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Resumos/Matemática A/Distribuições de probabilidade (binomial e modelo normal)
Resumos · Matemática APT · Secundário

Distribuições de probabilidade (binomial e modelo normal)

Estuda-se a variável aleatória e a sua distribuição de probabilidade (valor médio, variância e desvio-padrão), a distribuição binomial (modelo de contagem de sucessos em ensaios independentes) e o modelo normal (a curva de Gauss e a regra empírica), com forte apoio da calculadora gráfica. Matéria do 12.º ano avaliada no Exame Nacional.

4 secções·~10 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 3

T·131313 / 17
Perfil de exame
Construir distribuições e calcular o valor médio e o desvio-padrãoReconhecer e aplicar o modelo binomialAplicar o modelo normal e a regra empíricaCalcular probabilidades com a calculadora gráfica
Operadores:calculadeterminamodelainterpretajustificaaplica

nível básico

Construir distribuições simples e reconhecer o modelo normal e a regra empírica.

nível avançado

Aplicar o modelo binomial e calcular probabilidades normais com a calculadora gráfica.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Distribuições de probabilidade (binomial e modelo normal)
    • 01Variável aleatória e valor médio◐
    • 02Distribuição binomial●
    • 03Modelo normal e regra empírica●
    • 04Probabilidades normais na prática●
§ 01

Variável aleatória e valor médio#

●●○PadrãoLPAE-matematica-a-12-distribuicoes

Pontos-chave

Uma variável aleatória «X» associa um número a cada resultado de uma experiência aleatória (por exemplo, o número de caras em três lançamentos de uma moeda). Numa variável aleatória discreta, a distribuição de probabilidade é a tabela (ou gráfico) que a cada valor «xᵢ» faz corresponder a sua probabilidade «P(X = xᵢ)» — ver Fig. 1. A soma de todas as probabilidades é, obrigatoriamente, 1.

Distribuição de probabilidade de X

Distribuição de probabilidadeGráfico de colunas: probabilidade por valores de X, Dados: P(X = x) · 0: 0.1; P(X = x) · 1: 0.3; P(X = x) · 2: 0.4; P(X = x) · 3: 0.200.050.10.150.20.250.30.350.401230.10.30.40.2probabilidadevalores de X
Fig. 1Fig. 1 — Distribuição de X: P(0) = 0,1, P(1) = 0,3, P(2) = 0,4, P(3) = 0,2 (soma 1); E(X) = 1,7.
O valor médio (ou esperança matemática) «μ = E(X)» é a média dos valores ponderada pelas suas probabilidades: «E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ)». Representa o valor que se espera «em média» a longo prazo, repetindo a experiência muitas vezes. Não tem de ser um dos valores possíveis (a média de um dado é 3,5).
A variância «σ² = Σ (xᵢ − μ)²·P(X = xᵢ)» mede a dispersão dos valores em torno da média; o desvio-padrão «σ» é a sua raiz quadrada, nas unidades de «X». Uma fórmula prática é «σ² = E(X²) − μ²». Média e desvio-padrão resumem a distribuição: onde se centra e quão dispersa é.
A Fig. 1 mostra a distribuição de uma variável aleatória com valores 0, 1, 2, 3 e probabilidades 0,1, 0,3, 0,4, 0,2. A partir dela calculam-se o valor médio (1,7) e o desvio-padrão (0,9). Construir a distribuição, verificar que as probabilidades somam 1 e calcular estes parâmetros são competências de base para os modelos binomial e normal das secções seguintes.
E(X)=∑ixi P(X=xi),σ=∑i(xi−μ)2 P(X=xi)E(X) = \sum_i x_i\, P(X = x_i), \qquad \sigma = \sqrt{\sum_i (x_i - \mu)^2\, P(X = x_i)}E(X)=i∑​xi​P(X=xi​),σ=i∑​(xi​−μ)2P(X=xi​)​

Valor médio e desvio-padrão

Média e dispersão de uma variável aleatória discreta, ponderadas pelas probabilidades.

Exemplo resolvido

Valor médio e desvio-padrão

Para a distribuição da Fig. 1 (valores 0, 1, 2, 3 com probabilidades 0,1, 0,3, 0,4, 0,2), calcula E(X) e σ.

