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Resumos/Geometria Descritiva A/Representação axonométrica clinogonal (cavaleira e planométrica)
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Representação axonométrica clinogonal (cavaleira e planométrica)

A axonometria representa as três dimensões numa única imagem, sendo mais intuitiva do que a dupla projeção ortogonal. Na axonometria clinogonal (oblíqua), os raios projetantes são oblíquos ao plano do quadro. Estudam-se o princípio da axonometria, a perspetiva cavaleira (com o quadro frontal em VG e um eixo de fuga com coeficiente de redução) e a perspetiva planométrica (militar), com o plano horizontal em VG.

3 secções·~8 min de leitura·3 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 2

T·131313 / 14
Perfil de exame
Compreender o princípio da axonometria e a projeção clinogonalRepresentar sólidos em perspetiva cavaleira com coeficiente de reduçãoRepresentar sólidos em perspetiva planométrica (militar)
Operadores:representaconstróidistingueaplicajustifica

nível básico

Representar sólidos simples em perspetiva cavaleira com o coeficiente de redução dado.

nível avançado

Comparar cavaleira e planométrica e escolher os ângulos e coeficientes adequados.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 3 secções▾
  1. Representação axonométrica clinogonal (cavaleira e planométrica)
    • 01Princípio da axonometria e a projeção clinogonal◐
    • 02Perspetiva cavaleira●
    • 03Perspetiva planométrica e comparação●
§ 01

Princípio da axonometria e a projeção clinogonal#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-11-axonometria-clinogonal

Pontos-chave

A «axonometria» é um sistema de representação por projeção «paralela» sobre um «único» plano — o «plano do quadro» —, no qual se projetam simultaneamente o objeto e um triedro de eixos (x, y, z) que materializa as três dimensões. Assim, uma só imagem mostra largura, profundidade e altura, o que a torna muito mais intuitiva do que a dupla projeção ortogonal. É reversível porque, conhecidos os eixos e os coeficientes de redução, se podem reconstruir as medidas (ver Fig. 1).

Tipos de axonometria

Tipos de axonometriaDiagrama em árvore, 5 caminhos, Dados: Ortogonal → Isometria; Ortogonal → Dimetria; Ortogonal → Trimetria; Clinogonal (oblíqua) → Cavaleira; Clinogonal (oblíqua) → PlanométricaOrtogonalClinogonal (oblíqua)AxonometriaIsometriaDimetriaTrimetriaCavaleiraPlanométrica
Fig. 1Fig. 1 — Classificação da axonometria: ortogonal e clinogonal (oblíqua).
Consoante a direção dos raios projetantes relativamente ao plano do quadro, a axonometria é «ortogonal» (raios perpendiculares ao quadro — isometria, dimetria, trimetria) ou «clinogonal/oblíqua» (raios oblíquos ao quadro — cavaleira e planométrica). Nesta secção trata-se a clinogonal; a ortogonal estuda-se no tópico seguinte. A Fig. 1 organiza esta classificação.
Na axonometria «clinogonal» tira-se partido de uma vantagem notável: como os raios são oblíquos, pode colocar-se uma face (ou um plano coordenado) do objeto «paralela ao quadro», e essa face projeta-se em «verdadeira grandeza». É o que faz a perspetiva cavaleira (mantém em VG o plano frontal) e a planométrica (mantém em VG o plano horizontal). Uma face verdadeira facilita muito o desenho e a leitura.
Os «coeficientes de redução» medem quanto cada eixo encurta na projeção: são a razão entre o comprimento projetado de um segmento sobre o eixo e o seu comprimento real. Nas direções mantidas em VG, o coeficiente é 1; na direção «de fuga» (a que representa a profundidade), o coeficiente é escolhido por convenção (1, 3/4, 1/2, …) para dar uma imagem agradável e não exagerar a profundidade. Dominar estes coeficientes é a chave da axonometria.
Exemplo resolvido

Coeficiente de redução

Numa perspetiva cavaleira com coeficiente de redução 1/2 no eixo de fuga, qual é o comprimento representado de uma aresta de profundidade real de 6 cm?

  1. 01Coeficiente

    O coeficiente de redução 1/2 aplica-se ao eixo de fuga (profundidade).

  2. 02Cálculo

    Comprimento representado = coeficiente × comprimento real = (1/2) × 6 = 3 cm.

  3. 03Faces em VG

    As arestas paralelas ao quadro (largura e altura) representam-se em VG (coeficiente 1), sem redução.

