Resumos · Matemática BPT · Secundário

Taxa de Variação e Otimização

Estuda-se como uma grandeza varia em função de outra. Introduz-se a taxa média de variação (declive da secante), a taxa instantânea (declive da tangente, a noção de derivada), a relação entre o sinal da taxa e a monotonia e os extremos, e a sua aplicação a problemas de otimização com um modelo dado. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·131313 / 14

Perfil de exame

Calcular e interpretar a taxa média de variaçãoInterpretar a taxa instantânea como declive da tangenteRelacionar o sinal da taxa com a monotonia e os extremosResolver problemas de otimização justificando o extremo

Operadores:calculainterpretadeterminajustificaotimizamodela

nível básico

Calcular a taxa média de variação e interpretar a taxa instantânea como declive da tangente.

nível avançado

Estudar a monotonia e os extremos pela taxa de variação e resolver problemas de otimização com justificação.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Taxa de Variação e Otimização

Taxa média de variação#

PadrãoAE-matematica-b-11-taxa-variacao-otimizacao

A taxa média de variação (t.m.v.) de uma função «f» num intervalo «[a, b]» mede quanto, em média, «f» varia por unidade de «x» nesse intervalo: «t.m.v. = (f(b) − f(a)) / (b − a)». É a variação da grandeza («Δy») a dividir pela variação da variável («Δx»), exatamente o declive da reta secante que passa pelos pontos «(a, f(a))» e «(b, f(b))» do gráfico (ver Fig. 1).

Taxa média como declive da secante

Fig. 1Fig. 1 — f(x) = x²: a taxa média em [1, 3] é o declive da secante, (9 − 1)/(3 − 1) = 4.

O sinal da taxa média informa sobre o comportamento global no intervalo: positiva se «f» cresce (de «a» para «b»), negativa se decresce, nula se os valores nos extremos coincidem. O seu valor absoluto mede a rapidez média da variação — quanto maior, mais «inclinada» é a secante. É a mesma ideia da velocidade média (espaço percorrido a dividir pelo tempo).

A Fig. 1 mostra «f(x) = x²» e a secante entre «x = 1» e «x = 3». A taxa média é «(f(3) − f(1))/(3 − 1) = (9 − 1)/2 = 8/2 = 4»: em média, «f» aumenta 4 unidades por cada unidade de «x» neste intervalo. Note-se que 4 é o declive da secante desenhada — a interpretação geométrica torna o conceito concreto.

A taxa média depende do intervalo escolhido: a mesma função pode ter taxas médias muito diferentes em intervalos diferentes. Por isso, para descrever o comportamento «num instante» (e não «em média»), precisamos de deixar o intervalo encolher até um único ponto — é o que conduz à taxa instantânea de variação, na secção seguinte.

\text{t.m.v.}_{[a,b]} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

Taxa média de variação

Variação de f a dividir pela variação de x; é o declive da reta secante entre (a, f(a)) e (b, f(b)).

Exemplo resolvido

Taxa média em dois intervalos

Para f(x) = x², calcula a taxa média de variação em [1, 3] e em [2, 4].

Intervalo [1, 3]
(f(3) − f(1))/(3 − 1) = (9 − 1)/2 = 8/2 = 4.
Intervalo [2, 4]
(f(4) − f(2))/(4 − 2) = (16 − 4)/2 = 12/2 = 6.
Interpretação
A taxa é maior em [2, 4] (6 > 4): a parábola «sobe mais depressa» à medida que x aumenta. A taxa média depende do intervalo.

Resultado: t.m.v.[1,3] = 4; t.m.v.[2,4] = 6.

Erros frequentes

Trocar o numerador com o denominador (calcular Δx/Δy em vez de Δy/Δx).
Avaliar f nos extremos errados ou esquecer de subtrair na ordem correta.

Revisão ativa

Para f(x) = x², calcula a taxa média de variação nos intervalos [1, 3] e [2, 4] e interpreta a diferença entre os dois valores.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Taxa instantânea e derivada#

PadrãoAE-matematica-b-11-taxa-variacao-otimizacao

Para descrever a variação «num ponto», calcula-se a taxa média em intervalos «[a, a + h]» cada vez menores e observa-se o valor de que ela se aproxima quando «h» tende para zero. Esse valor-limite é a taxa instantânea de variação de «f» em «a», também chamada derivada de «f» em «a» e denotada «f′(a)». Geometricamente, à medida que o intervalo encolhe, a secante roda até coincidir com a reta tangente ao gráfico no ponto «(a, f(a))»: a derivada é o DECLIVE da tangente (ver Fig. 2).

Derivada como declive da tangente

Fig. 2Fig. 2 — f(x) = x²: a tangente em (2, 4) tem declive f′(2) = 2·2 = 4.

