Resumos · Matemática BPT · Secundário

Geometria Sintética

A geometria sintética estuda figuras e sólidos sem recorrer a coordenadas: as posições relativas de retas e planos no espaço, os poliedros e a relação de Euler, as áreas de superfície e os volumes dos sólidos, e a semelhança e as suas razões de áreas e de volumes. É a base geométrica para a analítica, para a trigonometria e para a Matemática na Arte. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0444 / 14

Perfil de exame

Descrever posições relativas de retas e planos no espaçoReconhecer poliedros e aplicar a relação de EulerCalcular áreas de superfície e volumes de sólidosRelacionar razões de semelhança com razões de áreas e de volumes

Operadores:descreveidentificacalcularelacionajustificaclassifica

nível básico

Reconhecer sólidos, aplicar a relação de Euler e calcular áreas e volumes com as fórmulas.

nível avançado

Analisar posições relativas de retas e planos e relacionar razões de semelhança com áreas e volumes.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Geometria Sintética

Retas e planos no espaço#

PadrãoAE-matematica-b-10-geometria-sintetica

No espaço, duas retas podem ter três posições relativas. São concorrentes se têm exatamente um ponto comum; são estritamente paralelas se estão no mesmo plano e não se intersetam; e são não complanares (enviesadas) se não existe nenhum plano que as contenha a ambas — caso que só existe no espaço, nunca no plano. As retas complanares são, pois, as concorrentes ou as paralelas; as não complanares nem se cruzam nem são paralelas (ver Fig. 1).

Posições relativas num paralelepípedo

Fig. 1Fig. 1 — Paralelepípedo [ABCDEFGH]: [AB]∥[HG], as retas AB e DH são não complanares, [AE]⊥face [ABCD].

Uma reta e um plano podem ser: a reta contida no plano (todos os pontos comuns), estritamente paralela ao plano (nenhum ponto comum) ou secante ao plano (um único ponto comum). Quando a reta é perpendicular ao plano, é secante e faz ângulo reto com TODAS as retas do plano que passam pelo ponto de interseção — uma propriedade que fundamenta o cálculo de alturas e distâncias no espaço.

Dois planos, por sua vez, ou são paralelos (não se intersetam) ou são secantes, intersetando-se segundo uma reta. Dois planos secantes dizem-se perpendiculares quando um deles contém uma reta perpendicular ao outro. Estas posições descrevem-se muito bem sobre um paralelepípedo (Fig. 1): faces opostas são planos paralelos, faces adjacentes são planos perpendiculares que se cruzam numa aresta.

A Fig. 1 mostra um paralelepípedo com os vértices «A» a «H». Nele lêem-se de imediato exemplos de cada posição: as arestas «[AB]» e «[HG]» são paralelas (mesma direção, planos distintos); as retas «AB» e «DH» são não complanares (não se cruzam nem são paralelas); a aresta «[AE]» é perpendicular à face «[ABCD]». Reconhecer estas relações num sólido concreto é o primeiro passo para os problemas métricos do espaço.

Exemplo resolvido

Posições relativas num cubo

No cubo [ABCDEFGH] (ABCD base inferior, EFGH base superior, A sob E), classifica as posições das retas AB e CG, e de AB e GH.

AB e CG
AB é uma aresta da base; CG é uma aresta vertical. Não têm ponto comum e não têm a mesma direção → são não complanares (enviesadas).
AB e GH
GH é a aresta da base superior «paralela» a AB (mesma direção, planos distintos) → são estritamente paralelas.
Perpendicularidade
A aresta AE é perpendicular à face ABCD (é vertical e a face é horizontal).

Resultado: AB e CG são não complanares; AB e GH são paralelas; AE ⊥ face ABCD.

Erros frequentes

Chamar «paralelas» a retas não complanares — paralelas exige estar no mesmo plano e não se intersetarem.
Supor que duas retas sem ponto comum são necessariamente paralelas (no espaço podem ser enviesadas).

Revisão ativa

Num cubo [ABCDEFGH], indica um par de arestas paralelas, um par de arestas concorrentes, um par de retas não complanares e uma aresta perpendicular à face [ABCD].

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Poliedros e relação de Euler#

PadrãoAE-matematica-b-10-geometria-sintetica

Um poliedro é um sólido limitado por polígonos planos — as faces —, que se encontram em arestas, as quais por sua vez se encontram em vértices. Um poliedro é convexo se qualquer segmento com extremos no sólido está totalmente contido nele; caso contrário, é côncavo. Prismas e pirâmides são as famílias mais comuns: o prisma tem duas bases iguais e paralelas ligadas por faces laterais paralelogramos; a pirâmide tem uma base e um vértice (o ápice), com faces laterais triangulares.

