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Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório

Fundamenta-se a probabilidade pela axiomática e pela regra de Laplace, estuda-se a probabilidade condicionada e a independência de acontecimentos, e desenvolve-se o cálculo combinatório (arranjos, permutações e combinações), culminando no triângulo de Pascal e no binómio de Newton. Matéria do 12.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções·~10 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 3

T·121212 / 17
Perfil de exame
Aplicar a axiomática das probabilidades e a regra de LaplaceCalcular probabilidades condicionadas e testar a independênciaContar com arranjos, permutações e combinaçõesAplicar o triângulo de Pascal e o binómio de Newton
Operadores:calculacontadeterminajustificadistingueaplica

nível básico

Calcular probabilidades pela regra de Laplace e contar casos com combinações simples.

nível avançado

Aplicar probabilidade condicionada, independência e o binómio de Newton a problemas complexos.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório
    • 01Acontecimentos, axiomática e regra de Laplace◐
    • 02Probabilidade condicionada e independência●
    • 03Cálculo combinatório●
    • 04Triângulo de Pascal e binómio de Newton●
§ 01

Acontecimentos, axiomática e regra de Laplace#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

Uma experiência aleatória tem resultados que não se conseguem prever com certeza. O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral «Ω»; um acontecimento é um subconjunto de «Ω». As operações entre conjuntos traduzem a linguagem dos acontecimentos: a reunião «A ∪ B» é «A ou B», a interseção «A ∩ B» é «A e B», o complementar «Ā» é «não A» (ver Fig. 1).

Dois acontecimentos num diagrama de Venn

AcontecimentosDiagrama de Venn com 2 conjuntos, A, BABsó Asó BA ∩ B
Fig. 1Fig. 1 — Acontecimentos A e B: as regiões «só A», «só B» e a interseção A ∩ B.
A probabilidade é uma função «P» que a cada acontecimento associa um número em «[0, 1]», obedecendo à axiomática: «P(Ω) = 1» e, para acontecimentos incompatíveis (disjuntos), a probabilidade da reunião é a soma das probabilidades. Daí decorrem propriedades como «P(Ā) = 1 − P(A)» e a regra da adição «P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)», que desconta a interseção contada duas vezes.
Quando todos os resultados são equiprováveis, aplica-se a regra de Laplace: «P(A) = casos favoráveis / casos possíveis». É o cálculo de probabilidades por contagem, que motiva o cálculo combinatório (secções seguintes): muitas vezes, calcular uma probabilidade reduz-se a contar corretamente os casos favoráveis e os casos possíveis.
A Fig. 1 representa dois acontecimentos num diagrama de Venn, evidenciando as regiões «só A», «só B» e «A ∩ B». É fundamental distinguir acontecimentos incompatíveis (não podem ocorrer em simultâneo, «A ∩ B = ∅») de acontecimentos independentes (a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro) — conceitos diferentes que são frequentemente confundidos.
P(A)=casos favoraˊveiscasos possıˊveis,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A) = \dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}, \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A)=casos possıˊveiscasos favoraˊveis​,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Regra de Laplace e regra da adição

A regra de Laplace vale quando os casos são equiprováveis; a regra da adição desconta a interseção.

Exemplo resolvido

Probabilidade com dois dados

Lançam-se dois dados equilibrados. Calcula a probabilidade de a soma ser 7.

  1. 01Casos possíveis

    Cada dado tem 6 faces: 6 × 6 = 36 resultados equiprováveis.

  2. 02Casos favoráveis

    Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 casos.

  3. 03Regra de Laplace

    P(soma = 7) = 6/36 = 1/6.

Resultado: P(soma = 7) = 1/6 (6 casos favoráveis em 36 possíveis).

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar a regra de Laplace e a regra da adição P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
  • Distinguir acontecimentos incompatíveis de independentes.

Erros frequentes

  • Somar P(A) e P(B) esquecendo subtrair P(A ∩ B) quando os acontecimentos não são incompatíveis.
  • Confundir incompatível (A ∩ B = ∅) com independente (P(A ∩ B) = P(A)·P(B)).

