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Resumos/Matemática B/Funções polinomiais (grau não superior a 3)
Resumos · Matemática BPT · Secundário

Funções polinomiais (grau não superior a 3)

Estudam-se as funções polinomiais até ao grau 3: a função afim (grau 1), a função quadrática (grau 2) e as funções cúbicas (grau 3), com o seu comportamento, zeros, extremos e concavidade, e a sua utilização na modelação de situações reais. É um tema central de Funções no Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~12 min de leitura·4 competências·Nível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·111111 / 14
Perfil de exame
Estudar funções afins e o seu decliveEstudar funções quadráticas (vértice, zeros, sinal)Estudar funções cúbicas e o seu comportamentoAjustar modelos polinomiais a dados e interpretá-los
Operadores:estudadeterminacalculaesboçamodelainterpreta

nível básico

Estudar funções afins e quadráticas e resolver as equações e inequações associadas.

nível avançado

Estudar funções cúbicas e ajustar modelos polinomiais a dados com a calculadora.

Profundidade

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Funções polinomiais (grau não superior a 3)
    • 01Função afim○
    • 02Função quadrática◐
    • 03Funções de grau 3◐
    • 04Modelação com funções polinomiais●
§ 01

Função afim#

●○○BaseLPAE-matematica-b-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

A função afim «f(x) = mx + b» tem por gráfico uma reta. O parâmetro «m» é o declive (a taxa de variação constante — quanto varia «y» por cada unidade de «x») e «b» é a ordenada na origem (o valor de «f» em «x = 0», onde a reta corta «Oy»). Quando «b = 0», a função «f(x) = mx» diz-se linear e o gráfico passa pela origem; é o modelo da proporcionalidade direta.
O declive determina o sentido de variação: a função é crescente se «m > 0», decrescente se «m < 0» e constante se «m = 0» (reta horizontal). O valor absoluto de «m» mede a inclinação — quanto maior, mais «a pique» sobe ou desce a reta (ver Fig. 1). O zero da função (onde a reta corta «Ox») obtém-se resolvendo «mx + b = 0», isto é, «x = −b/m» (para «m ≠ 0»).

Três funções afins

Função afimGráfico de y = 2x − 1, zeros em x = 0.5, ordenada na origem y = -1, crescente, no intervalo x de -3 a 4, Gráfico de y = −x + 3, zeros em x = 3, ordenada na origem y = 3, decrescente, no intervalo x de -3 a 4, Gráfico de y = 1, ordenada na origem y = 1, no intervalo x de -3 a 4−3−2−11234−4−2246y = 2x − 1y = −x + 3y = 1yx
Fig. 1Fig. 1 — Funções afins: y = 2x − 1 (declive 2), y = −x + 3 (declive −1), y = 1 (declive 0).
A Fig. 1 compara três funções afins: «y = 2x − 1» (crescente, declive 2), «y = −x + 3» (decrescente, declive −1) e «y = 1» (constante, declive 0). A comparação evidencia como o declive controla a inclinação e o sentido, e como a ordenada na origem fixa a altura a que a reta corta «Oy». Basta conhecer estes dois números para traçar a reta.
A função afim é o modelo de todos os fenómenos de variação uniforme — um custo com uma parte fixa e uma parte proporcional à quantidade, uma distância percorrida a velocidade constante, uma escala de conversão. Reconhecer que uma situação tem taxa de variação constante é reconhecê-la como afim, e permite prever qualquer valor a partir de dois pontos conhecidos.
f(x)=mx+bf(x) = mx + bf(x)=mx+b

Função afim

m é o declive (taxa de variação constante) e b a ordenada na origem; o zero é x = −b/m (m ≠ 0).

Exemplo resolvido

Modelo de custo afim

Um serviço cobra 5 € fixos mais 2 € por hora. Escreve a função do custo, indica declive e ordenada na origem e calcula o custo de 4 horas.

  1. 01Função

    C(t) = 2t + 5, com t em horas e C em euros.

  2. 02Parâmetros

    Declive m = 2 (€/hora, a parte variável); ordenada na origem b = 5 (€, a parte fixa).

