Resumos · Matemática APT · Secundário

Trigonometria e funções trigonométricas

Generalizam-se as razões trigonométricas a ângulos e arcos quaisquer com o círculo trigonométrico e o radiano, usa-se a fórmula fundamental e a redução ao 1.º quadrante, e resolvem-se equações trigonométricas com soluções gerais. Estudam-se ainda as funções seno, cosseno e tangente e as suas transformações. Matéria do 11.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções~11 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·0777 / 17

Perfil de exame

Converter entre graus e radianos e usar o círculo trigonométricoAplicar a fórmula fundamental e a redução ao 1.º quadranteResolver equações trigonométricas com soluções geraisEstudar e transformar as funções trigonométricas

Operadores:calcularesolvedeterminaestudajustificainterpreta

nível básico

Usar o círculo trigonométrico, a fórmula fundamental e os valores notáveis; resolver equações simples.

nível avançado

Resolver equações trigonométricas gerais e estudar transformações das funções trigonométricas.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Trigonometria e funções trigonométricas

Radiano e círculo trigonométrico#

PadrãoAE-matematica-a-11-trigonometria

O radiano é a unidade natural de medida de ângulos: um radiano é a amplitude do ângulo ao centro que subtende, numa circunferência, um arco de comprimento igual ao raio. Como o perímetro da circunferência é «2πr», uma volta completa (360°) corresponde a «2π» radianos; daí a conversão «180° = π rad». Trabalhar em radianos é essencial para as funções trigonométricas e para o cálculo diferencial.

O círculo trigonométrico é a circunferência de raio 1 centrada na origem. A cada número real «x» associa-se o ponto obtido rodando «x» radianos a partir de «(1, 0)» (sentido positivo, anti-horário). As coordenadas desse ponto são, por definição, «(cos x, sin x)»: o cosseno é a abcissa e o seno a ordenada. Assim se generalizam as razões trigonométricas a qualquer número real, para além dos ângulos agudos.

O círculo torna imediatos os sinais e a variação: no 1.º quadrante seno e cosseno são positivos; no 2.º o seno é positivo e o cosseno negativo; no 3.º ambos negativos; no 4.º o cosseno positivo e o seno negativo. Os valores máximo e mínimo de seno e cosseno são «1» e «−1», atingidos nos eixos. A tangente define-se por «tan x = sin x / cos x», não existindo onde «cos x = 0».

A Fig. 1 mostra as funções «sin x» e «cos x» ao longo de uma volta «[0, 2π]». São funções periódicas de período «2π»: repetem-se de «2π» em «2π». O gráfico do cosseno é o do seno adiantado de «π/2» — reflexo da relação «cos x = sin(x + π/2)». Ler estas curvas no círculo trigonométrico, e vice-versa, é a competência de base de todo o tema.

Funções seno e cosseno

Fig. 1Fig. 1 — sin x (traço cheio) e cos x (tracejado) em [0, 2π]: funções periódicas de período 2π, entre −1 e 1.

180^\circ = \pi \text{ rad} \quad\Rightarrow\quad \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{graus}} \cdot \dfrac{\pi}{180}

Conversão graus–radianos

Uma volta completa (360 graus) corresponde a 2π radianos.

Exemplo resolvido

Converter graus em radianos

Converte 150° em radianos e indica o sinal do seno, cosseno e tangente de 150°.

Conversão
150° = 150 · π/180 = 5π/6 rad.
Quadrante
5π/6 está entre π/2 e π: é do 2.º quadrante.
Sinais
No 2.º quadrante: sin > 0 (ordenada positiva), cos < 0 (abcissa negativa), tan = sin/cos < 0.

Resultado: 150° = 5π/6 rad; sin 150° > 0, cos 150° < 0, tan 150° < 0.

Erros frequentes

Trabalhar em graus quando o contexto (funções, derivadas) exige radianos, ou vice-versa na calculadora.
Trocar seno (ordenada) com cosseno (abcissa) no círculo trigonométrico.

Revisão ativa

Converte 150° em radianos e indica o sinal de sin, cos e tan de um ângulo do 2.º quadrante.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Fórmula fundamental e valores notáveis#

PadrãoAE-matematica-a-11-trigonometria

A fórmula fundamental da trigonometria, «sin²x + cos²x = 1», é consequência direta do teorema de Pitágoras aplicado ao círculo trigonométrico (o ponto «(cos x, sin x)» está à distância 1 da origem). Vale para qualquer «x» e permite, conhecido o seno (ou o cosseno) e o quadrante, determinar o outro. Dela derivam relações úteis, como «1 + tan²x = 1/cos²x».

