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Resumos/Matemática A/Cálculo diferencial (derivadas, monotonia, otimização)
Resumos · Matemática APT · Secundário

Cálculo diferencial (derivadas, monotonia, otimização)

Sistematizam-se as regras de derivação (incluindo a regra da cadeia) e aplica-se a derivada ao estudo das funções: monotonia e extremos (1.ª derivada), concavidade e inflexões (2.ª derivada), problemas de otimização com justificação da natureza do extremo, e o estudo completo de uma função. É o núcleo do 12.º ano e um dos temas mais avaliados no Exame Nacional.

5 secções·~13 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 4

T·111111 / 17
Perfil de exame
Derivar funções aplicando todas as regras, incluindo a regra da cadeiaEstudar a monotonia e determinar extremos com a 1.ª derivadaEstudar a concavidade e as inflexões com a 2.ª derivadaResolver problemas de otimização e realizar o estudo completo de funções
Operadores:derivacalculaestudadeterminaotimizajustifica

nível básico

Derivar funções com as regras básicas e estudar monotonia e extremos.

nível avançado

Aplicar a regra da cadeia, estudar concavidade e resolver problemas de otimização com justificação rigorosa.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 5 secções▾
  1. Cálculo diferencial (derivadas, monotonia, otimização)
    • 01Regras de derivação e regra da cadeia◐
    • 02Monotonia e extremos●
    • 03Concavidade e pontos de inflexão●
    • 04Otimização●
    • 05Estudo completo de uma função●
§ 01

Regras de derivação e regra da cadeia#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-12-calculo-diferencial

Pontos-chave

Calcular derivadas pela definição é trabalhoso; as regras de derivação automatizam o processo. As derivadas das funções elementares (Fig. 1) devem ser conhecidas: «(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹», «(eˣ)′ = eˣ», «(ln x)′ = 1/x», «(sin x)′ = cos x», «(cos x)′ = −sin x». A derivada é linear: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e as constantes multiplicativas «saem para fora».

Regras de derivação

Tabela de derivadasTabela com 2 colunas e 9 linhas, Dados: Função f(x) · Derivada f′(x); c (constante) · 0; xⁿ · n·xⁿ⁻¹; eˣ · eˣ; ln x · 1/x; sin x · cos x; cos x · −sin x; u·v · u′v + u·v′; u / v · (u′v − u·v′)/v²; f(g(x)) · f′(g(x))·g′(x)FUNÇÃO F(X)DERIVADA F′(X)C (CONSTANTE)0Xⁿn·xⁿ⁻¹EˣeˣLN X1/xSIN Xcos xCOS X−sin xU·Vu′v + u·v′U / V(u′v − u·v′)/v²F(G(X))f′(g(x))·g′(x)
Fig. 1Fig. 1 — Derivadas das funções elementares e regras de derivação.
Para produtos e quocientes há regras específicas. A regra do produto: «(u·v)′ = u′v + uv′». A regra do quociente: «(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²». É um erro grave supor que a derivada do produto é o produto das derivadas — a regra correta tem dois termos. Estas fórmulas, com as das funções elementares, cobrem a maioria das derivadas do 12.º ano.
A regra da cadeia deriva funções compostas: «[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)» — deriva-se a função «de fora» (mantendo a de dentro) e multiplica-se pela derivada da função «de dentro». É indispensável sempre que a variável aparece «dentro» de outra função: «(sin(x²))′ = cos(x²)·2x», «(e^(3x))′ = 3e^(3x)». Esquecer o fator «g′(x)» é dos erros mais frequentes de todo o cálculo.
A Fig. 1 reúne as regras. Dominar a derivação é a base de todo o estudo que se segue: monotonia, extremos, concavidade e otimização assentam no cálculo correto (e rápido) de derivadas. No Exame, muitas resoluções começam por uma derivada — um erro nessa fase compromete todo o resto do problema.
(u⋅v)′=u′v+u v′,(uv)′=u′v−u v′v2(u \cdot v)' = u'v + u\,v', \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - u\,v'}{v^2}(u⋅v)′=u′v+uv′,(vu​)′=v2u′v−uv′​

Regras do produto e do quociente

Fórmulas para derivar produtos e quocientes de funções.