A tangente é a reta que melhor aproxima o gráfico junto ao ponto de tangência. O sinal da derivada indica se a função cresce (tangente com declive positivo) ou decresce (declive negativo) naquele ponto; o seu valor absoluto mede a rapidez instantânea da variação. É a velocidade «no instante», por oposição à velocidade média num intervalo.

Para as funções polinomiais deste programa, a derivada calcula-se com regras simples, sendo a fundamental a da potência: a derivada de «xⁿ» é «n·xⁿ⁻¹». A derivada é linear (a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e as constantes multiplicativas mantêm-se). Assim, a derivada de «f(x) = x²» é «f′(x) = 2x», a de «x³ − 3x» é «3x² − 3», e a de uma constante é «0».

A Fig. 2 mostra «f(x) = x²» e a tangente no ponto «(2, 4)». Como «f′(x) = 2x», o declive da tangente é «f′(2) = 4». Curiosamente, este valor coincide com a taxa média em «[1, 3]» calculada na secção anterior — para uma parábola, a taxa instantânea no ponto médio de um intervalo é igual à taxa média nesse intervalo, uma boa forma de ligar os dois conceitos.

f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

Derivada (taxa instantânea)

Limite da taxa média quando o intervalo encolhe; é o declive da tangente em (a, f(a)).

\left(x^{n}\right)' = n\,x^{n-1}

Regra da potência

Com a linearidade da derivada, permite derivar qualquer função polinomial (por exemplo, (x²)′ = 2x).

Exemplo resolvido

Derivada e reta tangente

Para f(x) = x², determina f′(x), o declive da tangente em x = 2 e a equação dessa tangente.

Derivada
f′(x) = 2x (regra da potência).
Declive em x = 2
f′(2) = 2·2 = 4.
Reta tangente
Passa por (2, 4) com declive 4: y − 4 = 4(x − 2) ⇔ y = 4x − 4.

Resultado: f′(x) = 2x; declive 4 em x = 2; tangente y = 4x − 4.

Erros frequentes

Confundir taxa média (declive da secante, num intervalo) com taxa instantânea (declive da tangente, num ponto).
Errar a regra da potência: a derivada de x³ é 3x², não 3x³ nem x².

Revisão ativa

Para f(x) = x², determina f′(x) e o declive da tangente em x = 2. Escreve a equação da reta tangente nesse ponto.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Monotonia e extremos#

AprofundamentoAE-matematica-b-11-taxa-variacao-otimizacao

O sinal da derivada governa a monotonia da função. Onde «f′(x) > 0», a função é crescente (as tangentes «sobem»); onde «f′(x) < 0», é decrescente. Nos pontos onde a função «vira» — passa de crescente a decrescente ou vice-versa — a tangente é horizontal e a derivada anula-se: «f′(x) = 0». Estes são os candidatos a extremos (máximos e mínimos locais).

Um ponto crítico (onde «f′ = 0») é máximo local se a derivada muda de positiva para negativa (a função sobe e depois desce) e mínimo local se muda de negativa para positiva (desce e depois sobe). Estudar o sinal da derivada num quadro de variação — indicando onde «f′» é positiva, nula ou negativa — resume todo o comportamento da função e localiza os seus extremos com rigor.

A Fig. 3 mostra «f(x) = x³ − 3x», cuja derivada é «f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1)», que se anula em «x = −1» e «x = 1». Para «x < −1», «f′ > 0» (crescente); entre «−1» e «1», «f′ < 0» (decrescente); para «x > 1», «f′ > 0» (crescente). Logo «x = −1» é um máximo local, com «f(−1) = −1 + 3 = 2», e «x = 1» é um mínimo local, com «f(1) = 1 − 3 = −2».

Extremos de f(x) = x³ − 3x

Fig. 3Fig. 3 — f(x) = x³ − 3x: máximo local em (−1, 2) e mínimo local em (1, −2), onde f′(x) = 3x² − 3 muda de sinal.

É importante distinguir extremos locais (relativos) de extremos absolutos (o maior ou menor valor em todo o domínio ou num intervalo dado). Numa função como esta, definida em todo «ℝ», os extremos são apenas locais — a função não tem máximo nem mínimo absolutos, pois cresce sem limite. Em problemas de otimização, restringe-se o domínio ao contexto (comprimentos positivos, por exemplo) e verifica-se também o comportamento nos extremos do intervalo.

f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ crescente}, \qquad f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ decrescente}

Sinal da derivada e monotonia

Nos pontos onde f′ muda de sinal há um extremo: de + para − é máximo; de − para + é mínimo.

Exemplo resolvido

Estudar os extremos de uma cúbica

Para f(x) = x³ − 3x, determina f′(x), os zeros de f′ e classifica os extremos.

Derivada
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
Zeros de f′
f′(x) = 0 ⇔ x = −1 ou x = 1.
Sinal e classificação
f′ > 0 em x < −1, f′ < 0 em ]−1, 1[, f′ > 0 em x > 1. Em x = −1 (+ para −) há máximo; em x = 1 (− para +) há mínimo.
Valores
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2; f(1) = 1 − 3 = −2.