  3. 03Custo de 4 horas

    C(4) = 2·4 + 5 = 8 + 5 = 13 €.

Resultado: C(t) = 2t + 5; declive 2, ordenada na origem 5; C(4) = 13 €.

Foco no Exame Nacional

  • Interpretar o declive e a ordenada na origem de uma função afim.
  • Determinar o zero de uma função afim e escrever a sua equação a partir de dados.

Erros frequentes

  • Confundir o declive (variação de y por unidade de x) com a ordenada na origem.
  • Errar o sinal do zero: de mx + b = 0 vem x = −b/m.

Revisão ativa

Um serviço cobra 5 € fixos mais 2 € por hora. Escreve a função afim do custo, indica o declive e a ordenada na origem e calcula o custo de 4 horas.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Função quadrática#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

A função quadrática «f(x) = ax² + bx + c» (com «a ≠ 0») tem por gráfico uma parábola. O sinal de «a» determina a concavidade: voltada para cima se «a > 0» (a função tem um mínimo), para baixo se «a < 0» (tem um máximo). O ponto onde a função atinge o extremo é o vértice, de abcissa «x_V = −b/(2a)»; a reta vertical por esse ponto é o eixo de simetria da parábola (ver Fig. 2).

Parábola f(x) = x² − 2x − 3

Função quadráticaGráfico de y = x² − 2x − 3, zeros em x = -1, 3, mínimo em (1, -4), ordenada na origem y = -3, no intervalo x de -3 a 5−3−2−112345−4−2246x = −1x = 3V(1, −4)y = x² − 2x − 3yx
Fig. 2Fig. 2 — f(x) = x² − 2x − 3: concavidade para cima, zeros em −1 e 3, vértice (1, −4).
Os zeros resolvem «ax² + bx + c = 0» pela fórmula resolvente. O número de zeros reais depende do binómio discriminante «Δ = b² − 4ac»: dois zeros distintos se «Δ > 0», um zero duplo se «Δ = 0», nenhum zero real se «Δ < 0». A Fig. 2 mostra «f(x) = x² − 2x − 3», de concavidade para cima, com zeros em «−1» e «3» e vértice (mínimo) em «(1, −4)».
O estudo do sinal decorre da posição da parábola face ao eixo «Ox». Com «a > 0» e dois zeros «x₁ < x₂», a função é negativa entre os zeros e positiva fora deles; com «a < 0» dá-se o contrário. Esta leitura resolve de imediato as inequações do 2.º grau — basta esboçar a parábola e ler os intervalos de sinal, uma técnica mais segura do que decorar regras.
Explorar como os parâmetros «a», «b» e «c» alteram a parábola consolida a compreensão: «a» controla a abertura e a concavidade, «c» é a ordenada na origem, e «b» (com «a») desloca o vértice. A função quadrática modela muitas situações — trajetórias de projéteis, áreas em função de uma dimensão, arcos e curvas em design —, sempre que há um crescimento seguido de decrescimento (ou vice-versa) com um único extremo.
x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

Fórmula resolvente

Zeros de ax² + bx + c = 0; o número de soluções reais depende do sinal de Δ = b² − 4ac.

xV=−b2ax_V = -\dfrac{b}{2a}xV​=−2ab​

Abcissa do vértice

A ordenada do vértice obtém-se substituindo x_V na função; a reta x = x_V é o eixo de simetria.

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Exemplo resolvido

Estudo de uma função quadrática

Para f(x) = x² − 2x − 3, determina os zeros, o vértice e o sinal.

  1. 01Zeros

    x² − 2x − 3 = 0. Δ = (−2)² − 4·1·(−3) = 4 + 12 = 16. x = (2 ± 4)/2, logo x = 3 ou x = −1.

  2. 02Vértice

    x_V = −(−2)/(2·1) = 1; f(1) = 1 − 2 − 3 = −4. Vértice (1, −4).

  3. 03Concavidade e sinal

    a = 1 > 0: concavidade para cima, vértice mínimo. f < 0 em ]−1, 3[ e f > 0 em ]−∞, −1[ ∪ ]3, +∞[.