Para todo o poliedro convexo vale a relação de Euler: «V − A + F = 2», onde «V» é o número de vértices, «A» o de arestas e «F» o de faces. É um resultado notável — relaciona três contagens puramente combinatórias, independentemente das formas e tamanhos. Serve para verificar contagens e para determinar uma das quantidades conhecidas as outras duas (ver Fig. 2).

Os cinco sólidos platónicos e a relação de Euler

Fig. 2Fig. 2 — Os cinco sólidos platónicos: em todos, V − A + F = 2.

Existem exatamente cinco poliedros regulares (sólidos platónicos): sólidos convexos cujas faces são polígonos regulares todos iguais e em que a cada vértice concorre o mesmo número de faces. São o tetraedro (4 faces triangulares), o cubo ou hexaedro (6 faces quadradas), o octaedro (8 triângulos), o dodecaedro (12 pentágonos) e o icosaedro (20 triângulos). A sua perfeita simetria fez deles um motivo recorrente na arte e no design.

A Fig. 2 reúne os cinco sólidos platónicos e verifica a relação de Euler em cada um. Por exemplo, o cubo tem «V = 8», «A = 12», «F = 6» e «8 − 12 + 6 = 2»; o dodecaedro tem «V = 20», «A = 30», «F = 12» e «20 − 30 + 12 = 2». A tabela mostra a regularidade da relação e é um bom exercício de contagem organizada, competência muito valorizada no exame.

V - A + F = 2

Relação de Euler

Para todo o poliedro convexo, o número de vértices menos o de arestas mais o de faces é sempre 2.

Exemplo resolvido

Determinar vértices pela relação de Euler

Um poliedro convexo tem F = 12 faces e A = 30 arestas. Quantos vértices tem? Que sólido platónico é?

Relação de Euler
V − A + F = 2 ⇔ V = 2 + A − F = 2 + 30 − 12 = 20.
Identificação
V = 20, A = 30, F = 12 (faces pentagonais) correspondem ao dodecaedro.

Resultado: O poliedro tem 20 vértices; é o dodecaedro.

Erros frequentes

Contar duas vezes arestas ou faces partilhadas ao aplicar a relação de Euler.
Aplicar V − A + F = 2 a sólidos não convexos ou com furos (onde a relação pode falhar).

Revisão ativa

Um poliedro convexo tem 12 faces e 30 arestas. Usa a relação de Euler para determinar o número de vértices e identifica o sólido platónico correspondente.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Áreas e volumes de sólidos#

PadrãoAE-matematica-b-10-geometria-sintetica

A área da superfície de um sólido é a soma das áreas de todas as suas faces (ou da superfície que o limita); o volume é a medida do espaço que ocupa. Como a prova de Matemática B NÃO inclui formulário, é indispensável conhecer as fórmulas dos sólidos elementares e saber deduzir as dos sólidos compostos por decomposição.

Os prismas e cilindros partilham a mesma ideia: volume igual à área da base vezes a altura, «V = A_base · h». A área da base é a do polígono (prisma) ou a do círculo «πr²» (cilindro). As pirâmides e os cones têm exatamente um terço do volume do prisma/cilindro com a mesma base e altura: «V = (1/3)·A_base·h» (ver Fig. 3). Esta razão de «1/3» é um dos resultados mais importantes do tema.

Pirâmide quadrangular

Fig. 3Fig. 3 — Pirâmide quadrangular reta: base de lado 6 cm, altura 10 cm, volume 120 cm³.

A esfera tem fórmulas próprias: volume «V = (4/3)·π·r³» e área da superfície «A = 4·π·r²». Nos sólidos compostos (por exemplo, um cilindro encimado por uma semiesfera), o volume total obtém-se somando os volumes das partes, e a área da superfície somando apenas as superfícies exteriores efetivamente visíveis — atenção às faces que desaparecem na junção.

A Fig. 3 mostra uma pirâmide quadrangular reta de base com «6 cm» de lado e «10 cm» de altura. O seu volume é «V = (1/3)·(6·6)·10 = (1/3)·360 = 120 cm³». Repare-se na disciplina das unidades: comprimentos em cm, áreas em cm², volumes em cm³. Verificar a coerência das unidades no fim do cálculo é uma forma simples de detetar erros.

V_{\text{prisma}} = A_{\text{base}}\cdot h, \qquad V_{\text{pirâmide}} = \dfrac{1}{3}\,A_{\text{base}}\cdot h

Prisma e pirâmide

A pirâmide tem um terço do volume do prisma com a mesma base e altura. O mesmo vale para cilindro e cone.

V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}, \qquad A_{\text{esfera}} = 4\pi r^{2}

Esfera

Volume e área da superfície de uma esfera de raio r.

Exemplo resolvido

Volume de uma pirâmide e de um cone

Calcula o volume de uma pirâmide quadrangular de base 6 cm de lado e altura 10 cm, e o de um cone de raio 3 cm e altura 10 cm.