Resultado: Máximo local em (−1, 2) e mínimo local em (1, −2).

Erros frequentes

Concluir que f′(x) = 0 é sempre um extremo, sem verificar a mudança de sinal da derivada.
Confundir extremo local (relativo) com extremo absoluto (global).

Revisão ativa

Para f(x) = x³ − 3x, determina f′(x), os pontos onde f′ se anula e classifica-os como máximo ou mínimo, indicando os valores de f nesses pontos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Problemas de otimização#

AprofundamentoAE-matematica-b-11-taxa-variacao-otimizacao

Otimizar é encontrar o valor de uma variável que torna máxima (ou mínima) uma certa grandeza — a maior área possível, o menor custo, o maior volume. A estratégia é sempre a mesma: exprimir a grandeza a otimizar como função de uma só variável, determinar o domínio adequado ao contexto, derivar, resolver «f′(x) = 0» e verificar (pelo sinal da derivada) que o ponto crítico é de facto o extremo procurado (ver Fig. 4).

Otimização da área de um retângulo

Fig. 4Fig. 4 — Área A(x) = 20x − x² (perímetro 40 m): máximo em x = 10, com A = 100 m² (quadrado 10×10).

O passo mais exigente é a modelação — escrever a função-objetivo. Muitas vezes há duas variáveis ligadas por uma condição (uma restrição), que permite eliminar uma delas. Por exemplo, num retângulo de perímetro fixo «40 m», os lados «x» e «y» satisfazem «2x + 2y = 40», logo «y = 20 − x»; a área «A = x·y = x(20 − x) = 20x − x²» fica função só de «x», com domínio «0 < x < 20» (comprimentos positivos).

A Fig. 4 mostra este modelo «A(x) = 20x − x²», uma parábola de concavidade voltada para baixo. A derivada é «A′(x) = 20 − 2x», que se anula em «x = 10»; como «A′ > 0» antes e «A′ < 0» depois, «x = 10» é um MÁXIMO. A área máxima é «A(10) = 20·10 − 10² = 200 − 100 = 100 m²», obtida quando «y = 20 − 10 = 10», ou seja, quando o retângulo é um quadrado de lado 10 m.

A justificação é parte essencial da resposta, e é muito valorizada no exame: não basta resolver «f′(x) = 0», é preciso mostrar que se trata de um máximo (ou mínimo) — pelo estudo do sinal da derivada ou pela concavidade — e interpretar o resultado no contexto do problema, com as unidades corretas. Uma solução «x = 10» sem a área e sem a justificação fica incompleta.

A(x) = x\,(20 - x) = 20x - x^2, \qquad A'(x) = 20 - 2x

Modelo e derivada

Da restrição 2x + 2y = 40 vem y = 20 − x; A′(x) = 0 dá x = 10, e o sinal de A′ confirma o máximo.

Exemplo resolvido

Recinto retangular de área máxima

Com 40 m de rede, veda-se um recinto retangular. Determina as dimensões de área máxima e essa área, justificando.

Restrição e modelo
Lados x e y com 2x + 2y = 40, logo y = 20 − x. Área A(x) = x(20 − x) = 20x − x², com 0 < x < 20.
Derivar e resolver
A′(x) = 20 − 2x. A′(x) = 0 ⇔ x = 10.
Justificar o máximo
A′ > 0 para x < 10 e A′ < 0 para x > 10: a função cresce e depois decresce, logo x = 10 é máximo (a concavidade da parábola é para baixo).
Dimensões e área
y = 20 − 10 = 10. A = 20·10 − 10² = 100 m². O recinto ótimo é um quadrado de lado 10 m.

Resultado: Área máxima 100 m², com um quadrado de 10 m × 10 m.

Erros frequentes

Apresentar o valor de x que anula a derivada sem justificar que é máximo/mínimo nem calcular o valor ótimo.
Esquecer o domínio do contexto (comprimentos positivos) ou trocar a grandeza a otimizar com a restrição.

Revisão ativa

Pretende-se vedar um recinto retangular com 40 m de rede. Exprime a área em função de um dos lados, determina as dimensões que maximizam a área e o valor da área máxima, justificando.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023)

Taxa de Variação e Otimização

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Taxa de Variação e Otimização

Pontos-chave

Taxa média em dois intervalos

Pontos-chave

Derivada e reta tangente

Pontos-chave

Estudar os extremos de uma cúbica

Pontos-chave

Recinto retangular de área máxima

Fontes

Taxa de Variação e Otimização

Pontos-chave

Taxa média em dois intervalos

Pontos-chave

Derivada e reta tangente

Pontos-chave

Estudar os extremos de uma cúbica

Pontos-chave

Recinto retangular de área máxima

Fontes