Resumos · Matemática BPT · Secundário

Probabilidade

A Probabilidade mede a incerteza. Estudam-se as experiências aleatórias e os acontecimentos, a probabilidade de Laplace (definição clássica) e a frequencista, as regras da adição e do complementar, e a probabilidade condicionada e a independência, com o apoio de tabelas de dupla entrada e de árvores de probabilidades. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções~13 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0333 / 14

Perfil de exame

Descrever experiências aleatórias, o espaço amostral e acontecimentosCalcular probabilidades pela regra de Laplace e pela frequência relativaAplicar as regras da adição e do complementarCalcular probabilidades condicionadas e reconhecer a independência

Operadores:calculadescreveidentificajustificaaplicainterpreta

nível básico

Descrever acontecimentos e calcular probabilidades pela regra de Laplace e pelas regras da adição e do complementar.

nível avançado

Calcular probabilidades condicionadas com tabelas de dupla entrada e árvores, e decidir a independência de acontecimentos.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Probabilidade

Experiências aleatórias e acontecimentos#

BaseAE-matematica-b-probabilidade

Uma experiência diz-se aleatória quando, repetida nas mesmas condições, pode dar resultados diferentes, todos conhecidos à partida mas nenhum previsível com certeza — lançar um dado, tirar uma carta, girar uma roleta. O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral «Ω»; cada resultado individual é um caso ou ponto amostral. No lançamento de um dado, «Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}».

Um acontecimento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Distinguem-se casos particulares importantes: o acontecimento certo é o próprio «Ω» (ocorre sempre); o acontecimento impossível é o conjunto vazio «∅» (nunca ocorre); um acontecimento elementar tem um único elemento. «Sair par», no dado, é o acontecimento «{2, 4, 6}».

Como os acontecimentos são conjuntos, combinam-se pelas operações de conjuntos, com significado próprio (ver Fig. 1). A reunião «A ∪ B» ocorre quando ocorre «A» OU «B» (ou ambos); a interseção «A ∩ B» ocorre quando ocorrem «A» E «B» simultaneamente; o complementar «Ā» ocorre quando NÃO ocorre «A». Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis (ou mutuamente exclusivos) quando não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, «A ∩ B = ∅».

Dois acontecimentos num diagrama de Venn

Fig. 1Fig. 1 — Acontecimentos como regiões: A ∪ B (A ou B), A ∩ B (A e B) e o exterior (nem A nem B).

A Fig. 1 traduz estas operações num diagrama de Venn: o retângulo é «Ω», cada círculo é um acontecimento, a zona comum é «A ∩ B» e a parte fora dos círculos é «Ā ∩ B̄» (nem «A» nem «B»). Visualizar os acontecimentos como regiões torna intuitivas as regras da probabilidade que se seguem: contar (ou medir) regiões passa a ser a base do cálculo.

Exemplo resolvido

Acontecimentos no lançamento de um dado

Lança-se um dado equilibrado. Com A = «sair par» e B = «sair múltiplo de 3», escreve Ω, A, B, A ∩ B, A ∪ B e diz se são incompatíveis.

Espaço amostral
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Acontecimentos
A = {2, 4, 6}; B = {3, 6}.
Operações
A ∩ B = {6} (par e múltiplo de 3); A ∪ B = {2, 3, 4, 6}.
Incompatibilidade
Como A ∩ B = {6} ≠ ∅, os acontecimentos NÃO são incompatíveis.

Resultado: Ω = {1,…,6}; A = {2,4,6}; B = {3,6}; A ∩ B = {6}; A ∪ B = {2,3,4,6}. Não são incompatíveis.

Erros frequentes

Confundir «A ou B» (reunião, inclui ambos) com «A e B» (interseção).
Considerar incompatíveis dois acontecimentos que na verdade se podem sobrepor (A ∩ B ≠ ∅).

