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Resumos/Matemática B/Generalidades acerca de funções
Resumos · Matemática BPT · Secundário

Generalidades acerca de funções

As funções são a linguagem da modelação matemática. Estudam-se o conceito de função, o domínio e o contradomínio, os vários modos de representar uma função (tabela, expressão, gráfico, palavras), as suas propriedades (zeros, sinal, monotonia, extremos) e as transformações de gráficos. É a base de todo o estudo de funções e integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~12 min de leitura·4 competências·Nível Base 2 · Padrão 2

T·101010 / 14
Perfil de exame
Identificar domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoPassar entre diferentes representações de uma funçãoEstudar propriedades de uma função a partir do gráficoRelacionar transformações da expressão com transformações do gráfico
Operadores:identificarepresentaestudadeterminainterpretarelaciona

nível básico

Identificar domínio e contradomínio e ler propriedades de uma função no gráfico.

nível avançado

Relacionar transformações da expressão analítica com as do gráfico e modelar situações com funções.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Generalidades acerca de funções
    • 01Função, domínio e contradomínio○
    • 02Representações de uma função○
    • 03Propriedades de uma função◐
    • 04Transformações de gráficos◐
§ 01

Função, domínio e contradomínio#

●○○BaseLPAE-matematica-b-10-generalidades-funcoes

Pontos-chave

Uma função «f» de «A» em «B» é uma correspondência que associa a CADA elemento de «A» um e um só elemento de «B». O conjunto de partida efetivamente usado é o domínio «D» (os objetos, os valores de «x» para os quais «f» está definida); a cada objeto «x» corresponde a sua imagem «f(x)». A exigência de unicidade — «um e um só» — é o que distingue uma função de uma correspondência qualquer (ver Fig. 1).

Uma função como correspondência unívoca

Objeto e imagemGrafo, 1 → 5, 2 → 8, 3 → 812358
Fig. 1Fig. 1 — Função: cada objeto tem uma única imagem. Domínio {1, 2, 3}, contradomínio {5, 8}.
O contradomínio «D′» é o conjunto de TODAS as imagens, isto é, dos valores de «y» que «f» efetivamente atinge. Não deve confundir-se com o conjunto de chegada «B», que pode ser maior: o contradomínio é o «alcance real» da função. A Fig. 1 ilustra a definição com uma correspondência «1 ↦ 5», «2 ↦ 8», «3 ↦ 8»: é uma função (cada objeto tem uma única imagem), com domínio «{1, 2, 3}» e contradomínio «{5, 8}» — e note-se que dois objetos podem partilhar a mesma imagem.
Quando a função é dada por uma expressão analítica sem se indicar o domínio, adota-se o domínio máximo: o conjunto de todos os «x» reais para os quais a expressão tem significado. Há que excluir o que torna a expressão impossível: divisões por zero (o denominador não pode anular-se) e raízes quadradas de números negativos (o radicando tem de ser «≥ 0»). Por exemplo, «f(x) = √(x − 1)» exige «x − 1 ≥ 0», logo «D = [1, +∞[».
Determinar o domínio é quase sempre o primeiro passo do estudo de uma função, porque condiciona tudo o resto — o gráfico, os zeros, a monotonia. Um erro no domínio propaga-se a toda a análise. Por isso convém identificar de imediato as «zonas proibidas» (denominadores e radicandos) e escrevê-las como condições sobre «x» antes de qualquer outro cálculo.
f:D→B,x↦f(x)f: D \to B, \quad x \mapsto f(x)f:D→B,x↦f(x)

Função

A cada objeto x do domínio D corresponde uma única imagem f(x); o contradomínio é o conjunto das imagens.

Exemplo resolvido

Domínio e imagens de uma função com raiz

Determina o domínio de f(x) = √(x − 1), calcula f(5) e f(10) e indica o contradomínio.

  1. 01Domínio

    A raiz exige x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Logo D = [1, +∞[.

  2. 02Imagens

    f(5) = √(5 − 1) = √4 = 2; f(10) = √9 = 3.

  3. 03Contradomínio

    À medida que x percorre [1, +∞[, √(x − 1) percorre [0, +∞[. Logo D′ = [0, +∞[.

Resultado: D = [1, +∞[; f(5) = 2, f(10) = 3; D′ = [0, +∞[.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar o domínio máximo de uma função dada por uma expressão.
  • Distinguir domínio, contradomínio, objeto e imagem.

