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Resumos/Matemática B/Funções inversas
Resumos · Matemática BPT · Secundário

Funções inversas

A função inversa «desfaz» o que a função faz. Estudam-se a injetividade, a sobrejetividade e a bijetividade, a definição e a condição de existência da função inversa, a simetria dos gráficos de f e f⁻¹ relativamente à reta y = x, e a determinação da inversa com restrição do domínio quando necessário. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~12 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·121212 / 14
Perfil de exame
Reconhecer injetividade, sobrejetividade e bijetividadeDefinir a função inversa e a condição da sua existênciaRelacionar os gráficos de f e f⁻¹ pela simetria em y = xDeterminar a inversa, restringindo o domínio quando necessário
Operadores:identificadefinedeterminajustificarelacionaverifica

nível básico

Reconhecer funções injetivas e determinar a inversa de funções afins simples.

nível avançado

Restringir o domínio para garantir a bijetividade e determinar inversas com simetria em y = x.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Funções inversas
    • 01Injetividade, sobrejetividade e bijetividade◐
    • 02Função inversa: definição e existência◐
    • 03Simetria dos gráficos em y = x◐
    • 04Determinar a inversa e restringir o domínio●
§ 01

Injetividade, sobrejetividade e bijetividade#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-11-funcoes-inversas

Pontos-chave

Uma função diz-se injetiva quando objetos distintos têm sempre imagens distintas: «x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)». Equivalentemente, cada imagem provém de um único objeto — nunca dois objetos partilham a mesma imagem. Graficamente, traduz-se pelo teste da reta horizontal: uma função é injetiva se e só se nenhuma reta horizontal interseta o seu gráfico em mais do que um ponto (ver Fig. 1).

Teste da reta horizontal

InjetividadeGráfico de f(x) = x², zeros em x = 0, mínimo em (0, 0), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -3 a 3−3−2−11232468y = 4f(x) = x²yx
Fig. 1Fig. 1 — f(x) = x² não é injetiva: a reta y = 4 interseta o gráfico em dois pontos, (−2, 4) e (2, 4).
Uma função «f: A → B» diz-se sobrejetiva quando o contradomínio coincide com o conjunto de chegada «B», isto é, todo o elemento de «B» é imagem de pelo menos um objeto. E diz-se bijetiva quando é simultaneamente injetiva e sobrejetiva — uma correspondência «um-para-um» perfeita entre «A» e «B», em que cada elemento de cada conjunto está emparelhado com exatamente um elemento do outro.
A Fig. 1 aplica o teste da reta horizontal a «f(x) = x²». A reta «y = 4» interseta a parábola em DOIS pontos, «(−2, 4)» e «(2, 4)»: dois objetos («−2» e «2») com a mesma imagem («4»). Logo «f(x) = x²» NÃO é injetiva em «ℝ». É precisamente esta falha que impedirá, mais adiante, a definição direta da sua inversa — a menos que se restrinja o domínio.
A injetividade é a propriedade decisiva para este tema, porque é a condição para «poder voltar atrás»: se cada imagem vem de um só objeto, faz sentido perguntar «de que objeto veio esta imagem?» — e essa pergunta define a função inversa. Funções crescentes (ou decrescentes) em todo o domínio são sempre injetivas, o que dá um critério prático cómodo.
f injetiva  ⟺  (x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2))f \text{ injetiva} \iff \big(x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)\big)f injetiva⟺(x1​=x2​⇒f(x1​)=f(x2​))

Injetividade

Objetos distintos têm imagens distintas; graficamente, nenhuma reta horizontal corta o gráfico em mais de um ponto.

Exemplo resolvido

Testar a injetividade

Decide se f(x) = x² e g(x) = 2x + 1 são injetivas em ℝ.

  1. 01f(x) = x²

    f(−2) = 4 = f(2): dois objetos com a mesma imagem. A reta y = 4 corta o gráfico em dois pontos. NÃO é injetiva.

  2. 02g(x) = 2x + 1

    É afim de declive 2 > 0, logo estritamente crescente; qualquer reta horizontal corta o gráfico uma só vez. É injetiva.

Resultado: f(x) = x² não é injetiva; g(x) = 2x + 1 é injetiva (é crescente).

Foco no Exame Nacional

  • Decidir a injetividade de uma função pelo teste da reta horizontal.
  • Distinguir injetiva, sobrejetiva e bijetiva.

Erros frequentes

  • Concluir que uma função é injetiva sem testar imagens repetidas (por exemplo, esquecer que x² não o é).
  • Confundir injetividade (imagens distintas) com sobrejetividade (todas as imagens atingidas).