Revisão ativa

Lançam-se dois dados. Calcula a probabilidade de a soma ser 7 e a de a soma ser 7 ou 11.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Probabilidade condicionada e independência#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

A probabilidade condicionada «P(B | A)» é a probabilidade de «B» sabendo que «A» ocorreu: «P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)» (com «P(A) > 0»). Condicionar «reduz o espaço amostral» a «A». Desta definição sai a regra da multiplicação: «P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A)», que se lê naturalmente num diagrama em árvore (ver Fig. 2), em que cada ramo transporta uma probabilidade e o produto ao longo de um caminho dá a probabilidade da interseção.

Árvore de probabilidades condicionadas

Árvore de probabilidadesDiagrama em árvore, 4 caminhos, Dados: A → S: 0.42; A → F: 0.18; B → S: 0.2; B → F: 0.20.7S0.3F0.5S0.5F0.6A0.4BP = 0.42P = 0.18P = 0.2P = 0.2início
Fig. 2Fig. 2 — Árvore de duas etapas: os produtos ao longo dos caminhos dão P(A ∩ S) = 0,42 e P(B ∩ S) = 0,20.
É crucial não confundir «P(B | A)» com «P(A | B)»: são probabilidades de acontecimentos diferentes e, em geral, têm valores diferentes. Confundi-las é a «falácia da taxa base», fonte de muitos erros de raciocínio (em diagnósticos médicos, por exemplo). A árvore ajuda a organizar o cálculo e a evitar esta confusão.
Dois acontecimentos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro: «P(B | A) = P(B)», o que equivale a «P(A ∩ B) = P(A)·P(B)». Independência é uma relação sobre probabilidades, diferente de incompatibilidade (que é sobre conjuntos). De facto, dois acontecimentos incompatíveis com probabilidade não nula NUNCA são independentes.
A Fig. 2 mostra uma árvore de duas etapas. Multiplicando as probabilidades ao longo de cada caminho obtêm-se as probabilidades dos resultados; somando os caminhos que conduzem a um mesmo acontecimento (regra da probabilidade total) obtém-se a sua probabilidade. A partir daí, a fórmula de Bayes permite «inverter» o condicionamento e calcular «P(A | S)» a partir de «P(S | A)».
P(B∣A)=P(A∩B)P(A),P(A∩B)=P(A) P(B∣A)P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, \qquad P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A)P(B∣A)=P(A)P(A∩B)​,P(A∩B)=P(A)P(B∣A)

Probabilidade condicionada

Condicionar reduz o espaço a A; a regra da multiplicação dá a probabilidade da interseção.

Exemplo resolvido

Probabilidade total e inversão (Bayes)

Com P(A) = 0,6, P(B) = 0,4 (B = complementar de A), P(S | A) = 0,7 e P(S | B) = 0,5, calcula P(S) e P(A | S).

  1. 01Probabilidades dos caminhos

    P(A ∩ S) = 0,6·0,7 = 0,42; P(B ∩ S) = 0,4·0,5 = 0,20.

  2. 02Probabilidade total

    P(S) = P(A ∩ S) + P(B ∩ S) = 0,42 + 0,20 = 0,62.

  3. 03Inverter o condicionamento

    P(A | S) = P(A ∩ S)/P(S) = 0,42/0,62 ≈ 0,677.

  4. 04Observação

    Note-se que P(A | S) ≈ 0,68 é diferente de P(S | A) = 0,70 — não se devem confundir.

Resultado: P(S) = 0,62 e P(A | S) ≈ 0,677 (distinto de P(S | A) = 0,70).

Foco no Exame Nacional

  • Calcular probabilidades condicionadas e usar árvores e a regra da probabilidade total.
  • Testar a independência de acontecimentos.

Erros frequentes

  • Confundir P(B | A) com P(A | B).
  • Tratar acontecimentos incompatíveis como independentes.

Revisão ativa

Numa árvore, P(A) = 0,6, P(S | A) = 0,7 e P(S | B) = 0,5 (com B = complementar de A). Calcula P(S) e P(A | S).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Cálculo combinatório#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

O cálculo combinatório conta agrupamentos sem os enumerar um a um. A distinção-chave é entre agrupamentos em que a ordem importa (arranjos) e aqueles em que não importa (combinações), e entre agrupamentos com ou sem repetição de elementos (ver Fig. 3). Escolher a ferramenta certa é metade do problema.