Erros frequentes

  • Confundir contradomínio (imagens efetivas) com o conjunto de chegada.
  • Esquecer de excluir do domínio os valores que anulam um denominador ou tornam negativo um radicando.

Revisão ativa

Determina o domínio de f(x) = √(x − 1) e calcula f(5) e f(10). Indica o contradomínio.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Representações de uma função#

●○○BaseLPAE-matematica-b-10-generalidades-funcoes

Pontos-chave

A mesma função pode ser dada de quatro modos complementares: por palavras (uma descrição verbal da relação), por uma tabela de valores (pares objeto-imagem), por uma expressão analítica (uma fórmula «y = f(x)») e por um gráfico (o conjunto dos pontos «(x, f(x))» num referencial). Cada representação evidencia aspetos diferentes, e saber traduzir entre elas é uma competência central da disciplina.
A expressão analítica é a mais compacta e permite calcular qualquer imagem; a tabela dá valores concretos e é o ponto de partida para o gráfico e para a regressão; o gráfico dá a visão global do comportamento (crescimento, extremos, simetrias); a descrição verbal liga a função ao contexto real que ela modela. A Fig. 2 mostra a tabela de valores de «f(x) = 2x − 1», o passo intermédio entre a expressão e o gráfico.

Tabela de valores de f(x) = 2x − 1

Da expressão à tabelaTabela com 6 colunas e 1 linhas, Dados: x · −1 · 0 · 1 · 2 · 3; f(x) = 2x − 1 · −3 · −1 · 1 · 3 · 5X−10123F(X) = 2X − 1−3−1135
Fig. 2Fig. 2 — Tabela de valores de f(x) = 2x − 1: cada coluna é um par (x, f(x)).
Construir o gráfico a partir da expressão faz-se calculando uma tabela de pontos e unindo-os de acordo com o tipo de função (uma reta para a função afim, uma parábola para a quadrática). Reciprocamente, ler um gráfico é extrair dele informação: a imagem de um objeto, os objetos com uma dada imagem, os zeros, os intervalos de crescimento. A calculadora gráfica é, aqui, uma aliada — traça o gráfico a partir da expressão e permite ler valores.
É essencial distinguir o que cada eixo representa e respeitar o domínio. Um ponto «(a, b)» pertence ao gráfico de «f» se e só se «b = f(a)». Ler «f(3)» é procurar a ordenada do ponto do gráfico com abcissa 3; resolver «f(x) = 0» é procurar as abcissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo «Ox» (os zeros). Esta leitura dupla — da expressão para o gráfico e do gráfico para a expressão — é constantemente exigida no exame.
(a,b)∈graˊfico de f  ⟺  b=f(a)(a, b) \in \text{gráfico de } f \iff b = f(a)(a,b)∈graˊfico de f⟺b=f(a)

Ponto do gráfico

Um ponto pertence ao gráfico exatamente quando a sua ordenada é a imagem da sua abcissa.

Exemplo resolvido

Tabela e zero de uma função afim

Para f(x) = 2x − 1, constrói a tabela em x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}, identifica o tipo de função e o seu zero.

  1. 01Tabela

    f(−1) = −3; f(0) = −1; f(1) = 1; f(2) = 3; f(3) = 5.

  2. 02Tipo de função

    As diferenças de f são constantes (+2): é uma função afim, de gráfico uma reta de declive 2.

  3. 03Zero

    2x − 1 = 0 ⇔ x = 1/2 = 0,5 (o gráfico corta Ox em 0,5).

Resultado: Função afim (reta de declive 2); zero em x = 0,5.

Foco no Exame Nacional

  • Traduzir uma função entre tabela, expressão e gráfico.
  • Ler imagens, objetos e zeros a partir de um gráfico ou de uma tabela.

Erros frequentes

  • Trocar os eixos ao marcar pontos (colocar a imagem em Ox).
  • Unir pontos de uma tabela sem atender ao tipo de função (traçar segmentos onde a função é curva).

Revisão ativa

Constrói a tabela de valores de f(x) = 2x − 1 para x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} e usa-a para esboçar o gráfico. Que tipo de função é e qual é o seu zero?

