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Resumos/Matemática A/Funções: limites, continuidade e introdução às derivadas
Resumos · Matemática APT · Secundário

Funções: limites, continuidade e introdução às derivadas

Introduz-se o cálculo infinitesimal: limites de funções (laterais, infinitos e no infinito), continuidade e o teorema de Bolzano, assíntotas ao gráfico, e a derivada num ponto definida como limite da taxa de variação, com a sua interpretação geométrica de declive da tangente. Matéria do 11.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções·~11 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0999 / 17
Perfil de exame
Calcular limites de funções e levantar indeterminações simplesEstudar a continuidade e aplicar o teorema de BolzanoDeterminar assíntotas verticais, horizontais e oblíquasDefinir e interpretar a derivada num ponto
Operadores:calculadeterminaestudajustificainterpretademonstra

nível básico

Calcular limites simples, reconhecer assíntotas e a noção de derivada.

nível avançado

Levantar indeterminações, aplicar Bolzano e calcular derivadas pela definição.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Funções: limites, continuidade e introdução às derivadas
    • 01Limites de funções◐
    • 02Continuidade e teorema de Bolzano◐
    • 03Assíntotas do gráfico◐
    • 04Taxa de variação e derivada num ponto●
§ 01

Limites de funções#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-11-funcoes-limites-derivadas

Pontos-chave

O limite de uma função «f» num ponto «a» descreve o valor de que «f(x)» se aproxima quando «x» se aproxima de «a». Distinguem-se os limites laterais: à esquerda («x → a⁻») e à direita («x → a⁺»). O limite existe (é finito) quando os dois limites laterais coincidem. Os limites podem ser finitos, infinitos («+∞» ou «−∞») ou não existir.
Os limites no infinito descrevem o comportamento de «f(x)» quando «x → +∞» ou «x → −∞» — fundamentais para o estudo do comportamento a longo prazo e das assíntotas. As regras operatórias (limite da soma, produto, quociente) permitem calcular a maioria dos limites por substituição direta, desde que não surja uma indeterminação.
As indeterminações («0/0», «∞/∞», «∞ − ∞», «0·∞») exigem levantamento por manipulação algébrica: fatorização e simplificação (em «0/0»), pôr a maior potência em evidência (em «∞/∞» de funções racionais), ou multiplicar pelo conjugado (em «∞ − ∞» com raízes). A Fig. 1 mostra «f(x) = (2x + 1)/(x − 1)», cujo limite quando «x → +∞» é 2 e cujos limites laterais em «x = 1» são «±∞».

Assíntotas de f(x) = (2x + 1)/(x − 1)

Limites e assíntotasGráfico de y = (2x+1)/(x−1), zeros em x = -0.5, ordenada na origem y = -1, decrescente, no intervalo x de -4 a 0.6, Gráfico, decrescente, no intervalo x de 1.4 a 6, assíntota vertical em x = 1, assíntota horizontal em y = 2−4−2246−5510x = 1y = 2y = (2x+1)/(x−1)yx
Fig. 1Fig. 1 — f(x) = (2x + 1)/(x − 1): assíntota vertical x = 1 e assíntota horizontal y = 2.
Um limite notável muito usado é «lim (sin x)/x = 1» quando «x → 0» — apesar de «0/0», o quociente aproxima-se de 1. Este limite é a pedra angular da derivada das funções trigonométricas. Os limites são a linguagem de todo o cálculo: continuidade, assíntotas e derivadas definem-se todos à custa de limites, como se verá nas secções seguintes.
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1x→0lim​xsinx​=1

Limite notável trigonométrico

Apesar da indeterminação 0/0, o quociente tende para 1; base da derivada do seno.

Exemplo resolvido

Levantar uma indeterminação 0/0

Calcula lim (x² − 4)/(x − 2) quando x → 2.

  1. 01Substituição direta

    Em x = 2: (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0, indeterminação.

