Resumos · Matemática BPT · Secundário

Matemática e a Arte

O encontro entre a Matemática e as Artes Visuais: a razão e a proporção (incluindo o número de ouro, tratado com rigor e sem mitos), a semelhança e a escala na representação, a perspetiva linear e a geometria da representação do espaço, e as estruturas geométricas e as simetrias na obra de arte. É um tema identitário do curso de Artes Visuais e integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·141414 / 14

Perfil de exame

Usar razões e proporções na análise de obrasAplicar semelhança e escala a representaçõesInterpretar geometricamente a perspetiva linearReconhecer estruturas geométricas e simetrias na arte

Operadores:calculaaplicainterpretaanalisarelacionajustifica

nível básico

Usar razão, proporção e escala e reconhecer simetrias em figuras e obras.

nível avançado

Analisar a proporção áurea com rigor e a geometria da perspetiva linear por semelhança.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Matemática e a Arte

Razão, proporção e o número de ouro#

PadrãoAE-matematica-b-matematica-arte

Uma razão é o quociente entre duas grandezas («a/b»); uma proporção é a igualdade de duas razões («a/b = c/d»). Estas noções são a base da composição visual: proporções entre as dimensões de um formato, entre as partes de uma figura, entre uma figura e o todo. Trabalhar proporções é comparar multiplicativamente — perguntar «quantas vezes» e não «quanto mais».

Um segmento diz-se dividido na razão de ouro quando a razão entre o todo e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a menor. Chamando «φ» (fi) a essa razão, a condição «(a + b)/a = a/b» traduz-se em «φ = 1 + 1/φ», ou seja «φ² = φ + 1». Resolvendo esta equação do 2.º grau, obtém-se o número de ouro «φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618» — um número irracional, definido de forma puramente matemática (ver Fig. 1).

Retângulo de ouro

Fig. 1Fig. 1 — Retângulo de ouro (lados na razão φ ≈ 1,618): retirando o quadrado, sobra um retângulo semelhante.

A Fig. 1 mostra o retângulo de ouro, cujos lados estão na razão «φ». Tem a propriedade notável de, ao retirar-se-lhe um quadrado sobre o lado menor, sobrar um retângulo semelhante ao inicial (também na razão «φ»); repetindo o processo geram-se as espirais que se associam a este retângulo. É uma construção geométrica exata e elegante, que alguns artistas e designers usaram deliberadamente na composição.

É preciso, porém, honestidade histórica e científica: muitas afirmações de que «o número de ouro está em toda a parte» na natureza, no corpo humano ou nas grandes obras não resistem a uma medição cuidada, e resultam de arredondamentos generosos ou de escolher onde medir. O número de ouro é matematicamente real e interessante, e foi usado intencionalmente por vários criadores; mas a Matemática exige que se distinga o uso comprovado da lenda repetida — analisar uma obra é medir e verificar, não presumir.

\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{a}{b} \ \Rightarrow\ \varphi^2 = \varphi + 1 \ \Rightarrow\ \varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Número de ouro

A condição da razão áurea é uma equação do 2.º grau em φ; a raiz positiva é o número de ouro.

Exemplo resolvido

Deduzir φ e dimensionar um retângulo de ouro

Mostra que (a + b)/a = a/b conduz a φ² = φ + 1, determina φ e calcula o lado maior de um retângulo de ouro de lado menor 5 cm.

Montar a equação
Seja φ = a/b. De (a + b)/a = a/b vem 1 + b/a = φ, isto é 1 + 1/φ = φ. Multiplicando por φ: φ + 1 = φ².
Resolver
φ² − φ − 1 = 0 ⇒ φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 (toma-se a raiz positiva). Verificação: 1,618² ≈ 2,618 = 1,618 + 1 ✓.
Dimensionar
Lado maior = φ · lado menor = 1,618 · 5 ≈ 8,09 cm.

Resultado: φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618; o lado maior é ≈ 8,09 cm.

Erros frequentes

Repetir que o número de ouro «está em toda a parte» sem qualquer medição que o confirme.
Confundir a razão de ouro φ ≈ 1,618 com o seu inverso 1/φ ≈ 0,618 ao montar a proporção.

Revisão ativa

Mostra que a condição da razão de ouro (a + b)/a = a/b conduz a φ² = φ + 1 e determina o valor de φ. Um retângulo de ouro tem lado menor 5 cm: qual é o lado maior?

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Semelhança e escala na representação#

PadrãoAE-matematica-b-matematica-arte

Representar um objeto num desenho é, quase sempre, produzir uma figura semelhante a ele — com a mesma forma e as dimensões todas reduzidas (ou ampliadas) na mesma proporção. Essa proporção é a escala. Uma escala «1:50» significa que «1» unidade no desenho corresponde a «50» unidades na realidade; o desenho é uma redução com razão de semelhança «1/50».

