EuraStudy
Resumos/Matemática B/Geometria Analítica no espaço
Resumos · Matemática BPT · Secundário

Geometria Analítica no espaço

Estende-se a geometria analítica à terceira dimensão. Estudam-se o referencial cartesiano no espaço, a distância e o ponto médio em 3D, os planos coordenados e os planos paralelos a eles, a superfície esférica e a esfera, e os conjuntos de pontos definidos por condições no espaço. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~12 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0777 / 14
Perfil de exame
Representar pontos e calcular distâncias no espaçoEscrever equações de planos paralelos aos planos coordenadosEscrever a equação da superfície esféricaDefinir sólidos e regiões por condições no espaço
Operadores:representacalculaescrevedeterminaidentificajustifica

nível básico

Calcular distâncias e pontos médios no espaço e escrever equações de planos e da superfície esférica.

nível avançado

Definir sólidos e regiões do espaço por conjunções de condições.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

Texto

Tamanho do texto: Padrão

Conteúdo · 4 secções▾
  1. Geometria Analítica no espaço
    • 01Referencial, distância e ponto médio no espaço◐
    • 02Planos paralelos aos planos coordenados◐
    • 03Superfície esférica e esfera◐
    • 04Conjuntos de pontos definidos por condições no espaço●
§ 01

Referencial, distância e ponto médio no espaço#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-11-geometria-analitica-espaco

Pontos-chave

No espaço, um referencial cartesiano tem três eixos «Ox», «Oy» e «Oz», perpendiculares dois a dois e com a mesma origem. Cada ponto fica identificado por um terno ordenado de coordenadas «(x, y, z)». Os três eixos definem três planos coordenados — «xOy», «xOz» e «yOz» — que dividem o espaço em oito regiões (octantes). Representar corretamente um ponto num esquema em perspetiva é o primeiro passo do tema (ver Fig. 1).

Um ponto no referencial do espaço

Ponto no espaçoFigura geométrica (3D), O, P(4, 3, 2)OP(4, 3, 2)x1x2x3
Fig. 1Fig. 1 — P(4, 3, 2) e o paralelepípedo de referência: d(O, P) = √29 ≈ 5,39 é a diagonal espacial.
A distância entre «A(x₁, y₁, z₁)» e «B(x₂, y₂, z₂)» generaliza a fórmula do plano, acrescentando a diferença na terceira coordenada: «d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)». A dedução é a mesma — o teorema de Pitágoras, aplicado agora duas vezes (uma no plano da base, outra na vertical). É a ferramenta para calcular comprimentos de arestas, diagonais e distâncias no espaço.
O ponto médio de «[AB]» é, tal como no plano, a média das coordenadas dos extremos, agora nas três: «M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)». Serve para localizar centros de sólidos, pontos de simetria e centros de esferas definidas por um diâmetro.
A Fig. 1 mostra o ponto «P(4, 3, 2)» no referencial, com o paralelepípedo de referência que ajuda a «ler» as três coordenadas a partir da origem. A distância da origem a «P» é «d(O, P) = √(4² + 3² + 2²) = √(16 + 9 + 4) = √29 ≈ 5,39» — precisamente o comprimento da diagonal espacial do paralelepípedo de arestas 4, 3 e 2. Visualizar a coordenada como um deslocamento em cada eixo evita muitos erros de sinal.
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}d(A,B)=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

Distância no espaço

Generaliza a fórmula do plano acrescentando a diferença na coordenada z (Pitágoras aplicado duas vezes).

M=(x1+x22, y1+y22, z1+z22)M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2},\ \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)M=(2x1​+x2​​, 2y1​+y2​​, 2z1​+z2​​)

Ponto médio no espaço

Média das três coordenadas dos extremos do segmento.

Exemplo resolvido

Distância e ponto médio no espaço

Dados A(1, 0, 2) e B(4, 4, 2), calcula d(A, B) e o ponto médio M de [AB].

  1. 01Distância

    d(A, B) = √((4 − 1)² + (4 − 0)² + (2 − 2)²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

  2. 02Ponto médio

    M = ((1 + 4)/2, (0 + 4)/2, (2 + 2)/2) = (2,5; 2; 2).

  3. 03Observação

    Como z é igual (2) em A e B, o segmento é paralelo ao plano xOy (horizontal).