Tipos de contagem

Cálculo combinatórioTabela com 4 colunas e 4 linhas, Dados: Tipo · A ordem importa? · Fórmula · Exemplo; Arranjos sem repetição · sim · n! / (n − p)! · pódios de 3 em 8 atletas; Permutações · sim (usa todos) · n! · ordenar 5 livros; Combinações · não · n! / (p!(n − p)!) · comissão de 3 em 10; Arranjos com repetição · sim · n^p · códigos de 4 dígitos (0–9)TIPOA ORDEM IMPORTA?FÓRMULAEXEMPLOARRANJOS SEMREPETIÇÃOsimn! / (n − p)!pódios de 3 em 8 atletasPERMUTAÇÕESsim (usa todos)n!ordenar 5 livrosCOMBINAÇÕESnãon! / (p!(n − p)!)comissão de 3 em 10ARRANJOS COMREPETIÇÃOsimn^pcódigos de 4 dígitos (0–9)
Fig. 3Fig. 3 — Arranjos, permutações e combinações: quando a ordem importa e quando há repetição.
Os arranjos sem repetição de «n» elementos «p» a «p» contam sequências ordenadas sem repetir elementos: «ⁿAₚ = n!/(n − p)!». As permutações de «n» elementos são o caso «p = n»: «n!» (todas as ordenações). As combinações de «n» elementos «p» a «p» contam subconjuntos (ordem irrelevante): «ⁿCₚ = n!/(p!(n − p)!)» — dividem os arranjos por «p!», o número de ordenações de cada subconjunto.
A estratégia de resolução: perguntar «a ordem importa?» (se sim, arranjo/permutação; se não, combinação) e «há repetição?». Muitos problemas combinam etapas, aplicando o princípio fundamental da contagem (multiplicar as escolhas de cada etapa). Traduzir corretamente o enunciado nesta linguagem é a competência avaliada — os erros nascem quase sempre de confundir arranjos com combinações.
O cálculo combinatório alimenta a regra de Laplace: contam-se casos favoráveis e possíveis com estas fórmulas. A Fig. 3 resume os quatro tipos com as fórmulas, e um exemplo de cada. Dominar esta tabela e saber quando aplicar cada fórmula é essencial para os problemas de probabilidade por contagem, muito frequentes no Exame.
nAp=n!(n−p)!,nCp=n!p! (n−p)!{}^{n}A_{p} = \dfrac{n!}{(n-p)!}, \qquad {}^{n}C_{p} = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}nAp​=(n−p)!n!​,nCp​=p!(n−p)!n!​

Arranjos e combinações (sem repetição)

Arranjos contam sequências ordenadas; combinações contam subconjuntos (ordem irrelevante).

Exemplo resolvido

Combinações vs arranjos

De um grupo de 10 pessoas, de quantas formas se escolhe uma comissão de 3 (sem hierarquia)? E se fossem 3 cargos distintos (presidente, secretário, tesoureiro)?

  1. 01Comissão (ordem irrelevante)

    É uma combinação: ¹⁰C₃ = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120.

  2. 02Cargos distintos (ordem importa)

    É um arranjo: ¹⁰A₃ = 10·9·8 = 720.

  3. 03Relação

    Os arranjos (720) são as combinações (120) vezes as 3! = 6 ordenações de cada grupo: 120·6 = 720.

Resultado: Comissão: 120 formas (combinações); cargos distintos: 720 formas (arranjos).

Foco no Exame Nacional

  • Escolher entre arranjos, permutações e combinações consoante a ordem e a repetição.
  • Aplicar o princípio fundamental da contagem a problemas de várias etapas.

Erros frequentes

  • Usar arranjos (ordem importa) quando o problema pede combinações (ordem irrelevante).
  • Esquecer que as combinações dividem os arranjos por p! (as ordenações de cada grupo).

Revisão ativa

De um grupo de 10 pessoas, de quantas formas se pode escolher uma comissão de 3 (sem ordem)? E se se distribuíssem 3 cargos distintos?

