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Resumos/Matemática B/Estatística
Resumos · Matemática BPT · Secundário

Estatística

A Estatística organiza, resume e interpreta dados. Estudam-se os tipos de variáveis e as representações gráficas, as medidas de localização e de dispersão, e a relação entre duas variáveis — o diagrama de dispersão, a correlação e os modelos de regressão obtidos com a calculadora gráfica. É um tema central e transversal do Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~13 min de leitura·4 competências·Nível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0222 / 14
Perfil de exame
Organizar e representar dados uni e bivariadosCalcular e interpretar medidas de localização e de dispersãoAnalisar a associação entre duas variáveis quantitativasObter e usar modelos de regressão com a calculadora, interpretando-os criticamente
Operadores:organizacalculainterpretarepresentaanalisacomparajustifica

nível básico

Ler e construir representações de dados e calcular as principais medidas de localização e dispersão.

nível avançado

Analisar dados bivariados, obter modelos de regressão com a calculadora e discutir criticamente a sua adequação.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Estatística
    • 01Variáveis, dados e representações○
    • 02Medidas de localização e de dispersão◐
    • 03Dados bivariados: dispersão e correlação◐
    • 04Regressão e modelação com a calculadora●
§ 01

Variáveis, dados e representações#

●○○BaseLPAE-matematica-b-estatistica

Pontos-chave

Um estudo estatístico começa por identificar a população (o conjunto de todos os elementos em estudo), a amostra (o subconjunto efetivamente observado) e a variável estatística (a característica registada). As variáveis dizem-se qualitativas quando exprimem categorias — nominais se não há ordem natural (cor, país) e ordinais se há (grau de satisfação) — e quantitativas quando exprimem números, discretas se resultam de contagem (número de irmãos) e contínuas se resultam de medição (altura, tempo). O tipo de variável determina as representações e as medidas adequadas.
Os dados organizam-se em tabelas de frequências. A frequência absoluta «nᵢ» é o número de vezes que um valor ocorre; a frequência relativa «fᵢ = nᵢ/n» é a sua proporção (soma 1, ou 100 %). Para variáveis quantitativas com muitos valores, agrupam-se os dados em classes (intervalos) de igual amplitude, registando a frequência de cada classe — é o passo prévio à construção de um histograma.
As representações gráficas escolhem-se segundo o tipo de variável: gráfico de barras e gráfico circular para variáveis qualitativas; histograma para variáveis quantitativas contínuas agrupadas em classes. No histograma, ao contrário do gráfico de barras, as barras são contíguas (não há espaço entre elas), traduzindo a continuidade da variável, e a área de cada retângulo é proporcional à frequência da classe (ver Fig. 1).

Histograma dos tempos de espera

Tempos de espera (n = 35)Histograma: n.º de utentes por tempo (min), Dados: [0, 5): 4; [5, 10): 9; [10, 15): 12; [15, 20): 7; [20, 25): 30246810120510152025491273n.º de utentestempo (min)
Fig. 1Fig. 1 — Tempos de espera de 35 utentes, em classes de amplitude 5 min. A classe modal é [10, 15[, com 12 utentes.
A Fig. 1 mostra o histograma dos tempos de espera (em minutos) de 35 utentes num serviço, agrupados em classes de amplitude 5. A leitura de um histograma é imediata: identifica a classe modal (a mais frequente — aqui «[10, 15[», com 12 utentes), a forma da distribuição (simétrica, enviesada) e a dispersão dos dados. É a fotografia de onde se concentram e como se espalham as observações.
fi=nin,∑ifi=1f_i = \dfrac{n_i}{n}, \qquad \sum_{i} f_i = 1fi​=nni​​,i∑​fi​=1

Frequência relativa

A frequência relativa é a proporção de cada valor ou classe; a soma de todas as frequências relativas é 1 (ou 100 %).

Exemplo resolvido

Tabela de frequências agrupada em classes

Os tempos de espera (min) de 35 utentes distribuem-se assim: 4 em [0,5[, 9 em [5,10[, 12 em [10,15[, 7 em [15,20[ e 3 em [20,25[. Completa a tabela com as frequências relativas e identifica a classe modal.

  1. 01Frequências relativas

    f = n/35: 4/35 ≈ 0,114; 9/35 ≈ 0,257; 12/35 ≈ 0,343; 7/35 = 0,200; 3/35 ≈ 0,086.

  2. 02Verificação

    A soma das frequências absolutas é 4+9+12+7+3 = 35 e a das relativas é ≈1 (0,114+0,257+0,343+0,200+0,086 = 1,000).

  3. 03Classe modal

    A classe com maior frequência é [10, 15[, com 12 utentes (≈34,3 %).

Resultado: Frequências relativas ≈ 0,114; 0,257; 0,343; 0,200; 0,086. Classe modal: [10, 15[.

