Resumos · Matemática Aplicada às Ciências SociaisPT · Secundário

Modelo normal

O modelo normal é o mais importante dos modelos de probabilidade de variáveis contínuas: descreve fenómenos como alturas, pesos, erros de medição e muitas variáveis sociais. Este tema estuda as propriedades da curva normal (simétrica, em forma de sino, definida pelo valor médio μ e pelo desvio-padrão σ), a regra empírica 68-95-99,7 e o cálculo de probabilidades com a calculadora. É a ponte entre a probabilidade e a inferência estatística.

3 secções~12 min de leitura3 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 1

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Perfil de exame

Reconhecer a curva normal e interpretar os parâmetros μ e σAplicar a regra empírica (68-95-99,7) para calcular probabilidadesCalcular probabilidades no modelo normal com a calculadora e a estandardização

Operadores:reconheceinterpretaaplicacalculajustifica

nível básico

Reconhecer a curva normal, os seus parâmetros e aplicar a regra empírica em intervalos simples.

nível avançado

Calcular probabilidades para quaisquer intervalos com a calculadora e interpretar a estandardização.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 3 secções

Modelo normal

A curva normal e os seus parâmetros#

PadrãoAE-macs-normal-propriedades

O modelo normal (ou distribuição normal) é um modelo de probabilidade para variáveis aleatórias CONTÍNUAS — as que resultam de medição e podem tomar qualquer valor de um intervalo, como a altura, o peso ou o tempo. Ao contrário das variáveis discretas, aqui a probabilidade não se concentra em valores isolados, mas distribui-se ao longo de um intervalo: é dada pela ÁREA sob a curva. A área total sob a curva normal é igual a 1 (a certeza), e a probabilidade de a variável cair num intervalo é a área sob a curva sobre esse intervalo.

A curva normal tem uma forma característica de sino, simétrica (Fig. 1). Cada distribuição normal fica completamente definida por dois parâmetros: o valor médio «μ» e o desvio-padrão «σ». O valor médio «μ» localiza o centro da distribuição e é o seu eixo de simetria — coincide com a média, a mediana e a moda. Por ser simétrica, metade da área fica à esquerda de «μ» e metade à direita: «P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5».

A curva normal e os seus pontos de inflexão

Fig. 1Fig. 1 — Curva normal com μ = 0 e σ = 1: simétrica, com o máximo em μ. Os pontos de inflexão estão em μ − σ e μ + σ (aqui, −1 e +1).

O desvio-padrão «σ» controla a largura do sino: um «σ» pequeno dá uma curva alta e estreita (dados concentrados junto de «μ»); um «σ» grande dá uma curva baixa e larga (dados dispersos). Uma propriedade geométrica precisa liga «σ» à curva: a distância do eixo de simetria «μ» às abcissas dos pontos de inflexão (onde a curva muda de concavidade) é exatamente igual a «σ». Na Fig. 1, com «μ = 0» e «σ = 1», os pontos de inflexão estão em «−1» e «+1».

A importância do modelo normal vem de aparecer por toda a parte. Muitas variáveis biológicas e sociais — alturas, resultados de testes, erros de medição — distribuem-se aproximadamente segundo uma normal, porque resultam da soma de muitos pequenos efeitos independentes. Além disso, como se verá na inferência estatística, o modelo normal descreve o comportamento das médias de amostras (Teorema Limite Central), o que o torna a pedra angular de toda a estatística clássica.

X \sim N(\mu, \sigma)

Distribuição normal

Uma variável normal fica definida pelo valor médio μ (eixo de simetria) e pelo desvio-padrão σ (largura). A distância de μ aos pontos de inflexão é σ.

Exemplo resolvido

Ler os parâmetros de uma normal

A duração das chamadas de um centro de atendimento segue um modelo normal com μ = 4 min e σ = 1,5 min. Indica o eixo de simetria, «P(X < 4)» e as abcissas dos pontos de inflexão.

Eixo de simetria
É o valor médio: μ = 4 min.
Probabilidade central
Por simetria, P(X < 4) = P(X > 4) = 0,5.
Pontos de inflexão
Estão a uma distância σ = 1,5 de μ: em 4 − 1,5 = 2,5 min e 4 + 1,5 = 5,5 min.

Resultado: Eixo de simetria em 4 min; P(X < 4) = 0,5; pontos de inflexão em 2,5 e 5,5 min.

Erros frequentes

Pensar que a probabilidade num modelo contínuo se concentra num valor — no modelo normal, «P(X = a) = 0»; a probabilidade é sempre a área num intervalo.
Trocar o papel dos parâmetros: «μ» localiza o centro, «σ» controla a largura (não o contrário).