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Propriedades de uma função#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-10-generalidades-funcoes

Pontos-chave

Estudar uma função é descrever o seu comportamento através de um conjunto de propriedades lidas no gráfico ou deduzidas da expressão. Os zeros são os objetos cuja imagem é «0» (os pontos onde o gráfico corta o eixo «Ox»); resolvem a equação «f(x) = 0». O sinal indica os intervalos onde a função é positiva (gráfico acima de «Ox») ou negativa (abaixo), e muda, em geral, nos zeros.
A monotonia descreve o crescimento: a função é crescente num intervalo se, ao aumentar «x», aumenta «f(x)», e decrescente se «f(x)» diminui. Os extremos são os valores máximo e mínimo que a função atinge: um máximo é um valor que não é ultrapassado (local, se apenas na vizinhança; absoluto, se em todo o domínio); analogamente para o mínimo. Os extremos ocorrem onde a função muda de sentido de variação (ver Fig. 3).

Propriedades de f(x) = −x² + 2x + 3

Estudo de uma funçãoGráfico de f(x) = −x² + 2x + 3, zeros em x = -1, 3, máximo em (1, 4), ordenada na origem y = 3, no intervalo x de -3 a 5−3−2−112345−6−4−224x = −1x = 3máx (1, 4)f(x) = −x² + 2x+ 3yx
Fig. 3Fig. 3 — f(x) = −x² + 2x + 3: zeros em −1 e 3, máximo em (1, 4); positiva em ]−1, 3[.
A Fig. 3 mostra «f(x) = −x² + 2x + 3». O seu gráfico é uma parábola de concavidade voltada para baixo (coeficiente de «x²» negativo), com zeros em «x = −1» e «x = 3» e um máximo no vértice «(1, 4)». Lê-se de imediato: a função é crescente em «]−∞, 1[» e decrescente em «]1, +∞[»; é positiva em «]−1, 3[» (entre os zeros) e negativa fora desse intervalo. Um único gráfico condensa todas as propriedades.
Outras propriedades úteis incluem a paridade — uma função é par se «f(−x) = f(x)» (gráfico simétrico em relação ao eixo «Oy», como «x²») e ímpar se «f(−x) = −f(x)» (simétrico em relação à origem, como «x³») — e os pontos onde o gráfico corta «Oy» (a ordenada na origem «f(0)»). Reconhecer estas propriedades acelera o esboço e a interpretação de qualquer função.
f par:f(−x)=f(x);f ıˊmpar:f(−x)=−f(x)f \text{ par}: f(-x) = f(x); \qquad f \text{ ímpar}: f(-x) = -f(x)f par:f(−x)=f(x);f ıˊmpar:f(−x)=−f(x)

Paridade

Função par: gráfico simétrico em relação a Oy. Função ímpar: gráfico simétrico em relação à origem.

Exemplo resolvido

Estudo completo de uma parábola

Para f(x) = −x² + 2x + 3, determina zeros, extremo, monotonia e sinal.

  1. 01Zeros

    −x² + 2x + 3 = 0 ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ou x = −1.

  2. 02Extremo

    x_V = −b/(2a) = −2/(2·(−1)) = 1; f(1) = −1 + 2 + 3 = 4. Como a < 0, é um MÁXIMO: (1, 4).

  3. 03Monotonia

    Crescente em ]−∞, 1[ e decrescente em ]1, +∞[.

  4. 04Sinal

    Concavidade para baixo com zeros −1 e 3: f > 0 em ]−1, 3[ e f < 0 em ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[.

Resultado: Zeros −1 e 3; máximo (1, 4); cresce até 1 e decresce depois; positiva entre os zeros.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar zeros, sinal, monotonia e extremos a partir da expressão ou do gráfico.
  • Reconhecer a concavidade e o vértice de uma parábola e ler nele os extremos.

Erros frequentes

  • Confundir zeros (onde f = 0) com extremos (onde f atinge o maior/menor valor).
  • Trocar os intervalos de sinal — o sinal entre os zeros depende da concavidade.

