Resumos · Matemática APT · Secundário

Funções exponenciais, logarítmicas e função composta

Estudam-se a função exponencial (com o limite notável que a caracteriza) e a função logarítmica, as suas propriedades operatórias e a relação de inversão entre ambas, no quadro mais geral da função composta e da função inversa. Aplicam-se a equações e inequações e a modelos de crescimento e decaimento. Matéria do 12.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções~10 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·101010 / 17

Perfil de exame

Estudar a função exponencial e aplicar o seu limite notávelAplicar as propriedades operatórias dos logaritmosCompor funções e reconhecer funções inversasResolver equações e inequações e modelar com exponenciais e logaritmos

Operadores:estudaresolvecalculadeterminamodelajustifica

nível básico

Reconhecer as funções exponencial e logarítmica e as propriedades dos logaritmos.

nível avançado

Resolver equações e inequações exp./log., compor funções e determinar inversas, aplicar limites notáveis.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Funções exponenciais, logarítmicas e função composta

Função exponencial#

PadrãoAE-matematica-a-12-funcoes-exp-log

A função exponencial de base «e», «f(x) = eˣ», é a mais importante da Análise. Tem domínio «ℝ», contradomínio «]0, +∞[» (é sempre positiva), é estritamente crescente e injetiva. O seu gráfico passa por «(0, 1)» e tem o eixo «Ox» como assíntota horizontal quando «x → −∞» (ver Fig. 1). Cresce mais depressa do que qualquer polinómio — o «crescimento exponencial».

Função exponencial f(x) = eˣ

Fig. 1Fig. 1 — f(x) = eˣ: crescente, positiva, com assíntota horizontal y = 0 e f(0) = 1.

As potências obedecem às regras conhecidas: «eˣ · eʸ = eˣ⁺ʸ», «eˣ / eʸ = eˣ⁻ʸ», «(eˣ)ʸ = eˣʸ». Estas propriedades transformam produtos em somas de expoentes e são a chave da resolução de equações exponenciais. Bases diferentes de «e» reduzem-se a esta: «aˣ = eˣ ln a».

Um limite notável caracteriza o crescimento da exponencial junto da origem: «lim (eˣ − 1)/x = 1» quando «x → 0». Dele decorre a propriedade que torna «e» especial no cálculo: a derivada de «eˣ» é a própria «eˣ». Este facto — a função que é igual à sua derivada — explica a omnipresença de «e» na modelação de fenómenos de crescimento e decaimento.

A Fig. 1 mostra «f(x) = eˣ»: positiva, crescente, com assíntota horizontal «y = 0» à esquerda e ordenada na origem «1». A exponencial modela juros compostos contínuos, crescimento de populações, decaimento radioativo (com expoente negativo) e muitos outros fenómenos em que a taxa de variação é proporcional à própria quantidade.

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1

Limite notável exponencial

Traduz que a derivada de eˣ em 0 vale 1; consequência: (eˣ)′ = eˣ.

Exemplo resolvido

Resolver uma equação exponencial

Resolve eˣ = 5.

Aplicar o logaritmo
Como o logaritmo natural é a inversa da exponencial, ln(eˣ) = ln 5, ou seja x = ln 5.
Valor aproximado
ln 5 ≈ 1,609.

Resultado: x = ln 5 ≈ 1,609.

Erros frequentes

Dizer que eˣ pode ser negativo ou nulo (é sempre positiva).
Somar bases em vez de somar expoentes (eˣ · eʸ = eˣ⁺ʸ, não e^(x·y)).

Revisão ativa

Resolve a equação eˣ = 5 e indica o valor aproximado da solução.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Logaritmos e função logarítmica#

PadrãoAE-matematica-a-12-funcoes-exp-log

O logaritmo de «x» na base «a» (com «a > 0», «a ≠ 1») é o expoente a que é preciso elevar «a» para obter «x»: «log_a x = y ⇔ aʸ = x». O logaritmo de base «e» chama-se logaritmo natural e escreve-se «ln x». Como só as potências de base positiva dão resultados positivos, o logaritmo só está definido para «x > 0».

As propriedades operatórias dos logaritmos transformam produtos em somas, quocientes em diferenças e potências em produtos: «ln(ab) = ln a + ln b», «ln(a/b) = ln a − ln b», «ln(aⁿ) = n ln a». São o inverso das regras das potências e a ferramenta essencial para resolver equações em que a incógnita está no expoente. A mudança de base faz-se por «log_a x = ln x / ln a».

