Resumos · Matemática Aplicada às Ciências SociaisPT · Secundário

Probabilidade e probabilidade condicionada

A Probabilidade mede a incerteza dos fenómenos aleatórios. Este tema constrói a noção de probabilidade (frequencista, de Laplace e axiomática), estuda a probabilidade condicionada com árvores e tabelas de contingência, a independência de acontecimentos, o teorema da probabilidade total e a regra de Bayes, e termina nos modelos de probabilidade em espaços finitos — a variável aleatória, a função massa de probabilidade e o valor médio. É a base para o modelo normal e para a inferência estatística.

4 secções~15 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 1 · Aprofundamento 2

T·0666 / 8

Perfil de exame

Modelar fenómenos aleatórios e calcular probabilidades (Laplace, frequencista, axiomática)Calcular probabilidades condicionadas com árvores e tabelas de contingênciaAplicar a independência, o teorema da probabilidade total e a regra de BayesConstruir a função massa de probabilidade de uma variável aleatória e calcular o valor médio

Operadores:identificacalcularepresentadeterminajustificainterpreta

nível básico

Calcular probabilidades pela regra de Laplace e organizar acontecimentos em árvores e tabelas.

nível avançado

Aplicar a probabilidade condicionada, o teorema da probabilidade total e a regra de Bayes e construir modelos de probabilidade com o valor médio.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Probabilidade e probabilidade condicionada

Fenómeno aleatório e acontecimentos#

BaseAE-macs-probabilidade-fenomeno

Um fenómeno diz-se determinístico quando o resultado é previsível a partir das condições (uma pedra largada cai), e aleatório quando, mesmo repetido nas mesmas condições, o resultado é incerto (o lançamento de um dado, o número que sai na lotaria). A Probabilidade estuda os fenómenos aleatórios, construindo modelos matemáticos para a regularidade que emerge quando o fenómeno se repete muitas vezes — embora cada realização individual seja imprevisível.

A cada fenómeno aleatório associa-se uma experiência aleatória e o seu espaço de resultados (ou espaço amostral) «S», o conjunto de TODOS os resultados possíveis. No lançamento de um dado, «S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}». Um acontecimento é um subconjunto de «S» — um conjunto de resultados «favoráveis». Distinguem-se o acontecimento certo («S», que ocorre sempre), o impossível («∅», que nunca ocorre), os elementares (com um só resultado) e os compostos (com vários).

Como os acontecimentos são conjuntos, as operações entre eles são as dos conjuntos, bem visualizadas em diagramas de Venn (Fig. 1). A união «A∪B» ocorre quando ocorre «A» OU «B» (ou ambos); a interseção «A∩B» ocorre quando ocorrem «A» E «B» simultaneamente. O acontecimento contrário «Ā» ocorre exatamente quando «A» não ocorre. Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis (ou disjuntos) quando não podem ocorrer juntos, isto é, «A∩B = ∅».

Acontecimentos num diagrama de Venn

Fig. 1Fig. 1 — Lançamento de um dado: A = par = {2,4,6}, B = maior que 3 = {4,5,6}. A∩B = {4,6}; A∪B = {2,4,5,6}.

A Fig. 1 ilustra, no lançamento de um dado, «A = sair par = {2, 4, 6}» e «B = sair maior que 3 = {4, 5, 6}». A interseção «A∩B = {4, 6}» (par E maior que 3); a união «A∪B = {2, 4, 5, 6}». Traduzir enunciados em linguagem natural para estas operações de conjuntos — «pelo menos um», «ambos», «nenhum», «só um deles» — é uma competência essencial, porque é o passo que transforma um problema de probabilidade num cálculo.

Exemplo resolvido

Operações com acontecimentos

No lançamento de um dado, «A = sair par» e «B = sair maior que 3». Escreve «A∩B», «A∪B» e «Ā» em extensão e classifica «A» e «B» quanto à compatibilidade.

