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Resumos/Matemática B/Geometria Analítica no plano
Resumos · Matemática BPT · Secundário

Geometria Analítica no plano

A geometria analítica traduz a geometria em álgebra: pontos passam a pares de coordenadas e figuras passam a equações. Estudam-se a distância e o ponto médio, a reta (declive, equações, paralelismo e perpendicularidade), a circunferência e o círculo, e os conjuntos de pontos definidos por condições. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~12 min de leitura·4 competências·Nível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0666 / 14
Perfil de exame
Calcular distâncias e pontos médios no planoEscrever e interpretar equações de retasEscrever a equação da circunferência e definir o círculoDefinir regiões do plano por condições analíticas
Operadores:calculadeterminaescreveidentificajustificarepresenta

nível básico

Calcular distâncias e pontos médios e escrever equações de retas e da circunferência.

nível avançado

Definir e representar regiões do plano por conjunções e disjunções de condições.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Geometria Analítica no plano
    • 01Distância e ponto médio○
    • 02A reta no plano◐
    • 03Circunferência e círculo◐
    • 04Conjuntos de pontos definidos por condições●
§ 01

Distância e ponto médio#

●○○BaseLPAE-matematica-b-geometria-analitica-plano

Pontos-chave

Fixado um referencial cartesiano, cada ponto do plano fica identificado por um par ordenado de coordenadas «(x, y)». A geometria analítica assenta nesta ideia: problemas geométricos convertem-se em cálculos com coordenadas, mais sistemáticos e menos dependentes de figuras rigorosas. As duas primeiras ferramentas são a distância entre dois pontos e o ponto médio de um segmento.
A distância entre «A(x₁, y₁)» e «B(x₂, y₂)» obtém-se do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças de coordenadas: «d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)». O quadrado das diferenças elimina o sinal, pelo que a ordem dos pontos é indiferente. Esta fórmula é também a base da equação da circunferência, que veremos adiante.
O ponto médio «M» de «[AB]» é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais; as suas coordenadas são a média das coordenadas dos extremos: «M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)». É um resultado intuitivo — o ponto médio está «a meio» em cada direção — mas de uso constante: centros de figuras, pontos de simetria, verificação de paralelogramos.
A Fig. 1 ilustra ambos sobre «A(−1, 2)» e «B(3, 4)». A distância é «d(A, B) = √((3 − (−1))² + (4 − 2)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 ≈ 4,47»; o ponto médio é «M(1, 3)». Note-se que a distância se mantém exata na forma «2√5», e só se aproxima por dízima quando o contexto o exige — o rigor pede que se conserve o valor exato até ao fim.

Distância e ponto médio no referencial

Distância e ponto médioFigura geométrica, A(−1, 2), B(3, 4), M(1, 3)A(−1, 2)B(3, 4)M(1, 3)x1x2
Fig. 1Fig. 1 — A(−1, 2) e B(3, 4): distância 2√5 ≈ 4,47 e ponto médio M(1, 3).
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}d(A,B)=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​

Distância entre dois pontos

Decorre do teorema de Pitágoras; a ordem dos pontos é indiferente porque as diferenças estão ao quadrado.

M=(x1+x22, y1+y22)M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)M=(2x1​+x2​​, 2y1​+y2​​)

Ponto médio

Média das coordenadas dos extremos do segmento.

Exemplo resolvido

Distância e ponto médio

Dados A(−1, 2) e B(3, 4), calcula d(A, B) e o ponto médio M de [AB].

  1. 01Distância

    d(A, B) = √((3 − (−1))² + (4 − 2)²) = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 ≈ 4,47.

  2. 02Ponto médio

    M = ((−1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2/2, 6/2) = (1, 3).

Resultado: d(A, B) = 2√5 ≈ 4,47; M(1, 3).

Foco no Exame Nacional

  • Calcular a distância entre dois pontos e o ponto médio de um segmento.
  • Usar a distância para verificar igualdades de comprimentos (por exemplo, num triângulo isósceles).

Erros frequentes

  • Somar as coordenadas em vez das suas diferenças na fórmula da distância.
  • Calcular o ponto médio subtraindo (em vez de somando) as coordenadas antes de dividir por 2.