[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)

Regra da cadeia

Deriva-se a função exterior e multiplica-se pela derivada da função interior.

Exemplo resolvido

Regra da cadeia e regra do produto

Calcula as derivadas de h(x) = (2x + 1)³ e de p(x) = x²·eˣ.

  1. 01h′ pela cadeia

    Função exterior u³ (derivada 3u²), interior u = 2x + 1 (derivada 2): h′(x) = 3(2x + 1)²·2 = 6(2x + 1)².

  2. 02p′ pelo produto

    Com u = x² (u′ = 2x) e v = eˣ (v′ = eˣ): p′(x) = u′v + uv′ = 2x·eˣ + x²·eˣ.

  3. 03Simplificar p′

    p′(x) = eˣ(2x + x²) = x·eˣ(2 + x).

Resultado: h′(x) = 6(2x + 1)² e p′(x) = eˣ(x² + 2x).

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar corretamente as regras do produto, do quociente e da cadeia.
  • Derivar funções compostas sem esquecer o fator da derivada interior.

Erros frequentes

  • Supor que (u·v)′ = u′·v′ (a regra do produto tem dois termos).
  • Derivar uma composta sem multiplicar pela derivada da função interior (regra da cadeia).

Revisão ativa

Calcula a derivada de h(x) = (2x + 1)³ e de p(x) = x²·eˣ.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Monotonia e extremos#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-calculo-diferencial

Pontos-chave

O sinal da 1.ª derivada determina a monotonia: onde «f′(x) > 0» a função é crescente; onde «f′(x) < 0» é decrescente. Os pontos onde «f′(x) = 0» (ou onde a derivada não existe) são candidatos a extremos relativos. Estudar a monotonia reduz-se, assim, a estudar o sinal de «f′» — tipicamente com um quadro de sinal (ver Fig. 3).

Quadro de sinal de f′(x) = 3x² − 3

Quadro de sinal de f′Tabela com 6 colunas e 2 linhas, Dados: x · (−∞, −1) · −1 · (−1, 1) · 1 · (1, +∞); f′(x) = 3x² − 3 · + · 0 · − · 0 · +; f(x) · ↗ · máx · ↘ · mín · ↗, célula destacada: máxX(−∞, −1)−1(−1, 1)1(1, +∞)F′(X) = 3X² − 3+0−0+F(X)↗máx↘mín↗
Fig. 3Fig. 3 — Sinal de f′ e variação de f: máximo em x = −1, mínimo em x = 1.
Um extremo relativo (máximo ou mínimo local) ocorre onde a derivada muda de sinal. Se «f′» passa de positiva a negativa, há um máximo relativo; se passa de negativa a positiva, há um mínimo relativo. Se «f′» se anula mas não muda de sinal, não há extremo (é um ponto de tangente horizontal sem inversão de monotonia). O quadro de sinal deteta tudo isto de forma sistemática.
A Fig. 2 mostra «f(x) = x³ − 3x», com «f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)». A derivada anula-se em «x = −1» e «x = 1»; é positiva fora de «[−1, 1]» e negativa dentro. Logo há um máximo relativo em «(−1, 2)» e um mínimo relativo em «(1, −2)». A função cresce, decresce e volta a crescer (ver Fig. 3).

Extremos de f(x) = x³ − 3x

Monotonia e extremosGráfico de y = x³ − 3x, zeros em x = -1.732, 0, 1.732, máximo em (-1, 2), mínimo em (1, -2), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -2.1 a 2.1−2−112−3−2−1123máx (−1, 2)mín (1, −2)y = x³ − 3xyx
Fig. 2Fig. 2 — f(x) = x³ − 3x: máximo relativo (−1, 2) e mínimo relativo (1, −2).
Distinguem-se extremos relativos (locais) de extremos absolutos (globais). Num intervalo fechado, os extremos absolutos procuram-se entre os extremos relativos interiores e os valores nos extremos do intervalo. Este estudo — traduzir o comportamento de uma função no sinal da sua derivada — é o coração do cálculo diferencial e uma tarefa recorrente no Exame.
Exemplo resolvido

Monotonia e extremos de x³ − 3x

Estuda a monotonia e determina os extremos de f(x) = x³ − 3x.

