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Sucessões (progressões, limites, indução matemática)

As sucessões são funções de domínio natural: estudam-se a monotonia e a limitação, as progressões aritméticas e geométricas (com a dedução da soma dos seus termos), a demonstração por indução matemática e os limites de sucessões, incluindo o limite notável que define o número e. Matéria do 11.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções~11 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·0888 / 17

Perfil de exame

Estudar a monotonia e a limitação de sucessõesReconhecer progressões aritméticas e geométricas e somar os seus termosDemonstrar proposições por indução matemáticaCalcular limites de sucessões e aplicar o limite notável de e

Operadores:estudademonstracalculadeterminajustificaprova

nível básico

Reconhecer progressões, calcular termos e somas e a noção de limite de uma sucessão.

nível avançado

Deduzir fórmulas de somas, demonstrar por indução e calcular limites com o levantamento de indeterminações.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Sucessões (progressões, limites, indução matemática)

Sucessões: monotonia e limitação#

PadrãoAE-matematica-a-11-sucessoes

Uma sucessão é uma função de domínio «ℕ» (os números naturais): a cada ordem «n» faz corresponder um termo «uₙ». Pode definir-se pelo termo geral (uma expressão em «n», como «uₙ = n/(n+1)») ou por recorrência (dando o primeiro termo e a regra que liga cada termo ao anterior). Representar os termos como pontos permite ver o seu comportamento (ver Fig. 1).

Termos da sucessão uₙ = n/(n+1)

Fig. 1Fig. 1 — uₙ = n/(n+1): sucessão crescente e majorada por 1 (o limite é 1).

Uma sucessão é monótona crescente se cada termo é maior do que o anterior («uₙ₊₁ > uₙ» para todo o «n») e decrescente se cada termo é menor do que o anterior. Estuda-se a monotonia analisando o sinal da diferença «uₙ₊₁ − uₙ»: se for sempre positiva, a sucessão cresce; se sempre negativa, decresce. Uma sucessão pode ainda não ser monótona (alternar).

Uma sucessão é majorada se existe um número que nenhum termo ultrapassa (um majorante) e minorada se existe um número que nenhum termo fica abaixo (um minorante); é limitada quando é majorada e minorada. A Fig. 1 mostra «uₙ = n/(n+1)»: é crescente (cada termo é maior do que o anterior) e majorada por 1 (todos os termos são menores do que 1), logo é limitada.

Monotonia e limitação estão ligadas ao conceito central do tema — o limite. Uma sucessão crescente e majorada aproxima-se «por baixo» do seu majorante mais pequeno; uma decrescente e minorada aproxima-se «por cima» do seu minorante maior. Esta intuição, formalizada na secção sobre limites, mostra por que razão o estudo da monotonia e da limitação é o primeiro passo para compreender o comportamento assintótico de uma sucessão.

Exemplo resolvido

Estudar a monotonia de uma sucessão

Estuda a monotonia de uₙ = n/(n+1).

Diferença
uₙ₊₁ − uₙ = (n+1)/(n+2) − n/(n+1).
Reduzir ao mesmo denominador
= [(n+1)² − n(n+2)] / [(n+2)(n+1)] = [n² + 2n + 1 − n² − 2n] / [(n+2)(n+1)] = 1/[(n+2)(n+1)].
Sinal
O numerador é 1 > 0 e o denominador é positivo, logo uₙ₊₁ − uₙ > 0 para todo o n.
Conclusão
A diferença é sempre positiva: a sucessão é (estritamente) crescente. Como 0 < uₙ < 1, é também limitada.

Resultado: uₙ = n/(n+1) é crescente e limitada (0 < uₙ < 1).

Erros frequentes

Concluir monotonia a partir de alguns termos, sem estudar uₙ₊₁ − uₙ em geral.
Confundir majorante (limita por cima) com máximo (valor efetivamente atingido).

Revisão ativa

Estuda a monotonia da sucessão uₙ = (2n − 1)/n e indica se é limitada.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Progressões aritméticas e geométricas#

PadrãoAE-matematica-a-11-sucessoes

Uma progressão aritmética (PA) é uma sucessão em que cada termo se obtém do anterior somando uma constante «r», a razão. O termo geral é «aₙ = a₁ + (n − 1)r» e o gráfico dos termos está sobre uma reta de declive «r» (ver Fig. 2). Uma PA é crescente se «r > 0», decrescente se «r < 0» e constante se «r = 0».

Progressão aritmética aₙ = 2n − 1

Fig. 2Fig. 2 — PA aₙ = 2n − 1 (números ímpares): os termos estão sobre uma reta de declive r = 2.

