Resumos · Matemática BPT · Secundário

Padrões Geométricos

Os padrões são o encontro da geometria com a arte. Estudam-se as isometrias do plano (translação, rotação, reflexão e reflexão deslizante), a simetria de figuras e de padrões, a classificação escolar de frisos, rosáceas e pavimentações, e as sequências e progressões que descrevem padrões numéricos. É um tema muito próprio das Artes Visuais, avaliado no Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 4

T·0555 / 14

Perfil de exame

Identificar e aplicar isometrias do planoReconhecer simetrias de figuras e de padrõesClassificar frisos e rosáceas e analisar pavimentaçõesModelar padrões com sequências e progressões

Operadores:identificaaplicaclassificadescrevedeterminageneraliza

nível básico

Identificar isometrias e simetrias e reconhecer padrões e progressões simples.

nível avançado

Classificar frisos e rosáceas, analisar pavimentações e generalizar padrões com progressões aritméticas e geométricas.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Padrões Geométricos

Isometrias do plano#

PadrãoAE-matematica-b-10-padroes-geometricos

Uma isometria é uma transformação do plano que preserva as distâncias: a figura transformada é geometricamente igual à original (mesma forma e tamanho), apenas noutra posição. Por preservarem distâncias, as isometrias preservam também ângulos, comprimentos, áreas e paralelismo. Existem exatamente quatro tipos de isometria no plano — translação, rotação, reflexão e reflexão deslizante (ver Fig. 1).

As quatro isometrias do plano

Fig. 1Fig. 1 — As quatro isometrias do plano e as suas propriedades.

A translação desliza toda a figura segundo um vetor (uma direção, um sentido e um comprimento fixos); não tem pontos fixos e preserva a orientação. A rotação faz girar a figura um certo ângulo em torno de um ponto — o centro —, que é o único ponto fixo, e também preserva a orientação. Estas duas isometrias dizem-se diretas ou positivas, porque a figura mantém o sentido (não é «virada do avesso»).

A reflexão espelha a figura numa reta — o eixo de reflexão —, cujos pontos são fixos; inverte a orientação (transforma uma figura na sua imagem «ao espelho»). A reflexão deslizante é a composição de uma reflexão com uma translação paralela ao eixo; não tem pontos fixos e também inverte a orientação. Estas são isometrias inversas ou negativas. É a inversão de orientação que distingue uma mão direita de uma mão esquerda, ou um «b» de um «d».

As isometrias compõem-se: aplicar uma a seguir a outra dá ainda uma isometria, e é assim que se geram os padrões complexos a partir de um único motivo. Por exemplo, compor duas reflexões de eixos paralelos equivale a uma translação; compor duas reflexões de eixos concorrentes equivale a uma rotação em torno do ponto de interseção. Compreender estas composições é a chave para descrever frisos, rosáceas e pavimentações.

Exemplo resolvido

Compor duas reflexões

Aplica-se a uma figura uma reflexão de eixo r seguida de uma reflexão de eixo s, sendo r e s paralelos e à distância d. Que isometria resulta da composição?

Efeito de cada reflexão
Cada reflexão inverte a orientação. Compor duas reflexões repõe a orientação original (inversa ∘ inversa = direta).
Eixos paralelos
A composição de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação, na direção perpendicular aos eixos.
Comprimento da translação
O vetor da translação tem comprimento 2d (o dobro da distância entre os eixos).

Resultado: Resulta uma translação perpendicular aos eixos, de comprimento 2d.

Erros frequentes

Confundir reflexão (inverte a orientação) com rotação de 180° (preserva a orientação).
Esquecer que a translação não tem pontos fixos e a rotação tem um único ponto fixo (o centro).

Revisão ativa

Observa uma figura e a sua imagem: se a imagem estiver «virada ao espelho» relativamente à original, que tipo(s) de isometria pode relacioná-las? E se mantiver a orientação?

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Simetria de figuras e de padrões#

PadrãoAE-matematica-b-10-padroes-geometricos

Uma figura tem simetria quando existe uma isometria (diferente da identidade) que a transforma nela própria. As simetrias mais comuns são a simetria de reflexão (a figura coincide consigo mesma ao ser espelhada num eixo — o eixo de simetria) e a simetria de rotação (a figura coincide consigo mesma ao rodar um certo ângulo em torno de um centro). O conjunto de todas as simetrias de uma figura descreve-a completamente do ponto de vista estrutural.

A simetria de rotação mede-se pela ordem: uma figura tem simetria de rotação de ordem «n» se coincide consigo mesma ao rodar «360°/n» (e nos seus múltiplos). Um triângulo equilátero tem ordem 3 (roda 120°), um quadrado ordem 4 (roda 90°), e uma figura sem simetria de rotação tem ordem 1. A ordem conta quantas «posições indistinguíveis» a figura tem numa volta completa.