Revisão ativa

Dados A(−1, 2) e B(3, 4), calcula d(A, B) e o ponto médio M de [AB]. Verifica ainda se o ponto C(1, 3) coincide com M.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

A reta no plano#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-geometria-analitica-plano

Pontos-chave

A equação reduzida da reta é «y = mx + b», em que «m» é o declive e «b» a ordenada na origem (o valor de «y» onde a reta corta «Oy»). O declive mede a inclinação — a variação de «y» por unidade de «x» — e calcula-se, a partir de dois pontos, por «m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)». As retas verticais não têm declive e escrevem-se «x = k».
O declive resume o comportamento da reta: positivo (a reta sobe da esquerda para a direita), negativo (desce), nulo (horizontal). Duas retas não verticais são paralelas se e só se têm o mesmo declive («m₁ = m₂») e são perpendiculares se e só se o produto dos declives é «−1» («m₁ · m₂ = −1»), ou seja, cada declive é o simétrico do inverso do outro (ver Fig. 2).

Retas perpendiculares

Retas perpendicularesGráfico de r: y = 2x − 1, zeros em x = 0.5, ordenada na origem y = -1, crescente, no intervalo x de -2 a 5, Gráfico de t: y = −0,5x + 3, ordenada na origem y = 3, decrescente, no intervalo x de -2 a 5−2−112345−4−2246(1,6; 2,2)r: y = 2x − 1t: y = −0,5x + 3yx
Fig. 2Fig. 2 — r: y = 2x − 1 e t: y = −0,5x + 3, perpendiculares (2 × (−0,5) = −1); interseção em (1,6; 2,2).
Para escrever a equação de uma reta bastam um ponto e o declive: de «y − y₀ = m(x − x₀)» obtém-se de imediato a equação reduzida. Se forem dados dois pontos, calcula-se primeiro o declive e usa-se um deles. Estas construções resolvem os problemas típicos: reta por dois pontos, reta paralela ou perpendicular a outra passando por um ponto dado, e interseção de duas retas (resolvendo o sistema das suas equações).
A Fig. 2 mostra «r: y = 2x − 1» e «t: y = −0,5x + 3», perpendicular a «r» porque «2 × (−0,5) = −1». O ponto de interseção resolve «2x − 1 = −0,5x + 3», donde «2,5x = 4», «x = 1,6» e «y = 2,2». A geometria analítica converte assim paralelismo, perpendicularidade e interseção em simples manipulação algébrica de equações.
m=y2−y1x2−x1m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}m=x2​−x1​y2​−y1​​

Declive por dois pontos

Variação de y por unidade de x; define a inclinação da reta.

r∥s⇔mr=ms,r⊥s⇔mr⋅ms=−1r \parallel s \Leftrightarrow m_r = m_s, \qquad r \perp s \Leftrightarrow m_r \cdot m_s = -1r∥s⇔mr​=ms​,r⊥s⇔mr​⋅ms​=−1

Paralelismo e perpendicularidade

Condições sobre os declives, válidas para retas não verticais.

Exemplo resolvido

Reta perpendicular e interseção

Escreve a equação da reta s que passa por P(1, 2) e é perpendicular a r: y = 2x − 1, e determina a interseção de r e s.

  1. 01Declive de s

    Como s ⊥ r e m_r = 2, tem-se m_s = −1/2 (pois 2·(−1/2) = −1).

  2. 02Equação de s

    y − 2 = −1/2·(x − 1) ⇔ y = −0,5x + 0,5 + 2 = −0,5x + 2,5.

  3. 03Interseção

    2x − 1 = −0,5x + 2,5 ⇔ 2,5x = 3,5 ⇔ x = 1,4; y = 2·1,4 − 1 = 1,8.

Resultado: s: y = −0,5x + 2,5; interseção em (1,4; 1,8).

Foco no Exame Nacional

  • Escrever a equação de uma reta a partir de um ponto e do declive ou de dois pontos.
  • Decidir o paralelismo/perpendicularidade e determinar a interseção de duas retas.

Erros frequentes

  • Calcular o declive com as diferenças trocadas (Δx/Δy em vez de Δy/Δx).
  • Usar m₁ = m₂ para a perpendicularidade (a condição é m₁ · m₂ = −1).