  2. 02Fatorizar

    x² − 4 = (x − 2)(x + 2), logo (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 (para x ≠ 2).

  3. 03Passar ao limite

    lim (x + 2) quando x → 2 é 2 + 2 = 4.

Resultado: lim (x² − 4)/(x − 2) = 4 (a indeterminação levanta-se por fatorização).

Foco no Exame Nacional

  • Calcular limites laterais, no infinito e levantar indeterminações ∞/∞ e 0/0.
  • Aplicar o limite notável lim (sin x)/x = 1.

Erros frequentes

  • Concluir que o limite existe quando os limites laterais são diferentes.
  • «Simplificar» uma indeterminação sem a levantar algebricamente.

Revisão ativa

Calcula lim (x² − 4)/(x − 2) quando x → 2 e lim (2x + 1)/(x − 1) quando x → +∞.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Continuidade e teorema de Bolzano#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-11-funcoes-limites-derivadas

Pontos-chave

Uma função «f» é contínua num ponto «a» do seu domínio quando o limite de «f» em «a» existe e é igual a «f(a)». Intuitivamente, o gráfico «não se levanta do papel» nesse ponto: não há saltos, buracos nem assíntotas. Uma função é contínua num intervalo se for contínua em todos os seus pontos. As funções polinomiais, exponenciais, seno e cosseno são contínuas em «ℝ».
A continuidade tem consequências profundas. O teorema de Bolzano-Cauchy (ou do valor intermédio) afirma: se «f» é contínua num intervalo «[a, b]» e «f(a)» e «f(b)» têm sinais contrários, então «f» tem pelo menos um zero em «]a, b[» (ver Fig. 2). É a garantia rigorosa de que uma função contínua que muda de sinal tem de passar por zero.

Teorema de Bolzano

Teorema de BolzanoGráfico de y = x³ − x − 1, zeros em x = 1.325, mínimo em (0.577, -1.385), ordenada na origem y = -1, no intervalo x de 0 a 2.20.511.52−2246f(1) = −1f(2) = 5zeroy = x³ − x − 1yx
Fig. 2Fig. 2 — f(x) = x³ − x − 1 é contínua e muda de sinal entre 1 e 2: por Bolzano, tem aí um zero.
A Fig. 2 mostra «f(x) = x³ − x − 1», contínua em «ℝ»: como «f(1) = −1 < 0» e «f(2) = 5 > 0», Bolzano garante um zero entre 1 e 2 (de facto, próximo de 1,32). Este teorema é a base dos métodos de localização de zeros e é frequentemente pedido no Exame para justificar a existência de soluções de equações que não se resolvem exatamente.
É importante o rigor na aplicação: Bolzano exige continuidade no intervalo fechado e mudança de sinal nos extremos; garante a existência de (pelo menos) um zero, não a unicidade nem o seu valor. Para garantir que o zero é único, junta-se um argumento de monotonia (por exemplo, via derivada). A continuidade é, assim, a hipótese que dá poder aos grandes teoremas da Análise.
Exemplo resolvido

Aplicar o teorema de Bolzano

Mostra que x³ − x − 1 = 0 tem pelo menos uma solução em ]1, 2[.

  1. 01Continuidade

    f(x) = x³ − x − 1 é uma função polinomial, logo contínua em ℝ e, em particular, em [1, 2].

  2. 02Sinais nos extremos

    f(1) = 1 − 1 − 1 = −1 < 0; f(2) = 8 − 2 − 1 = 5 > 0.

  3. 03Aplicar Bolzano

    f é contínua em [1, 2] e f(1)·f(2) < 0, logo, pelo teorema de Bolzano, existe c ∈ ]1, 2[ tal que f(c) = 0.

Resultado: A equação tem (pelo menos) uma solução em ]1, 2[, garantida pelo teorema de Bolzano.

Foco no Exame Nacional

  • Justificar a continuidade de uma função num intervalo.
  • Aplicar o teorema de Bolzano para garantir a existência de um zero.

