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Resumos · Matemática BPT · Secundário

Modelos Matemáticos para a Cidadania

Este tema mostra a Matemática ao serviço das decisões coletivas e pessoais: como se transformam votos em vencedores e em mandatos, e como o dinheiro cresce (ou a dívida) ao longo do tempo. É um tema de literacia cívica e financeira, com métodos rigorosos e resultados por vezes surpreendentes. Integra o Exame Nacional de Matemática B.

4 secções·~15 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 4

T·0111 / 14
Perfil de exame
Aplicar e comparar sistemas de votação, reconhecendo propriedades e limitaçõesAplicar o método de Hondt à conversão de votos em mandatosCalcular juro simples e juro composto e fundamentar decisões financeirasInterpretar percentagens, descontos, impostos e taxas em contextos de cidadania
Operadores:calculaaplicacomparajustificaexplicainterpretaanalisa

nível básico

Compreender os principais sistemas de votação, aplicar o método de Hondt e distinguir juro simples de juro composto.

nível avançado

Analisar criticamente as limitações dos sistemas de votação e comparar produtos financeiros pela taxa efetiva (TAEG).

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Modelos Matemáticos para a Cidadania
    • 01Sistemas de votação e escolha social◐
    • 02Método de Hondt e proporcionalidade◐
    • 03Juro simples e juro composto◐
    • 04Percentagens, impostos e crédito◐
§ 01

Sistemas de votação e escolha social#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-10-modelos-matematicos-cidadania

Pontos-chave

Quando um grupo tem de escolher entre várias opções a partir das preferências de cada membro, precisa de uma regra de decisão — um sistema de votação. O ponto de partida é o perfil de preferências: cada eleitor ordena as opções, da que prefere para a que menos prefere. A ideia central deste tema, e a razão pela qual interessa à cidadania, é que a partir do MESMO perfil métodos diferentes podem eleger vencedores diferentes: o resultado de uma eleição não depende apenas dos votos, mas também da regra usada para os contar.
O método mais simples é a regra da pluralidade (maioria relativa): vence a opção mais vezes colocada em primeiro lugar. É fácil de aplicar, mas ignora toda a informação para além da primeira preferência e pode eleger uma opção que a maioria rejeita. O método de Borda corrige isto atribuindo pontos por posição: numa eleição com «n» candidatos, o 1.º lugar de cada boletim vale «n − 1» pontos, o 2.º vale «n − 2», e assim sucessivamente até «0»; vence quem somar mais pontos. O método de Borda valoriza o apoio global, mas é sensível à entrada de candidatos irrelevantes.
O critério de Condorcet propõe um teste exigente: uma opção é vencedora de Condorcet se derrotar todas as outras em confrontos diretos, dois a dois, por maioria. Quando existe, é um vencedor muito robusto; mas nem sempre existe, porque as preferências coletivas podem ser cíclicas (A vence B, B vence C e C vence A) — o chamado paradoxo de Condorcet. Nenhum método é perfeito: escolher a regra de contagem é, ele próprio, uma decisão com consequências.
A Fig. 1 resume o essencial num escrutínio de 90 eleitores (40 votam A>B>C, 22 votam B>C>A e 28 votam C>B>A): a pluralidade elege «A» (o mais votado em 1.º lugar), mas tanto o método de Borda como o critério de Condorcet elegem «B». O candidato «A» tem o maior número de primeiras preferências, mas perde os confrontos diretos com «B» e com «C»; é um vencedor «por pluralidade», não um vencedor consensual. Compreender esta diferença é compreender por que razão a escolha do método é uma questão política, e não apenas técnica.

Três métodos, três leituras do mesmo escrutínio

Comparação de métodos de votaçãoTabela com 4 colunas e 3 linhas, Dados: Candidato · Pluralidade (1.ᵃˢ pref.) · Borda (2/1/0) · Confrontos de Condorcet; A · 40 · 80 · perde com B (40–50) e com C (40–50); B · 22 · 112 · vence A (50–40) e vence C (62–28); C · 28 · 78 · vence A (50–40); perde com B (28–62), célula destacada: vence A (50–40) e vence C (62–28)CANDIDATOPLURALIDADE (1.ᵃˢPREF.)BORDA (2/1/0)CONFRONTOS DECONDORCETA4080perde com B (40–50) e com C(40–50)B22112vence A (50–40) e vence C(62–28)C2878vence A (50–40); perde com B(28–62)
Fig. 1Fig. 1 — Sobre 90 eleitores (40 A>B>C, 22 B>C>A, 28 C>B>A): A vence por pluralidade, mas B é o vencedor de Borda e de Condorcet.
Borda(X)=∑boletins(pontos da posic¸a˜o de X)\text{Borda}(X) = \sum_{\text{boletins}} (\text{pontos da posição de } X)Borda(X)=boletins∑​(pontos da posic¸​a˜o de X)

Contagem de Borda

Com n candidatos, o 1.º lugar vale n − 1 pontos, o 2.º vale n − 2, …, o último vale 0. Vence quem somar mais pontos.