Revisão ativa

Usa o teste da reta horizontal para decidir se f(x) = x² e g(x) = 2x + 1 são injetivas em ℝ. Justifica.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Função inversa: definição e existência#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-11-funcoes-inversas

Pontos-chave

A função inversa de «f», denotada «f⁻¹», é a função que «desfaz» «f»: se «f» transforma «a» em «b» («f(a) = b»), então «f⁻¹» transforma «b» de volta em «a» («f⁻¹(b) = a»). Formalmente, «f⁻¹» é caracterizada por «(f⁻¹ ∘ f)(x) = x» e «(f ∘ f⁻¹)(x) = x» — aplicar «f» e depois «f⁻¹» (ou vice-versa) devolve o valor de partida.
A condição de existência é precisa: «f⁻¹» existe se e só se «f» é bijetiva. A injetividade garante que cada imagem provém de um único objeto (para «f⁻¹» ficar bem definida, sem ambiguidade); a sobrejetividade garante que «f⁻¹» está definida em todo o conjunto de chegada. Se «f» não é bijetiva, não há inversa — a menos que se ajustem o domínio e o conjunto de chegada.
Domínio e contradomínio trocam de papel na passagem à inversa: «D(f⁻¹) = D′(f)» e «D′(f⁻¹) = D(f)». Isto é natural — as imagens de «f» são os objetos de «f⁻¹». A Fig. 2 mostra esta troca numa tabela para «f(x) = 2x + 1»: onde «f» leva «1 ↦ 3», «f⁻¹» leva «3 ↦ 1»; cada par «(x, y)» de «f» torna-se um par «(y, x)» de «f⁻¹».

Domínio e contradomínio trocam na inversa

f e a sua inversaTabela com 4 colunas e 2 linhas, Dados: Correspondência · • · • · •; f(x) = 2x + 1 · 1 ↦ 3 · 2 ↦ 5 · 3 ↦ 7; f⁻¹(x) = (x − 1)/2 · 3 ↦ 1 · 5 ↦ 2 · 7 ↦ 3CORRESPONDÊNCIA•••F(X) = 2X + 11 ↦ 32 ↦ 53 ↦ 7F⁻¹(X) = (X − 1)/23 ↦ 15 ↦ 27 ↦ 3
Fig. 2Fig. 2 — f: 1↦3, 2↦5, 3↦7. A inversa desfaz: 3↦1, 5↦2, 7↦3 (objetos e imagens trocam).
Verificar que duas funções são inversas uma da outra faz-se compondo-as: se «(f ∘ g)(x) = x» (e «(g ∘ f)(x) = x»), então «g = f⁻¹». É um teste seguro e frequentemente pedido. Por exemplo, para «f(x) = 2x + 1» e «g(x) = (x − 1)/2», tem-se «f(g(x)) = 2·(x − 1)/2 + 1 = (x − 1) + 1 = x», confirmando que são inversas.
f−1 existe  ⟺  f eˊ bijetivaf^{-1} \text{ existe} \iff f \text{ é bijetiva}f−1 existe⟺f eˊ bijetiva

Existência da inversa

A injetividade torna f⁻¹ bem definida; a sobrejetividade garante que fica definida em todo o conjunto de chegada.

(f∘f−1)(x)=x,D(f−1)=D′(f)(f \circ f^{-1})(x) = x, \qquad D(f^{-1}) = D'(f)(f∘f−1)(x)=x,D(f−1)=D′(f)

Propriedades da inversa

A inversa desfaz f; o domínio da inversa é o contradomínio de f e vice-versa.

Exemplo resolvido

Verificar uma inversa por composição

Verifica que g(x) = (x − 1)/2 é a inversa de f(x) = 2x + 1 e indica D(f⁻¹) sabendo que D′(f) = ℝ.

  1. 01Compor f ∘ g

    f(g(x)) = 2·((x − 1)/2) + 1 = (x − 1) + 1 = x.

  2. 02Compor g ∘ f

    g(f(x)) = ((2x + 1) − 1)/2 = 2x/2 = x.

  3. 03Domínio da inversa

    Como ambas as composições dão x, g = f⁻¹. E D(f⁻¹) = D′(f) = ℝ.

Resultado: g é a inversa de f (ambas as composições dão x); D(f⁻¹) = ℝ.

Foco no Exame Nacional

  • Enunciar a condição de existência da inversa (f bijetiva) e a troca domínio/contradomínio.
  • Verificar que duas funções são inversas pela composição (f ∘ g = id).

Erros frequentes

  • Falar da inversa de uma função não injetiva sem restringir o domínio.
  • Confundir a função inversa f⁻¹(x) com o inverso multiplicativo 1/f(x).