Conjuntos
S = {1,2,3,4,5,6}; A = {2,4,6}; B = {4,5,6}.
Interseção
A∩B = {4,6} (pares maiores que 3) — não é vazia, logo A e B são compatíveis.
União
A∪B = {2,4,5,6} (par ou maior que 3).
Contrário
Ā = sair ímpar = {1,3,5}.

Resultado: A∩B = {4,6}; A∪B = {2,4,5,6}; Ā = {1,3,5}. A e B são compatíveis (A∩B ≠ ∅).

Erros frequentes

Confundir união («A» ou «B», inclusive ambos) com interseção («A» e «B» em simultâneo).
Chamar incompatíveis a acontecimentos que apenas são diferentes — incompatíveis exige «A∩B = ∅».

Revisão ativa

No lançamento de um dado, sejam «A = sair múltiplo de 3» e «B = sair número ímpar». Escreve «S», «A», «B», «A∩B» e «A∪B» em extensão e representa-os num diagrama de Venn.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Fenómeno aleatório; acontecimentos) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Probabilidade: Laplace, frequencista e regras#

PadrãoAE-macs-probabilidade-regras

Há duas formas complementares de atribuir probabilidades. A visão frequencista define «P(A)» como o valor para o qual estabiliza a frequência relativa «n_A / n» de «A» num grande número «n» de repetições da experiência — a probabilidade é a regularidade que emerge a longo prazo (Fig. 2). A visão de Laplace (clássica) aplica-se quando os resultados elementares são equiprováveis: «P(A) = número de casos favoráveis / número de casos possíveis». As duas coincidem, por exemplo, num dado equilibrado: «P(par) = 3/6», e a simulação confirma que a frequência de «par» estabiliza junto de 0,5.

Estabilização da frequência relativa

Fig. 2Fig. 2 — Numa simulação, a frequência relativa de «cara» estabiliza junto de 0,5 à medida que o número de lançamentos cresce — a visão frequencista da probabilidade.

A visão axiomática dá o enquadramento rigoroso: as probabilidades dos acontecimentos elementares são números entre 0 e 1 cuja soma é 1; a probabilidade de um acontecimento é a soma das probabilidades dos elementares que o compõem; e «0 ≤ P(A) ≤ 1», com «P(S) = 1» (certo) e «P(∅) = 0» (impossível). Destes axiomas deduzem-se todas as regras de cálculo, o que dá à Probabilidade a sua segurança matemática.

Duas regras são de uso constante. A regra da adição, «P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)», evita contar duas vezes os resultados comuns a «A» e «B»; quando «A» e «B» são incompatíveis («A∩B = ∅»), reduz-se a «P(A) + P(B)». A regra do acontecimento contrário, «P(Ā) = 1 − P(A)», é preciosa: muitas vezes é muito mais fácil calcular a probabilidade do contrário — sobretudo em enunciados com «pelo menos um», cujo contrário é «nenhum».

É crucial usar a regra de Laplace apenas quando há EQUIPROBABILIDADE. Muitos fenómenos sociais reais não são equiprováveis — o tipo sanguíneo de uma pessoa escolhida ao acaso, a eficácia de uma vacina, a resposta a um inquérito — e aí a probabilidade obtém-se pela via frequencista, a partir de dados observados, e não por contagem de casos. Aplicar a fórmula de Laplace a resultados que não são igualmente prováveis é um dos erros mais comuns e graves em Probabilidade.

P(A) = \dfrac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}}

Regra de Laplace

Válida apenas quando os resultados elementares são equiprováveis.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Regra da adição

Evita contar duas vezes os resultados comuns; se A e B são incompatíveis (A∩B = ∅), reduz-se a P(A) + P(B).

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Acontecimento contrário

Muito útil quando é mais fácil calcular o contrário — por exemplo, «pelo menos um» tem por contrário «nenhum».

Exemplo resolvido

Regra da adição no lançamento de um dado

No lançamento de um dado equilibrado, «A = sair par» e «B = sair maior que 3». Calcula «P(A)», «P(B)», «P(A∩B)» e «P(A∪B)».

