Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Sombras próprias e projetadas de figuras e sólidos

O estudo das sombras acrescenta realismo e informação à representação. Distinguem-se a sombra própria (a parte do próprio objeto que não é iluminada) da sombra projetada (a que o objeto lança sobre outra superfície). Adota-se a convenção da luz do desenhador — raios paralelos com projeções a 45° — e determinam-se sombras de pontos, segmentos, figuras e sólidos.

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 2

T·121212 / 14

Perfil de exame

Distinguir sombra própria de sombra projetadaAplicar a convenção da luz (raios paralelos, projeções a 45°)Determinar sombras de pontos, segmentos, figuras e sólidos

Operadores:determinaconstróidistingueaplicajustifica

nível básico

Determinar a sombra projetada de pontos e segmentos nos planos de projeção com a luz convencional.

nível avançado

Determinar sombras próprias e projetadas de sólidos e a separatriz de sombra.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 3 secções

Sombras próprias e projetadas de figuras e sólidos

Luz e sombra: conceitos e convenção#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-11-sombras

A sombra nasce da interrupção da luz por um objeto opaco. Distinguem-se dois tipos, e a distinção é essencial. A «sombra própria» é a parte da superfície do próprio objeto que não recebe luz (a face «às escuras»); a «sombra projetada» (ou lançada) é a mancha escura que o objeto produz sobre outra superfície ao interpor-se à luz. A fronteira, no objeto, entre a zona iluminada e a de sombra própria chama-se «separatriz» ou «linha separatriz de luz-sombra» (ver Fig. 1).

Sombra própria e sombra projetada

Fig. 1Fig. 1 — Raios de luz paralelos: a face não iluminada é a sombra própria; a mancha no plano é a sombra projetada.

A natureza da fonte de luz determina a geometria. Uma «fonte pontual» (uma lâmpada, uma vela) emite raios que divergem de um ponto: as sombras resultam de uma projeção central. Uma «fonte no infinito» (o Sol) emite raios praticamente paralelos: as sombras resultam de uma projeção paralela. Em Geometria Descritiva adota-se, por convenção, a segunda — raios de luz «paralelos» entre si.

A «convenção da luz do desenhador» fixa ainda a direção desses raios: a do «diagonal de um cubo» cujas faces são paralelas aos planos de projeção. Em consequência, as «duas projeções do raio luminoso fazem 45°» com a linha de terra. Convenciona-se, tipicamente, que a luz vem de cima, da esquerda e da frente, dirigindo-se para baixo, para a direita e para trás. Esta direção normalizada torna as construções sistemáticas e comparáveis.

Determinar a sombra projetada de um ponto sobre um plano é, então, um problema de interseção: traça-se por esse ponto o raio de luz (com as projeções a 45°) e determina-se onde ele encontra o plano — esse é o ponto-sombra. A sombra de uma figura obtém-se a partir das sombras dos seus pontos; a de um sólido, a partir da sua separatriz. Toda a teoria das sombras assenta, pois, na interseção do raio de luz com as superfícies.

Exemplo resolvido

Sombra projetada de um ponto

Determina a sombra projetada de um ponto A sobre o plano horizontal de projeção, com a luz convencional.

Raio de luz por A
Traça-se, por A, o raio luminoso: as projeções r₁ e r₂ do raio fazem 45° com a LT (direção convencional).
Interseção com o plano
A sombra A* é o ponto onde o raio encontra o plano horizontal (cota zero): determina-se pela interseção do raio com esse plano.
Leitura
A* tem cota nula; a sua projeção horizontal está sobre r₁ e a frontal sobre a LT — é a sombra de A no plano horizontal.

Resultado: A sombra A* é a interseção do raio de luz (projeções a 45°) por A com o plano de apoio.

Erros frequentes

Confundir sombra própria (no objeto) com sombra projetada (na superfície de apoio).
Traçar as projeções do raio de luz sem serem a 45° com a linha de terra.

Revisão ativa

Explica a diferença entre sombra própria e sombra projetada e indica que ângulo fazem, com a LT, as projeções do raio de luz convencional.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Sombra de pontos, segmentos e figuras#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-11-sombras

A sombra de um «ponto» num plano de projeção obtém-se intersetando o raio de luz que passa pelo ponto com esse plano. Um cuidado prático: se o raio, dirigido ao plano horizontal, «passar para cota negativa» antes de lá chegar, a sombra cai afinal no plano frontal (ou muda de plano) — é a chamada «quebra» da sombra, que ocorre quando a sombra atravessa a linha de terra. Determinar corretamente em que plano assenta a sombra é parte do problema (ver Fig. 2).

Sombra de um segmento com quebra

Fig. 2Fig. 2 — A sombra de [AB] parte-se na linha de terra: troço no plano horizontal e troço no plano frontal.

A sombra de um «segmento de reta» é o segmento que une as sombras dos seus extremos (a sombra de uma reta é uma reta, porque a projeção da luz é paralela). Basta, pois, achar a sombra de cada extremo e uni-las. Se o segmento «atravessa» a linha de terra em sombra, a sombra parte-se: um troço no plano horizontal, outro no frontal, com um vértice sobre a linha de terra (a «quebra»).