A função logarítmica «f(x) = ln x» tem domínio «]0, +∞[», contradomínio «ℝ», é estritamente crescente e tem o eixo «Oy» como assíntota vertical (quando «x → 0⁺», «ln x → −∞») — ver Fig. 2. Passa por «(1, 0)», pois «ln 1 = 0». Cresce muito lentamente, o oposto do crescimento explosivo da exponencial.

Função logarítmica f(x) = ln x

Fig. 2Fig. 2 — f(x) = ln x: domínio ]0, +∞[, crescente, assíntota vertical x = 0, zero em x = 1.

A Fig. 2 mostra «f(x) = ln x»: definida apenas para «x > 0», crescente, com assíntota vertical «x = 0» e zero em «x = 1». Os logaritmos permitem «medir ordens de grandeza» (escalas logarítmicas: Richter, pH, decibéis) e resolver equações exponenciais. Dominar as suas propriedades operatórias é indispensável no Exame.

\log_a x = y \iff a^y = x, \qquad \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}

Definição e mudança de base

O logaritmo é o expoente; qualquer base reduz-se ao logaritmo natural.

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a

Propriedades operatórias

Transformam produtos/quocientes/potências em somas/diferenças/produtos.

Exemplo resolvido

Simplificar uma expressão com logaritmos

Simplifica ln(e³) + ln 1 − ln(1/e).

ln(e³)
ln(e³) = 3·ln e = 3·1 = 3.
ln 1
ln 1 = 0 (pois e⁰ = 1).
ln(1/e)
ln(1/e) = ln(e⁻¹) = −1.
Somar
3 + 0 − (−1) = 4.

Resultado: ln(e³) + ln 1 − ln(1/e) = 4.

Erros frequentes

Escrever ln(a + b) = ln a + ln b (a propriedade é para o produto, não para a soma).
Esquecer a condição de existência x > 0 ao resolver equações logarítmicas.

Revisão ativa

Simplifica ln(e³) + ln 1 − ln(1/e) e resolve ln(x − 1) = 0.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Função composta e função inversa#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-funcoes-exp-log

A composição de funções aplica uma função ao resultado de outra: «(f ∘ g)(x) = f(g(x))». Primeiro atua «g», depois «f»; o domínio de «f ∘ g» são os «x» do domínio de «g» cujas imagens estão no domínio de «f». A composição não é comutativa em geral («f ∘ g ≠ g ∘ f»). Decompor uma função complicada como composição de funções simples é essencial para a derivar (regra da cadeia).

Uma função «f» é invertível se for injetiva (a valores diferentes de «x» correspondem imagens diferentes). A função inversa «f⁻¹» «desfaz» «f»: «f⁻¹(f(x)) = x» e «f(f⁻¹(y)) = y». O domínio de «f⁻¹» é o contradomínio de «f» e vice-versa. Graficamente, os gráficos de «f» e «f⁻¹» são simétricos em relação à reta «y = x» (ver Fig. 3).

Exponencial e logaritmo: funções inversas

Fig. 3Fig. 3 — eˣ e ln x são inversas: os gráficos são simétricos em relação a y = x (tracejado).

A exponencial e o logaritmo natural são, precisamente, funções inversas uma da outra: «ln(eˣ) = x» para todo o «x», e «e^(ln x) = x» para «x > 0». Esta relação de inversão explica muitas das suas propriedades e é a razão pela qual se resolvem equações exponenciais aplicando logaritmos (e vice-versa). A Fig. 3 mostra a simetria dos dois gráficos em relação a «y = x».

Reconhecer uma função como composta ou como inversa de outra simplifica muito o seu estudo. Para determinar a inversa de uma função injetiva, resolve-se «y = f(x)» em ordem a «x» e trocam-se os papéis das variáveis. A simetria em relação a «y = x» fornece uma verificação gráfica imediata do resultado — uma técnica valiosa no Exame.

Exemplo resolvido

Determinar a função inversa

Determina a inversa de f(x) = eˣ + 1 e o seu domínio.

Escrever y = f(x)
y = eˣ + 1.
Resolver em ordem a x
eˣ = y − 1 ⇒ x = ln(y − 1) (válido para y − 1 > 0, isto é y > 1).
Trocar variáveis
f⁻¹(x) = ln(x − 1).
Domínio
O domínio de f⁻¹ é o contradomínio de f, ]1, +∞[ (pois eˣ + 1 > 1).

Resultado: f⁻¹(x) = ln(x − 1), com domínio ]1, +∞[.