Resultado: Zeros −1 e 3; vértice mínimo (1, −4); f negativa entre os zeros, positiva fora.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar zeros, vértice, eixo de simetria e sinal de uma função quadrática.
  • Resolver equações e inequações do 2.º grau apoiando-se no gráfico da parábola.

Erros frequentes

  • Errar o sinal na abcissa do vértice (é −b/(2a)).
  • Nas inequações, trocar «entre os zeros» com «fora dos zeros» sem verificar o sinal de a.

Revisão ativa

Considera f(x) = x² − 2x − 3. Determina os zeros, o vértice, o eixo de simetria e estuda o sinal da função.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Funções de grau 3#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

Uma função cúbica «f(x) = ax³ + bx² + cx + d» (com «a ≠ 0») é uma função polinomial de grau 3. O seu gráfico tem uma forma característica em «S» mais ou menos acentuada: para «a > 0», vem «de baixo» (à esquerda) e vai «para cima» (à direita); para «a < 0», o comportamento inverte-se. Ao contrário da parábola, a cúbica não tem concavidade fixa — muda de concavidade num ponto de inflexão.
Uma cúbica pode ter um máximo local e um mínimo local (dois «cotovelos»), ou nenhum extremo (subida monótona com uma inflexão), consoante os parâmetros. A Fig. 3 mostra «f(x) = x³ − 3x² + 2», com um máximo local em «(0, 2)» e um mínimo local em «(2, −2)». Entre os dois, a função decresce; fora deles, cresce. Este comportamento «sobe – desce – sobe» é típico das cúbicas com dois extremos.

Função cúbica com dois extremos

Função cúbicaGráfico de f(x) = x³ − 3x² + 2, zeros em x = -0.732, 1, 2.732, máximo em (0, 2), mínimo em (2, -2), ordenada na origem y = 2, no intervalo x de -1.2 a 3.2−1123−4−2246máx (0, 2)mín (2, −2)f(x) = x³ − 3x²+ 2yx
Fig. 3Fig. 3 — f(x) = x³ − 3x² + 2: máximo local em (0, 2) e mínimo local em (2, −2).
Quanto aos zeros, uma função cúbica tem sempre pelo menos um zero real (porque o gráfico atravessa necessariamente o eixo «Ox», vindo de «−∞» e indo a «+∞»), podendo ter um, dois ou três zeros reais. A determinação exata dos zeros de uma cúbica geral faz-se, em Matemática B, com o auxílio da calculadora gráfica, lendo as abcissas dos pontos de interseção com o eixo «Ox».
As cúbicas modelam situações com um crescimento que acelera e depois se atenua (ou vice-versa), e curvas com um ponto de inflexão — perfis de terrenos, curvas de design, variações de volume com uma dimensão. A sua flexibilidade torna-as úteis na regressão cúbica, que a calculadora oferece para ajustar dados com esse tipo de curvatura, como veremos na secção de modelação.
f(x)=ax3+bx2+cx+d,a≠0f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad a \ne 0f(x)=ax3+bx2+cx+d,a=0

Função cúbica

Polinómio de grau 3; pode ter até dois extremos locais e de um a três zeros reais.

Exemplo resolvido

Extremos e monotonia de uma cúbica

Para f(x) = x³ − 3x² + 2, localiza os extremos locais e indica a monotonia.

  1. 01Derivada

    f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), que se anula em x = 0 e x = 2.

  2. 02Extremos

    f′ > 0 em x < 0 e x > 2, f′ < 0 em ]0, 2[. Máximo local em x = 0: f(0) = 2. Mínimo local em x = 2: f(2) = 8 − 12 + 2 = −2.

  3. 03Monotonia

    Crescente em ]−∞, 0[, decrescente em ]0, 2[, crescente em ]2, +∞[.

Resultado: Máximo local (0, 2), mínimo local (2, −2); cresce, decresce e volta a crescer.

Foco no Exame Nacional

  • Reconhecer a forma de uma função cúbica e localizar (com a calculadora) extremos e zeros.
  • Relacionar o sinal de a com o comportamento nos extremos do domínio.

Erros frequentes

  • Atribuir à cúbica a simetria de uma parábola (a cúbica tem, em geral, dois extremos e uma inflexão).
  • Supor que uma cúbica tem sempre três zeros reais — pode ter apenas um.