A Fig. 2 mostra um triângulo equilátero e os seus três eixos de simetria — cada um passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto. Além destes três eixos de reflexão, o triângulo tem simetria de rotação de ordem 3. Ter «n» eixos de reflexão que se cruzam num ponto anda quase sempre a par de simetria de rotação de ordem «n» — é a estrutura das figuras muito simétricas.

Eixos de simetria de um triângulo equilátero

Fig. 2Fig. 2 — Triângulo equilátero: 3 eixos de simetria (a tracejado) e simetria de rotação de ordem 3.

As figuras dizem-se de dois tipos quanto às simetrias que possuem. Uma figura com apenas simetrias de rotação (sem eixos de reflexão) tem simetria cíclica; uma figura com eixos de reflexão (e as rotações associadas) tem simetria diedral. Esta distinção — cíclica versus diedral — é a base da classificação das rosáceas, que veremos a seguir, e explica por que uma hélice (cíclica) «não é igual à sua imagem no espelho», ao contrário de uma estrela regular (diedral).

Exemplo resolvido

Simetrias do quadrado e do retângulo

Compara o número de eixos de simetria e a ordem de simetria de rotação de um quadrado e de um retângulo não quadrado.

Quadrado
Tem 4 eixos de simetria (2 pelas diagonais, 2 pelos pontos médios dos lados opostos) e simetria de rotação de ordem 4 (roda 90°).
Retângulo não quadrado
Tem apenas 2 eixos de simetria (pelos pontos médios dos lados opostos; as diagonais NÃO são eixos) e simetria de rotação de ordem 2 (roda 180°).
Comparação
O quadrado é «mais simétrico»: mais eixos e maior ordem de rotação. Ambos são diedrais (têm eixos de reflexão).

Resultado: Quadrado: 4 eixos, ordem 4. Retângulo não quadrado: 2 eixos, ordem 2.

Erros frequentes

Contar mal os eixos de simetria (por exemplo, atribuir 4 eixos a um retângulo não quadrado, que só tem 2).
Confundir ordem de rotação com número de lados sem verificar o ângulo mínimo de coincidência.

Revisão ativa

Para um quadrado, indica o número de eixos de simetria e a ordem da simetria de rotação. Repete para um retângulo não quadrado e compara.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Frisos, rosáceas e pavimentações#

PadrãoAE-matematica-b-10-padroes-geometricos

Um friso é um padrão que se repete numa faixa, ao longo de uma única direção, por translações de um motivo. Além da translação que o define, um friso pode ter outras simetrias — reflexões de eixo horizontal ou vertical, rotações de 180° e reflexões deslizantes. Ao nível escolar, classificam-se os frisos pelo conjunto das simetrias que possuem (existem sete tipos de friso); a análise consiste em testar, num friso dado, quais dessas simetrias o deixam invariante.

Uma rosácea é um padrão organizado em torno de um ponto central, com simetria de rotação (e, eventualmente, eixos de reflexão), mas SEM simetria de translação. Classificam-se em dois grandes tipos: rosáceas cíclicas «Cₙ», que só têm simetrias de rotação (de ordem «n»), e rosáceas diedrais «Dₙ», que têm «n» rotações e «n» eixos de reflexão. Uma hélice de «n» pás é «Cₙ»; uma estrela regular de «n» pontas é «Dₙ».

Uma pavimentação (ou mosaico) cobre o plano com figuras, sem sobreposições nem espaços livres. Uma pavimentação diz-se regular quando usa um único polígono regular. A condição é aritmética: em cada vértice, os ângulos dos polígonos que ali concorrem têm de somar exatamente «360°». Só três polígonos regulares cumprem esta condição sozinhos (ver Fig. 3).

Pavimentações regulares e a condição dos 360°

Fig. 3Fig. 3 — Só três polígonos regulares pavimentam o plano: aqueles cujo ângulo interno divide 360°.

A Fig. 3 mostra por que existem apenas três pavimentações regulares. O triângulo equilátero (ângulo interno «60°») pavimenta com «6» triângulos por vértice («6 × 60° = 360°»); o quadrado («90°») com «4» por vértice; o hexágono regular («120°») com «3» por vértice. O pentágono regular tem ângulo interno «108°», e como «360°» não é múltiplo de «108°», não pavimenta o plano sozinho. Combinando vários polígonos regulares obtêm-se as pavimentações semirregulares, muito usadas em azulejaria.

\text{Ângulo interno de um polígono regular de } n \text{ lados} = \dfrac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}

Ângulo interno

Um polígono regular pavimenta o plano sozinho se este ângulo dividir exatamente 360°.

Exemplo resolvido

O octógono regular pavimenta?

Verifica se o octógono regular (ângulo interno 135°) pavimenta o plano sozinho e, se não, propõe uma pavimentação semirregular com quadrados.