  1. 01Valor médio

    E(X) = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.

  2. 02E(X²)

    E(X²) = 0²·0,1 + 1²·0,3 + 2²·0,4 + 3²·0,2 = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7.

  3. 03Variância

    σ² = E(X²) − μ² = 3,7 − 1,7² = 3,7 − 2,89 = 0,81.

  4. 04Desvio-padrão

    σ = √0,81 = 0,9.

Resultado: E(X) = 1,7 e σ = 0,9.

Foco no Exame Nacional

  • Construir a distribuição de probabilidade e verificar que soma 1.
  • Calcular o valor médio, a variância e o desvio-padrão.

Erros frequentes

  • Calcular a média simples dos valores, esquecendo ponderar pelas probabilidades.
  • Confundir variância (unidades ao quadrado) com desvio-padrão.

Revisão ativa

Uma variável X toma os valores 1, 2, 3 com probabilidades 0,5, 0,3, 0,2. Calcula E(X) e o desvio-padrão.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Distribuição binomial#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-distribuicoes

Pontos-chave

A distribuição binomial modela o número de sucessos em «n» ensaios (provas de Bernoulli) que verificam três condições: são independentes, têm apenas dois resultados (sucesso/insucesso) e a probabilidade de sucesso «p» é constante em todos. Exemplos: número de caras em «n» lançamentos, número de peças defeituosas numa amostra, número de acertos num teste de escolha múltipla ao acaso.
A probabilidade de obter exatamente «k» sucessos é «P(X = k) = ⁿCₖ·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ»: o coeficiente binomial «ⁿCₖ» conta as maneiras de escolher quais dos «n» ensaios são sucessos, «pᵏ» é a probabilidade desses «k» sucessos e «(1 − p)ⁿ⁻ᵏ» a dos restantes insucessos. Reencontram-se aqui os coeficientes do triângulo de Pascal.
O valor médio e o desvio-padrão da binomial têm fórmulas simples: «μ = np» e «σ = √(np(1 − p))». A Fig. 2 mostra a distribuição «B(10; 0,5)» (10 lançamentos de uma moeda equilibrada): é simétrica, centrada em «μ = 5», com o valor mais provável em 5 caras. Para «p ≠ 0,5» a distribuição é assimétrica.

Distribuição binomial B(10; 0,5)

Distribuição binomialGráfico de colunas: P(X = k) por número de caras (k), Dados: P(X = k) · 0: 0.001; P(X = k) · 1: 0.01; P(X = k) · 2: 0.044; P(X = k) · 3: 0.117; P(X = k) · 4: 0.205; P(X = k) · 5: 0.246; P(X = k) · 6: 0.205; P(X = k) · 7: 0.117; P(X = k) · 8: 0.044; P(X = k) · 9: 0.01; P(X = k) · 10: 0.00100.050.10.150.20123456789100.0010.010.0440.1170.2050.2460.2050.1170.0440.010.001P(X = k)número de caras (k)
Fig. 2Fig. 2 — B(10; 0,5): distribuição simétrica centrada em μ = 5; o valor mais provável é 5 caras.
Reconhecer que uma situação é binomial (verificar as três condições) e identificar «n» e «p» é o passo decisivo. A partir daí, a fórmula (ou a calculadora gráfica) dá qualquer probabilidade: «exatamente k», «pelo menos k» (soma de vários termos, ou complementar), «no máximo k». A Fig. 2 ilustra a forma típica da distribuição, útil para antecipar e verificar resultados.
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,μ=np,σ=np(1−p)P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n-k}, \qquad \mu = np, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k,μ=np,σ=np(1−p)​

Distribuição binomial

Probabilidade de k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p; média e desvio-padrão.

Exemplo resolvido

Probabilidade binomial e valor médio

Lança-se uma moeda equilibrada 10 vezes. Calcula P(exatamente 6 caras) e o número médio de caras.

  1. 01Identificar o modelo

    Ensaios independentes, dois resultados, p constante: binomial com n = 10 e p = 0,5.

  2. 02Aplicar a fórmula

    P(X = 6) = ¹⁰C₆·(0,5)⁶·(0,5)⁴ = 210·(0,5)¹⁰ = 210/1024.