Revisão ativa

Verifica, pela composição, que g(x) = (x − 1)/2 é a inversa de f(x) = 2x + 1, e indica D(f⁻¹) sabendo que D′(f) = ℝ.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Simetria dos gráficos em y = x#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-11-funcoes-inversas

Pontos-chave

Há uma relação geométrica elegante entre uma função e a sua inversa: os seus gráficos são simétricos relativamente à reta «y = x» (a bissetriz dos quadrantes ímpares). A razão é imediata — se «(a, b)» pertence ao gráfico de «f» (isto é, «b = f(a)»), então «(b, a)» pertence ao gráfico de «f⁻¹» (pois «f⁻¹(b) = a»), e os pontos «(a, b)» e «(b, a)» são reflexos um do outro na reta «y = x» (ver Fig. 3).

f e f⁻¹ simétricas em y = x

Simetria em y = xGráfico de f(x) = 2x + 1, zeros em x = -0.5, ordenada na origem y = 1, crescente, no intervalo x de -4 a 6, Gráfico de f⁻¹(x) = (x − 1)/2, zeros em x = 1, ordenada na origem y = -0.5, crescente, no intervalo x de -4 a 6, Gráfico de y = x, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de -4 a 6−4−2246−4−2246f(x) = 2x + 1f⁻¹(x) = (x −1)/2y = xyx
Fig. 3Fig. 3 — f(x) = 2x + 1 e f⁻¹(x) = (x − 1)/2 são simétricas na reta y = x; (0, 1) reflete em (1, 0).
Esta simetria é uma ferramenta poderosa: conhecido o gráfico de «f», o gráfico de «f⁻¹» obtém-se refletindo-o na reta «y = x», sem precisar da expressão da inversa. Pontos notáveis correspondem-se por troca de coordenadas: o ponto onde «f» corta «Oy» torna-se o ponto onde «f⁻¹» corta «Ox», e assim por diante.
A Fig. 3 ilustra-o com a função afim «f(x) = 2x + 1» e a sua inversa «f⁻¹(x) = (x − 1)/2», com a reta «y = x» a tracejado. Os pontos correspondentes «(0, 1)» de «f» e «(1, 0)» de «f⁻¹» são reflexos exatos na bissetriz. Note-se que a inversa de uma função afim é ainda uma função afim, com declive inverso — aqui, «2» passa a «1/2».
Um caso particular esclarecedor: se um ponto pertence à reta «y = x» e ao gráfico de «f», então «f» e «f⁻¹» coincidem nesse ponto (é fixo pela reflexão). E se o gráfico de «f» é ele próprio simétrico relativamente a «y = x», então «f» coincide com a sua inversa — «f» é a sua própria inversa (uma involução), como acontece, por exemplo, com «f(x) = 1/x» ou «f(x) = −x».
(a,b)∈Gf  ⟺  (b,a)∈Gf−1(a, b) \in G_f \iff (b, a) \in G_{f^{-1}}(a,b)∈Gf​⟺(b,a)∈Gf−1​

Simetria dos gráficos

Trocar as coordenadas reflete o ponto na reta y = x; por isso os gráficos de f e f⁻¹ são simétricos nessa reta.

Exemplo resolvido

Interseções de f e da sua inversa com os eixos

Para f(x) = 2x + 1 e f⁻¹(x) = (x − 1)/2, indica onde cada uma corta os eixos e verifica a simetria.

  1. 01f corta os eixos

    Em Oy: f(0) = 1 → (0, 1). Em Ox: 2x + 1 = 0 → x = −0,5 → (−0,5; 0).

  2. 02f⁻¹ corta os eixos

    Em Oy: f⁻¹(0) = −0,5 → (0; −0,5). Em Ox: (x − 1)/2 = 0 → x = 1 → (1, 0).

  3. 03Verificar a simetria

    (0, 1) de f corresponde a (1, 0) de f⁻¹, e (−0,5; 0) corresponde a (0; −0,5): coordenadas trocadas, como a reflexão em y = x exige.

Resultado: f: (0, 1) e (−0,5; 0); f⁻¹: (0; −0,5) e (1, 0). Os pontos correspondem-se por troca de coordenadas.

Foco no Exame Nacional

  • Obter o gráfico de f⁻¹ por reflexão do gráfico de f na reta y = x.
  • Trocar coordenadas de pontos notáveis entre f e f⁻¹.

Erros frequentes

  • Refletir o gráfico no eixo Ox ou Oy em vez de na reta y = x.
  • Trocar apenas o sinal das coordenadas em vez de trocar a sua ordem (x, y) → (y, x).