Foco no Exame Nacional

  • Classificar variáveis estatísticas e escolher a representação gráfica adequada.
  • Construir e ler tabelas de frequências e histogramas, identificando a classe modal.

Erros frequentes

  • Confundir histograma (variável contínua, barras contíguas) com gráfico de barras (variável qualitativa, barras separadas).
  • Trocar frequência absoluta com frequência relativa ao interpretar a tabela.

Revisão ativa

Numa turma registaram-se os tempos (min) que 20 alunos demoram a chegar à escola. Classifica a variável, agrupa os dados em classes de amplitude 10 e constrói a tabela de frequências absolutas e relativas.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Medidas de localização e de dispersão#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-estatistica

Pontos-chave

As medidas de localização (ou de tendência central) resumem os dados num valor representativo. A média «x̄» é a soma dos valores a dividir pelo número de observações; usa toda a informação, mas é sensível a valores extremos. A mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se «n» é par); é resistente a extremos. A moda é o valor mais frequente. Comparar média e mediana informa sobre a simetria: se são próximas, a distribuição é aproximadamente simétrica; se a média é bem maior do que a mediana, há enviesamento à direita.
As medidas de dispersão medem o espalhamento dos dados. A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo. Os quartis «Q₁, Q₂ = mediana, Q₃» dividem os dados ordenados em quatro partes iguais; a amplitude interquartis «AIQ = Q₃ − Q₁» mede a dispersão dos 50 % centrais e é resistente a extremos. O desvio-padrão «σ» mede a dispersão média em relação à média: é a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios. Quanto maior «σ», mais espalhados estão os dados.
A partir dos cinco números-resumo — mínimo, «Q₁», mediana, «Q₃» e máximo — constrói-se o diagrama de extremos e quartis (boxplot): uma caixa de «Q₁» a «Q₃», dividida pela mediana, com «bigodes» até ao mínimo e ao máximo (ver Fig. 2). O boxplot revela de relance a mediana, a dispersão central (largura da caixa), a simetria e a presença de valores muito afastados; é ideal para comparar rapidamente dois ou mais conjuntos de dados.

Diagrama de extremos e quartis

Cinco números-resumo (n = 11)Diagrama de extremos e quartis: valores, Dados: Classificações: min 6, Q1 9, Md 12, Q3 15, max 19681012141618Classificaç…valores
Fig. 2Fig. 2 — Boxplot das classificações: mín 6, Q₁ 9, mediana 12, Q₃ 15, máx 19 (amplitude interquartis 6).
A Fig. 2 representa as classificações 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19 (n = 11). Ordenados, o valor central é a mediana (12); a metade inferior tem mediana «Q₁ = 9» e a superior «Q₃ = 15», donde «AIQ = 6». Na prática, calcula-se a média e o desvio-padrão com a calculadora gráfica em modo estatístico — aqui «x̄ ≈ 12,18» e «σ ≈ 3,74» — reservando o cálculo manual para a mediana e os quartis, que consolidam a compreensão do método.
xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_ixˉ=n1​i=1∑n​xi​

Média

Soma de todos os valores a dividir pelo número de observações.

σ=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}σ=n1​i=1∑n​(xi​−xˉ)2​

Desvio-padrão (populacional)

Raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média; mede a dispersão dos dados. Na prática, obtém-se com a calculadora.

AIQ=Q3−Q1\text{AIQ} = Q_3 - Q_1AIQ=Q3​−Q1​

Amplitude interquartis

Dispersão dos 50 % centrais dos dados; resistente a valores extremos.

Exemplo resolvido

Localização e dispersão de um conjunto de dados

Para os dados 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19 (já ordenados, n = 11), determina a média, a mediana, Q₁, Q₃, a AIQ e o desvio-padrão.

  1. 01Média

    Soma = 134; x̄ = 134/11 ≈ 12,18.

  2. 02Mediana

    Com n = 11 (ímpar), a mediana é o 6.º valor: 12.

  3. 03Quartis

    Metade inferior (5 valores: 6, 8, 9, 10, 11): Q₁ = 9. Metade superior (13, 14, 15, 17, 19): Q₃ = 15.

  4. 04Dispersão

    AIQ = 15 − 9 = 6. Com a calculadora em modo estatístico, σ ≈ 3,74.

Resultado: x̄ ≈ 12,18; mediana 12; Q₁ = 9; Q₃ = 15; AIQ = 6; σ ≈ 3,74.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular média, mediana, moda, quartis, amplitude interquartis e desvio-padrão.
  • Construir e interpretar um diagrama de extremos e quartis e comparar distribuições.

Erros frequentes

  • Calcular a mediana ou os quartis sem ordenar previamente os dados.
  • Confundir amplitude total (máx − mín) com amplitude interquartis (Q₃ − Q₁).