Condição no vértice
Testa-se se 360° é múltiplo de 135°: 360/135 = 2,67, não é inteiro. Logo o octógono NÃO pavimenta sozinho.
Combinar com quadrados
Em cada vértice colocam-se 2 octógonos (2×135° = 270°) e 1 quadrado (90°): 270° + 90° = 360°.
Conclusão
A combinação «octógono-octógono-quadrado» em cada vértice cobre o plano: é a pavimentação semirregular clássica de azulejo.

Resultado: O octógono não pavimenta sozinho; com um quadrado por vértice (2 octógonos + 1 quadrado = 360°) obtém-se uma pavimentação semirregular.

Erros frequentes

Confundir friso (repete numa direção, tem translação) com rosácea (organiza-se em torno de um ponto, sem translação).
Afirmar que qualquer polígono regular pavimenta o plano, sem verificar a condição da soma 360° no vértice.

Revisão ativa

Verifica, pela condição dos 360° no vértice, se o octógono regular (ângulo interno 135°) pavimenta o plano sozinho. Em caso negativo, sugere uma combinação com quadrados que o consiga.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Sequências e progressões em padrões#

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Muitos padrões têm uma componente numérica: o número de elementos de cada figura de uma sequência, a posição de cada motivo num friso, o crescimento de uma estrutura. Descrever esse padrão é encontrar o termo geral «aₙ» — uma expressão que dá o termo de ordem «n» em função de «n» —, o que permite prever qualquer termo sem construir todos os anteriores.

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que se passa de cada termo para o seguinte somando sempre a mesma quantidade — a razão «r». O seu termo geral é «aₙ = a₁ + (n − 1)·r», uma função afim de «n» (crescimento linear). É o modelo dos padrões que crescem a ritmo constante — o número de azulejos de molduras cada vez maiores, os motivos igualmente espaçados de um friso (ver Fig. 4).

Progressão aritmética vs geométrica

Fig. 4Fig. 4 — PA (razão +3): 2, 5, 8, 11, 14. PG (razão ×2): 3, 6, 12, 24, 48.

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que se passa de cada termo para o seguinte multiplicando sempre pela mesma quantidade — a razão «r». O seu termo geral é «aₙ = a₁·rⁿ⁻¹», um crescimento exponencial (se «r > 1») ou um decaimento (se «0 < r < 1»). Modela padrões que duplicam ou reduzem por um fator fixo a cada passo, como as sucessivas subdivisões de uma figura fractal.

A Fig. 4 compara os primeiros termos de uma PA («a₁ = 2, r = 3»: 2, 5, 8, 11, 14) e de uma PG («a₁ = 3, r = 2»: 3, 6, 12, 24, 48). Distinguir os dois modelos é essencial: perante uma sequência, verifica-se se as diferenças sucessivas são constantes (PA) ou se os quocientes sucessivos são constantes (PG). Para somar muitos termos de uma PA usa-se «Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2», a fórmula da soma dos termos.

a_n = a_1 + (n-1)\,r

Termo geral da PA

Progressão aritmética de razão r: soma-se r a cada passo (crescimento linear).

a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}

Termo geral da PG

Progressão geométrica de razão r: multiplica-se por r a cada passo (crescimento exponencial se r > 1).

Exemplo resolvido

Termo geral de um padrão

Uma sequência de figuras tem 4, 7, 10, … quadradinhos. Determina o termo geral e a ordem da figura com 61 quadradinhos.

Identificar a progressão
As diferenças sucessivas são 7 − 4 = 3 e 10 − 7 = 3: constante. É uma PA de a₁ = 4 e r = 3.
Termo geral
aₙ = 4 + (n − 1)·3 = 4 + 3n − 3 = 3n + 1.
Figura com 61 quadradinhos
3n + 1 = 61 ⇔ 3n = 60 ⇔ n = 20.

Resultado: Termo geral aₙ = 3n + 1; a figura com 61 quadradinhos é a de ordem 20.

Erros frequentes

Usar «a₁ + n·r» em vez de «a₁ + (n − 1)·r» no termo geral da PA.
Confundir PA com PG — testar diferenças (PA) e quocientes (PG) antes de escolher o modelo.

Revisão ativa

Uma sequência de figuras é formada por quadradinhos: a 1.ª tem 4, a 2.ª tem 7, a 3.ª tem 10, … Determina o termo geral e a ordem da figura com 61 quadradinhos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023)

Padrões Geométricos

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 4

Padrões Geométricos

Pontos-chave

Compor duas reflexões

Pontos-chave

Simetrias do quadrado e do retângulo

Pontos-chave

O octógono regular pavimenta?

Pontos-chave

Termo geral de um padrão

Fontes

Padrões Geométricos

Pontos-chave

Compor duas reflexões

Pontos-chave

Simetrias do quadrado e do retângulo

Pontos-chave

O octógono regular pavimenta?

Pontos-chave

Termo geral de um padrão

Fontes