Resultado: d(A, B) = 5; M(2,5; 2; 2); segmento paralelo a xOy.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular a distância entre dois pontos e o ponto médio de um segmento no espaço.
  • Interpretar a diagonal espacial de um paralelepípedo como distância entre dois vértices.

Erros frequentes

  • Esquecer o termo em z na fórmula da distância (usar a fórmula do plano no espaço).
  • Trocar a ordem dos eixos ao representar um ponto (ler (x, y, z) como (x, z, y)).

Revisão ativa

Dados A(1, 0, 2) e B(4, 4, 2), calcula d(A, B) e o ponto médio M de [AB]. Verifica em que plano coordenado é paralelo o segmento (repara nas coordenadas iguais).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Planos paralelos aos planos coordenados#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-11-geometria-analitica-espaco

Pontos-chave

Os três planos coordenados têm equações simples, porque cada um é o conjunto dos pontos com uma coordenada nula: o plano «xOy» é «z = 0» (todos os pontos de cota zero), o plano «xOz» é «y = 0» e o plano «yOz» é «x = 0». Estas equações traduzem a ideia de que «estar no plano xOy» é «ter cota z igual a 0», seja qual for «x» e «y».
Um plano paralelo a um plano coordenado obtém-se fixando a coordenada correspondente num valor constante «k». Assim, «z = k» é o plano horizontal à altura «k» (paralelo a «xOy»); «x = k» é um plano vertical paralelo a «yOz»; «y = k» um plano vertical paralelo a «xOz» (ver Fig. 2). Nestes planos, uma coordenada é fixa e as outras duas variam livremente.

Planos coordenados e planos paralelos

Planos no espaçoTabela com 3 colunas e 5 linhas, Dados: Plano · Equação · Descrição; xOy · z = 0 · plano horizontal; contém Ox e Oy; xOz · y = 0 · plano vertical; contém Ox e Oz; yOz · x = 0 · plano vertical; contém Oy e Oz; Paralelo a xOy · z = k · horizontal, à altura k; Paralelo a yOz · x = k · vertical, à abcissa kPLANOEQUAÇÃODESCRIÇÃOXOYz = 0plano horizontal; contém Oxe OyXOZy = 0plano vertical; contém Ox eOzYOZx = 0plano vertical; contém Oy eOzPARALELO A XOYz = khorizontal, à altura kPARALELO A YOZx = kvertical, à abcissa k
Fig. 2Fig. 2 — Equações dos planos coordenados e dos planos paralelos a eles.
Estas equações permitem descrever faces de sólidos e fatiar o espaço. Por exemplo, as seis faces de um paralelepípedo de arestas paralelas aos eixos são planos do tipo «x = k», «y = k» e «z = k». O plano mediador de um segmento «[AB]» — o conjunto dos pontos equidistantes de «A» e «B» — é o análogo espacial da mediatriz, e quando «[AB]» é paralelo a um eixo resulta num plano do tipo «coordenada = constante».
A Fig. 2 sistematiza as equações dos planos coordenados e dos planos que lhes são paralelos, com a respetiva descrição geométrica. Dominar esta correspondência entre equação e posição é indispensável para o passo seguinte — definir regiões e sólidos por condições — e para interpretar figuras em perspetiva, uma competência muito útil no desenho técnico e nas Artes Visuais.
xOy: z=0,xOz: y=0,yOz: x=0xOy:\ z = 0, \quad xOz:\ y = 0, \quad yOz:\ x = 0xOy: z=0,xOz: y=0,yOz: x=0

Planos coordenados

Cada plano coordenado é o conjunto dos pontos com uma coordenada nula.

Exemplo resolvido

Equações de planos por um ponto

Escreve a equação do plano horizontal por P(2, −1, 5) e a do plano paralelo a yOz por P.

  1. 01Plano horizontal

    Um plano horizontal é paralelo a xOy: tem equação z = k. Como passa por P (cota 5), é z = 5.

  2. 02Plano paralelo a yOz

    Um plano paralelo a yOz tem equação x = k. Como passa por P (abcissa 2), é x = 2.

Resultado: Plano horizontal: z = 5. Plano paralelo a yOz: x = 2.

Foco no Exame Nacional

  • Escrever a equação de um plano coordenado ou paralelo a um plano coordenado.
  • Associar uma equação do tipo «coordenada = constante» à posição do plano no espaço.