A soma dos «n» primeiros termos de uma PA deduz-se por um argumento elegante (atribuído a Gauss): escreve-se a soma «Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ» e, por baixo, a mesma soma por ordem inversa; somando termo a termo, cada par vale «a₁ + aₙ», e há «n» pares. Logo «2Sₙ = n(a₁ + aₙ)», donde «Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2» — a média dos extremos vezes o número de termos.

Uma progressão geométrica (PG) é uma sucessão em que cada termo se obtém do anterior multiplicando por uma constante «r», a razão. O termo geral é «aₙ = a₁·r^(n−1)»; o crescimento é exponencial. A soma dos «n» primeiros termos, para «r ≠ 1», é «Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r)» — obtida subtraindo «r·Sₙ» de «Sₙ» e simplificando.

As progressões modelam inúmeras situações: a PA descreve acumulações a ritmo constante (prestações fixas, filas de assentos); a PG descreve crescimentos multiplicativos (juro composto, populações, decaimento). Reconhecer o tipo de progressão e aplicar a fórmula da soma correta é uma tarefa frequente no Exame — a Fig. 2 ilustra a PA «aₙ = 2n − 1» (os números ímpares), cuja soma dos «n» primeiros termos é, curiosamente, «n²».

a_n = a_1 + (n-1)r, \qquad S_n = \dfrac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

Progressão aritmética

Termo geral e soma dos n primeiros termos; a soma é a média dos extremos vezes o número de termos.

a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}, \qquad S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \ (r \neq 1)

Progressão geométrica

Termo geral e soma dos n primeiros termos de uma PG de razão r.

Exemplo resolvido

Termo geral e soma de uma PA

Considera a soma dos 20 primeiros números ímpares (a PA aₙ = 2n − 1). Calcula a₂₀ e a soma S₂₀.

Vigésimo termo
a₂₀ = 2·20 − 1 = 39.
Aplicar a fórmula da soma
S₂₀ = 20·(a₁ + a₂₀)/2 = 20·(1 + 39)/2.
Calcular
S₂₀ = 20·40/2 = 20·20 = 400.
$S_{20} = \dfrac{20\,(1 + 39)}{2} = 400$

Resultado: a₂₀ = 39 e S₂₀ = 400 (a soma dos n primeiros ímpares é n²; aqui 20² = 400).

Erros frequentes

Aplicar a fórmula da soma da PG com r = 1 (nesse caso a soma é n·a₁).
Trocar (n − 1) por n no termo geral da progressão.

Revisão ativa

Numa PA, a₁ = 3 e r = 4. Determina a₁₀ e a soma dos 10 primeiros termos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Indução matemática#

AprofundamentoAE-matematica-a-11-sucessoes

O princípio de indução matemática é o método para demonstrar que uma propriedade «P(n)» é verdadeira para todos os números naturais. Baseia-se numa ideia de «efeito dominó»: se a primeira peça cai, e se cada peça faz cair a seguinte, então todas as peças caem. A demonstração tem, por isso, dois passos indispensáveis (ver Fig. 3).

Os dois passos da indução matemática

Fig. 3Fig. 3 — Indução: verificado o caso base e a hereditariedade, a propriedade vale para todos os naturais.

O primeiro passo é a base da indução: verificar que «P(1)» (ou o primeiro caso relevante) é verdadeira. O segundo passo é a hereditariedade (ou passo indutivo): supor que «P(n)» é verdadeira para um natural «n» arbitrário — a hipótese de indução — e demonstrar, a partir daí, que «P(n + 1)» também é verdadeira. Verificados os dois passos, conclui-se que «P(n)» vale para todo o «n».

É crucial não confundir a hipótese de indução com o que se quer provar. Na hereditariedade, assume-se «P(n)» (a hipótese) e prova-se «P(n + 1)» (a tese); o passo lógico está em usar a hipótese algures na dedução — geralmente substituindo a expressão de «P(n)» dentro do cálculo de «P(n + 1)». Sem esse uso, a demonstração não é uma verdadeira indução.

A Fig. 3 esquematiza o método. A indução demonstra igualdades e desigualdades que dependem de «n» (somatórios, divisibilidades, majorações). O exemplo canónico é a fórmula da soma dos «n» primeiros naturais, «1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2», que se demonstra rigorosamente por indução — mostrando o método em ação, passo a passo.

Exemplo resolvido

Soma dos n primeiros naturais (por indução)

Demonstra, por indução, que 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 para todo o n natural.