  1. 01Derivada

    f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).

  2. 02Zeros da derivada

    f′(x) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1.

  3. 03Sinal e monotonia

    f′ > 0 em ]−∞, −1[ e ]1, +∞[ (f crescente); f′ < 0 em ]−1, 1[ (f decrescente).

  4. 04Extremos

    Em x = −1, f passa de crescente a decrescente: máximo relativo f(−1) = 2. Em x = 1, passa de decrescente a crescente: mínimo relativo f(1) = −2.

Resultado: f cresce em ]−∞, −1] e [1, +∞[ e decresce em [−1, 1]; máximo (−1, 2) e mínimo (1, −2).

Foco no Exame Nacional

  • Estudar a monotonia pelo sinal de f′ e classificar os extremos.
  • Distinguir extremos relativos de absolutos num intervalo.

Erros frequentes

  • Concluir que há extremo sempre que f′ se anula (é preciso mudança de sinal).
  • Confundir o valor do extremo (f(a)) com o ponto onde ocorre (a).

Revisão ativa

Estuda a monotonia e determina os extremos de f(x) = x³ − 3x.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Concavidade e pontos de inflexão#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-calculo-diferencial

Pontos-chave

A 2.ª derivada «f″» (derivada da derivada) informa sobre a concavidade do gráfico. Onde «f″(x) > 0», a concavidade está voltada para cima (a função «curva para cima», como uma taça); onde «f″(x) < 0», a concavidade está voltada para baixo. A concavidade descreve como varia o declive: para cima, o declive aumenta; para baixo, diminui.
Um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade muda de sentido. Nesses pontos, «f″» anula-se e muda de sinal. Tal como um extremo requer mudança de sinal de «f′», uma inflexão requer mudança de sinal de «f″» — a mera anulação não basta. A tangente num ponto de inflexão «atravessa» o gráfico.
Para «f(x) = x³ − 3x», tem-se «f″(x) = 6x». Como «f″ < 0» para «x < 0» (concavidade para baixo) e «f″ > 0» para «x > 0» (concavidade para cima), e «f″» muda de sinal em «x = 0», o ponto «(0, 0)» é ponto de inflexão (ver Fig. 4). É aí que a curva passa de «curvar para baixo» a «curvar para cima».

Ponto de inflexão de f(x) = x³ − 3x

Concavidade e inflexãoGráfico de y = x³ − 3x, zeros em x = -1.732, 0, 1.732, máximo em (-1, 2), mínimo em (1, -2), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -2.1 a 2.1−2−112−3−2−1123inflexão (0, 0)y = x³ − 3xyx
Fig. 4Fig. 4 — f(x) = x³ − 3x: ponto de inflexão em (0, 0), onde f″ = 6x muda de sinal.
A 2.ª derivada fornece também o teste da segunda derivada para classificar extremos: se «f′(a) = 0» e «f″(a) > 0», há mínimo em «a»; se «f″(a) < 0», há máximo. É frequentemente mais rápido do que o quadro de sinal de «f′», e usa-se com vantagem em problemas de otimização, onde permite justificar a natureza do extremo sem construir o quadro completo.
Exemplo resolvido

Concavidade e inflexão de x³ − 3x

Estuda a concavidade e determina os pontos de inflexão de f(x) = x³ − 3x.

  1. 01Segunda derivada

    f′(x) = 3x² − 3; f″(x) = 6x.

  2. 02Sinal de f″

    f″(x) < 0 para x < 0 (concavidade para baixo); f″(x) > 0 para x > 0 (concavidade para cima).

  3. 03Ponto de inflexão

    f″ anula-se e muda de sinal em x = 0; como f(0) = 0, o ponto de inflexão é (0, 0).

Resultado: Concavidade para baixo em ]−∞, 0[ e para cima em ]0, +∞[; ponto de inflexão (0, 0).