Erros frequentes

Confundir a inversa f⁻¹ com o inverso 1/f.
Compor pela ordem errada ((f ∘ g)(x) = f(g(x)), não g(f(x))).

Revisão ativa

Determina a função inversa de f(x) = eˣ + 1 e indica o seu domínio.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Equações, inequações e modelos#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-funcoes-exp-log

Resolver equações exponenciais consiste, em regra, em igualar bases (e, então, os expoentes) ou em aplicar logaritmos a ambos os membros. Nas inequações, há que atender à monotonia: como «eˣ» e «ln x» são crescentes, a desigualdade mantém o sentido ao aplicar a exponencial ou o logaritmo — mas é preciso respeitar sempre a condição de existência «x > 0» nos logaritmos.

Os modelos exponenciais descrevem fenómenos em que a taxa de variação é proporcional à quantidade presente. O crescimento exponencial «N(t) = N₀·e^(kt)» com «k > 0» modela populações e capitais; o decaimento «N(t) = N₀·e^(−kt)» com «k > 0» modela a desintegração radioativa, o arrefecimento e a eliminação de um fármaco (ver Fig. 4). «N₀» é o valor inicial e «k» a taxa (constante) de crescimento ou decaimento.

Modelo de decaimento exponencial

Fig. 4Fig. 4 — N(t) = 100·e^(−0,3t): decaimento exponencial; meia-vida ≈ 2,31 h (quando N = 50).

Uma grandeza característica do decaimento é a meia-vida: o tempo ao fim do qual a quantidade se reduz a metade. Obtém-se resolvendo «N(t) = N₀/2», isto é «e^(−kt) = 1/2», donde «t = ln 2 / k». A Fig. 4 mostra o modelo «N(t) = 100·e^(−0,3t)», com meia-vida «ln 2 / 0,3 ≈ 2,31». Modelar significa escolher a função, ajustar os parâmetros aos dados e usar o modelo para prever.

Os logaritmos são a ferramenta natural para «resolver o tempo» nestes modelos — determinar quando uma quantidade atinge um dado valor. A modelação exponencial e logarítmica aparece com frequência no Exame, muitas vezes apoiada na calculadora gráfica (para intersetar curvas ou ler valores), combinando o rigor algébrico com a leitura de gráficos.

N(t) = N_0\,e^{-kt}, \qquad t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}

Decaimento exponencial e meia-vida

N₀ é o valor inicial e k a taxa de decaimento; a meia-vida é o tempo para reduzir a quantidade a metade.

Exemplo resolvido

Meia-vida e tempo para 20 %

Para N(t) = 100·e^(−0,3t) (t em horas), determina a meia-vida e o instante em que resta 20 % da quantidade inicial.

Meia-vida
N(t) = 50 ⇔ 100·e^(−0,3t) = 50 ⇔ e^(−0,3t) = 0,5 ⇔ −0,3t = ln 0,5 ⇔ t = ln 2 / 0,3 ≈ 2,31 h.
20 % da quantidade
20 % de 100 é 20: 100·e^(−0,3t) = 20 ⇔ e^(−0,3t) = 0,2 ⇔ −0,3t = ln 0,2.
Resolver
t = −ln 0,2 / 0,3 = ln 5 / 0,3 ≈ 1,609/0,3 ≈ 5,36 h.

Resultado: A meia-vida é ≈ 2,31 h; resta 20 % da quantidade inicial ao fim de ≈ 5,36 h.

Erros frequentes

Ao resolver inequações logarítmicas, esquecer o domínio (argumento > 0).
Confundir a taxa k com a meia-vida (relacionam-se por t = ln 2 / k).

Revisão ativa

Uma substância decai segundo N(t) = 100·e^(−0,3t) (t em horas). Determina a meia-vida e o instante em que resta 20 % da quantidade inicial.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

Funções exponenciais, logarítmicas e função composta

4 secções~10 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Funções exponenciais, logarítmicas e função composta

Pontos-chave

Resolver uma equação exponencial

Pontos-chave

Simplificar uma expressão com logaritmos

Pontos-chave

Determinar a função inversa

Pontos-chave

Meia-vida e tempo para 20 %

Fontes

Funções exponenciais, logarítmicas e função composta

Pontos-chave

Resolver uma equação exponencial

Pontos-chave

Simplificar uma expressão com logaritmos

Pontos-chave

Determinar a função inversa

Pontos-chave

Meia-vida e tempo para 20 %

Fontes