A sombra de uma «figura plana» é a figura limitada pelas sombras dos seus lados (ou do seu contorno). Para um polígono, determinam-se as sombras dos vértices e unem-se pela mesma ordem; para uma circunferência, a sombra é, em geral, uma elipse (a projeção paralela de uma circunferência). Se a figura é paralela ao plano onde se projeta a sombra, a sombra é «igual» à figura (mesma forma e tamanho), apenas deslocada.

Há um resultado muito útil: a sombra de uma figura contida num plano «paralelo» ao plano de apoio é geometricamente «igual» à figura. Assim, a sombra de um segmento horizontal no plano horizontal tem o mesmo comprimento do segmento; a sombra de uma figura frontal no plano frontal é congruente com a figura. Reconhecer estes casos de igualdade simplifica muito a construção e serve de verificação.

Exemplo resolvido

Sombra de um segmento

Determina a sombra projetada do segmento [AB], sabendo que a sua sombra atravessa a linha de terra.

Sombra dos extremos
Determinam-se A e B intersetando os raios de luz por A e por B com o plano de apoio (a 45°).
Deteção da quebra
Se A fica no plano frontal e B no horizontal, a sombra atravessa a LT: o ponto de quebra está onde a sombra cruza a linha de terra.
Traçado
Une-se A ao ponto de quebra (troço no plano frontal) e o ponto de quebra a B (troço no plano horizontal).

Resultado: A sombra é a linha quebrada A–quebra–B, com o vértice sobre a linha de terra.

Erros frequentes

Não detetar a quebra da sombra quando esta atravessa a linha de terra (a sombra muda de plano).
Traçar a sombra de uma circunferência como circunferência quando devia ser uma elipse.

Revisão ativa

Determina a sombra projetada de um segmento [AB] que atravessa a linha de terra em sombra, indicando o ponto de quebra.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Sombras próprias e projetadas de sólidos#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-11-sombras

A sombra de um «sólido» exige, primeiro, determinar a sua «separatriz» — a linha, na superfície do sólido, que separa a parte iluminada da parte em sombra própria. Num poliedro, a separatriz é formada por arestas (as que separam faces iluminadas de faces às escuras); num sólido de revolução, é formada por geratrizes ou por uma curva de contorno relativamente à luz. A sombra própria é a região «para além» da separatriz (ver Fig. 3).

Sombra própria e projetada de uma pirâmide

Fig. 3Fig. 3 — Separatriz da pirâmide e sombra projetada (sombra da separatriz) no plano de apoio.

A «sombra projetada» do sólido é a sombra da sua separatriz: projeta-se a separatriz sobre a superfície de apoio, e o contorno assim obtido delimita a mancha de sombra lançada. Por isso, o problema resume-se a: (1) achar a separatriz; (2) determinar a sombra de cada um dos seus pontos (interseção do raio de luz com o plano de apoio); (3) unir essas sombras, respeitando eventuais quebras na linha de terra.

Para um «prisma ou pirâmide», identifica-se quais faces são iluminadas e quais estão em sombra própria (comparando a orientação de cada face com a direção da luz); as arestas entre umas e outras formam a separatriz, e a sua sombra dá o contorno da sombra projetada. Para um «cilindro ou cone», a separatriz é constituída pelas geratrizes «tangentes» à direção da luz, e a sombra projetada é limitada pelas sombras dessas geratrizes e da base.

A construção completa distingue, no desenho final, três zonas: a parte iluminada do sólido, a sua sombra própria (sombreada mais clara, sobre o objeto) e a sombra projetada (sobre o plano de apoio). Uma boa resolução determina a separatriz com rigor, projeta-a corretamente com a luz convencional e resolve as quebras — integrando praticamente tudo o que se aprendeu (interseções, projeções, visibilidade) num só exercício, como é típico do exame.

Exemplo resolvido

Sombra projetada de uma pirâmide

Determina a sombra projetada de uma pirâmide de base horizontal sobre o plano horizontal, com a luz convencional.

Sombra do ápice
Traça-se o raio de luz por V (projeções a 45°) e determina-se V*, a sua sombra no plano horizontal.
Contorno da sombra
A base está no plano de apoio (sombra coincidente com a própria base); a sombra projetada é limitada pelos segmentos que unem V* aos vértices da base «vistos pela luz».
Separatriz
As arestas laterais entre as faces iluminadas e as de sombra própria formam a separatriz; a sua sombra delimita a mancha lançada.

Resultado: A sombra projetada é o contorno formado pela sombra V* do ápice e a base — a sombra da separatriz.

Erros frequentes

Projetar todo o contorno do sólido em vez da separatriz (a sombra projetada é a sombra da separatriz).
Não distinguir, no desenho, a sombra própria (no sólido) da sombra projetada (no plano de apoio).

Revisão ativa

Determina a separatriz e a sombra projetada de uma pirâmide iluminada pela luz convencional, sobre o plano horizontal.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

Sombras próprias e projetadas de figuras e sólidos

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 2

Sombras próprias e projetadas de figuras e sólidos

Pontos-chave

Sombra projetada de um ponto

Pontos-chave

Sombra de um segmento

Pontos-chave

Sombra projetada de uma pirâmide

Fontes

Sombras próprias e projetadas de figuras e sólidos

Pontos-chave

Sombra projetada de um ponto

Pontos-chave

Sombra de um segmento

Pontos-chave

Sombra projetada de uma pirâmide

Fontes