Foco no Exame Nacional

  • Estudar a concavidade pelo sinal de f″ e determinar pontos de inflexão.
  • Usar o teste da 2.ª derivada para classificar extremos.

Erros frequentes

  • Declarar inflexão onde f″ = 0 sem verificar a mudança de sinal.
  • Confundir concavidade (f″) com monotonia (f′).

Revisão ativa

Estuda a concavidade e determina os pontos de inflexão de f(x) = x³ − 3x.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Otimização#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-calculo-diferencial

Pontos-chave

Otimizar é encontrar o valor máximo ou mínimo de uma grandeza — a maior área, o menor custo, o percurso mais curto. O método é sempre o mesmo: exprimir a grandeza a otimizar como função de uma variável, determinar o domínio adequado ao contexto, derivar, encontrar os pontos críticos («f′ = 0») e classificar o extremo, justificando a sua natureza.
O passo mais delicado é a modelação: traduzir o enunciado numa função de UMA variável. Frequentemente há duas variáveis ligadas por uma restrição (um perímetro fixo, um volume dado); usa-se a restrição para eliminar uma variável. Só então se deriva. A Fig. 5 mostra a função-área «A(x) = x(10 − x)» de um retângulo de perímetro 20, cujo máximo ocorre em «x = 5».

Área máxima de um retângulo de perímetro fixo

OtimizaçãoGráfico de A(x) = x(10 − x), zeros em x = 0, 10, máximo em (5, 25), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de 0 a 1024681051015202530máx (5, 25)A(x) = x(10 − x)áreax (um lado)
Fig. 5Fig. 5 — A(x) = x(10 − x), área de um retângulo de perímetro 20: máximo A = 25 em x = 5 (quadrado 5×5).
Justificar a natureza do extremo é obrigatório no Exame — não basta anular a derivada. Pode usar-se o sinal de «f′» em torno do ponto (quadro de sinal) ou o teste da 2.ª derivada: se «f″(a) < 0», o ponto crítico é máximo; se «f″(a) > 0», é mínimo. Para «A(x) = 10x − x²», «A′(x) = 10 − 2x» anula-se em «x = 5» e «A″(x) = −2 < 0», confirmando o máximo.
Uma vez encontrado o valor da variável que otimiza, é preciso responder ao que foi perguntado: o valor ótimo da grandeza (a área máxima, o custo mínimo) e, quando pedido, as dimensões que o realizam. Verificar que a solução faz sentido no contexto (dimensões positivas, dentro do domínio) é o controlo final. A otimização é uma das aplicações mais valorizadas do cálculo diferencial.
Exemplo resolvido

Retângulo de área máxima com perímetro dado

De todos os retângulos com perímetro 20, determina o de área máxima.

  1. 01Modelar

    Sejam x e y os lados. Perímetro: 2x + 2y = 20 ⇒ y = 10 − x, com 0 < x < 10.

  2. 02Função-área

    A(x) = x·y = x(10 − x) = 10x − x².

  3. 03Derivar e anular

    A′(x) = 10 − 2x; A′(x) = 0 ⇔ x = 5.

  4. 04Justificar o máximo

    A″(x) = −2 < 0, logo x = 5 é máximo. Então y = 10 − 5 = 5 e A = 5·5 = 25.

Resultado: O retângulo de área máxima é o quadrado de lado 5, com área 25 (justificado por A″ < 0).

Foco no Exame Nacional

  • Modelar a grandeza a otimizar como função de uma variável, usando a restrição.
  • Justificar a natureza do extremo (sinal de f′ ou teste da 2.ª derivada).

Erros frequentes

  • Anular a derivada e não justificar que se trata de máximo (ou mínimo).
  • Esquecer o domínio contextual (dimensões devem ser positivas).