Revisão ativa

Esboça o gráfico de f(x) = 2x + 1 e obtém o de f⁻¹ por reflexão na reta y = x. Indica os pontos onde cada uma corta os eixos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Determinar a inversa e restringir o domínio#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-b-11-funcoes-inversas

Pontos-chave

Determinar a expressão da inversa de uma função injetiva segue um algoritmo simples: escreve-se «y = f(x)», resolve-se a equação em ordem a «x» (exprimindo «x» em função de «y»), e no fim trocam-se os nomes das variáveis (escreve-se «x» onde estava «y»). Para «f(x) = 2x + 1»: de «y = 2x + 1» vem «x = (y − 1)/2», logo «f⁻¹(x) = (x − 1)/2».
Quando a função NÃO é injetiva, não tem inversa em todo o domínio — mas pode ter numa restrição. Restringir o domínio a um intervalo onde a função seja injetiva (por exemplo, apenas crescente) torna-a bijetiva sobre o seu contradomínio e permite definir a inversa nessa restrição. É o procedimento-padrão para funções quadráticas, que não são injetivas em «ℝ» mas são-no em «[0, +∞[» (ou em «]−∞, 0]»).
A Fig. 4 mostra «f(x) = x²» restringida a «x ≥ 0» (onde é crescente, logo injetiva) e a sua inversa «f⁻¹(x) = √x», simétricas na reta «y = x». A restrição «x ≥ 0» é essencial: sem ela, «x²» teria «dois candidatos» a inversa («+√x» e «−√x») e a inversa não ficaria bem definida. A escolha do ramo («x ≥ 0») fixa o sinal da raiz.

Inversa de x² com domínio restrito

Inversa com restrição de domínioGráfico de f(x) = x², x ≥ 0, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de 0 a 3, Gráfico de f⁻¹(x) = √x, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de 0 a 9, Gráfico de y = x, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de 0 a 924682468f(x) = x², x ≥ 0f⁻¹(x) = √xy = xyx
Fig. 4Fig. 4 — f(x) = x² restrita a x ≥ 0 e a inversa f⁻¹(x) = √x, simétricas em y = x.
Ao determinar uma inversa, deve sempre indicar-se o seu domínio, que é o contradomínio da função original. Para «f(x) = x²» com «x ≥ 0», o contradomínio é «[0, +∞[», pelo que «f⁻¹(x) = √x» tem domínio «[0, +∞[». Explicitar a restrição e o domínio da inversa é parte essencial de uma resposta completa, e é onde o exame distingue o rigor do simples automatismo de «trocar x com y».
y=x2, x≥0 ⇒ x=y ⇒ f−1(x)=x, x≥0y = x^2,\ x \ge 0 \ \Rightarrow\ x = \sqrt{y} \ \Rightarrow\ f^{-1}(x) = \sqrt{x},\ x \ge 0y=x2, x≥0 ⇒ x=y​ ⇒ f−1(x)=x​, x≥0

Inversa com restrição

A restrição x ≥ 0 torna x² injetiva; a raiz fica com sinal positivo bem definido e o domínio da inversa é [0, +∞[.

Exemplo resolvido

Inversa de uma quadrática restrita

Restringe f(x) = x² a x ≥ 0, determina f⁻¹ e o seu domínio, e verifica a composição.

  1. 01Injetividade por restrição

    Em x ≥ 0, x² é crescente, logo injetiva; o contradomínio é [0, +∞[.

  2. 02Resolver e trocar

    y = x² com x ≥ 0 ⇒ x = √y ⇒ f⁻¹(x) = √x.

  3. 03Domínio da inversa

    D(f⁻¹) = D′(f) = [0, +∞[.

  4. 04Composição

    f(f⁻¹(x)) = (√x)² = x (para x ≥ 0) e f⁻¹(f(x)) = √(x²) = x (para x ≥ 0). Desfazem-se.

Resultado: f⁻¹(x) = √x, com domínio [0, +∞[; as composições confirmam a inversa.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar a expressão da inversa (resolver em ordem a x e trocar variáveis).
  • Restringir o domínio para garantir a bijetividade e indicar o domínio da inversa.

Erros frequentes

  • Escrever a inversa de x² como √x sem restringir o domínio a x ≥ 0.
  • Esquecer de indicar o domínio da inversa (o contradomínio da função original).

Revisão ativa

Restringe f(x) = x² a x ≥ 0, determina f⁻¹, indica o seu domínio e verifica, pela composição, que f e f⁻¹ se desfazem.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Injetividade, sobrejetividade e bijetividade◐
    • 02Função inversa: definição e existência◐
    • 03Simetria dos gráficos em y = x◐
    • 04Determinar a inversa e restringir o domínio●

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Dos resumos à prática

Funções inversas

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023)

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