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Números complexos (forma algébrica e trigonométrica)

Introduzem-se os números complexos a partir da unidade imaginária i, com a forma algébrica e as suas operações, o plano de Argand, o módulo e o argumento e a forma trigonométrica. Estudam-se a fórmula de De Moivre, as potências, as raízes de índice n (com a sua elegante representação geométrica) e conjuntos de pontos definidos por condições. É tema obrigatório do 12.º ano, avaliado no Exame Nacional.

5 secções~13 min de leitura4 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 4

T·141414 / 17

Perfil de exame

Operar com números complexos na forma algébrica e usar o conjugadoConverter entre a forma algébrica e a forma trigonométricaAplicar a fórmula de De Moivre a potênciasDeterminar raízes de índice n e interpretar condições no plano complexo

Operadores:calculaconvertedeterminarepresentajustificaresolve

nível básico

Operar na forma algébrica, calcular módulo e argumento e converter para a forma trigonométrica.

nível avançado

Aplicar De Moivre a potências e raízes e caracterizar conjuntos de pontos definidos por condições em ℂ.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 5 secções

Números complexos (forma algébrica e trigonométrica)

Unidade imaginária e forma algébrica#

PadrãoAE-matematica-a-12-numeros-complexos

Os números reais não bastam para resolver todas as equações: «x² + 1 = 0» não tem solução real. Define-se então a unidade imaginária «i», com a propriedade «i² = −1». Um número complexo escreve-se na forma algébrica «z = a + bi», onde «a» é a parte real «Re(z)» e «b» a parte imaginária «Im(z)». Os reais são os complexos com «b = 0»; os imaginários puros têm «a = 0».

As operações fazem-se como com binómios, usando «i² = −1». Soma e subtração: somam-se partes reais e imaginárias separadamente. Multiplicação: aplica-se a distributiva e substitui-se «i²» por «−1». Para dividir, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador, tornando-o real.

O conjugado de «z = a + bi» é «z̄ = a − bi» (reflexão em relação ao eixo real — ver Fig. 1). O produto de um complexo pelo seu conjugado é real e não negativo: «z·z̄ = a² + b² = |z|²». O conjugado é a ferramenta que «racionaliza» divisões e que permite recuperar a parte real e imaginária: «Re(z) = (z + z̄)/2».

Um complexo e o seu conjugado no plano de Argand

Fig. 1Fig. 1 — z = 3 + 2i e o conjugado z̄ = 3 − 2i, simétricos em relação ao eixo real (Re).

A Fig. 1 representa «z = 3 + 2i» e o seu conjugado «z̄ = 3 − 2i» no plano de Argand, simétricos em relação ao eixo real. A cada complexo corresponde um ponto (ou vetor) do plano — a representação geométrica que, nas secções seguintes, dá sentido ao módulo, ao argumento e às operações.

i^2 = -1, \qquad z = a + bi, \qquad \bar{z} = a - bi, \qquad z\bar{z} = a^2 + b^2

Forma algébrica e conjugado

A unidade imaginária verifica i² = −1; o conjugado reflete z no eixo real e z·z̄ = |z|².

Exemplo resolvido

Operações na forma algébrica

Sendo z = 3 + 2i e w = 1 − i, calcula z + w, z·w e z̄.

Soma
z + w = (3 + 1) + (2 − 1)i = 4 + i.
Produto
z·w = (3 + 2i)(1 − i) = 3 − 3i + 2i − 2i² = 3 − i + 2 = 5 − i (usando i² = −1).
Conjugado
z̄ = 3 − 2i.

Resultado: z + w = 4 + i; z·w = 5 − i; z̄ = 3 − 2i.

Erros frequentes

Esquecer que i² = −1 (tratar i como uma variável qualquer).
Ao dividir, não multiplicar pelo conjugado do denominador.

Revisão ativa

Sendo z = 3 + 2i e w = 1 − i, calcula z + w, z·w e o conjugado de z.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Plano de Argand, módulo e forma trigonométrica#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-numeros-complexos

No plano de Argand, o complexo «z = a + bi» é o ponto (ou vetor) de coordenadas «(a, b)». O módulo «|z| = √(a² + b²)» é o comprimento desse vetor — a distância à origem. O argumento «θ = arg(z)» é o ângulo que o vetor faz com o semieixo real positivo, medido no sentido positivo (ver Fig. 2). O argumento não é único: fica definido a menos de múltiplos de «2π».