Base (n = 1)
Lado esquerdo: 1. Lado direito: 1·(1 + 1)/2 = 1. A igualdade verifica-se: P(1) é verdadeira.
Hipótese de indução
Suponha-se que, para um n arbitrário, 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Tese (n + 1)
Quer provar-se que 1 + 2 + … + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2.
Passo indutivo
1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) [pela hipótese] = (n+1)·[n/2 + 1] = (n+1)(n+2)/2.
$\dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
Conclusão
Verificados a base e a hereditariedade, a fórmula é verdadeira para todo o n natural.

Resultado: Fica demonstrado que 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 para todo o n ∈ ℕ.

Erros frequentes

Esquecer o passo base (verificar P(1)).
Não usar a hipótese de indução na demonstração de P(n + 1) (raciocínio incompleto).

Revisão ativa

Demonstra por indução que 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n², para todo o n natural.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Limites de sucessões e o número e#

AprofundamentoAE-matematica-a-11-sucessoes

Dizer que uma sucessão tende para «L» (limite «L», sucessão convergente) significa que os seus termos se aproximam tanto de «L» quanto se queira, a partir de certa ordem. Uma sucessão pode ainda tender para «+∞» ou «−∞» (divergente para infinito) ou não ter limite. As regras operatórias dos limites (soma, produto, quociente) permitem calcular a maioria dos limites diretamente.

Quando o cálculo direto conduz a uma indeterminação — como «∞/∞», «∞ − ∞» ou «0·∞» —, é preciso «levantá-la» por manipulação algébrica. Para quocientes de polinómios em «n», a técnica-padrão é pôr em evidência a maior potência de «n»; o limite fica determinado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Por exemplo, «lim (3n² + 1)/(n² + n) = 3».

Um limite fundamental define o número «e», base dos logaritmos naturais: «lim (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828…» (ver Fig. 4). A sucessão «(1 + 1/n)ⁿ» é crescente e majorada, logo converge; o seu limite é o número irracional «e», omnipresente no cálculo diferencial e integral e nos modelos de crescimento contínuo. Variantes como «lim (1 + a/n)ⁿ = eᵃ» generalizam este resultado.

Convergência de (1 + 1/n)ⁿ para e

Fig. 4Fig. 4 — (1 + 1/n)ⁿ cresce e aproxima-se de e ≈ 2,718 (assíntota horizontal).

A Fig. 4 ilustra a convergência de «(1 + 1/n)ⁿ» para «e»: os termos crescem lentamente, aproximando-se de «e» sem nunca o atingir. Este exemplo reúne os conceitos do tema — uma sucessão monótona e limitada que converge para um limite notável — e faz a ponte para o estudo das funções exponencial e logarítmica no 12.º ano.

\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e \approx 2{,}71828

Limite notável (número e)

Define o número e; a sucessão é crescente e majorada, logo converge.

Exemplo resolvido

Levantar uma indeterminação ∞/∞

Calcula lim (3n² + 1)/(n² + n) quando n → +∞.

Identificar a indeterminação
Numerador e denominador tendem para +∞: indeterminação ∞/∞.
Pôr n² em evidência
(3n² + 1)/(n² + n) = [n²(3 + 1/n²)] / [n²(1 + 1/n)] = (3 + 1/n²)/(1 + 1/n).
Passar ao limite
Quando n → +∞, 1/n² → 0 e 1/n → 0, logo o limite é (3 + 0)/(1 + 0) = 3.

Resultado: lim (3n² + 1)/(n² + n) = 3 (razão dos coeficientes dos termos de maior grau).

Erros frequentes

«Simplificar» ∞/∞ para 1 sem levantar a indeterminação.
Escrever lim (1 + 1/n)ⁿ = 1 (a base tende para 1, mas o expoente cresce: o limite é e).

Revisão ativa

Calcula lim (3n² + 1)/(n² + n) e lim (1 + 2/n)ⁿ.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023)

Sucessões (progressões, limites, indução matemática)

4 secções~11 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Sucessões (progressões, limites, indução matemática)

Pontos-chave

Estudar a monotonia de uma sucessão

Pontos-chave

Termo geral e soma de uma PA

Pontos-chave

Soma dos n primeiros naturais (por indução)

Pontos-chave

Levantar uma indeterminação ∞/∞

Fontes

Sucessões (progressões, limites, indução matemática)

Pontos-chave

Estudar a monotonia de uma sucessão

Pontos-chave

Termo geral e soma de uma PA

Pontos-chave

Soma dos n primeiros naturais (por indução)

Pontos-chave

Levantar uma indeterminação ∞/∞

Fontes