Revisão ativa

Para f(x) = x³ − 3x² + 2, usa a calculadora para localizar os extremos locais e indica os intervalos de monotonia.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Modelação com funções polinomiais#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-b-funcoes-polinomiais

Pontos-chave

As funções polinomiais são modelos versáteis: a afim para variações uniformes, a quadrática para trajetórias e arcos com um único extremo, a cúbica para curvas com uma inflexão. Modelar é escolher o tipo de função cuja forma se adequa à situação e determinar os seus parâmetros a partir dos dados — pontos conhecidos, condições do problema, ou uma regressão feita com a calculadora.
A Fig. 4 modela um arco (uma ponte, um vão de uma abóbada) por uma função quadrática «h(x) = −0,05x² + x», com «x» e «h» em metros. O arco arranca do solo em «x = 0», atinge a altura máxima no vértice e volta ao solo do outro lado. Como «a < 0», a concavidade é para baixo e há um máximo, o que faz da parábola o modelo natural de um arco simétrico.

Modelo quadrático de um arco

Modelação de um arcoGráfico de h(x) = −0,05x² + x, zeros em x = 0, 20, máximo em (10, 5), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de 0 a 205101520123456x = 20h(x) = −0,05x² +xh (m)x (m)
Fig. 4Fig. 4 — Arco h(x) = −0,05x² + x: vão de 20 m e altura máxima 5 m a meio (x = 10).
Determinam-se os elementos do modelo por cálculo direto. Os zeros «−0,05x² + x = 0 ⇔ x(−0,05x + 1) = 0» dão «x = 0» e «x = 20»: o arco tem um vão de 20 m. O vértice tem abcissa «x_V = −b/(2a) = −1/(2·(−0,05)) = 10» e altura «h(10) = −0,05·100 + 10 = −5 + 10 = 5»: a altura máxima é 5 m, a meio do vão, como a simetria exige.
Quando o modelo não é dado mas há uma nuvem de dados, usa-se a regressão da calculadora — linear, quadrática ou cúbica, conforme a forma da nuvem (ver o tema Estatística). O modelo obtido permite interpolar (estimar valores entre os dados) e responder a questões do problema, sempre com espírito crítico: um modelo é uma aproximação útil, válida sobretudo dentro do intervalo dos dados observados, e nunca a realidade exata.
h(x)=−0,05 x2+xh(x) = -0{,}05\,x^2 + xh(x)=−0,05x2+x

Modelo do arco

Parábola de concavidade para baixo; zeros em 0 e 20 (vão), vértice em (10, 5) (altura máxima).

Exemplo resolvido

Análise de um modelo de arco

Para h(x) = −0,05x² + x (metros), determina o vão, a altura máxima e a altura a 5 m de um apoio.

  1. 01Vão (zeros)

    −0,05x² + x = 0 ⇔ x(−0,05x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 20. O vão é 20 m.

  2. 02Altura máxima (vértice)

    x_V = −1/(2·(−0,05)) = 10; h(10) = −0,05·100 + 10 = 5 m.

  3. 03Altura a 5 m do apoio

    h(5) = −0,05·25 + 5 = −1,25 + 5 = 3,75 m.

Resultado: Vão 20 m; altura máxima 5 m (a meio); altura a 5 m do apoio = 3,75 m.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar zeros, vértice e valores de um modelo polinomial dado.
  • Escolher o tipo de função (afim, quadrática, cúbica) adequado a uma situação ou a uma nuvem de dados.

Erros frequentes

  • Aplicar o modelo fora do intervalo de validade (extrapolar sem cautela).
  • Escolher o grau do polinómio por rotina, sem atender à forma dos dados ou do fenómeno.

Revisão ativa

Um arco é modelado por h(x) = −0,05x² + x (metros). Determina o vão (distância entre os apoios), a altura máxima e a altura a 5 m de um dos apoios.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Função afim○
    • 02Função quadrática◐
    • 03Funções de grau 3◐
    • 04Modelação com funções polinomiais●

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Dos resumos à prática

Funções polinomiais (grau não superior a 3)

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023)

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