A ampliação e a redução por um centro são casos de homotetia: cada ponto «P» é transformado num ponto «P′» sobre a semirreta de origem no centro «O», com «OP′ = k · OP», onde «k» é a razão. A Fig. 2 mostra uma figura e a sua ampliação com «k = 2» a partir de um centro «O»: os pontos correspondentes alinham-se com o centro, e a figura ampliada é semelhante à original (mesma forma, dobro do tamanho).

Ampliação por homotetia (escala)

Fig. 2Fig. 2 — Homotetia de razão k = 2 a partir de O: a figura ampliada é semelhante à original.

Ao trabalhar com escalas, converte-se entre medidas reais e medidas do desenho por proporção direta. Numa escala «1:50», uma parede real de «6 m = 600 cm» desenha-se com «600 / 50 = 12 cm»; inversamente, «3 cm» no desenho representam «3 × 50 = 150 cm = 1,5 m» na realidade. É crucial manter as mesmas unidades dos dois lados da proporção antes de calcular.

Como visto no tema da semelhança, a escala afeta comprimentos, áreas e volumes de modos diferentes: uma escala «1:50» reduz os comprimentos por «50», mas as áreas por «50² = 2500» e os volumes por «50³». Assim, a área de uma sala no desenho é «2500» vezes menor do que a real — um facto essencial para interpretar plantas e maquetas sem erros grosseiros de dimensionamento.

\text{escala } 1:n \ \Rightarrow\ \text{medida real} = n \times \text{medida no desenho}

Escala

Comprimentos multiplicam por n; áreas por n²; volumes por n³ (mantendo sempre as mesmas unidades).

Exemplo resolvido

Dimensões reais a partir de uma planta

Numa planta à escala 1:50, uma sala mede 12 cm por 8 cm. Determina as dimensões reais e a área real.

Comprimentos reais
Multiplicar por 50: 12 cm → 600 cm = 6 m; 8 cm → 400 cm = 4 m.
Área real
6 m × 4 m = 24 m² (ou: área no desenho 12·8 = 96 cm², × 50² = × 2500 → 240 000 cm² = 24 m²).
Coerência
Os dois métodos coincidem: as áreas reduzem pela escala ao quadrado (50² = 2500).

Resultado: Sala real de 6 m × 4 m; área 24 m².

Erros frequentes

Misturar unidades (m e cm) na proporção da escala antes de calcular.
Aplicar a escala dos comprimentos às áreas (esquecer que a área reduz por k²).

Revisão ativa

Numa planta à escala 1:50, uma sala é um retângulo de 12 cm por 8 cm no desenho. Determina as dimensões reais e a área real da sala.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Perspetiva linear#

AprofundamentoAE-matematica-b-matematica-arte

A perspetiva linear (ou cónica) é o sistema geométrico que representa o espaço tridimensional numa superfície plana tal como o olho o vê. Assenta em dois elementos: a linha do horizonte, à altura dos olhos do observador, e os pontos de fuga sobre ela, para onde convergem as retas que, no espaço real, são paralelas e se afastam do observador (ver Fig. 3).

Perspetiva com ponto de fuga

Fig. 3Fig. 3 — Perspetiva linear: as arestas paralelas em profundidade convergem para o ponto de fuga na linha do horizonte.

A regra fundamental é que retas paralelas em profundidade parecem convergir para um único ponto de fuga no horizonte — como os carris de uma linha férrea que se «juntam» ao longe. Retas paralelas à linha do horizonte (horizontais frontais) permanecem paralelas no desenho; retas verticais permanecem verticais. É esta geometria da convergência que cria a ilusão de profundidade.

A Fig. 3 mostra um pavimento em perspetiva: a aresta próxima (à frente, maior) e a aresta afastada (ao fundo, menor) do mesmo retângulo real, com as arestas laterais a convergirem para o ponto de fuga sobre a linha do horizonte. Objetos iguais parecem tanto menores quanto mais afastados, e igualmente espaçados no real aparecem cada vez mais juntos no desenho — consequências diretas da projeção cónica.

A base matemática da perspetiva é a semelhança de triângulos. A imagem de um objeto de altura «H», a uma distância «D» do olho, sobre um plano do quadro à distância «d», tem altura «h = H · d/D»: a altura aparente é inversamente proporcional à distância. É por isto que duplicar a distância reduz a metade a altura aparente — a Matemática explica, com rigor, o que o desenho representa por intuição.

h = H\,\dfrac{d}{D}

Altura aparente (semelhança)

Altura da imagem de um objeto de altura H à distância D, num plano do quadro à distância d; inversamente proporcional a D.

Exemplo resolvido

Altura aparente e distância

Dois postes de 2 m estão a 10 m e a 20 m do olho. No plano do quadro a 1 m, determina as alturas aparentes e comenta.