A redução ao 1.º quadrante exprime as razões de um ângulo qualquer à custa das razões de um ângulo agudo, usando as simetrias do círculo. Por exemplo, «sin(π − x) = sin x», «cos(π − x) = −cos x»; «sin(π + x) = −sin x», «cos(π + x) = −cos x»; «sin(−x) = −sin x» (função ímpar), «cos(−x) = cos x» (função par). Estas fórmulas evitam decorar valores em todos os quadrantes.

Os valores notáveis dos ângulos «0», «π/6», «π/4», «π/3» e «π/2» devem ser conhecidos de memória (ver Fig. 2); obtêm-se de triângulos elementares (o equilátero e o retângulo isósceles). Combinados com a redução ao 1.º quadrante, permitem calcular exatamente as razões de muitos ângulos (como «2π/3», «5π/6» ou «7π/4») sem calculadora — indispensável no Caderno 2 do Exame.

Valores notáveis das razões trigonométricas

Fig. 2Fig. 2 — Valores notáveis de seno, cosseno e tangente (a tangente não existe em π/2).

A Fig. 2 reúne os valores notáveis de seno, cosseno e tangente. Note-se o padrão: os senos de «0, π/6, π/4, π/3, π/2» são «√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2», e os cossenos leem-se em ordem inversa. A tangente obtém-se pelo quociente «sin/cos» e não existe em «π/2» (onde o cosseno se anula). Reconhecer estes padrões ajuda a memorizar e a verificar.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Fórmula fundamental

Consequência do teorema de Pitágoras no círculo trigonométrico; válida para todo o x.

Exemplo resolvido

Determinar cos e tan a partir do seno

Sabendo que sin x = 3/5 e que x pertence ao 2.º quadrante, determina cos x e tan x.

Fórmula fundamental
cos²x = 1 − sin²x = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
Escolher o sinal
cos x = ±4/5. Como x é do 2.º quadrante, o cosseno é negativo: cos x = −4/5.
Tangente
tan x = sin x / cos x = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

Resultado: cos x = −4/5 e tan x = −3/4.

Erros frequentes

Escrever sin²x + cos²x = 1 como sin x + cos x = 1.
Escolher o sinal errado ao passar de sin para cos (ignorar o quadrante).

Revisão ativa

Sabendo que sin x = 3/5 e que x é do 2.º quadrante, determina cos x e tan x.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Equações trigonométricas#

AprofundamentoAE-matematica-a-11-trigonometria

Uma equação trigonométrica tem a incógnita dentro de uma razão trigonométrica. Por serem funções periódicas, estas equações têm, em geral, uma infinidade de soluções, que se descrevem por soluções gerais com um parâmetro inteiro «k». Resolver é encontrar todos os valores de «x» que a satisfazem — e não apenas um.

Para a equação «sin x = sin α», as soluções são «x = α + 2kπ» ou «x = π − α + 2kπ», com «k ∈ ℤ»: os dois pontos do círculo com a mesma ordenada, mais todas as voltas completas. Para «cos x = cos α», as soluções são «x = α + 2kπ» ou «x = −α + 2kπ» (mesma abcissa). Para «tan x = tan α», por a tangente ter período «π», basta «x = α + kπ».

A estratégia geral: reduzir a equação à forma «sin x = sin α» (ou cos/tan) identificando um ângulo «α» com o valor pretendido, e depois aplicar a solução geral (ver Fig. 3). Quando se pede as soluções num intervalo dado (por exemplo «[0, 2π]»), substituem-se valores inteiros de «k» e selecionam-se as soluções que caem no intervalo.

Resolução gráfica de sin x = 0,5

Fig. 3Fig. 3 — sin x = 0,5 em [0, 2π]: soluções x = π/6 e x = 5π/6 (interseções com y = 0,5).

A Fig. 3 mostra a resolução gráfica de «sin x = 0,5» em «[0, 2π]»: as soluções são as abcissas dos pontos onde a curva do seno cruza a reta «y = 0,5», isto é «x = π/6» e «x = 5π/6». A leitura gráfica confirma a resolução analítica e ajuda a não esquecer soluções — um erro muito frequente quando se resolve apenas com a calculadora, que devolve um único valor.