Revisão ativa

Duas distribuições normais têm o mesmo valor médio «μ = 50», mas uma tem «σ = 5» e a outra «σ = 15». Esboça as duas curvas no mesmo referencial e explica qual é mais alta e estreita e porquê.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Modelo normal; propriedades) (Direção-Geral da Educação (DGE))

A regra empírica 68-95-99,7#

PadrãoAE-macs-normal-regra-empirica

Uma propriedade notável de TODAS as distribuições normais é que a percentagem de dados em torno da média, medida em desvios-padrão, é sempre a mesma — independentemente dos valores de «μ» e «σ». É a regra empírica, ou regra 68-95-99,7, que consta do formulário do exame. Em intervalos centrados no valor médio: cerca de «68 %» dos dados ficam a menos de um desvio-padrão de «μ», cerca de «95 %» a menos de dois, e cerca de «99,7 %» a menos de três.

Os valores exatos do formulário são «P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0,6827», «P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545» e «P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 0,9973» (Fig. 2 e Fig. 3). Praticamente toda a probabilidade (99,7 %) se concentra no intervalo «[μ − 3σ, μ + 3σ]»; valores para lá de três desvios-padrão são muitíssimo raros. A regra permite estimar probabilidades de cabeça, sem calculadora, sempre que os limites do intervalo sejam μ mais ou menos um número inteiro de desvios-padrão.

Regra empírica: intervalo central de 68 %

Fig. 2Fig. 2 — Cerca de 68 % da probabilidade está no intervalo «μ − σ» a «μ + σ» (aqui sombreado, entre −1 e +1). Valor exato: ≈ 0,6827.

A regra empírica em tabela

Fig. 3Fig. 3 — A regra empírica (valores do formulário do exame). Praticamente toda a probabilidade está a menos de 3σ do valor médio.

A simetria multiplica a utilidade da regra. Como a curva é simétrica, a probabilidade fora do intervalo central reparte-se igualmente pelas duas caudas. Por exemplo, como «P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545», fica «≈ 0,0455» fora, logo cada cauda tem «≈ 0,0455/2 ≈ 0,0228» — ou seja, «P(X > μ + 2σ) ≈ 2,3 %». Combinando a regra com a simetria e com «P(X < μ) = 0,5», resolvem-se muitas questões sem recorrer à calculadora.

A regra empírica é também uma ferramenta de leitura crítica: permite julgar se um valor é «normal» ou excecional. Um resultado a mais de dois desvios-padrão da média está entre os «5 %» mais extremos; a mais de três, entre os «0,3 %» — um sinal de que algo de invulgar se passa. Este raciocínio é a base de muitos controlos de qualidade e da própria inferência estatística, que trata como «significativos» os desvios demasiado grandes para serem atribuídos ao acaso.

P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}6827

Regra empírica (1σ)

Cerca de 68 % da probabilidade está a menos de um desvio-padrão do valor médio.

P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545

Regra empírica (2σ)

Cerca de 95 % está a menos de dois desvios-padrão; fora ficam ≈ 4,55 %, ≈ 2,3 % em cada cauda.

P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973

Regra empírica (3σ)

Cerca de 99,7 % está a menos de três desvios-padrão; valores para lá de 3σ são muito raros.

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Exemplo resolvido

Regra empírica aplicada a alturas

As alturas de um grupo seguem um modelo normal com μ = 170 cm e σ = 8 cm. Usa a regra empírica para calcular «P(162 < X < 178)», «P(154 < X < 186)» e «P(X > 186)».

Intervalo μ ± σ
162 = 170 − 8 e 178 = 170 + 8, logo P(162 < X < 178) = P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0,6827.
Intervalo μ ± 2σ
154 = 170 − 16 e 186 = 170 + 16, logo P(154 < X < 186) = P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545.
Cauda além de μ + 2σ
Fora de ±2σ fica 1 − 0,9545 = 0,0455; por simetria, uma cauda vale metade: P(X > 186) ≈ 0,0455/2 ≈ 0,0228.

Resultado: P(162 < X < 178) ≈ 68,3 %; P(154 < X < 186) ≈ 95,5 %; P(X > 186) ≈ 2,3 %.

Erros frequentes

Aplicar a regra empírica a intervalos cujos limites NÃO são «μ ± kσ» com «k» inteiro — nesses casos é preciso a calculadora.
Esquecer de dividir a probabilidade das caudas por 2 ao usar a simetria.

Revisão ativa

As notas de um exame seguem um modelo normal com μ = 120 e σ = 20 (em 200). Usa a regra empírica para estimar «P(100 < X < 140)», «P(80 < X < 160)» e «P(X > 160)».