Revisão ativa

Escreve a equação da reta que passa por P(1, 2) e é perpendicular à reta y = 2x − 1, e determina o ponto de interseção das duas retas.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Circunferência e círculo#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-geometria-analitica-plano

Pontos-chave

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância fixa «r» (o raio) de um ponto fixo «C» (o centro). Aplicando a fórmula da distância à condição «d(P, C) = r» e elevando ao quadrado, obtém-se a equação reduzida da circunferência de centro «C(a, b)» e raio «r»: «(x − a)² + (y − b)² = r²».
A leitura da equação é imediata: o centro lê-se nos valores que anulam cada parêntese e o raio é a raiz quadrada do segundo membro. Assim, «(x − 1)² + (y − 2)² = 4» tem centro «C(1, 2)» e raio «r = √4 = 2» (ver Fig. 3). Atenção aos sinais: «(x + 3)²» corresponde a «(x − (−3))²», logo à abcissa «−3» do centro.

Circunferência (x − 1)² + (y − 2)² = 4

CircunferênciaGráfico de (x−1)² + (y−2)² = 4, máximo em (1, 4), ordenada na origem y = 3.732, no intervalo x de -1 a 3, Gráfico, zeros em x = 1, mínimo em (1, 0), ordenada na origem y = 0.268, no intervalo x de -1 a 3−2−11234−112345C(1, 2)(x−1)² + (y−2)² = 4yx
Fig. 3Fig. 3 — Circunferência de centro C(1, 2) e raio 2: (x − 1)² + (y − 2)² = 4.
Substituindo a igualdade por uma desigualdade, descrevem-se regiões. A condição «(x − a)² + (y − b)² ≤ r²» define o círculo (o disco cheio, incluindo a fronteira); «< r²» dá o círculo aberto (sem a fronteira); e «> r²» dá o exterior da circunferência. Distinguir circunferência (a linha) de círculo (a região) é essencial para responder corretamente ao que é pedido.
A Fig. 3 representa a circunferência «(x − 1)² + (y − 2)² = 4», com o centro «C(1, 2)» assinalado e o ponto «(1, 4)» sobre a linha (a «2» unidades do centro, na vertical). Muitos problemas partem daqui: determinar a equação conhecidos o centro e um ponto (o raio é a distância entre eles), ou reconhecer o centro e o raio a partir de uma equação dada. A circunferência é também a base de decorações e rosáceas, ligando este tema à Matemática na Arte.
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2

Circunferência de centro (a, b) e raio r

Lugar geométrico dos pontos à distância r do centro C(a, b).

(x−a)2+(y−b)2≤r2(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2(x−a)2+(y−b)2≤r2

Círculo (disco fechado)

A região dentro da circunferência, incluindo a fronteira; com < obtém-se o círculo aberto e com > o exterior.

Exemplo resolvido

Equação da circunferência por centro e ponto

Escreve a equação da circunferência de centro C(1, 2) que passa por P(4, 6) e a condição do círculo correspondente.

  1. 01Raio

    r = d(C, P) = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

  2. 02Equação da circunferência

    (x − 1)² + (y − 2)² = 5² = 25.

  3. 03Círculo

    A região correspondente (disco fechado) é (x − 1)² + (y − 2)² ≤ 25.

Resultado: Circunferência: (x − 1)² + (y − 2)² = 25; círculo: (x − 1)² + (y − 2)² ≤ 25.

Foco no Exame Nacional

  • Escrever e interpretar a equação reduzida da circunferência (centro e raio).
  • Distinguir circunferência (=), círculo fechado (≤) e exterior (>) por condições.

Erros frequentes

  • Trocar o sinal das coordenadas do centro: (x + 3)² corresponde à abcissa −3, não +3.
  • Confundir circunferência (a linha, =) com círculo (a região, ≤) ao responder.