Revisão ativa

Lança-se um dado equilibrado. Sejam A = «sair par» e B = «sair múltiplo de 3». Escreve Ω, A, B, A ∩ B e A ∪ B, e verifica se A e B são incompatíveis.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Probabilidade: Laplace e frequência relativa#

PadrãoAE-matematica-b-probabilidade

Quando todos os casos do espaço amostral são igualmente possíveis (uma experiência «equilibrada»), aplica-se a regra de Laplace, ou definição clássica: a probabilidade de um acontecimento «A» é o quociente entre o número de casos favoráveis a «A» e o número de casos possíveis. Assim, «P(A) = #A / #Ω». No dado equilibrado, «P(par) = 3/6 = 1/2». A regra de Laplace exige explicitamente a equiprobabilidade dos casos — não se aplica se, por exemplo, o dado for viciado.

Qualquer probabilidade satisfaz três propriedades fundamentais (axiomas): é um número entre «0» e «1» («0 ≤ P(A) ≤ 1»); a do acontecimento certo é «1» («P(Ω) = 1») e a do impossível é «0» («P(∅) = 0»). Estes limites servem de controlo: uma «probabilidade» negativa ou maior do que 1 denuncia um erro de cálculo.

Contar corretamente os casos é o cerne do método. A Fig. 2 mostra o espaço amostral do lançamento de dois dados, sob a forma da tabela dos 36 pares e da soma correspondente. Ler a tabela responde de imediato a muitas perguntas: a soma «7» ocorre em 6 casos, logo «P(soma 7) = 6/36 = 1/6»; a soma «2» ocorre num único caso, «P(soma 2) = 1/36». Organizar o espaço amostral numa tabela ou diagrama é, muitas vezes, meio caminho para a resposta.

Espaço amostral da soma de dois dados

Fig. 2Fig. 2 — As 36 somas do lançamento de dois dados. A soma 7 (diagonal) surge 6 vezes: P(soma 7) = 6/36 = 1/6.

Nem sempre há equiprobabilidade nem se conhece o espaço amostral. A definição frequencista estima então a probabilidade pela frequência relativa observada em muitas repetições: «P(A) ≈ nᴬ/n». A lei dos grandes números garante que, à medida que o número de repetições «n» cresce, a frequência relativa tende a estabilizar em torno da probabilidade «verdadeira». É esta a ligação entre a Estatística (dados observados) e a Probabilidade (modelo teórico da incerteza).

P(A) = \dfrac{\#A}{\#\Omega} = \dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}

Regra de Laplace

Válida apenas quando todos os casos do espaço amostral são igualmente possíveis.

0 \le P(A) \le 1, \qquad P(\Omega) = 1, \qquad P(\varnothing) = 0

Propriedades da probabilidade

Toda a probabilidade está entre 0 e 1; a do acontecimento certo é 1 e a do impossível é 0.

Exemplo resolvido

Somas no lançamento de dois dados

Lançam-se dois dados equilibrados. Calcula P(soma 6), P(soma 7) e P(soma superior a 9).

Casos possíveis
Cada dado tem 6 faces e os lançamentos são independentes: #Ω = 6·6 = 36 pares ordenados.
Soma 6
Casos: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 casos. P(soma 6) = 5/36 ≈ 0,139.
Soma 7
Casos: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 casos. P(soma 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.
Soma superior a 9
Somas 10, 11, 12: 10 → 3 casos, 11 → 2 casos, 12 → 1 caso, total 6. P(soma > 9) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.

Resultado: P(soma 6) = 5/36; P(soma 7) = 1/6; P(soma > 9) = 6/36 = 1/6.

Erros frequentes

Aplicar a regra de Laplace a casos que não são equiprováveis (por exemplo, somas de dois dados, que não são).
Contar mal os casos possíveis — no lançamento de dois dados são 36 pares ordenados, não 21.

Revisão ativa

Lançam-se dois dados equilibrados. Usando a tabela do espaço amostral, calcula P(soma 6), P(soma 7) e P(soma superior a 9).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Regras da probabilidade#

PadrãoAE-matematica-b-probabilidade

A regra do complementar decorre de «A» e «Ā» cobrirem todo o «Ω» sem se sobreporem: «P(A) + P(Ā) = 1», donde «P(Ā) = 1 − P(A)». É uma das ferramentas mais úteis do cálculo de probabilidades: sempre que é mais fácil contar o que NÃO acontece, calcula-se o complementar. Por exemplo, «P(pelo menos um)» calcula-se muitas vezes como «1 − P(nenhum)».