  3. 03Calcular

    P(X = 6) = 210/1024 ≈ 0,205.

  4. 04Valor médio

    μ = np = 10·0,5 = 5 caras.

Resultado: P(6 caras) ≈ 0,205 e o número médio de caras é 5.

Foco no Exame Nacional

  • Reconhecer o modelo binomial (verificar as condições) e identificar n e p.
  • Calcular P(X = k), P(X ≥ k) e aplicar μ = np e σ = √(np(1 − p)).

Erros frequentes

  • Aplicar a binomial quando os ensaios não são independentes ou p não é constante.
  • Esquecer o coeficiente ⁿCₖ (contar as ordens em que ocorrem os sucessos).

Revisão ativa

Lança-se uma moeda equilibrada 10 vezes. Calcula a probabilidade de sair exatamente 6 caras e o número médio de caras.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Modelo normal e regra empírica#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-distribuicoes

Pontos-chave

O modelo normal descreve variáveis contínuas cuja distribuição tem a forma de sino — a curva de Gauss (ver Fig. 3). Muitas grandezas naturais (alturas, erros de medição, resultados de testes) seguem aproximadamente este modelo. A curva é simétrica em relação à média «μ», que coincide com a mediana e a moda; o desvio-padrão «σ» mede a sua «largura».

Curva normal e o intervalo central (68 %)

Modelo normalGráfico de curva de Gauss, máximo em (0, 0.399), ordenada na origem y = 0.399, no intervalo x de -4 a 4−4−3−2−112340.10.20.30.4curva de Gaussdensidadedesvios-padrão (z)
Fig. 3Fig. 3 — Modelo normal padrão: a região ]μ − σ, μ + σ[ (sombreada) contém ≈ 68 % da probabilidade.
Numa distribuição contínua, a probabilidade corresponde a uma área sob a curva: «P(a < X < b)» é a área entre «a» e «b». A área total sob a curva é 1. Ao contrário do caso discreto, «P(X = c) = 0» para qualquer valor exato «c» — só faz sentido falar de probabilidades de intervalos.
A regra empírica (ou regra 68–95–99,7) descreve como a probabilidade se distribui em torno da média: cerca de 68 % dos valores estão em «]μ − σ, μ + σ[», cerca de 95 % em «]μ − 2σ, μ + 2σ[» e cerca de 99,7 % em «]μ − 3σ, μ + 3σ[». A Fig. 3 sombreia o intervalo central «]μ − σ, μ + σ[», que contém ≈ 68 % da probabilidade.
Para calcular probabilidades normais mais gerais recorre-se à calculadora gráfica (função de probabilidade normal), que devolve a área sob a curva num intervalo dado. A regra empírica permite estimativas rápidas e serve de verificação: um resultado que contradiga «≈ 68 % a um desvio da média» está certamente errado. O modelo normal é a ponte para a inferência estatística.
P(μ−σ<X<μ+σ)≈0,68P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}68P(μ−σ<X<μ+σ)≈0,68

Regra empírica (um desvio-padrão)

Num modelo normal, cerca de 68% dos valores distam da média menos de um desvio-padrão.

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Exemplo resolvido

Aplicar a regra empírica

As alturas seguem um modelo normal de média 170 cm e desvio-padrão 10 cm. Estima a percentagem de pessoas com altura entre 160 cm e 180 cm.

  1. 01Identificar o intervalo

    160 = 170 − 10 = μ − σ e 180 = 170 + 10 = μ + σ.

  2. 02Aplicar a regra empírica

    O intervalo ]μ − σ, μ + σ[ contém ≈ 68 % da probabilidade.

  3. 03Conclusão

    Cerca de 68 % das pessoas têm altura entre 160 cm e 180 cm.

Resultado: Aproximadamente 68 % da população tem altura entre 160 cm e 180 cm.

Foco no Exame Nacional

  • Interpretar probabilidades no modelo normal como áreas sob a curva.
  • Aplicar a regra empírica (68–95–99,7) e calcular probabilidades com a calculadora.

Erros frequentes

  • Calcular P(X = c) como um valor não nulo (numa contínua é 0).
  • Aplicar a regra empírica a distribuições que não são (aproximadamente) normais.