Erros frequentes

  • Aplicar Bolzano sem verificar a continuidade em todo o intervalo.
  • Concluir a unicidade do zero (Bolzano só garante a existência).

Revisão ativa

Mostra, usando o teorema de Bolzano, que a equação x³ − x − 1 = 0 tem pelo menos uma solução em ]1, 2[.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Assíntotas do gráfico#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-11-funcoes-limites-derivadas

Pontos-chave

Uma assíntota é uma reta da qual o gráfico da função se aproxima indefinidamente. As assíntotas verticais ocorrem em pontos «x = a» onde a função tende para «±∞» (por exemplo, zeros do denominador de uma função racional que não anulam o numerador); detetam-se calculando os limites laterais em «a».
As assíntotas horizontais correspondem ao comportamento no infinito: se «lim f(x) = b» quando «x → +∞» (ou «−∞»), a reta «y = b» é assíntota horizontal. Numa função racional, existe assíntota horizontal quando o grau do numerador é menor ou igual ao do denominador. Uma função pode ter assíntotas horizontais diferentes em «+∞» e em «−∞».
As assíntotas oblíquas (não verticais nem horizontais) têm equação «y = mx + b», com «m = lim f(x)/x» e «b = lim [f(x) − mx]» quando «x → ±∞» (com «m ≠ 0» finito). Surgem, por exemplo, em funções racionais cujo numerador tem grau uma unidade acima do denominador. A Fig. 3 mostra «f(x) = (x² + 1)/x = x + 1/x», com assíntota vertical «x = 0» e assíntota oblíqua «y = x».

Assíntota oblíqua de f(x) = x + 1/x

Assíntota oblíquaGráfico, máximo em (-1, -2), no intervalo x de -4 a -0.3, Gráfico de y = x + 1/x, mínimo em (1, 2), no intervalo x de 0.3 a 4, Gráfico de y = x, zeros em x = 0, ordenada na origem y = 0, crescente, no intervalo x de -4 a 4, assíntota vertical em x = 0−4−3−2−11234−6−4−2246x = 0y = x + 1/xy = xyx
Fig. 3Fig. 3 — f(x) = (x² + 1)/x = x + 1/x: assíntota vertical x = 0 e assíntota oblíqua y = x (tracejado).
O estudo das assíntotas resume o comportamento da função nas «fronteiras» do domínio e no infinito, e é peça essencial no esboço rigoroso de um gráfico. No Exame, pede-se frequentemente a determinação e a justificação das assíntotas por meio de limites — não basta «ver» a assíntota no gráfico, é preciso calculá-la.
Exemplo resolvido

Determinar as assíntotas de uma função racional

Determina as assíntotas do gráfico de f(x) = (x² + 1)/x.

  1. 01Assíntota vertical

    O domínio é ℝ \ {0}. Em x = 0: quando x → 0⁺, f → +∞; quando x → 0⁻, f → −∞. Logo x = 0 é assíntota vertical.

  2. 02Existe oblíqua?

    Como o grau do numerador (2) supera o do denominador (1) em uma unidade, há assíntota oblíqua e não horizontal.

  3. 03Declive m

    m = lim f(x)/x = lim (x² + 1)/x² = 1 (quando x → ±∞).

  4. 04Ordenada b

    b = lim [f(x) − x] = lim [(x² + 1)/x − x] = lim 1/x = 0. Assíntota oblíqua: y = x.

Resultado: Assíntota vertical x = 0 e assíntota oblíqua y = x.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar assíntotas verticais (limites laterais) e horizontais (limites no infinito).
  • Calcular assíntotas oblíquas por m = lim f(x)/x e b = lim [f(x) − mx].

Erros frequentes

  • Procurar assíntota horizontal e oblíqua no mesmo ramo (ou há uma ou outra, não ambas).
  • Esquecer de confirmar que o numerador não se anula no candidato a assíntota vertical.