Módulo e argumento no plano de Argand

Fig. 2Fig. 2 — z = 1 + √3 i: módulo |z| = 2 e argumento θ = π/3, logo z = 2 cis(π/3).

Módulo e argumento dão a forma trigonométrica (ou polar) de um complexo: «z = |z|·(cos θ + i sin θ)», por vezes escrita «z = |z| cis θ». A passagem da forma algébrica à trigonométrica faz-se calculando «|z|» e determinando «θ» a partir de «cos θ = a/|z|» e «sin θ = b/|z|» (atendendo ao quadrante). A passagem inversa faz-se com «a = |z| cos θ» e «b = |z| sin θ».

A Fig. 2 mostra «z = 1 + √3 i»: o módulo é «|z| = √(1 + 3) = 2» e o argumento é «θ = π/3» (pois «cos θ = 1/2» e «sin θ = √3/2»). Logo «z = 2·(cos π/3 + i sin π/3) = 2 cis(π/3)». A forma trigonométrica é natural para multiplicar, dividir e elevar a potências.

A grande vantagem da forma trigonométrica revela-se nas operações multiplicativas: multiplicar complexos multiplica os módulos e soma os argumentos; dividir divide os módulos e subtrai os argumentos. Geometricamente, multiplicar por um complexo de módulo «r» e argumento «α» é «esticar» por «r» e «rodar» por «α» — uma interpretação que ilumina toda a aritmética complexa.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad z = |z|\,(\cos\theta + i\sin\theta), \quad \tan\theta = \dfrac{b}{a}

Módulo e forma trigonométrica

O módulo é o comprimento do vetor; o argumento é o ângulo com o semieixo real positivo (com atenção ao quadrante).

Exemplo resolvido

Converter para a forma trigonométrica

Escreve z = 1 + √3 i na forma trigonométrica.

Módulo
|z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
Argumento
cos θ = 1/2 e sin θ = √3/2; como a parte real e a imaginária são positivas (1.º quadrante), θ = π/3.
Forma trigonométrica
z = 2·(cos π/3 + i sin π/3) = 2 cis(π/3).

Resultado: z = 2 cis(π/3), com módulo 2 e argumento π/3.

Erros frequentes

Determinar o argumento apenas pela tangente, esquecendo o quadrante do complexo.
Trocar seno com cosseno ao passar da forma trigonométrica à algébrica.

Revisão ativa

Escreve o complexo z = 1 + √3 i na forma trigonométrica (módulo e argumento).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Fórmula de De Moivre e potências#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-numeros-complexos

A fórmula de De Moivre eleva um complexo a uma potência inteira de forma imediata na forma trigonométrica: «zⁿ = |z|ⁿ·(cos(nθ) + i sin(nθ))». Ou seja, eleva-se o módulo à potência «n» e multiplica-se o argumento por «n». É a consequência direta da regra do produto (multiplicar complexos multiplica módulos e soma argumentos), aplicada «n» vezes.

A vantagem é enorme: calcular «(1 + √3 i)⁶» na forma algébrica seria moroso e propenso a erros; na forma trigonométrica é imediato. Geometricamente, elevar «z» a potências sucessivas gera pontos que giram em torno da origem (o argumento cresce em progressão aritmética) e cujo módulo cresce (ou decresce) em progressão geométrica — ver Fig. 3.

Potências de z = cis(30°)

Fig. 3Fig. 3 — Potências de z = cis(30°): cada potência roda o argumento em 30°; z³ = cis(90°) = i.

A Fig. 3 mostra as potências de «z = cis(30°)» (módulo 1): «z, z², z³» situam-se sobre a circunferência de raio 1, rodando 30° a cada potência — «z³ = cis(90°) = i». Quando o módulo é 1, as potências apenas rodam; quando é diferente de 1, além de rodarem, aproximam-se ou afastam-se da origem.