Exemplo resolvido

Pluralidade, Borda e Condorcet sobre o mesmo perfil

90 eleitores ordenam os candidatos A, B, C assim: 40 votam A>B>C, 22 votam B>C>A e 28 votam C>B>A. Determina o vencedor segundo cada método.

  1. 01Pluralidade

    Contam-se as primeiras preferências: A tem 40, C tem 28, B tem 22. O mais votado em 1.º lugar é A.

  2. 02Borda (pontos 2, 1, 0)

    Com 3 candidatos o 1.º lugar vale 2, o 2.º vale 1 e o 3.º vale 0. A = 40·2 + 22·0 + 28·0 = 80. B = 40·1 + 22·2 + 28·1 = 40 + 44 + 28 = 112. C = 40·0 + 22·1 + 28·2 = 22 + 56 = 78. Vence B.

  3. 03Condorcet (confrontos diretos)

    A vs B: A é preferido por 40; B por 22 + 28 = 50 → vence B. A vs C: A por 40; C por 50 → vence C. B vs C: B por 40 + 22 = 62; C por 28 → vence B. Logo B derrota A e C.

  4. 04Conclusão

    A vence por pluralidade, mas B é o vencedor de Borda e o vencedor de Condorcet. O método escolhido altera o resultado.

Resultado: Pluralidade → A; Borda → B; Condorcet → B. O mesmo escrutínio dá vencedores diferentes consoante o método.

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar corretamente cada método (pluralidade, Borda, confrontos de Condorcet) a um perfil de preferências dado.
  • Justificar por que métodos diferentes podem eleger vencedores diferentes a partir do mesmo escrutínio.

Erros frequentes

  • Na contagem de Borda, atribuir os pontos por ordem crescente (1.º lugar a valer menos) em vez de decrescente.
  • Concluir que o vencedor de Condorcet existe sempre — pode haver ciclos (paradoxo de Condorcet).

Revisão ativa

Num escrutínio com 90 eleitores, as preferências são: 40 eleitores A>B>C, 22 eleitores B>C>A e 28 eleitores C>B>A. Determina o vencedor por pluralidade, por Borda e por Condorcet.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Método de Hondt e proporcionalidade#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-10-modelos-matematicos-cidadania

Pontos-chave

Eleger uma única pessoa é diferente de distribuir vários lugares (mandatos) por várias listas em proporção dos seus votos. Portugal usa, na eleição da Assembleia da República e das autarquias, o método de Hondt, um método de representação proporcional da família das «médias mais altas». O objetivo é repartir os mandatos de um círculo de forma tão proporcional quanto possível ao número de votos de cada lista, respeitando que os mandatos são números inteiros.
O algoritmo é simples e determinístico. Divide-se o número de votos de cada lista sucessivamente por 1, 2, 3, 4, … , obtendo-se uma tabela de quocientes. Depois, ordenam-se TODOS os quocientes por ordem decrescente e atribui-se um mandato a cada um dos maiores, tantos quantos os mandatos a distribuir. Uma lista recebe tantos mandatos quantos os seus quocientes que figurem entre os maiores (ver Fig. 2).