P(A) e P(B)
A = {2,4,6}: P(A) = 3/6 = 1/2. B = {4,5,6}: P(B) = 3/6 = 1/2.
P(A∩B)
A∩B = {4,6}: P(A∩B) = 2/6 = 1/3.
Regra da adição
P(A∪B) = 1/2 + 1/2 − 1/3 = 1 − 1/3 = 2/3.
Confirmação
A∪B = {2,4,5,6}: 4 casos em 6, isto é, 4/6 = 2/3 — coincide.

Resultado: P(A) = P(B) = 1/2; P(A∩B) = 1/3; P(A∪B) = 2/3.

Erros frequentes

Aplicar a regra de Laplace a resultados que não são equiprováveis.
Somar «P(A) + P(B)» sem subtrair «P(A∩B)» quando os acontecimentos são compatíveis.

Revisão ativa

Num baralho de 40 cartas, calcula a probabilidade de sair uma figura (valete, dama ou rei) ou uma carta de copas, usando a regra da adição. Calcula também a probabilidade de «não sair um ás».

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Probabilidade; regra de Laplace) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Probabilidade condicionada, árvores, independência e Bayes#

AprofundamentoAE-macs-probabilidade-condicionada

A probabilidade condicionada «P(A|B)» é a probabilidade de «A» ocorrer SABENDO que «B» ocorreu; calcula-se por «P(A|B) = P(A∩B)/P(B)», com «P(B) > 0». Saber que «B» aconteceu «reduz» o espaço de resultados a «B», e mede-se «A» dentro desse novo universo. Desta definição resulta a regra do produto, «P(A∩B) = P(B)·P(A|B)», que é o motor das árvores de probabilidade: a probabilidade de um percurso é o produto das probabilidades ao longo dos ramos.

As árvores de probabilidade (Fig. 3) e as tabelas de contingência (Fig. 4) são as duas ferramentas para organizar experiências em cadeia. Considere-se uma escola com 60 % de raparigas e 40 % de rapazes; 70 % das raparigas e 40 % dos rapazes vão a pé para a escola. A árvore da Fig. 3 mostra os quatro percursos e as suas probabilidades (o produto dos ramos): «rapariga e a pé» tem probabilidade «0,6 × 0,7 = 0,42»; «rapaz e a pé», «0,4 × 0,4 = 0,16». A tabela de contingência da Fig. 4 traduz o mesmo, em contagens por cada 100 alunos, e é ideal para ler probabilidades condicionadas diretamente.

Árvore de probabilidade (género e transporte)

Fig. 3Fig. 3 — Árvore de probabilidade: género (0,6 / 0,4) e transporte condicionado. Os produtos dos ramos dão P(rapariga e a pé) = 0,42, etc. (somam 1).

Tabela de contingência (por 100 alunos)

Fig. 4Fig. 4 — Tabela de contingência (por 100 alunos), coerente com a árvore. Lê-se P(a pé) = 58/100 = 0,58 e P(rapariga | a pé) = 42/58 ≈ 0,724.

O teorema da probabilidade total soma as várias formas de um acontecimento ocorrer. A probabilidade de um aluno ir a pé é «P(a pé) = P(rapariga)·P(a pé|rapariga) + P(rapaz)·P(a pé|rapaz) = 0,42 + 0,16 = 0,58». A regra de Bayes «inverte» o condicionamento — permite passar de «P(a pé|rapariga)» para «P(rapariga|a pé)»: «P(rapariga|a pé) = 0,42/0,58 ≈ 0,724». Ambas constam do formulário do exame. Bayes responde à pergunta «sabendo o efeito, qual a probabilidade da causa?», central em diagnósticos e sondagens.

