até um ponto inacessível

Pontos-chave

Altura de uma torre

Pontos-chave

Altura de uma torre com base inacessível

Fontes