Método de Hondt — tabela de quocientes

Quocientes de Hondt (4 mandatos)Tabela com 4 colunas e 4 linhas, Dados: ÷ · P (24 000) · Q (14 000) · R (9 000); ÷1 · 24 000 ① · 14 000 ② · 9 000 ④; ÷2 · 12 000 ③ · 7 000 · 4 500; ÷3 · 8 000 · 4 667 · 3 000; ÷4 · 6 000 · 3 500 · 2 250÷P (24 000)Q (14 000)R (9 000)÷124 000 ①14 000 ②9 000 ④÷212 000 ③7 0004 500÷38 0004 6673 000÷46 0003 5002 250
Fig. 2Fig. 2 — Círculo de 4 mandatos. Os quocientes marcados ①–④ são os quatro maiores: P elege 2 mandatos, Q elege 1 e R elege 1.
A Fig. 2 mostra o método aplicado a um círculo com 4 mandatos e três listas (P com 24 000 votos, Q com 14 000 e R com 9 000). Os quatro maiores quocientes são, por ordem, 24 000 (P), 14 000 (Q), 12 000 (P) e 9 000 (R). Logo P obtém 2 mandatos, Q obtém 1 e R obtém 1; o quociente seguinte, 8 000 de P, ficaria em 5.º lugar. O método favorece ligeiramente as listas mais votadas, o que reforça a governabilidade mas penaliza os pequenos partidos.
Vale a pena reter a lógica de «média mais alta»: dividir os votos de uma lista pelo número de mandatos que já obteve mais um equivale a perguntar «qual seria o número médio de votos por mandato se esta lista recebesse mais um lugar?» — e o mandato vai para quem mantiver a média mais alta. Este raciocínio explica por que o método nunca deixa mandatos por atribuir e por que os resultados dependem tanto do número de mandatos do círculo como da dispersão dos votos.
Exemplo resolvido

Distribuir 4 mandatos pelo método de Hondt

Num círculo eleitoral com 4 mandatos, três listas obtiveram: P = 24 000 votos, Q = 14 000 e R = 9 000. Determina o número de mandatos de cada lista.

  1. 01Construir os quocientes

    Dividem-se os votos de cada lista por 1, 2, 3, 4. P: 24 000; 12 000; 8 000; 6 000. Q: 14 000; 7 000; 4 667; 3 500. R: 9 000; 4 500; 3 000; 2 250.

  2. 02Ordenar os maiores

    Por ordem decrescente: 24 000 (P), 14 000 (Q), 12 000 (P), 9 000 (R), 8 000 (P), …

  3. 03Atribuir os 4 mandatos

    Os 4 maiores quocientes pertencem a P (24 000 e 12 000 → 2 mandatos), a Q (14 000 → 1 mandato) e a R (9 000 → 1 mandato).

  4. 04Conclusão

    O 5.º quociente, 8 000, seria de P — mas já não há mandatos para atribuir.

Resultado: P elege 2 mandatos, Q elege 1 e R elege 1. Total: 4 mandatos.

Foco no Exame Nacional

  • Construir a tabela de quocientes de Hondt e atribuir corretamente os mandatos aos maiores quocientes.
  • Interpretar o efeito do método sobre a proporcionalidade (vantagem das listas mais votadas).

Erros frequentes

  • Dividir apenas pelo número de mandatos já atribuídos e não pela sequência 1, 2, 3, … de cada lista.
  • Somar os quocientes de cada lista em vez de os comparar individualmente entre todas as listas.

Revisão ativa

Num círculo com 5 mandatos, as listas obtiveram: X = 60 000 votos, Y = 32 000 e Z = 18 000. Aplica o método de Hondt e indica quantos mandatos elege cada lista.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Juro simples e juro composto#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-10-literacia-financeira

Pontos-chave

Aplicar ou pedir dinheiro tem um preço — o juro. No regime de juro simples, o juro de cada período calcula-se sempre sobre o capital inicial «C»: ao fim de «t» períodos, à taxa «i» por período, o juro total é «C·i·t» e o montante acumulado é «M(t) = C·(1 + i·t)». Como o juro por período é constante, o montante cresce de forma linear no tempo: o gráfico de «M(t)» é uma reta (ver Fig. 3).

Juro simples (reta) vs juro composto (curva)