Revisão ativa

De todos os retângulos de perímetro 20, determina o de área máxima e indica essa área.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 05

Estudo completo de uma função#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-calculo-diferencial

Pontos-chave

O estudo completo de uma função reúne todas as ferramentas do cálculo numa análise sistemática. Percorrem-se, por esta ordem: domínio; interseções com os eixos (zeros e ordenada na origem); paridade e simetrias (se úteis); limites nas fronteiras do domínio e assíntotas; monotonia e extremos (via «f′»); concavidade e inflexões (via «f″»); e, por fim, o esboço do gráfico coerente com toda a informação.
Cada etapa contribui com uma peça do «retrato» da função. O domínio e as assíntotas fixam o «palco»; os zeros e a ordenada na origem localizam o gráfico; a monotonia e os extremos dão a «forma» das subidas e descidas; a concavidade afina a curvatura. Um bom esboço é aquele em que todas as peças encaixam sem contradição — uma verificação de coerência poderosa.
A Fig. 6 mostra o estudo completo de «f(x) = x³ − 3x»: domínio «ℝ», zeros em «−√3, 0, √3», máximo relativo «(−1, 2)», mínimo relativo «(1, −2)» e ponto de inflexão «(0, 0)». Sem assíntotas (função polinomial), com «f(x) → −∞» quando «x → −∞» e «f(x) → +∞» quando «x → +∞». O esboço integra toda esta informação.

Estudo completo de f(x) = x³ − 3x

Estudo completoGráfico de y = x³ − 3x, zeros em x = -1.732, 0, 1.732, máximo em (-1, 2), mínimo em (1, -2), ordenada na origem y = 0, no intervalo x de -2.1 a 2.1−2−112−3−2−1123−√30√3máxmíny = x³ − 3xyx
Fig. 6Fig. 6 — f(x) = x³ − 3x: zeros ±√3 e 0, máximo (−1, 2), mínimo (1, −2), inflexão (0, 0).
O estudo completo é uma das tarefas mais formativas do 12.º ano: exige mobilizar, de forma articulada, limites, derivadas e o sentido geométrico. No Exame surge frequentemente por partes (pede-se o domínio, depois os extremos, depois a concavidade), mas a competência subjacente é a mesma — ler o comportamento de uma função a partir das suas derivadas e traduzi-lo num gráfico rigoroso.
Exemplo resolvido

Estudo completo de x³ − 3x

Faz o estudo completo de f(x) = x³ − 3x.

  1. 01Domínio e zeros

    Domínio ℝ. Zeros: x³ − 3x = x(x² − 3) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±√3. Ordenada na origem: f(0) = 0.

  2. 02Limites e assíntotas

    Polinomial: sem assíntotas. f(x) → −∞ quando x → −∞ e f(x) → +∞ quando x → +∞.

  3. 03Monotonia e extremos

    f′(x) = 3x² − 3; máximo (−1, 2) e mínimo (1, −2).

  4. 04Concavidade e inflexão

    f″(x) = 6x; concavidade para baixo em ]−∞, 0[ e para cima em ]0, +∞[; inflexão (0, 0).

  5. 05Esboço

    Curva crescente até (−1, 2), decrescente até (1, −2), crescente depois; atravessa o eixo em −√3, 0 e √3, com a concavidade a mudar em (0, 0).

Resultado: Função ímpar, com zeros ±√3 e 0, máximo (−1, 2), mínimo (1, −2) e inflexão (0, 0) — o esboço da Fig. 6.

Foco no Exame Nacional

  • Articular domínio, zeros, assíntotas, monotonia, extremos e concavidade num estudo coerente.
  • Esboçar o gráfico integrando toda a informação obtida.

Erros frequentes

  • Esboçar um gráfico incoerente com o estudo (por exemplo, sem respeitar a concavidade determinada).
  • Omitir etapas (esquecer as assíntotas ou a concavidade).

Revisão ativa

Faz o estudo completo de f(x) = x³ − 3x (domínio, zeros, extremos, concavidade) e esboça o gráfico.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 05

    • 01Regras de derivação e regra da cadeia◐
    • 02Monotonia e extremos●
    • 03Concavidade e pontos de inflexão●
    • 04Otimização●
    • 05Estudo completo de uma função●

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Dos resumos à prática

Cálculo diferencial (derivadas, monotonia, otimização)

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

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