Poste a 10 m
h = H·d/D = 2·1/10 = 0,2 m = 20 cm.
Poste a 20 m
h = 2·1/20 = 0,1 m = 10 cm.
Comentário
Ao duplicar a distância (10 → 20 m), a altura aparente reduz-se a metade (20 → 10 cm): a altura aparente é inversamente proporcional à distância.

Resultado: Alturas aparentes 20 cm (a 10 m) e 10 cm (a 20 m); ao dobrar a distância, a altura aparente reduz-se a metade.

Erros frequentes

Fazer convergir para o ponto de fuga retas que, no real, são paralelas ao plano do quadro (essas mantêm-se paralelas).
Supor que a altura aparente diminui proporcionalmente à distância de forma linear simples — é inversamente proporcional (h = H·d/D).

Revisão ativa

Dois postes reais têm 2 m de altura. Sobre um plano do quadro a 1 m do olho, determina a altura aparente de um poste a 10 m e de outro a 20 m, e comenta o resultado.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Geometria e simetria na arte#

PadrãoAE-matematica-b-matematica-arte

A geometria estrutura grande parte da produção artística e decorativa: as proporções de um formato, a malha que organiza uma composição, os polígonos e circunferências que constroem um traçado, e sobretudo as simetrias que ordenam padrões. Analisar uma obra do ponto de vista geométrico é identificar estas estruturas — as linhas de força, os eixos, os centros, as figuras de base.

As simetrias, estudadas no tema dos padrões, reaparecem aqui aplicadas à arte real: as rosáceas das rosáceas (vitrais) góticas, os frisos das cercaduras e das gregas, as pavimentações da azulejaria portuguesa e da arte islâmica. Reconhecer numa obra os tipos de simetria — reflexão, rotação, translação — e classificá-la (rosácea cíclica ou diedral, tipo de friso) é uma leitura geométrica rigorosa da composição (ver Fig. 4).

Rosácea de simetria diedral D₈

Fig. 4Fig. 4 — Rosácea de 8 pétalas iguais: simetria de rotação de ordem 8 (rotação mínima 45°) e 8 eixos — simetria diedral D₈.

A Fig. 4 esquematiza uma rosácea de oito pétalas iguais, como as de muitas rosáceas de vitral. Tem simetria de rotação de ordem 8 (coincide consigo mesma ao rodar «360°/8 = 45°») e oito eixos de reflexão que passam pelo centro: é uma figura de simetria diedral «D₈». Contar as pétalas e os eixos, e determinar o ângulo mínimo de rotação, é analisar a sua estrutura de simetria com precisão.

A azulejaria portuguesa é um caso exemplar da Matemática na arte nacional: os seus padrões são pavimentações e frisos construídos por repetição de um módulo através de isometrias, e a sua análise combina a geometria dos polígonos com a teoria das simetrias. Este olhar — que vê na obra a estrutura matemática subjacente — é precisamente o que a disciplina de Matemática B desenvolve nos alunos de Artes Visuais, unindo o rigor do cálculo à sensibilidade da composição.

\text{ângulo mínimo de rotação} = \dfrac{360^{\circ}}{n}

Simetria de rotação de ordem n

Uma rosácea de ordem n coincide consigo mesma ao rodar 360°/n; se tiver também n eixos de reflexão, a simetria é diedral Dₙ.

Exemplo resolvido

Analisar a simetria de uma rosácea

Uma rosácea tem 8 pétalas iguais e 8 eixos de simetria. Indica a ordem de rotação, o ângulo mínimo de rotação e o tipo de simetria.

Ordem de rotação
As 8 pétalas iguais dão simetria de rotação de ordem 8: a figura repete-se 8 vezes numa volta.
Ângulo mínimo
360° / 8 = 45°: rodando 45° (e os seus múltiplos), a rosácea coincide consigo mesma.
Tipo de simetria
Tem rotações E 8 eixos de reflexão, logo é diedral: D₈.

Resultado: Ordem de rotação 8; ângulo mínimo 45°; simetria diedral D₈.

Erros frequentes

Contar mal os eixos de simetria ou a ordem de rotação de um motivo.
Chamar rosácea a um padrão que, por se repetir numa faixa por translação, é na verdade um friso.

Revisão ativa

Uma rosácea de vitral tem oito pétalas iguais e oito eixos de simetria. Indica a ordem da simetria de rotação, o ângulo mínimo de rotação e o tipo de simetria (cíclica ou diedral).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023)

Matemática e a Arte

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

Matemática e a Arte

Pontos-chave

Deduzir φ e dimensionar um retângulo de ouro

Pontos-chave

Dimensões reais a partir de uma planta

Pontos-chave

Altura aparente e distância

Pontos-chave

Analisar a simetria de uma rosácea

Fontes

Matemática e a Arte

Pontos-chave

Deduzir φ e dimensionar um retângulo de ouro

Pontos-chave

Dimensões reais a partir de uma planta

Pontos-chave

Altura aparente e distância

Pontos-chave

Analisar a simetria de uma rosácea

Fontes