Capitalização de 1000 € a 5 %Gráfico de juro simples, ordenada na origem y = 1000, crescente, no intervalo x de 0 a 20, Gráfico de juro composto, ordenada na origem y = 1000, crescente, no intervalo x de 0 a 20510152010001500200025002000 €≈2653 €juro simplesjuro compostoM (€)t (anos)
Fig. 3Fig. 3 — Capital de 1000 € a 5 %/ano: o juro simples cresce em linha reta (2000 € aos 20 anos); o juro composto cresce em curva (≈2653 € aos 20 anos).
No regime de juro composto, os juros de cada período são somados ao capital e passam também eles a render juros no período seguinte — «juro sobre juro». Ao fim de «t» períodos, o montante é «M(t) = C·(1 + i)ᵗ». Agora o crescimento é exponencial: cada período multiplica o montante pelo mesmo fator «(1 + i)», pelo que o gráfico é uma curva que se afasta cada vez mais depressa da reta do juro simples (ver Fig. 3).
A Fig. 3 compara os dois regimes para um capital «C = 1000 €» à taxa anual «i = 5 %». Ao fim de 20 anos, o juro simples dá «M = 1000·(1 + 0,05·20) = 2000 €», enquanto o juro composto dá «M = 1000·(1,05)²⁰ ≈ 2653,30 €». A diferença — cerca de 653 € — deve-se inteiramente ao efeito de capitalização, e cresce quanto maior for o prazo. É por isto que o juro composto é decisivo tanto na poupança de longo prazo como no peso de uma dívida que não se amortiza.
Em qualquer cálculo financeiro é essencial que a taxa e o tempo se refiram ao MESMO período. Uma taxa anual nominal de «12 %» capitalizada mensalmente corresponde a uma taxa mensal de «1 %» aplicada 12 vezes, o que dá uma taxa anual efetiva «(1,01)¹² − 1 ≈ 12,68 %», superior à nominal. Distinguir taxa nominal de taxa efetiva evita comparações enganadoras entre produtos financeiros.
M(t)=C (1+i t)M(t) = C\,(1 + i\,t)M(t)=C(1+it)

Juro simples

O juro de cada período incide sempre sobre o capital inicial C; o montante cresce linearmente.

M(t)=C (1+i)tM(t) = C\,(1 + i)^{t}M(t)=C(1+i)t

Juro composto

Os juros somam-se ao capital e passam a render juros; o montante cresce exponencialmente.

Exemplo resolvido

Comparar os dois regimes

Aplicam-se 1000 € à taxa anual de 5 %. Calcula o montante ao fim de 20 anos em juro simples e em juro composto.

  1. 01Juro simples

    M = 1000·(1 + 0,05·20) = 1000·(1 + 1) = 1000·2 = 2000 €. O juro total foi 1000 €.

  2. 02Juro composto

    M = 1000·(1,05)²⁰. Como (1,05)²⁰ ≈ 2,6533, vem M ≈ 1000·2,6533 = 2653,30 €.

    M=1000 (1,05)20≈2653,30 EURM = 1000\,(1{,}05)^{20} \approx 2653{,}30\ \text{EUR}M=1000(1,05)20≈2653,30 EUR
  3. 03Comparar

    A diferença é 2653,30 − 2000 = 653,30 €, devida ao efeito de capitalização (juro sobre juro).

Resultado: Juro simples: 2000 €. Juro composto: ≈2653,30 €. O juro composto rende mais ≈653,30 € ao fim de 20 anos.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular montantes e juros nos regimes de juro simples e de juro composto.
  • Reconhecer o crescimento linear (simples) versus exponencial (composto) e comparar os dois.

Erros frequentes

  • Aplicar a fórmula do juro composto quando o problema pede juro simples (ou vice-versa).
  • Misturar a taxa anual com um número de períodos em meses sem converter a taxa ao mesmo período.

Revisão ativa

Um capital de 2 000 € é aplicado à taxa anual de 4 %. Calcula o montante ao fim de 10 anos em juro simples e em juro composto e compara os resultados.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Percentagens, impostos e crédito#

●●○PadrãoLPAE-matematica-b-10-literacia-financeira

Pontos-chave

A percentagem é a linguagem comum das decisões financeiras. Aumentar uma quantia em «p %» equivale a multiplicá-la por «(1 + p/100)»; reduzi-la em «p %» equivale a multiplicá-la por «(1 − p/100)». Estes fatores multiplicativos são a ferramenta mais segura: encadear variações percentuais passa a ser multiplicar fatores, e não somar percentagens.
Daqui resulta um dos erros mais comuns da vida quotidiana — os descontos sucessivos. Um desconto de «20 %» seguido de outro de «30 %» NÃO é um desconto de «50 %»: sobre um preço de «100 €», o primeiro desconto leva a «80 €» e o segundo a «80·0,70 = 56 €», ou seja, um desconto efetivo de «44 %» (ver Fig. 4). A ordem dos descontos não altera o resultado, porque a multiplicação é comutativa: «0,80·0,70 = 0,70·0,80».