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Modelo normal); Formulário da prova 835 (IAVE) (Instituto de Avaliação Educativa (IAVE))

Calcular probabilidades no modelo normal#

AprofundamentoAE-macs-normal-probabilidades

A regra empírica só resolve intervalos com limites em «μ ± kσ» inteiros. Para um intervalo qualquer — por exemplo, «P(X < 183)» numa normal «N(170, 8)» — recorre-se à calculadora gráfica, que calcula diretamente a área sob a curva normal entre dois valores, dados «μ» e «σ». É esse o procedimento que a Aprendizagem Essencial preconiza: «calcular probabilidades com base neste modelo», utilizando a tecnologia, para quaisquer intervalos.

Por detrás da calculadora está a ideia de estandardização: qualquer valor «x» de uma normal «N(μ, σ)» pode converter-se num valor «z» da normal padrão «N(0, 1)» através de «z = (x − μ)/σ». O «z» diz a quantos desvios-padrão «x» está do valor médio, e o seu sinal indica de que lado. Assim, na «N(170, 8)», o valor «x = 186» corresponde a «z = (186 − 170)/8 = 2»: está dois desvios-padrão acima da média. A estandardização torna comparáveis valores de distribuições diferentes — uma nota e uma altura, por exemplo — pela sua posição relativa.

A Fig. 4 ilustra o cálculo de uma cauda: numa «N(170, 8)», a probabilidade «P(X > 186)» é a área sombreada à direita de 186. Como «186 = μ + 2σ», a regra empírica dá «≈ 2,3 %», e a calculadora confirma «≈ 0,0228». Para intervalos «não redondos», só a calculadora resolve: por exemplo, «P(X < 183)» na mesma normal é «≈ 0,948» — a regra empírica não chegaria a este valor, mas dá logo uma estimativa de controlo (183 está entre μ + σ e μ + 2σ, pelo que a probabilidade deve situar-se entre ≈ 0,84 e ≈ 0,977).

Probabilidade de uma cauda no modelo normal

Fig. 4Fig. 4 — Numa N(170, 8), «P(X > 186)» é a área da cauda à direita de 186 = μ + 2σ: ≈ 2,3 % (a calculadora dá ≈ 0,0228).

Ao aplicar o modelo normal a contextos sociais — alturas, tempos, resultados de testes, medidas de opinião — há que reter que é sempre um MODELO aproximado: os dados reais só seguem uma normal de forma aproximada, e o modelo pode falhar nas caudas ou quando a variável é claramente assimétrica (como os rendimentos, que têm uma longa cauda à direita). Usar o bom senso para decidir se o modelo normal é adequado — e não aplicá-lo cegamente — faz parte da competência estatística.

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

Estandardização

Converte um valor x de uma N(μ, σ) num valor z da normal padrão N(0, 1); z diz a quantos desvios-padrão x está do valor médio.

Exemplo resolvido

Probabilidade e estandardização

As alturas seguem uma N(170, 8) cm. Calcula «P(X > 186)» com a regra empírica e estandardiza «x = 183», indicando o «z» correspondente.

Identificar o valor
186 = 170 + 2×8 = μ + 2σ.
Probabilidade da cauda
P(X > μ + 2σ) = (1 − 0,9545)/2 ≈ 0,0228, isto é, ≈ 2,3 %.
Estandardizar x = 183
z = (183 − 170)/8 = 13/8 = 1,625: 183 está a 1,625 desvios-padrão acima da média.
Controlo
Como 1 < 1,625 < 2, «P(X < 183)» deve estar entre ≈ 0,84 e ≈ 0,977; a calculadora dá ≈ 0,948.

Resultado: P(X > 186) ≈ 2,3 %; para x = 183, z = 1,625 (e P(X < 183) ≈ 0,948).

Erros frequentes

Aplicar a regra empírica a limites que não são «μ ± kσ» inteiros, em vez de usar a calculadora.
Errar a estandardização, esquecendo de dividir por «σ» ou trocando o sinal de «x − μ».

Revisão ativa

Numa normal «N(500, 100)» (resultados de um teste), calcula «P(X > 700)» pela regra empírica e usa a estandardização para exprimir «P(X < 620)» em termos de um valor «z».

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (cálculo de probabilidades no modelo normal) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Modelo normal; propriedades)

Instituto de Avaliação Educativa (IAVE)

Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Modelo normal); Formulário da prova 835 (IAVE)

Modelo normal

3 secções~12 min de leitura3 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 1

Modelo normal

Pontos-chave

Ler os parâmetros de uma normal

Pontos-chave

Regra empírica aplicada a alturas

Pontos-chave

Probabilidade e estandardização

Fontes

Modelo normal

Pontos-chave

Ler os parâmetros de uma normal

Pontos-chave

Regra empírica aplicada a alturas

Pontos-chave

Probabilidade e estandardização

Fontes