Revisão ativa

Para f(x) = −x² + 2x + 3, determina os zeros, o extremo (indicando se é máximo ou mínimo), a monotonia e o sinal.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Transformações de gráficos#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-10-generalidades-funcoes

Pontos-chave

A partir do gráfico de uma função «f» conhecida, obtêm-se os gráficos de funções relacionadas por transformações simples, sem recalcular tudo. Somar uma constante à função, «y = f(x) + k», translada o gráfico verticalmente «k» unidades (para cima se «k > 0», para baixo se «k < 0»). É a translação vertical, que move todos os pontos na direção de «Oy».
Somar uma constante à variável, «y = f(x − a)», translada o gráfico horizontalmente «a» unidades (para a direita se «a > 0», para a esquerda se «a < 0»). Este é o caso mais contra-intuitivo: «f(x − 2)» desloca para a DIREITA, não para a esquerda, porque é preciso um «x» maior para obter o mesmo valor da função (ver Fig. 4).

Translação horizontal de uma parábola

Transformações de gráficosGráfico de f(x) = x², zeros em x = 0, mínimo em (0, 0), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -3 a 5, Gráfico de g(x) = (x − 2)², zeros em x = 2, mínimo em (2, 0), ordenada na origem y = 4, no intervalo x de -3 a 5−3−2−1123452468f(x) = x²g(x) = (x − 2)²yx
Fig. 4Fig. 4 — f(x) = x² (vértice em 0) e g(x) = (x − 2)² (vértice em 2): translação horizontal de 2 para a direita.
As transformações multiplicativas alteram a forma. «y = a·f(x)» dilata (ou contrai) o gráfico verticalmente por um fator «a»: estica se «|a| > 1», achata se «|a| < 1». As reflexões são casos particulares: «y = −f(x)» reflete o gráfico no eixo «Ox» (troca o sinal de todas as imagens) e «y = f(−x)» reflete-o no eixo «Oy» (troca o sinal dos objetos). Combinando estas transformações, geram-se famílias inteiras de funções a partir de uma só.
A Fig. 4 mostra «f(x) = x²» e a sua transladada «g(x) = (x − 2)²», deslocada 2 unidades para a direita: o vértice passa de «(0, 0)» para «(2, 0)». Reconhecer transformações permite esboçar rapidamente funções e é a chave para compreender, mais tarde, como um parâmetro num modelo (uma translação, uma escala) se traduz numa alteração concreta do gráfico — algo essencial na modelação em Artes Visuais e no design.
y=f(x)+k (vertical),y=f(x−a) (horizontal)y = f(x) + k \ (\text{vertical}), \qquad y = f(x - a) \ (\text{horizontal})y=f(x)+k (vertical),y=f(x−a) (horizontal)

Translações

f(x) + k desloca k para cima; f(x − a) desloca a para a direita (a > 0).

y=−f(x) (reflexa˜o em Ox),y=f(−x) (reflexa˜o em Oy)y = -f(x) \ (\text{reflexão em } Ox), \qquad y = f(-x) \ (\text{reflexão em } Oy)y=−f(x) (reflexa˜o em Ox),y=f(−x) (reflexa˜o em Oy)

Reflexões

−f(x) troca o sinal das imagens; f(−x) troca o sinal dos objetos.

Exemplo resolvido

Descrever transformações de x²

A partir de f(x) = x², descreve os gráficos de g(x) = (x − 2)² e de h(x) = x² + 3.

  1. 01g(x) = (x − 2)²

    É f(x − 2): translação horizontal de 2 unidades para a DIREITA. O vértice passa de (0, 0) para (2, 0).

  2. 02h(x) = x² + 3

    É f(x) + 3: translação vertical de 3 unidades para CIMA. O vértice passa de (0, 0) para (0, 3).

  3. 03Síntese

    Ambas conservam a forma da parábola (mesma abertura); apenas muda a posição do vértice.

Resultado: g: x² deslocada 2 para a direita; h: x² deslocada 3 para cima.

Foco no Exame Nacional

  • Relacionar f(x) + k, f(x − a), a·f(x), −f(x) e f(−x) com as transformações do gráfico.
  • Esboçar o gráfico de uma função obtida por transformação de outra conhecida.

Erros frequentes

  • Deslocar f(x − a) para a esquerda (o correto é para a direita quando a > 0).
  • Confundir a translação vertical (f(x) + k) com a horizontal (f(x − a)).

Revisão ativa

A partir do gráfico de f(x) = x², descreve e esboça os gráficos de g(x) = (x − 2)² e de h(x) = x² + 3.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Função, domínio e contradomínio○
    • 02Representações de uma função○
    • 03Propriedades de uma função◐
    • 04Transformações de gráficos◐

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Dos resumos à prática

Generalidades acerca de funções

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023)

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