A regra da adição relaciona a probabilidade da reunião com as dos acontecimentos: «P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)». Subtrai-se «P(A ∩ B)» porque, ao somar «P(A)» e «P(B)», a zona comum foi contada duas vezes (ver Fig. 3). Quando «A» e «B» são incompatíveis, «A ∩ B = ∅» e a regra reduz-se a «P(A ∪ B) = P(A) + P(B)».

Diagrama de Venn com dados de um inquérito

Fig. 3Fig. 3 — Inquérito a 30 alunos: 11 só futebol, 7 ambos, 5 só basquetebol; 7 não praticam nenhum. P(A ∪ B) = 23/30.

A Fig. 3 aplica estas regras a um inquérito a 30 alunos: 18 praticam futebol («A»), 12 praticam basquetebol («B») e 7 praticam ambos. As regiões do diagrama contêm-se de imediato: só futebol «18 − 7 = 11», só basquetebol «12 − 7 = 5», ambos «7», e nenhum dos dois «30 − (11 + 5 + 7) = 7». A probabilidade de um aluno praticar pelo menos um dos desportos é «P(A ∪ B) = 18/30 + 12/30 − 7/30 = 23/30 ≈ 0,767».

Ler o diagrama por regiões evita erros: a probabilidade de «praticar exatamente um desporto» é «(11 + 5)/30 = 16/30`; a de «não praticar nenhum» é «7/30`; e a do complementar de «A», «praticar basquetebol mas não futebol», é a região «só B». Traduzir o enunciado em regiões e em operações de conjuntos é o método seguro para não somar nem subtrair casos a mais.

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Regra do complementar

A probabilidade de A não ocorrer é 1 menos a probabilidade de A ocorrer.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Regra da adição

Subtrai-se P(A ∩ B) porque a zona comum foi contada duas vezes; se A e B forem incompatíveis, P(A ∩ B) = 0.

Exemplo resolvido

Regra da adição e do complementar

Em 30 alunos, 18 praticam futebol (A), 12 basquetebol (B) e 7 ambos. Calcula P(A ∪ B) e P(nenhum).

Probabilidades
P(A) = 18/30, P(B) = 12/30, P(A ∩ B) = 7/30.
Reunião
P(A ∪ B) = 18/30 + 12/30 − 7/30 = 23/30 ≈ 0,767.
Complementar
P(nenhum) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 23/30 = 7/30 ≈ 0,233.

Resultado: P(A ∪ B) = 23/30 ≈ 0,767; P(nenhum) = 7/30 ≈ 0,233.

Erros frequentes

Usar P(A ∪ B) = P(A) + P(B) quando A e B NÃO são incompatíveis (esquecer − P(A ∩ B)).
Calcular «pelo menos um» somando casos em vez de usar 1 − P(nenhum).

Revisão ativa

Num grupo de 30 alunos, 18 praticam futebol, 12 praticam basquetebol e 7 praticam ambos. Escolhido um aluno ao acaso, calcula a probabilidade de praticar pelo menos um dos desportos e a de não praticar nenhum.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Probabilidade condicionada e independência#

AprofundamentoAE-matematica-b-probabilidade

A probabilidade condicionada «P(A | B)» é a probabilidade de «A» sabendo que «B» ocorreu: a informação de que «B» aconteceu reduz o espaço amostral a «B». Define-se por «P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)», com «P(B) > 0». Em termos de casos igualmente possíveis, é contar os casos de «A» dentro de «B». Reconhecer nos enunciados as expressões «sabendo que», «dado que», «entre os que…» é o sinal de que se pede uma probabilidade condicionada.