Revisão ativa

Determina as assíntotas do gráfico de f(x) = (x² + 1)/x.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Taxa de variação e derivada num ponto#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-11-funcoes-limites-derivadas

Pontos-chave

A taxa média de variação de «f» entre «a» e «b» é «[f(b) − f(a)]/(b − a)» — o declive da reta secante que une os dois pontos do gráfico. Mede a variação média de «f» por unidade de «x» nesse intervalo. É a versão discreta da ideia de «velocidade média».
A derivada de «f» no ponto «a», «f′(a)», define-se como o limite da taxa média de variação quando o segundo ponto se aproxima de «a»: «f′(a) = lim [f(a + h) − f(a)]/h» quando «h → 0». Geometricamente, é o declive da reta tangente ao gráfico no ponto «(a, f(a))»: a secante roda até se tornar tangente (ver Fig. 4). Quando este limite existe (e é finito), diz-se que «f» é diferenciável em «a».

Derivada como declive da tangente

Derivada num pontoGráfico de y = x², zeros em x = 0, mínimo em (0, 0), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -1 a 3−1−0.50.511.522.53−112345P(1, 1)tangente em x = 1y = x²yx
Fig. 4Fig. 4 — f(x) = x² e a tangente em (1, 1): o declive da tangente é f′(1) = 2.
A interpretação da derivada como declive da tangente é central. A equação da reta tangente ao gráfico de «f» em «x = a» é «y = f(a) + f′(a)(x − a)». A Fig. 4 mostra «f(x) = x²» e a sua tangente em «(1, 1)», de declive «f′(1) = 2». A derivada mede a taxa de variação instantânea — velocidade, ritmo de crescimento, inclinação — em cada ponto.
Nem toda a função é diferenciável em todo o ponto: onde o gráfico tem um «bico» (como «|x|» na origem) os limites laterais da taxa de variação diferem e a derivada não existe; onde há tangente vertical, a derivada é infinita. Diferenciabilidade implica continuidade, mas não o contrário. Calcular derivadas pela definição, embora trabalhoso, fundamenta as regras de derivação que se sistematizam no 12.º ano.
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}f′(a)=h→0lim​hf(a+h)−f(a)​

Derivada num ponto

Limite da taxa média de variação; é o declive da tangente ao gráfico em (a, f(a)).

y=f(a)+f′(a) (x−a)y = f(a) + f'(a)\,(x - a)y=f(a)+f′(a)(x−a)

Reta tangente

Reta que passa por (a, f(a)) com declive f′(a).

Exemplo resolvido

Derivada pela definição e reta tangente

Calcula f′(1) pela definição, sendo f(x) = x², e escreve a equação da reta tangente em x = 1.

  1. 01Razão incremental

    [f(1 + h) − f(1)]/h = [(1 + h)² − 1]/h = [1 + 2h + h² − 1]/h = (2h + h²)/h.

  2. 02Simplificar

    = 2 + h (para h ≠ 0).

  3. 03Limite

    f′(1) = lim (2 + h) quando h → 0 = 2.

  4. 04Reta tangente

    y = f(1) + f′(1)(x − 1) = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1.

Resultado: f′(1) = 2; a reta tangente em (1, 1) é y = 2x − 1.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular a derivada num ponto pela definição (limite da razão incremental).
  • Escrever a equação da reta tangente ao gráfico num ponto.

Erros frequentes

  • Confundir taxa média de variação (secante) com derivada (tangente).
  • Esquecer o ponto de tangência ao escrever a equação da reta tangente.

Revisão ativa

Calcula, pela definição, a derivada de f(x) = x² no ponto x = 1 e escreve a equação da reta tangente nesse ponto.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Limites de funções◐
    • 02Continuidade e teorema de Bolzano◐
    • 03Assíntotas do gráfico◐
    • 04Taxa de variação e derivada num ponto●

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Dos resumos à prática

Funções: limites, continuidade e introdução às derivadas

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 11.º ano (Despacho 702/2023)

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