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Triângulo de Pascal e binómio de Newton#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-probabilidades

Pontos-chave

As combinações «ⁿCₚ» dispõem-se num arranjo triangular — o triângulo de Pascal (ver Fig. 4) — em que cada linha «n» reúne os números «ⁿC₀, ⁿC₁, …, ⁿCₙ». O triângulo constrói-se sem calcular fatoriais: cada elemento é a soma dos dois imediatamente acima («ⁿCₚ = ⁿ⁻¹Cₚ₋₁ + ⁿ⁻¹Cₚ»), e as linhas começam e terminam em 1. É simétrico: «ⁿCₚ = ⁿCₙ₋ₚ».

Triângulo de Pascal

Triângulo de PascalTabela com 7 colunas e 6 linhas, Dados: n \ k · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5; 0 · 1 · · · · · ; 1 · 1 · 1 · · · · ; 2 · 1 · 2 · 1 · · · ; 3 · 1 · 3 · 3 · 1 · · ; 4 · 1 · 4 · 6 · 4 · 1 · ; 5 · 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1, célula destacada: 6N \ K01234501111212131331414641515101051
Fig. 4Fig. 4 — Triângulo de Pascal (linhas n = 0 a 5): cada número é a soma dos dois acima; são os coeficientes de (a + b)ⁿ.
O binómio de Newton dá o desenvolvimento de uma potência de um binómio: «(a + b)ⁿ = Σ ⁿCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ», para «k» de 0 a «n». Os coeficientes do desenvolvimento são exatamente os da linha «n» do triângulo de Pascal — daí a ligação profunda entre contagem (combinações) e álgebra (potências de binómios).
Cada termo do desenvolvimento tem a forma «ⁿCₖ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ» (o termo de ordem «k + 1»). Esta fórmula do termo geral permite obter um termo específico sem desenvolver toda a potência — por exemplo, o termo em «x⁵» ou o termo independente — tarefa frequente no Exame. A soma dos expoentes de «a» e «b» em cada termo é sempre «n».
A Fig. 4 mostra as primeiras linhas do triângulo de Pascal. Estes coeficientes reaparecem noutros contextos (a distribuição binomial, no tema seguinte, usa-os diretamente). O binómio de Newton é assim um ponto de encontro entre combinatória, álgebra e probabilidades — uma das ideias mais elegantes e úteis do 12.º ano.
(a+b)n=∑k=0n(nk)a n−k b k(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k}\, b^{\,k}(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk

Binómio de Newton

Os coeficientes são as combinações da linha n do triângulo de Pascal; o termo de ordem k+1 é C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ.

Exemplo resolvido

Desenvolver (x + 2)⁴

Desenvolve (x + 2)⁴ usando o binómio de Newton e indica o coeficiente do termo em x².

  1. 01Coeficientes (linha 4)

    Da linha n = 4 do triângulo de Pascal: 1, 4, 6, 4, 1.

  2. 02Aplicar o binómio

    (x + 2)⁴ = 1·x⁴ + 4·x³·2 + 6·x²·2² + 4·x·2³ + 1·2⁴.

  3. 03Calcular

    = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

  4. 04Termo em x²

    O termo em x² é 6·x²·4 = 24x²; o coeficiente é 24.

Resultado: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16; o coeficiente de x² é 24.

Foco no Exame Nacional

  • Desenvolver (a + b)ⁿ e determinar um termo específico pelo termo geral.
  • Usar as propriedades do triângulo de Pascal (soma de linha, simetria).

Erros frequentes

  • Esquecer os coeficientes binomiais (escrever (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ).
  • Trocar os expoentes de a e de b no termo geral (é aⁿ⁻ᵏ·bᵏ).

Revisão ativa

Desenvolve (x + 2)⁴ usando o binómio de Newton e indica o coeficiente do termo em x².

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Acontecimentos, axiomática e regra de Laplace◐
    • 02Probabilidade condicionada e independência●
    • 03Cálculo combinatório●
    • 04Triângulo de Pascal e binómio de Newton●

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Probabilidades, probabilidade condicionada e cálculo combinatório

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

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