\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \lor\ x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Solução geral (seno)

As duas famílias de soluções correspondem aos dois pontos do círculo com a mesma ordenada.

Exemplo resolvido

Resolver sin x = 0,5

Resolve sin x = 0,5 em ℝ e indica as soluções em [0, 2π].

Ângulo de referência
Procura-se α com sin α = 0,5; um valor notável é α = π/6.
Solução geral
sin x = sin(π/6) ⇔ x = π/6 + 2kπ ∨ x = π − π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ.
Selecionar em [0, 2π]
Para k = 0: x = π/6 e x = 5π/6 (ambos em [0, 2π]). Para outros k, as soluções saem do intervalo.

Resultado: Em ℝ: x = π/6 + 2kπ ∨ x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ. Em [0, 2π]: x = π/6 e x = 5π/6.

Erros frequentes

Apresentar apenas uma solução (a da calculadora) e esquecer a família e a segunda família de soluções.
Usar período 2π para a tangente (o período da tangente é π).

Revisão ativa

Resolve a equação sin x = 0,5 em ℝ e indica as soluções que pertencem a [0, 2π].

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Funções trigonométricas e transformações#

AprofundamentoAE-matematica-a-11-trigonometria

As funções «sin», «cos» e «tan» têm propriedades específicas. O seno e o cosseno têm domínio «ℝ», contradomínio «[−1, 1]» e período «2π»; o seno é ímpar e o cosseno par. A tangente tem período «π», contradomínio «ℝ» e não está definida onde «cos x = 0» (isto é, em «x = π/2 + kπ»), pontos onde o gráfico tem assíntotas verticais (ver Fig. 4).

Função tangente e as suas assíntotas

Fig. 4Fig. 4 — Um período da tangente: cresce de −∞ a +∞ entre as assíntotas x = ±π/2.

A partir de «y = sin x» constroem-se modelos oscilatórios pela forma geral «y = a·sin(b(x − c)) + d». O parâmetro «|a|» é a amplitude (metade da distância entre máximo e mínimo); «b» controla o período, que passa a ser «2π/|b|»; «c» é um desfasamento horizontal; «d» desloca verticalmente (a linha média). Interpretar cada parâmetro é essencial para modelar fenómenos periódicos (marés, temperaturas, sinais).

A Fig. 4 mostra a função tangente num período, com as suas assíntotas verticais em «±π/2»: entre elas, a função cresce de «−∞» a «+∞». O contraste com o seno e o cosseno (limitados a «[−1, 1]») é instrutivo — a tangente não é limitada, e o seu comportamento junto das assíntotas é típico das funções com descontinuidades infinitas.

O estudo destas funções (domínio, período, zeros, extremos, monotonia por intervalos) prepara o tema seguinte, o cálculo diferencial: as derivadas de seno e cosseno («(sin x)' = cos x», «(cos x)' = −sin x») e o limite notável «lim (sin x)/x = 1» ligam a trigonometria à análise. Reconhecer amplitude, período e desfasamento num gráfico, e escrever a expressão correspondente, é uma tarefa recorrente no Exame.

Exemplo resolvido

Amplitude, período e contradomínio

Para f(x) = 2·sin(2x), determina a amplitude, o período e o contradomínio.

Amplitude
Na forma a·sin(bx), a amplitude é |a| = 2.
Período
O período é 2π/|b| = 2π/2 = π.
Contradomínio
Como sin varia em [−1, 1], 2·sin(2x) varia em [−2, 2].

Resultado: Amplitude 2, período π e contradomínio [−2, 2].

Erros frequentes

Dizer que o período de sin(bx) é 2π (é 2π/|b|).
Esquecer as assíntotas da tangente e o seu domínio (x ≠ π/2 + kπ).

Revisão ativa

Para a função f(x) = 2·sin(2x), indica a amplitude, o período e o contradomínio.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023)

Trigonometria e funções trigonométricas

4 secções~11 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Trigonometria e funções trigonométricas

Pontos-chave

Converter graus em radianos

Pontos-chave

Determinar cos e tan a partir do seno

Pontos-chave

Resolver sin x = 0,5

Pontos-chave

Amplitude, período e contradomínio

Fontes

Trigonometria e funções trigonométricas

Pontos-chave

Converter graus em radianos

Pontos-chave

Determinar cos e tan a partir do seno

Pontos-chave

Resolver sin x = 0,5

Pontos-chave

Amplitude, período e contradomínio

Fontes