Revisão ativa

Escreve a equação da circunferência de centro C(1, 2) que passa pelo ponto P(4, 6). Em seguida, escreve a condição que define o círculo (região) correspondente.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Conjuntos de pontos definidos por condições#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-b-geometria-analitica-plano

Pontos-chave

Uma condição sobre «(x, y)» define um conjunto de pontos do plano — o conjunto dos pontos que a verificam. Uma igualdade define uma linha (a reta «y = mx + b», a circunferência); uma desigualdade define uma região (um semiplano, um círculo). Traduzir entre a linguagem verbal, a condição analítica e a representação gráfica é o núcleo deste tema.
Uma reta divide o plano em dois semiplanos. A condição «y ≥ mx + b» define o semiplano acima da reta (incluindo-a); «y < mx + b» o semiplano estritamente abaixo. Combinando condições com «e» (conjunção, interseção de regiões) e «ou» (disjunção, reunião de regiões) descrevem-se regiões mais ricas — faixas, setores, polígonos, coroas circulares.
A mediatriz de um segmento «[AB]» é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de «A» e de «B»: a condição «d(P, A) = d(P, B)». Desenvolvendo esta igualdade (elevando ambos os membros ao quadrado) obtém-se sempre a equação de uma reta — a reta perpendicular a «[AB]» que passa pelo seu ponto médio (ver Fig. 4). É um exemplo perfeito de como uma condição geométrica se converte numa equação.

Mediatriz de um segmento

Mediatriz de [AB]Figura geométrica, A, B, MABMx1x2mediatriz
Fig. 4Fig. 4 — Mediatriz de [AB]: reta perpendicular a [AB] pelo ponto médio M(1, 3), de equação y = −2x + 5.
A Fig. 4 mostra a mediatriz de «[AB]» com «A(−1, 2)» e «B(3, 4)». O seu ponto médio é «M(1, 3)» e o declive de «[AB]» é «(4 − 2)/(3 − (−1)) = 1/2»; a mediatriz, perpendicular, tem declive «−2» e passa por «M», logo «y = −2x + 5». Verifica-se a coerência: qualquer ponto desta reta está à mesma distância de «A» e de «B». Este método — impor a condição, elevar ao quadrado, simplificar — resolve toda a família de problemas de lugares geométricos.
d(P,A)=d(P,B)d(P, A) = d(P, B)d(P,A)=d(P,B)

Mediatriz (equidistância)

Lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B; ao desenvolver a igualdade obtém-se a reta perpendicular a [AB] pelo ponto médio.

Exemplo resolvido

Mediatriz pela condição de equidistância

Determina a mediatriz de [AB] com A(−1, 2) e B(3, 4) pela condição d(P, A) = d(P, B).

  1. 01Condição

    d(P, A) = d(P, B) ⇔ (x + 1)² + (y − 2)² = (x − 3)² + (y − 4)² (quadrando ambos os membros).

  2. 02Desenvolver

    x² + 2x + 1 + y² − 4y + 4 = x² − 6x + 9 + y² − 8y + 16. Cortando x² e y²: 2x + 1 − 4y + 4 = −6x + 9 − 8y + 16.

  3. 03Simplificar

    2x − 4y + 5 = −6x − 8y + 25 ⇔ 8x + 4y − 20 = 0 ⇔ y = −2x + 5.

  4. 04Verificação

    Em M(1, 3): −2·1 + 5 = 3 ✓. A mediatriz passa pelo ponto médio, como esperado.

Resultado: Mediatriz: y = −2x + 5 (reta de declive −2, perpendicular a [AB], por M(1, 3)).

Foco no Exame Nacional

  • Traduzir condições verbais em condições analíticas e representá-las graficamente.
  • Determinar a mediatriz de um segmento pela condição de equidistância.

Erros frequentes

  • Trocar o semiplano (usar ≥ onde o correto é ≤) por não testar um ponto concreto na condição.
  • Ao deduzir a mediatriz, esquecer de elevar ambos os membros ao quadrado para eliminar as raízes.

Revisão ativa

Determina a equação da mediatriz de [AB] com A(−1, 2) e B(3, 4), pela condição d(P, A) = d(P, B), e confirma que passa pelo ponto médio de [AB].

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Distância e ponto médio○
    • 02A reta no plano◐
    • 03Circunferência e círculo◐
    • 04Conjuntos de pontos definidos por condições●

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Dos resumos à prática

Geometria Analítica no plano

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023)

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