Pirâmide
A_base = 6·6 = 36 cm². V = (1/3)·36·10 = (1/3)·360 = 120 cm³.
Cone
A_base = π·3² = 9π cm². V = (1/3)·9π·10 = 30π ≈ 94,25 cm³.
$V_{\text{cone}} = \dfrac{1}{3}\pi r^{2} h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 3^{2}\cdot 10 = 30\pi$

Resultado: Pirâmide: 120 cm³. Cone: 30π ≈ 94,25 cm³.

Erros frequentes

Esquecer o fator 1/3 no volume da pirâmide e do cone.
Misturar unidades (cm com m) ou usar cm² onde se pede cm³.

Revisão ativa

Uma pirâmide quadrangular reta tem base de 6 cm de lado e 10 cm de altura. Calcula o seu volume. Em seguida, calcula o volume de um cone com o mesmo raio de base (3 cm) e a mesma altura.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Semelhança: razões de áreas e volumes#

AprofundamentoAE-matematica-b-10-geometria-sintetica

Duas figuras (ou dois sólidos) são semelhantes quando uma é uma ampliação ou redução da outra: têm a mesma forma e os comprimentos correspondentes estão todos na mesma proporção. Essa proporção constante é a razão de semelhança «k» (a escala). Se «k > 1» há ampliação, se «0 < k < 1» há redução, e se «k = 1» as figuras são geometricamente iguais (congruentes).

A semelhança afeta comprimentos, áreas e volumes de modos diferentes, e é este o ponto essencial do tema. Se a razão de semelhança é «k», então: os comprimentos correspondentes ficam multiplicados por «k»; as áreas correspondentes ficam multiplicadas por «k²»; e os volumes por «k³» (ver Fig. 4). A razão é a mesma «k» para todos os comprimentos, mas o expoente muda com a dimensão da grandeza.

Razões de comprimentos, áreas e volumes

Fig. 4Fig. 4 — Razão de semelhança k: comprimentos ×k, áreas ×k², volumes ×k³.

A Fig. 4 sistematiza estas razões para vários valores de «k». Por exemplo, duplicar todas as dimensões de um sólido («k = 2») quadruplica a área da sua superfície («2² = 4») e octuplica o volume («2³ = 8»); reduzir à metade («k = 1/2») divide a área por 4 e o volume por 8. Ignorar estes expoentes é a origem de muitos erros — a intuição «o dobro do tamanho, o dobro do material» é falsa para áreas e volumes.

Estas relações resolvem muitos problemas por proporção direta, sem recalcular tudo. Se dois sólidos semelhantes têm razão «k», e se conhece o volume do menor, o do maior obtém-se multiplicando por «k³». Reciprocamente, a razão dos volumes permite recuperar a razão de semelhança: «k = ∛(V_maior/V_menor)». Estas ideias são fundamentais em maquetas, escalas de mapas e no dimensionamento de peças, contextos muito próprios de Artes Visuais.

\text{comprimentos}: \ k \qquad \text{áreas}: \ k^{2} \qquad \text{volumes}: \ k^{3}

Razões na semelhança

Com razão de semelhança k, os comprimentos multiplicam-se por k, as áreas por k² e os volumes por k³.

Exemplo resolvido

Volume e área em sólidos semelhantes

Dois sólidos semelhantes têm razão de semelhança 1:3. O volume do menor é 15 cm³ e a área da superfície do maior é 180 cm². Determina o volume do maior e a área da superfície do menor.

Razão de volumes
k = 3, logo os volumes estão na razão k³ = 27. V_maior = 27·V_menor = 27·15 = 405 cm³.
Razão de áreas
As áreas estão na razão k² = 9. A_menor = A_maior/9 = 180/9 = 20 cm².

Resultado: Volume do maior: 405 cm³. Área da superfície do menor: 20 cm².

Erros frequentes

Multiplicar áreas por k (em vez de k²) ou volumes por k (em vez de k³).
Confundir a razão de semelhança com a razão de áreas ou de volumes ao ler o enunciado.

Revisão ativa

Dois sólidos são semelhantes com razão de semelhança 1:3 (o maior é o triplo do menor). Sabendo que o volume do menor é 15 cm³ e a área da superfície do maior é 180 cm², determina o volume do maior e a área da superfície do menor.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023)

Geometria Sintética

4 secções~12 min de leitura4 competênciasNível Padrão 3 · Aprofundamento 1

Geometria Sintética

Pontos-chave

Posições relativas num cubo

Pontos-chave

Determinar vértices pela relação de Euler

Pontos-chave

Volume de uma pirâmide e de um cone

Pontos-chave

Volume e área em sólidos semelhantes

Fontes

Geometria Sintética

Pontos-chave

Posições relativas num cubo

Pontos-chave

Determinar vértices pela relação de Euler

Pontos-chave

Volume de uma pirâmide e de um cone

Pontos-chave

Volume e área em sólidos semelhantes

Fontes