De Moivre resolve também equações do tipo «zⁿ = w» (as raízes de índice n, secção seguinte) e permite deduzir identidades trigonométricas (por exemplo, exprimir «cos 3θ» e «sin 3θ» em função de «cos θ» e «sin θ», desenvolvendo «(cos θ + i sin θ)³»). É uma das fórmulas mais poderosas do tema.

z^n = |z|^n\,\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big)

Fórmula de De Moivre

Eleva-se o módulo a n e multiplica-se o argumento por n; potências correspondem a rotações e dilatações.

Exemplo resolvido

Potência por De Moivre

Calcula (1 + √3 i)³ usando a fórmula de De Moivre.

Forma trigonométrica
1 + √3 i = 2 cis(π/3) (módulo 2, argumento π/3).
Aplicar De Moivre
z³ = 2³·cis(3·π/3) = 8·cis(π).
Voltar à forma algébrica
8·cis(π) = 8·(cos π + i sin π) = 8·(−1 + 0i) = −8.

Resultado: (1 + √3 i)³ = −8 (módulo 8, argumento π).

Erros frequentes

Elevar o módulo mas esquecer de multiplicar o argumento por n (ou vice-versa).
Aplicar De Moivre na forma algébrica (é uma fórmula da forma trigonométrica).

Revisão ativa

Usando a fórmula de De Moivre, calcula (1 + √3 i)³.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Raízes de índice n e representação geométrica#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-numeros-complexos

As raízes de índice «n» de um complexo «w» são os complexos «z» tais que «zⁿ = w». Ao contrário dos reais, um complexo não nulo tem exatamente «n» raízes de índice «n», todas com o mesmo módulo «ⁿ√|w|» e com argumentos igualmente espaçados de «2π/n». Obtêm-se pela fórmula das raízes, aplicando De Moivre «ao contrário».

A consequência geométrica é notável: as «n» raízes de índice «n» dispõem-se nos vértices de um polígono regular de «n» lados, inscrito na circunferência de raio «ⁿ√|w|» centrada na origem (ver Fig. 4). É uma das imagens mais bonitas da Matemática — a álgebra de uma equação traduz-se numa figura perfeitamente simétrica.

As três raízes cúbicas de 8

Fig. 4Fig. 4 — Raízes cúbicas de 8: módulo 2 e argumentos 0°, 120°, 240° — vértices de um triângulo equilátero.

A Fig. 4 mostra as três raízes cúbicas de 8: têm módulo «³√8 = 2» e argumentos «0, 2π/3, 4π/3» (isto é, 0°, 120°, 240°), logo «2», «−1 + √3 i» e «−1 − √3 i». Formam um triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio 2. A primeira raiz (argumento 0) é a raiz «principal».

O procedimento é sistemático: escreve-se «w» na forma trigonométrica, calcula-se o módulo comum das raízes («ⁿ√|w|») e geram-se os «n» argumentos «(arg w + 2kπ)/n» para «k = 0, 1, …, n − 1». Estas raízes resolvem equações do tipo «zⁿ = w» — frequentes no Exame — e a sua leitura geométrica (polígono regular) fornece uma verificação imediata.

z_k = \sqrt[n]{|w|}\,\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{\arg w + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1

Raízes de índice n

As n raízes têm módulo comum ⁿ√|w| e argumentos espaçados de 2π/n; formam um polígono regular.

Exemplo resolvido

Raízes cúbicas de 8

Determina as três raízes cúbicas de 8.

Forma trigonométrica de w
8 = 8·cis(0) (módulo 8, argumento 0).
Módulo comum
Cada raiz tem módulo ³√8 = 2.
Argumentos
θ_k = (0 + 2kπ)/3, k = 0, 1, 2: θ = 0, 2π/3 (120°), 4π/3 (240°).
As três raízes
z₀ = 2·cis(0) = 2; z₁ = 2·cis(120°) = −1 + √3 i; z₂ = 2·cis(240°) = −1 − √3 i.

Resultado: As raízes cúbicas de 8 são 2, −1 + √3 i e −1 − √3 i (vértices de um triângulo equilátero de raio 2).