Dois acontecimentos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro: «P(A|B) = P(A)», o que equivale a «P(A∩B) = P(A)·P(B)». No exemplo, «P(a pé) = 0,58» mas «P(a pé|rapariga) = 0,70»: como são diferentes, o meio de transporte e o género NÃO são independentes (estão associados). Cuidado para não confundir independentes com incompatíveis: incompatíveis não podem ocorrer juntos (são muito «dependentes»), ao passo que independentes podem ocorrer juntos, sem se influenciarem.

P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0

Probabilidade condicionada

Probabilidade de A sabendo que B ocorreu. Daqui resulta a regra do produto P(A∩B) = P(B)·P(A|B).

P(A) = P(B)\,P(A \mid B) + P(\bar{B})\,P(A \mid \bar{B})

Teorema da probabilidade total

Soma as várias formas de A ocorrer, segundo se dá ou não B. Consta do formulário do exame.

P(B \mid A) = \dfrac{P(B)\,P(A \mid B)}{P(A)}

Regra de Bayes

Inverte o condicionamento: da causa para o efeito passa-se ao efeito para a causa. Consta do formulário do exame.

Exemplo resolvido

Probabilidade total e regra de Bayes

Numa escola, 60 % são raparigas e 40 % rapazes; vão a pé 70 % das raparigas e 40 % dos rapazes. Calcula a probabilidade de um aluno ir a pé e, sabendo que vai a pé, a probabilidade de ser rapariga.

Probabilidades dos ramos
P(rapariga e a pé) = 0,6×0,7 = 0,42; P(rapaz e a pé) = 0,4×0,4 = 0,16.
Probabilidade total
P(a pé) = 0,42 + 0,16 = 0,58.
Regra de Bayes
P(rapariga | a pé) = P(rapariga e a pé)/P(a pé) = 0,42/0,58 ≈ 0,724.
Independência?
P(a pé) = 0,58 ≠ P(a pé | rapariga) = 0,70: o transporte depende do género (não são independentes).

Resultado: P(a pé) = 0,58; P(rapariga | a pé) ≈ 0,724. Transporte e género estão associados.

Erros frequentes

Confundir «P(A|B)» com «P(B|A)» — a ordem do condicionamento importa (o erro que Bayes corrige).
Confundir acontecimentos independentes (podem ocorrer juntos sem se influenciarem) com incompatíveis (não podem ocorrer juntos).

Revisão ativa

Numa fábrica, a máquina X produz 70 % das peças (com 5 % de defeituosas) e a máquina Y produz 30 % (com 10 % de defeituosas). Constrói a árvore, calcula a probabilidade de uma peça ser defeituosa (probabilidade total) e, dada uma peça defeituosa, a probabilidade de ter vindo de Y (Bayes).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Probabilidade condicionada; independência) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Variável aleatória, função massa de probabilidade e valor médio#

AprofundamentoAE-macs-probabilidade-fmp

Distribuição da soma de dois dados

Fig. 6Fig. 6 — A f.m.p. da soma de dois dados tem forma triangular, simétrica em torno de 7 (o valor médio e o mais provável). Alturas em casos por 36.

Uma variável aleatória (v.a.) discreta «X» associa um número a cada resultado de uma experiência aleatória — por exemplo, «X = soma das pintas de dois dados». Construir o modelo de probabilidade de «X» é dar a sua função massa de probabilidade (f.m.p.): a lista de todos os valores possíveis de «X» e das respetivas probabilidades. A f.m.p. tem de respeitar dois requisitos: cada probabilidade está entre 0 e 1, e a soma de todas é igual a 1. É o «retrato» probabilístico completo do fenómeno.

No lançamento de dois dados, «X = soma» pode tomar os valores «2, 3, …, 12». Contando os «36» resultados equiprováveis «(dado 1, dado 2)», obtém-se a f.m.p. da Fig. 5: «P(X = 2) = 1/36», «P(X = 7) = 6/36» (o valor mais provável), «P(X = 12) = 1/36». Um ponto subtil e importante: embora haja 11 somas possíveis, elas NÃO são equiprováveis — seria errado dizer «P(X = 7) = 1/11». A regra de Laplace aplica-se aos 36 pares de dados (equiprováveis), não às 11 somas.