As experiências em duas etapas representam-se com vantagem numa árvore de probabilidades: cada ramo carrega a probabilidade da respetiva etapa, sendo as da 2.ª etapa probabilidades condicionadas do que ocorreu na 1.ª. A probabilidade de um percurso completo é o PRODUTO das probabilidades dos seus ramos (regra do produto); a probabilidade de um acontecimento que se realize por vários percursos é a SOMA das probabilidades desses percursos (ver Fig. 4).

Árvore de probabilidades: 2 extrações sem reposição

Fig. 4Fig. 4 — Duas extrações sem reposição (3 pretas, 2 brancas). Os produtos dos percursos são 0,3; 0,3; 0,3 e 0,1 (somam 1).

A Fig. 4 modela a extração de 2 bolas, sem reposição, de uma caixa com 3 bolas pretas e 2 brancas. Na 1.ª extração, «P(preta) = 3/5» e «P(branca) = 2/5». Na 2.ª, as probabilidades mudam porque uma bola já saiu: depois de uma preta restam 2 pretas em 4, logo «P(preta | preta) = 2/4`. Multiplicando ao longo dos ramos, «P(2 pretas) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 0,3» e «P(exatamente 1 preta) = 3/5·2/4 + 2/5·3/4 = 0,3 + 0,3 = 0,6».

Dois acontecimentos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro: «P(A | B) = P(A)», o que equivale a «P(A ∩ B) = P(A) · P(B)». A extração COM reposição dá acontecimentos independentes (a caixa volta ao estado inicial); a extração SEM reposição, como na Fig. 4, dá acontecimentos dependentes. Testar a igualdade «P(A ∩ B) = P(A)·P(B)» é o critério rigoroso para decidir a independência — e não a mera intuição.

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B) > 0

Probabilidade condicionada

Probabilidade de A sabendo que B ocorreu; a informação sobre B reduz o espaço amostral a B.

A \text{ e } B \text{ independentes} \iff P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)

Independência

Equivale a P(A | B) = P(A): a ocorrência de B não altera a probabilidade de A.

Exemplo resolvido

Extração sem reposição com árvore

De uma caixa com 3 pretas e 2 brancas tiram-se 2 bolas sem reposição. Calcula P(2 pretas), P(exatamente 1 preta) e P(2.ª branca | 1.ª preta).

1.ª extração
P(preta) = 3/5; P(branca) = 2/5.
2.ª extração (condicionada)
Após preta restam 2 pretas em 4: P(preta | preta) = 2/4, P(branca | preta) = 2/4. Após branca restam 3 pretas em 4: P(preta | branca) = 3/4, P(branca | branca) = 1/4.
Regra do produto e da soma
P(2 pretas) = 3/5·2/4 = 6/20 = 0,3. P(exatamente 1 preta) = 3/5·2/4 + 2/5·3/4 = 0,3 + 0,3 = 0,6.
Condicionada pedida
P(2.ª branca | 1.ª preta) = 2/4 = 0,5 (lê-se diretamente no ramo).

Resultado: P(2 pretas) = 0,3; P(exatamente 1 preta) = 0,6; P(2.ª branca | 1.ª preta) = 0,5.

Erros frequentes

Trocar P(A | B) com P(B | A) — o acontecimento que condiciona é o que já ocorreu (o denominador).
Manter as probabilidades da 1.ª etapa na 2.ª extração sem reposição (esquecer que o total e os casos mudam).

Revisão ativa

De uma caixa com 3 bolas pretas e 2 brancas tiram-se 2 bolas sem reposição. Constrói a árvore de probabilidades e calcula P(2 pretas), P(exatamente 1 preta) e P(2.ª branca | 1.ª preta).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023)

Probabilidade

4 secções~13 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

Probabilidade

Pontos-chave

Acontecimentos no lançamento de um dado

Pontos-chave

Somas no lançamento de dois dados

Pontos-chave

Regra da adição e do complementar

Pontos-chave

Extração sem reposição com árvore

Fontes

Probabilidade

Pontos-chave

Acontecimentos no lançamento de um dado

Pontos-chave

Somas no lançamento de dois dados

Pontos-chave

Regra da adição e do complementar

Pontos-chave

Extração sem reposição com árvore

Fontes