Resultado: A aresta de fuga representa-se com 3 cm (metade de 6 cm); as do quadro ficam em VG.

Foco no Exame Nacional

  • Distinguir axonometria ortogonal de clinogonal pela direção dos raios projetantes.
  • Compreender o papel dos coeficientes de redução e das faces em VG.

Erros frequentes

  • Confundir axonometria (projeção única, paralela) com a dupla projeção ortogonal.
  • Aplicar coeficiente de redução às direções que se mantêm em VG (aí o coeficiente é 1).

Revisão ativa

Explica por que na axonometria clinogonal é possível manter uma face do objeto em verdadeira grandeza e qual o papel do coeficiente de redução no eixo de fuga.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Perspetiva cavaleira#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-axonometria-clinogonal

Pontos-chave

Na «perspetiva cavaleira», o «plano frontal do objeto é paralelo ao quadro» e projeta-se em «verdadeira grandeza»: os eixos x (horizontal) e z (vertical) ficam no plano do quadro, a 90° entre si, e representam largura e altura sem redução. O terceiro eixo, y (o «eixo de fuga», a profundidade), aparece «oblíquo» — tipicamente a 45° com a horizontal — e representa-se com um «coeficiente de redução» (ver Fig. 2).

Cubo em perspetiva cavaleira

Cubo em cavaleiraFigura geométrica (3D)x1x2x3
Fig. 2Fig. 2 — Perspetiva cavaleira: face frontal em VG; eixo de fuga oblíquo com coeficiente de redução.
O «ângulo do eixo de fuga» é, por convenção, 45° (também se usam 30° ou 60°); o «coeficiente de redução» aplicado à profundidade escolhe-se entre 1 (cavaleira «pura», que exagera a profundidade), 3/4, 1/2 ou 1/3 (valores que atenuam a deformação). A combinação de 45° com coeficiente 1/2 é a chamada «perspetiva de gabinete» (cabinet), muito usada por dar uma imagem equilibrada.
O procedimento de construção é direto e é uma das grandes vantagens da cavaleira. (1) Desenha-se a face frontal do objeto em VG (no plano xz). (2) A partir de cada vértice, traçam-se as arestas de profundidade paralelas ao eixo de fuga (a 45°). (3) Sobre elas marca-se a profundidade «reduzida» (multiplicada pelo coeficiente). (4) Completa-se a face de trás e resolvem-se as arestas ocultas (tracejado). Uma face inteira em VG dispensa qualquer construção auxiliar.
A cavaleira é ideal quando uma face do objeto é mais importante ou mais rica em pormenor (por exemplo, a fachada de um edifício, a face de uma peça com furos circulares — que se mantêm circunferências em VG). O seu ponto fraco é a distorção: sem redução, a profundidade parece exagerada; por isso se usa quase sempre um coeficiente inferior a 1. É uma perspetiva rápida de desenhar e muito legível.
Exemplo resolvido

Cubo em perspetiva cavaleira

Representa um cubo de 5 cm de aresta em perspetiva cavaleira (fuga a 45°, coeficiente 1/2).

  1. 01Face frontal em VG

    Desenha-se um quadrado de 5 cm de lado (face frontal, no plano xz) — em verdadeira grandeza.

  2. 02Arestas de fuga

    De cada vértice traça-se a aresta de profundidade a 45°; marca-se o comprimento reduzido: (1/2)×5 = 2,5 cm.

  3. 03Face de trás

    Une-se a face de trás (outro quadrado de 5 cm, deslocado); as arestas ocultas desenham-se a tracejado.

Resultado: Face frontal 5×5 em VG; arestas de profundidade a 45° com 2,5 cm (5 × 1/2).

Foco no Exame Nacional

  • Construir a perspetiva cavaleira de um sólido (face frontal em VG; fuga a 45° com redução).
  • Aplicar o coeficiente de redução apenas às arestas de profundidade.

Erros frequentes

  • Reduzir também as arestas da face frontal (na cavaleira, essa face está em VG, coeficiente 1).
  • Esquecer o coeficiente de redução no eixo de fuga (a profundidade fica exagerada).