Erros frequentes

  • Confundir o plano «z = 0» (o plano xOy) com o eixo Oz (a reta x = 0 ∧ y = 0).
  • Trocar qual coordenada se fixa: «z = k» é horizontal, não vertical.

Revisão ativa

Escreve a equação do plano horizontal que passa pelo ponto P(2, −1, 5) e a do plano paralelo a yOz que passa pelo mesmo ponto.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Superfície esférica e esfera#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-11-geometria-analitica-espaco

Pontos-chave

A superfície esférica é o conjunto dos pontos do espaço que estão a uma distância fixa «r» (o raio) de um ponto fixo «C» (o centro) — o análogo tridimensional da circunferência. Impondo «d(P, C) = r» e elevando ao quadrado, obtém-se a equação da superfície esférica de centro «C(a, b, c)» e raio «r»: «(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²».
A leitura é imediata, tal como no plano: o centro lê-se nos valores que anulam cada parêntese e o raio é a raiz quadrada do segundo membro. A esfera (o sólido cheio) é a região «(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² ≤ r²», enquanto a igualdade define apenas a casca (a superfície). É a mesma distinção entre circunferência e círculo, agora no espaço.
Quando se corta uma superfície esférica por um plano que passa pelo centro, obtém-se um círculo máximo de raio igual ao da esfera; cortando por um plano que não passa pelo centro, obtém-se um círculo menor. A Fig. 3 representa a secção da superfície esférica de centro «C(1, 2, 1)» e raio «3» pelo plano que contém o centro: um círculo de centro «(1, 2)» e raio «3», que ajuda a «ver» a esfera a partir de uma das suas secções.

Secção de uma superfície esférica pelo centro

Secção da superfície esféricaGráfico de círculo máximo (r = 3), máximo em (1, 5), ordenada na origem y = 4.828, no intervalo x de -2 a 4, Gráfico, zeros em x = -1.236, 3.236, mínimo em (1, -1), ordenada na origem y = -0.828, no intervalo x de -2 a 4−3−2−112345−2−1123456C(1, 2)círculo máximo(r = 3)yx
Fig. 3Fig. 3 — Círculo máximo (raio 3) da superfície esférica de centro C(1, 2, 1): secção pelo plano que passa no centro.
Muitos problemas partem de dados equivalentes à distância. Conhecidos o centro e um ponto da superfície, o raio é a distância entre eles; conhecidos os extremos de um diâmetro, o centro é o ponto médio e o raio é metade da distância entre eles. Como a prova não inclui formulário, convém reconhecer de imediato a estrutura «(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²» e saber extrair dela o centro e o raio.
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

Superfície esférica de centro (a, b, c) e raio r

Conjunto dos pontos à distância r do centro C; com ≤ obtém-se a esfera (sólido).

Exemplo resolvido

Superfície esférica por centro e ponto

Escreve a equação da superfície esférica de centro C(1, 2, 1) que passa por P(3, 4, 3), e a condição da esfera.

  1. 01Raio

    r = d(C, P) = √((3 − 1)² + (4 − 2)² + (3 − 1)²) = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3.

  2. 02Equação da superfície

    (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = (2√3)² = 12.

  3. 03Esfera

    O sólido é (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² ≤ 12.

Resultado: Superfície: (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 12; esfera: … ≤ 12.

Foco no Exame Nacional

  • Escrever e interpretar a equação da superfície esférica (centro e raio).
  • Determinar a equação a partir do centro e de um ponto, ou dos extremos de um diâmetro.

Erros frequentes

  • Confundir superfície esférica (a casca, =) com esfera (o sólido, ≤).
  • Esquecer de elevar o raio ao quadrado no segundo membro da equação.

Revisão ativa

Escreve a equação da superfície esférica de centro C(1, 2, 1) que passa pelo ponto P(3, 4, 3). Indica também a condição que define a esfera (sólido).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Conjuntos de pontos definidos por condições no espaço#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-b-11-geometria-analitica-espaco

Pontos-chave

Tal como no plano, uma condição sobre «(x, y, z)» define um conjunto de pontos do espaço. Uma igualdade envolvendo as três variáveis define, em geral, uma superfície (o plano «z = k», a superfície esférica); uma desigualdade define uma região sólida (um semiespaço, uma esfera cheia). Combinando condições com «e» e «ou», descrevem-se sólidos e regiões cada vez mais ricos.
As desigualdades com uma só coordenada definem semiespaços e «lajes». Por exemplo, «z ≥ 0» é o semiespaço acima do plano «xOy»; «0 ≤ z ≤ 2» é a laje horizontal entre os planos «z = 0» e «z = 2». Intersetar («e») três lajes, uma por eixo, define um paralelepípedo: «0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∧ 0 ≤ z ≤ 2» é exatamente a caixa da Fig. 4.