Função massa de probabilidade da soma de dois dados

Fig. 5Fig. 5 — f.m.p. de «X = soma de dois dados»: as probabilidades vão de 1/36 (somas 2 e 12) a 6/36 (soma 7) e totalizam 36/36 = 1. O valor médio é μ = 7.

O valor médio (ou esperança) «μ = E(X)» resume o modelo num único número: é a média dos valores possíveis, PONDERADA pelas respetivas probabilidades, «μ = Σ xᵢ · P(X = xᵢ)». Interpreta-se como o valor que se obteria, em média, repetindo a experiência muitas vezes. Para a soma de dois dados, por simetria e por cálculo, «μ = 7»: em muitos lançamentos, a soma média aproxima-se de 7. O valor médio é o análogo probabilístico da média de dados e representa-se pela letra grega «μ», reservada aos parâmetros da população.

A dispersão do modelo mede-se pelo desvio-padrão populacional «σ», o análogo probabilístico do desvio-padrão de dados: quantifica o afastamento típico dos valores de «X» em relação a «μ». Para a soma de dois dados, a calculadora dá «σ ≈ 2,42». Estes dois parâmetros — «μ» e «σ» — são exatamente os que definem o modelo normal (tema seguinte) e os que a inferência estatística procura estimar a partir de amostras. A f.m.p., o valor médio e o desvio-padrão fecham, assim, a ponte entre a Probabilidade e a Estatística.

\sum_{i} P(X = x_i) = 1

Função massa de probabilidade

As probabilidades de todos os valores possíveis de X são não negativas e somam 1.

\mu = E(X) = \sum_{i} x_i \, P(X = x_i)

Valor médio (esperança)

Média dos valores possíveis ponderada pelas probabilidades; representa o valor médio a longo prazo. Ex.: soma de dois dados dá μ = 7.

Exemplo resolvido

Valor médio da soma de dois dados

Para «X = soma das pintas de dois dados», usa a f.m.p. da Fig. 5 para calcular o valor médio «μ».

Fórmula
μ = Σ xᵢ·P(X = xᵢ), somando sobre x = 2, 3, …, 12.
Numerador (× 36)
2·1 + 3·2 + 4·3 + 5·4 + 6·5 + 7·6 + 8·5 + 9·4 + 10·3 + 11·2 + 12·1 = 252.
Dividir por 36
μ = 252/36 = 7.
Interpretação
Em muitos lançamentos, a soma média aproxima-se de 7 — o valor central e mais provável da distribuição.

Resultado: μ = 7. É o valor médio e também o valor mais provável da soma de dois dados (σ ≈ 2,42).

Erros frequentes

Tratar valores possíveis não equiprováveis como se o fossem (dizer «P(X = 7) = 1/11» para a soma de dois dados).
Calcular o valor médio como média simples dos valores, sem ponderar pelas probabilidades.

Revisão ativa

Uma v.a. «X» toma os valores 0, 1, 2 com probabilidades 0,5; 0,3; 0,2. Verifica que é uma f.m.p. válida e calcula o valor médio «μ».

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Modelos de probabilidade em espaços finitos) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de MACS — 11.º ano (Fenómeno aleatório; acontecimentos)

Probabilidade e probabilidade condicionada

4 secções~15 min de leitura4 competênciasNível Base 1 · Padrão 1 · Aprofundamento 2

Probabilidade e probabilidade condicionada

Pontos-chave

Operações com acontecimentos

Pontos-chave

Regra da adição no lançamento de um dado

Pontos-chave

Probabilidade total e regra de Bayes

Pontos-chave

Valor médio da soma de dois dados

Fontes

Probabilidade e probabilidade condicionada

Pontos-chave

Operações com acontecimentos

Pontos-chave

Regra da adição no lançamento de um dado

Pontos-chave

Probabilidade total e regra de Bayes

Pontos-chave

Valor médio da soma de dois dados

Fontes