Revisão ativa

As alturas de uma população seguem um modelo normal de média 170 cm e desvio-padrão 10 cm. Usando a regra empírica, estima a percentagem de pessoas entre 160 cm e 180 cm.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Probabilidades normais na prática#

●●●AprofundamentoLPAE-matematica-a-12-distribuicoes

Pontos-chave

Para além dos intervalos «à medida» da regra empírica (Fig. 4), a maioria das probabilidades normais calcula-se com a calculadora gráfica. Introduzem-se a média «μ», o desvio-padrão «σ» e os limites do intervalo, e a máquina devolve a área sob a curva — isto é, a probabilidade. O Exame (Caderno 1, com calculadora) exige esta técnica.

Regra empírica (68–95–99,7)

Regra empíricaTabela com 2 colunas e 3 linhas, Dados: Intervalo · Probabilidade aproximada; μ − σ a μ + σ · ≈ 68 %; μ − 2σ a μ + 2σ · ≈ 95 %; μ − 3σ a μ + 3σ · ≈ 99,7 %, célula destacada: ≈ 68 %INTERVALOPROBABILIDADEAPROXIMADAΜ − Σ A Μ + Σ≈ 68 %Μ − 2Σ A Μ + 2Σ≈ 95 %Μ − 3Σ A Μ + 3Σ≈ 99,7 %
Fig. 4Fig. 4 — Regra empírica: percentagem da população dentro de 1, 2 e 3 desvios-padrão da média.
A padronização traduz qualquer valor «x» no número de desvios-padrão a que está da média: «z = (x − μ)/σ». Um valor com «z = 1,5» está «um desvio e meio acima da média». A padronização permite comparar valores de distribuições normais diferentes e ligar qualquer normal ao modelo normal padrão (média 0, desvio 1).
As probabilidades de «cauda» e de intervalos combinam-se com as propriedades da área total (1) e da simetria: «P(X > a) = 1 − P(X < a)»; pela simetria em torno de «μ», «P(X > μ) = P(X < μ) = 0,5». A Fig. 4 resume a regra empírica em tabela, útil para estimativas rápidas e para verificar os resultados da calculadora.
Interpretar o resultado no contexto é tão importante como calculá-lo: uma probabilidade de 0,93 de uma altura ser inferior a 185 cm significa que 93 % da população é mais baixa do que 185 cm. A modelação normal — reconhecer o modelo, padronizar quando útil, calcular a área e interpretar — é uma das aplicações mais frequentes da estatística no Exame.
z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma}z=σx−μ​

Valor padronizado (z-score)

Número de desvios-padrão a que x está da média; liga qualquer normal ao modelo normal padrão.

Exemplo resolvido

Padronizar um valor

Numa distribuição normal de média 170 cm e desvio-padrão 10 cm, calcula o valor padronizado de x = 185 cm e interpreta-o.

  1. 01Aplicar a fórmula

    z = (x − μ)/σ = (185 − 170)/10 = 15/10 = 1,5.

  2. 02Interpretar

    x = 185 cm está 1,5 desvios-padrão acima da média.

  3. 03Contextualizar

    Pela calculadora, P(X < 185) ≈ 0,933: cerca de 93 % da população é mais baixa do que 185 cm (logo ≈ 7 % é mais alta).

Resultado: z = 1,5 (1,5 desvios acima da média); P(X < 185) ≈ 0,93.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular probabilidades normais com a calculadora e padronizar valores (z-score).
  • Usar a simetria e o complementar para probabilidades de cauda.

Erros frequentes

  • Trocar a média com o desvio-padrão ao introduzir os dados na calculadora.
  • Esquecer que P(X > μ) = 0,5 (metade da área) por simetria.

Revisão ativa

Numa normal de média 170 e desvio-padrão 10, calcula o valor padronizado (z) de x = 185 e interpreta-o.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Variável aleatória e valor médio◐
    • 02Distribuição binomial●
    • 03Modelo normal e regra empírica●
    • 04Probabilidades normais na prática●

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Dos resumos à prática

Distribuições de probabilidade (binomial e modelo normal)

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

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