Revisão ativa

Considera os dados 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19. Determina a média, a mediana, os quartis Q₁ e Q₃, a amplitude interquartis e o desvio-padrão (com a calculadora), e esboça o diagrama de extremos e quartis.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Dados bivariados: dispersão e correlação#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-estatistica

Pontos-chave

Muitas questões relacionam DUAS variáveis quantitativas medidas nos mesmos indivíduos — horas de estudo e classificação, temperatura e consumo, altura e peso. Cada indivíduo dá um par «(x, y)», e o conjunto representa-se num diagrama de dispersão (nuvem de pontos), com a variável explicativa em «Ox» e a variável resposta em «Oy». A forma da nuvem revela se existe, e de que tipo é, a associação entre as variáveis (ver Fig. 3).

Diagrama de dispersão: estudo vs classificação

Dados bivariados (n = 6)Gráfico de dispersão: classificação por horas de estudo, Dados: (1, 8); (2, 9); (3, 11); (4, 12); (5, 14); (6, 15)89101112131415123456classificaçãohoras de estudo
Fig. 3Fig. 3 — Classificação em função das horas de estudo (6 alunos): nuvem quase alinhada, correlação positiva forte (r ≈ 0,995).
Quando os pontos se dispõem aproximadamente sobre uma reta, a associação diz-se linear. O coeficiente de correlação «r» quantifica a força e o sentido dessa associação linear: «r» varia entre «−1» e «1». Valores próximos de «1» indicam correlação linear positiva forte (as variáveis crescem juntas), próximos de «−1» correlação negativa forte (uma cresce, a outra decresce), e próximos de «0» ausência de associação linear. Calcula-se com a calculadora, em simultâneo com a reta de regressão.
A Fig. 3 mostra a classificação «y» em função do número de horas de estudo «x» para 6 alunos: os pontos «(1,8), (2,9), (3,11), (4,12), (5,14), (6,15)» alinham-se quase perfeitamente, com «r ≈ 0,995» — uma correlação linear positiva muito forte. Um «r» elevado justifica ajustar um modelo linear; um «r» baixo avisa que uma reta seria um mau modelo e que talvez uma curva (ou nenhuma relação) seja mais adequada.
Há uma advertência essencial de cidadania estatística: correlação NÃO é causalidade. Duas variáveis podem estar fortemente correlacionadas sem que uma cause a outra — podem ambas depender de uma terceira variável (uma variável de confusão) ou a associação pode ser mera coincidência. O «r» mede associação, não explica-a; concluir «x causa y» a partir de um «r» elevado é um erro de raciocínio, não um resultado matemático.
−1≤r≤1-1 \le r \le 1−1≤r≤1

Coeficiente de correlação

r mede a força e o sentido da associação LINEAR: perto de 1 (positiva forte), perto de −1 (negativa forte), perto de 0 (sem associação linear).

Exemplo resolvido

Ler um diagrama de dispersão

Para os pares (1,8), (2,9), (3,11), (4,12), (5,14), (6,15), descreve a associação entre as variáveis e prevê o comportamento do coeficiente de correlação.

  1. 01Tendência

    À medida que x aumenta, y aumenta de forma quase constante (≈+1,5 por hora): associação linear positiva.

  2. 02Alinhamento

    Os pontos afastam-se muito pouco de uma reta, pelo que a correlação linear é muito forte.

  3. 03Estimar r

    Uma nuvem quase perfeitamente alinhada e crescente corresponde a r próximo de +1; com a calculadora, r ≈ 0,995.

Resultado: Associação linear positiva muito forte; r ≈ 0,995.

Foco no Exame Nacional

  • Construir e interpretar um diagrama de dispersão e o sinal e a força da correlação.
  • Distinguir correlação de causalidade ao interpretar um coeficiente de correlação.

Erros frequentes

  • Interpretar um valor elevado de r como prova de que uma variável causa a outra.
  • Confundir o sinal de r (sentido da associação) com a sua intensidade (proximidade de 1 ou −1).

Revisão ativa

Regista-se, para 6 dias, a temperatura máxima (°C) e o número de gelados vendidos. Constrói o diagrama de dispersão, indica o sinal esperado da correlação e explica por que uma correlação forte não prova que a temperatura seja a única causa das vendas.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Regressão e modelação com a calculadora#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-b-estatistica

Pontos-chave

Quando a nuvem de pontos sugere uma reta, procura-se a reta que melhor se ajusta aos dados — a reta de regressão «ŷ = a + b x». O critério é o dos mínimos quadrados: escolhe-se a reta que torna mínima a soma dos quadrados das distâncias verticais dos pontos à reta (os resíduos). O declive «b» e a ordenada na origem «a» são calculados pela calculadora gráfica, em modo estatístico, que devolve também o coeficiente de correlação «r» (ver Fig. 4).