Revisão ativa

Representa em perspetiva cavaleira um cubo de 5 cm de aresta, com o eixo de fuga a 45° e coeficiente de redução 1/2.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Perspetiva planométrica e comparação#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-axonometria-clinogonal

Pontos-chave

Na «perspetiva planométrica» (ou «militar»), é o «plano horizontal do objeto que é paralelo ao quadro» e se projeta em «verdadeira grandeza»: a planta (o plano xy) aparece com a forma e as dimensões reais, apenas rodada; o eixo z (a altura) desenha-se «vertical». Os eixos x e y mantêm o ângulo reto entre si (a planta é verdadeira), tipicamente rodados 30°/60° ou 45°/45° relativamente à horizontal do quadro (ver Fig. 3).

Cavaleira vs planométrica

Cavaleira vs planométricaTabela com 4 colunas e 2 linhas, Dados: Perspetiva · Plano em VG · Eixos · Uso típico; Cavaleira · Frontal (xz) · x e z a 90°; fuga y a 45° · Fachadas, alçados, peças; Planométrica (militar) · Horizontal (xy) · x e y a 90° (planta); z vertical · Plantas, implantações, urbanismo, célula destacada: Horizontal (xy)PERSPETIVAPLANO EM VGEIXOSUSO TÍPICOCAVALEIRAFrontal (xz)x e z a 90°; fuga y a 45°Fachadas, alçados, peçasPLANOMÉTRICA(MILITAR)Horizontal (xy)x e y a 90° (planta); zverticalPlantas, implantações,urbanismo
Fig. 3Fig. 4 — Comparação das perspetivas clinogonais cavaleira e planométrica.
A grande vantagem da planométrica é ter a «planta em VG», o que a torna a perspetiva de eleição para representar «conjuntos urbanos, plantas de edifícios e implantações» — de onde lhe vem o nome «militar» (usada em cartografia militar). A altura z representa-se, normalmente, em verdadeira grandeza ou com uma ligeira redução, conforme a convenção adotada.
A construção é simétrica da cavaleira, trocando o papel dos planos: (1) desenha-se a planta (plano xy) em VG, rodada do ângulo escolhido; (2) de cada vértice da planta erguem-se as arestas verticais (eixo z) com a altura real (ou reduzida); (3) completa-se o topo e resolvem-se as arestas ocultas. Ter a planta verdadeira facilita muito quando o objeto é rico na sua base (uma cidade, uma peça vista de cima).
A escolha entre «cavaleira» e «planométrica» depende de que face interessa mostrar em VG: a cavaleira privilegia a «face frontal» (fachadas, alçados), a planométrica a «planta» (implantações, coberturas). A Fig. 4 compara as duas: face em VG, ângulos dos eixos e usos típicos. Ambas são clinogonais e partilham a lógica dos coeficientes de redução — o que muda é qual plano se mantém verdadeiro.

Sólido em perspetiva planométrica

Prisma em planométricaFigura geométrica (3D)x1x2x3
Fig. 4Fig. 3 — Perspetiva planométrica: planta (xy) em VG e altura z na vertical.
Exemplo resolvido

Prisma em perspetiva planométrica

Representa um prisma de base quadrada (4 cm de lado) e 6 cm de altura em perspetiva planométrica.

  1. 01Planta em VG

    Desenha-se o quadrado da base (4×4) em verdadeira grandeza, rodado do ângulo escolhido (por exemplo 30°/60°) — na planométrica a planta é verdadeira.

  2. 02Arestas verticais

    De cada vértice da base ergue-se a aresta vertical com a altura real, 6 cm (eixo z na vertical).

  3. 03Topo e ocultas

    Une-se o quadrado do topo; as arestas ocultas desenham-se a tracejado.

Resultado: Base 4×4 em VG (rodada); arestas verticais de 6 cm — a planta mantém-se verdadeira.

Foco no Exame Nacional

  • Construir a perspetiva planométrica de um sólido (planta em VG; altura vertical).
  • Escolher entre cavaleira e planométrica conforme a face que interessa em VG.

Erros frequentes

  • Deformar a planta na perspetiva planométrica (ela deve manter-se em VG, apenas rodada).
  • Trocar as vantagens: usar cavaleira quando interessa a planta (ou vice-versa).

Revisão ativa

Representa em perspetiva planométrica um prisma de base quadrada 4 cm de lado e 6 cm de altura, com a planta rodada 30°/60°.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 03

    • 01Princípio da axonometria e a projeção clinogonal◐
    • 02Perspetiva cavaleira●
    • 03Perspetiva planométrica e comparação●

0/3 Lidos

Dos resumos à prática

Representação axonométrica clinogonal (cavaleira e planométrica)

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Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

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