Descontos sucessivos não se somam

Descontos sucessivosTabela com 4 colunas e 3 linhas, Dados: Sobre 100 € · Fator aplicado · Preço a pagar · Desconto efetivo; Desconto único de 50 % · ×0,50 · 50 € · 50 %; 20 % e depois 30 % · ×0,80 ×0,70 = ×0,56 · 56 € · 44 %; 30 % e depois 20 % · ×0,70 ×0,80 = ×0,56 · 56 € · 44 %, célula destacada: 44 %SOBRE 100 €FATOR APLICADOPREÇO A PAGARDESCONTO EFETIVODESCONTO ÚNICO DE50 %×0,5050 €50 %20 % E DEPOIS 30 %×0,80 ×0,70 = ×0,5656 €44 %30 % E DEPOIS 20 %×0,70 ×0,80 = ×0,5656 €44 %
Fig. 4Fig. 4 — Sobre 100 €: 20 % seguido de 30 % dá um desconto efetivo de 44 % (paga 56 €), e não 50 %.
O mesmo raciocínio multiplicativo aplica-se aos impostos. Ao preço sem imposto de um bem sujeito a IVA à taxa «t» corresponde o preço final «P_sem·(1 + t)»; a taxa normal em Portugal continental é «23 %». Inversamente, para obter o valor sem IVA a partir do preço final divide-se por «(1 + t)» — e não se subtrai «23 %» ao preço final, um erro frequente que subestima o imposto.
Ao pedir um crédito, o custo real não se lê na taxa de juro nominal isolada, mas na Taxa Anual de Encargos Efetiva Global (TAEG), que incorpora juros, comissões, seguros e outros encargos numa única taxa anual efetiva. Comparar dois empréstimos pela TAEG é comparar o seu custo total anualizado de forma justa; escolher pelo valor da prestação mensal, ignorando o prazo e a TAEG, pode levar a pagar muito mais no total. A literacia financeira consiste, em boa parte, em saber qual o número que se deve comparar.
Pfinal=P0(1−p1100)(1−p2100)P_{\text{final}} = P_{0}\left(1 - \dfrac{p_1}{100}\right)\left(1 - \dfrac{p_2}{100}\right)Pfinal​=P0​(1−100p1​​)(1−100p2​​)

Descontos sucessivos

Encadear variações percentuais é multiplicar fatores; dois descontos de p1 e p2 por cento não equivalem a um desconto de p1 + p2 por cento.

Pcom IVA=Psem IVA (1+t),Psem IVA=Pcom IVA1+tP_{\text{com IVA}} = P_{\text{sem IVA}}\,(1 + t), \qquad P_{\text{sem IVA}} = \dfrac{P_{\text{com IVA}}}{1 + t}Pcom IVA​=Psem IVA​(1+t),Psem IVA​=1+tPcom IVA​​

IVA à taxa t

Para retirar o IVA divide-se por (1 + t); com a taxa normal t = 0,23, divide-se por 1,23.

Exemplo resolvido

IVA e descontos sucessivos

Uma peça custa 250 € sem IVA. Calcula o preço com IVA a 23 % e, sobre esse valor, aplica um desconto de 15 % seguido de outro de 10 %. Indica o preço a pagar e o desconto efetivo.

  1. 01Preço com IVA

    P = 250·(1 + 0,23) = 250·1,23 = 307,50 €.

  2. 02Descontos sucessivos

    Fator total = 0,85·0,90 = 0,765. Preço a pagar = 307,50·0,765 = 235,2375 ≈ 235,24 €.

  3. 03Desconto efetivo

    1 − 0,765 = 0,235, ou seja 23,5 % — e não 15 % + 10 % = 25 %.

Resultado: Preço com IVA: 307,50 €. Preço final após os descontos: ≈235,24 €. Desconto efetivo: 23,5 %.

Foco no Exame Nacional

  • Encadear variações percentuais (descontos e aumentos sucessivos) usando fatores multiplicativos.
  • Calcular e interpretar o IVA e comparar créditos pela TAEG.

Erros frequentes

  • Somar percentagens de descontos sucessivos (20 % + 30 % = 50 %) em vez de multiplicar os fatores.
  • Retirar o IVA subtraindo 23 % ao preço final, em vez de dividir por 1,23.

Revisão ativa

Uma peça custa 250 € sem IVA. Calcula o preço final com IVA a 23 %. Em seguida, sobre esse preço final aplica um desconto de 15 % e depois outro de 10 % e determina o preço a pagar e o desconto efetivo.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Sistemas de votação e escolha social◐
    • 02Método de Hondt e proporcionalidade◐
    • 03Juro simples e juro composto◐
    • 04Percentagens, impostos e crédito◐

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Dos resumos à prática

Modelos Matemáticos para a Cidadania

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática B — 10.º ano (Despacho 702/2023)

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