Erros frequentes

Encontrar só uma raiz (esquecer que há n, com argumentos espaçados de 2π/n).
Errar o módulo comum das raízes (é ⁿ√|w|, não |w|).

Revisão ativa

Determina as três raízes cúbicas de 8 e representa-as no plano de Argand.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conjuntos de pontos definidos por condições#

AprofundamentoAE-matematica-a-12-numeros-complexos

As condições sobre complexos definem lugares geométricos no plano de Argand, interpretando o módulo como distância. A condição «|z − z₀| = r» descreve a circunferência de centro «z₀» e raio «r» (os pontos à distância «r» de «z₀»); «|z − z₀| ≤ r» descreve o círculo (a região); «|z − z₀| = |z − z₁|» descreve a mediatriz do segmento que une «z₀» e «z₁» (os pontos equidistantes) — ver Fig. 5.

Condição |z − 1| = |z − i| (mediatriz)

Fig. 5Fig. 5 — |z − 1| = |z − i|: pontos equidistantes de 1 e de i — a mediatriz do segmento, a reta y = x.

Também o argumento define lugares: «arg(z) = α» descreve uma semirreta com origem na origem, fazendo o ângulo «α» com o semieixo real positivo. Combinando condições de módulo e de argumento (com «e», «ou») obtêm-se regiões mais ricas — setores, coroas, arcos —, cuja representação exige traduzir cada condição na sua figura e depois interpretar a combinação.

A Fig. 5 mostra a condição «|z − 1| = |z − i|»: os pontos equidistantes de «1» (ou seja, «1 + 0i») e de «i» (ou seja, «0 + i»). É a mediatriz do segmento que une esses dois pontos, a reta de equação «y = x». Reconhecer a estrutura geométrica por detrás de uma condição algébrica evita cálculos desnecessários.

A estratégia geral: traduzir cada símbolo — «|z − z₀|» é distância a «z₀», «arg(z)» é ângulo, «Re(z)», «Im(z)» são as coordenadas — e reconhecer o lugar geométrico (circunferência, mediatriz, reta, semirreta, região). Quando necessário, escreve-se «z = x + yi» e obtém-se a equação cartesiana. Esta ligação entre a álgebra dos complexos e a geometria do plano é uma síntese elegante de todo o tema.

Exemplo resolvido

Caracterizar um conjunto de pontos

Caracteriza o conjunto dos z ∈ ℂ tais que |z − 1| = |z − i|.

Interpretar
|z − 1| é a distância de z ao ponto 1 (= (1, 0)); |z − i| é a distância de z ao ponto i (= (0, 1)).
Condição de equidistância
|z − 1| = |z − i| significa que z é equidistante de (1, 0) e de (0, 1): é a mediatriz desse segmento.
Equação cartesiana
Com z = x + yi: (x − 1)² + y² = x² + (y − 1)². Desenvolvendo: −2x + 1 = −2y + 1, donde x = y.

Resultado: O conjunto é a mediatriz do segmento de extremos 1 e i — a reta y = x.

Erros frequentes

Confundir |z − z₀| = r (circunferência) com |z − z₀| ≤ r (círculo/região).
Interpretar «|z − 1| = |z − i|» como uma circunferência em vez de uma mediatriz (reta).

Revisão ativa

Caracteriza geometricamente o conjunto dos pontos z que verificam |z − 1| = |z − i|.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano (Despacho 702/2023)

Números complexos (forma algébrica e trigonométrica)

5 secções~13 min de leitura4 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 4

Números complexos (forma algébrica e trigonométrica)

Pontos-chave

Operações na forma algébrica

Pontos-chave

Converter para a forma trigonométrica

Pontos-chave

Potência por De Moivre

Pontos-chave

Raízes cúbicas de 8

Pontos-chave

Caracterizar um conjunto de pontos

Fontes

Números complexos (forma algébrica e trigonométrica)

Pontos-chave

Operações na forma algébrica

Pontos-chave

Converter para a forma trigonométrica

Pontos-chave

Potência por De Moivre

Pontos-chave

Raízes cúbicas de 8

Pontos-chave

Caracterizar um conjunto de pontos

Fontes