Paralelepípedo definido por condições

Região por condiçõesFigura geométrica (3D), OOx1x2x3
Fig. 4Fig. 4 — Sólido definido por 0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∧ 0 ≤ z ≤ 2: um paralelepípedo de arestas 4, 3 e 2.
A Fig. 4 mostra o sólido definido pela conjunção «0 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∧ 0 ≤ z ≤ 2»: um paralelepípedo retângulo com um vértice na origem e arestas 4, 3 e 2 ao longo dos eixos. Cada desigualdade «corta» o espaço com um plano e fica-se com o lado indicado; a conjunção das seis desigualdades (duas por eixo) fecha o sólido. Trocar «e» por «ou» daria, em vez da caixa, a reunião das três lajes.
Condicionar com a superfície esférica define bolas e cascas: «(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² ≤ r²» é a esfera cheia; a conjunção de duas superfícies esféricas concêntricas de raios diferentes define uma coroa esférica (a região entre as duas cascas). O método é sempre o mesmo: identificar a que superfície corresponde cada igualdade, decidir o lado de cada desigualdade e intersetar (e) ou reunir (ou) as regiões.
0≤x≤4 ∧ 0≤y≤3 ∧ 0≤z≤20 \le x \le 4 \ \wedge\ 0 \le y \le 3 \ \wedge\ 0 \le z \le 20≤x≤4 ∧ 0≤y≤3 ∧ 0≤z≤2

Paralelepípedo por condições

A conjunção («e») de três «lajes», uma por eixo, define um paralelepípedo com um vértice na origem.

Exemplo resolvido

Definir sólidos e regiões por condições

Escreve a condição do cubo de aresta 3 com um vértice na origem e arestas nos semieixos positivos, e descreve a região 1 ≤ x² + y² + z² ≤ 9.

  1. 01Cubo

    Cada aresta tem comprimento 3 ao longo de um eixo: 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∧ 0 ≤ z ≤ 3.

  2. 02Interpretar a coroa

    x² + y² + z² = r² é uma superfície esférica de centro O. A condição 1 ≤ x² + y² + z² ≤ 9 fica entre os raios √1 = 1 e √9 = 3.

  3. 03Descrição

    É uma coroa esférica de centro O: a região entre as esferas de raio 1 e de raio 3 (inclusive).

Resultado: Cubo: 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∧ 0 ≤ z ≤ 3. A segunda condição é a coroa esférica de centro O entre os raios 1 e 3.

Foco no Exame Nacional

  • Traduzir condições em regiões e sólidos do espaço e vice-versa.
  • Definir um paralelepípedo, uma esfera ou uma laje por conjunção de condições.

Erros frequentes

  • Trocar «e» (interseção, fecha o sólido) por «ou» (reunião, abre a região).
  • Definir um paralelepípedo com apenas três desigualdades, esquecendo os limites inferiores (ou superiores).

Revisão ativa

Escreve a condição que define o cubo de aresta 3 com um vértice na origem e arestas ao longo dos semieixos positivos. Descreve depois a região definida por 1 ≤ x² + y² + z² ≤ 9.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Referencial, distância e ponto médio no espaço◐
    • 02Planos paralelos aos planos coordenados◐
    • 03Superfície esférica e esfera◐
    • 04Conjuntos de pontos definidos por condições no espaço●

0/4 Lidos

Dos resumos à prática

Geometria Analítica no espaço

Consolida este tema com perguntas do banco de perguntas.

~12
min
4
Competências
Praticar

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 11.º ano (Despacho 702/2023)

Tópico anterior

Geometria Analítica no plano

Tópico seguinte

Trigonometria e resolução de problemas métricos

EuraStudy·Resumos T·07·MMXXVI

Continua com o tópico seguinte: o teu percurso é mantido.