Reta de regressão pelos mínimos quadrados

Ajuste linear (mínimos quadrados)Gráfico de dispersão: classificação por horas de estudo, Dados: (1, 8); (2, 9); (3, 11); (4, 12); (5, 14); (6, 15)89101112131415123456classificaçãohoras de estudo
Fig. 4Fig. 4 — Reta de regressão ŷ ≈ 1,46 x + 6,40 (r ≈ 0,995) ajustada pelos mínimos quadrados aos dados de estudo e classificação.
A Fig. 4 ajusta a reta de regressão aos dados de estudo e classificação. A calculadora devolve «ŷ ≈ 1,46 x + 6,40» com «r ≈ 0,995». O declive «≈1,46» interpreta-se no contexto: por cada hora adicional de estudo, a classificação prevista aumenta cerca de 1,46 valores. A reta permite fazer previsões — por exemplo, para «x = 3,5» horas, «ŷ ≈ 1,46·3,5 + 6,40 ≈ 11,5» valores — mas essas previsões só são fiáveis dentro do intervalo dos dados observados (interpolação); extrapolar muito para fora é arriscado.
Nem toda a associação é linear. A calculadora oferece também regressão quadrática e regressão cúbica, adequadas quando a nuvem de pontos tem curvatura — um crescimento que acelera, um máximo intermédio, um ponto de inflexão. A Informação-Prova de Matemática B refere expressamente o uso da calculadora «com recurso a diferentes regressões (linear, quadrática ou cúbica), de modo a obter modelos abstratos a partir dos dados». Escolhe-se o tipo de modelo pela forma da nuvem e pela qualidade do ajuste, não por rotina.
É preciso ser honesto sobre a dependência da calculadora: em Matemática B, o cálculo de «a», «b» e «r» é feito pela máquina, e não por fórmulas de desenvolvimento manual. O trabalho matemático do aluno está em preparar os dados corretamente, escolher o modelo apropriado, INTERPRETAR os parâmetros no contexto do problema e avaliar criticamente a adequação e os limites do modelo. Um modelo é uma aproximação útil da realidade — nunca a realidade.
y^=a+b x\hat{y} = a + b\,xy^​=a+bx

Reta de regressão

Reta dos mínimos quadrados: minimiza a soma dos quadrados dos resíduos (distâncias verticais dos pontos à reta). Os parâmetros a e b obtêm-se com a calculadora.

Exemplo resolvido

Modelo de regressão e previsão

Para os pares (1,8), (2,9), (3,11), (4,12), (5,14), (6,15), obtém a reta de regressão, interpreta o declive e prevê a classificação para 4,5 horas de estudo.

  1. 01Reta de regressão

    Com a calculadora em modo estatístico (regressão linear): ŷ ≈ 1,46 x + 6,40, com r ≈ 0,995.

  2. 02Interpretar o declive

    b ≈ 1,46: por cada hora adicional de estudo, a classificação prevista aumenta cerca de 1,46 valores.

  3. 03Previsão (interpolação)

    Para x = 4,5: ŷ ≈ 1,46·4,5 + 6,40 ≈ 6,57 + 6,40 ≈ 12,97 ≈ 13 valores. Como 4,5 está dentro do intervalo [1, 6] dos dados, a previsão é fiável.

Resultado: ŷ ≈ 1,46 x + 6,40 (r ≈ 0,995); para 4,5 horas prevê-se ≈13 valores.

Foco no Exame Nacional

  • Obter a reta (ou curva) de regressão com a calculadora e escrever o modelo.
  • Interpretar o declive e usar o modelo para fazer previsões, reconhecendo os limites da extrapolação.

Erros frequentes

  • Extrapolar o modelo muito para além do intervalo dos dados e tomar a previsão como certa.
  • Escolher sempre a regressão linear, mesmo quando a nuvem de pontos é claramente curva.

Revisão ativa

Com os pares (1,8), (2,9), (3,11), (4,12), (5,14), (6,15), obtém a reta de regressão e o coeficiente de correlação com a calculadora, interpreta o declive e prevê a classificação para 4,5 horas de estudo.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Informação-Prova de Exame Final Nacional — Matemática B (735), 2026 (Instituto de Avaliação Educativa (IAVE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Variáveis, dados e representações○
    • 02Medidas de localização e de dispersão◐
    • 03Dados bivariados: dispersão e correlação◐
    • 04Regressão e modelação com a calculadora●

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Dos resumos à prática

Estatística

Consolida este tema com perguntas do banco de perguntas.

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — Ensino Secundário (Despacho 702/2023)

Instituto de Avaliação Educativa (IAVE)

  • Informação-Prova de Exame Final Nacional — Matemática B (735), 2026

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