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Resumos/Geometria Descritiva A/Interseção de reta com sólido
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Interseção de reta com sólido

Determinar a interseção de uma reta com um sólido é achar os pontos onde a reta «entra» e «sai» do sólido. O método universal usa um plano auxiliar que contém a reta e secciona o sólido: a reta encontra o contorno dessa secção nos pontos de entrada e de saída. Estudam-se o método, a sua aplicação a sólidos de faces planas e de revolução e a visibilidade do segmento.

3 secções·~9 min de leitura·3 competências·Nível Aprofundamento 3

T·111111 / 14
Perfil de exame
Determinar os pontos de interseção de uma reta com um sólidoAplicar o método do plano auxiliar (secção pela reta)Estabelecer a visibilidade do traçado da reta relativamente ao sólido
Operadores:determinaintersetaconstróijustificaidentifica

nível básico

Determinar a interseção com sólidos de faces planas usando um plano auxiliar projetante.

nível avançado

Aplicar o método a sólidos de revolução e resolver a visibilidade completa do segmento.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 3 secções▾
  1. Interseção de reta com sólido
    • 01Método do plano auxiliar●
    • 02Interseção com sólidos de faces planas●
    • 03Sólidos de revolução e visibilidade do segmento●
§ 01

Método do plano auxiliar#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-interseccao-reta-solido

Pontos-chave

Uma reta que atravessa um sólido «fura-o» em dois pontos: o ponto de «entrada» e o de «saída», ambos na superfície do sólido. O troço entre eles é interior ao sólido (e, num sólido opaco, invisível); os troços fora são exteriores. Determinar a interseção é, pois, achar estes dois pontos de furo (ver Fig. 1).

Reta a atravessar um sólido

Reta a atravessar um sólidoFigura geométrica (3D), A, B, C, D, r, rABCDrx1x2x3r
Fig. 1Fig. 1 — A reta fura o sólido em dois pontos (entrada I e saída J), obtidos por um plano auxiliar que a contém.
O método universal é o do «plano auxiliar contendo a reta». Faz-se passar pela reta r um plano auxiliar β (de preferência projetante, para simplificar); esse plano secciona o sólido segundo uma «figura de secção»; os pontos onde a reta r encontra o «contorno» dessa secção são precisamente os pontos de entrada e de saída. Reduz-se assim a interseção reta/sólido a uma secção (já estudada) mais uma interseção reta/polígono (ou reta/curva).
A escolha de um plano auxiliar «projetante que contém a reta» torna a secção fácil de obter. Por exemplo, se se toma o plano vertical que contém r (traço horizontal coincidente com r₁), a secção do sólido por esse plano tem a projeção horizontal sobre r₁, e a projeção frontal obtém-se cortando as faces/geratrizes; r₂ encontra o contorno dessa secção nos pontos de furo, que se transportam por linhas de chamada para r₁.
O procedimento-tipo é: (1) escolher o plano auxiliar projetante que contém r; (2) determinar a secção do sólido por esse plano; (3) intersetar r com o contorno da secção — obtêm-se os pontos de entrada I e de saída J; (4) resolver a visibilidade do segmento. Este encadeamento — secção seguida de interseção reta/figura — é o esquema mental que resolve qualquer interseção reta/sólido.
Exemplo resolvido

Pontos de furo num prisma

Determina os pontos de entrada e de saída de uma reta oblíqua r num prisma quadrangular reto.

  1. 01Plano auxiliar

    Toma-se o plano vertical β que contém r (traço horizontal coincidente com r₁): a sua secção do prisma tem projeção horizontal sobre r₁.

  2. 02Secção do prisma

    Determina-se a secção do prisma por β: as arestas cortadas dão o contorno da secção na projeção frontal.

  3. 03Pontos de furo

    r₂ encontra o contorno da secção em dois pontos (I₂ e J₂); por linha de chamada obtêm-se I₁ e J₁ sobre r₁.

Resultado: Os pontos de entrada I e de saída J são as interseções de r com o contorno da secção do sólido por β.

Foco no Exame Nacional

  • Reduzir a interseção reta/sólido a uma secção pelo plano auxiliar que contém a reta.
  • Determinar os pontos de entrada e de saída no contorno da secção.

Erros frequentes

  • Usar um plano auxiliar que não contém a reta (o método deixa de dar os pontos de furo).
  • Confundir os pontos de furo (na superfície) com pontos interiores da secção.

Revisão ativa

Descreve como determinas os pontos de entrada e de saída de uma reta oblíqua num prisma, usando o plano vertical que contém a reta.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Interseção com sólidos de faces planas#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-interseccao-reta-solido

Interseção de uma reta com uma pirâmide

Interseção reta/pirâmideFigura geométrica (3D), A, B, C, D, V, r, rABCDVrx1x2x3r
Fig. 2Fig. 2 — Reta a atravessar uma pirâmide: entrada e saída em faces distintas.

Pontos-chave

Nos sólidos de «faces planas» (prismas e pirâmides), a secção produzida pelo plano auxiliar é um «polígono», e os pontos de furo são as interseções da reta com os lados desse polígono. Como o polígono de secção se obtém cortando aresta a aresta, o trabalho reduz-se a construções de interseção reta/plano já dominadas — o que torna estes casos os mais acessíveis e os mais frequentes.
Um pormenor importante é identificar «em que faces» a reta entra e sai. Cada ponto de furo pertence a uma face do sólido; saber qual permite decidir depois a visibilidade e verificar a coerência do resultado. O ponto de entrada está numa face «voltada para a reta» e o de saída na face oposta; a projeção sobre o traço do plano auxiliar ajuda a localizar cada um.
Quando a reta ou o sólido estão em posições notáveis, a construção encurta-se. Se a reta é «projetante» (vertical ou de topo), uma das suas projeções é um ponto, e os pontos de furo leem-se diretamente sobre a projeção correspondente do sólido. Se uma face é «projetante», o ponto de furo nessa face lê-se sobre o seu traço. Reconhecer estas vantagens é, mais uma vez, o caminho para uma resolução limpa.
O resultado final é o «segmento de reta interior» ao sólido (entre entrada e saída), que se representa a tracejado (invisível) quando o sólido é opaco, e os «troços exteriores» a contínuo (visíveis). A representação da reta é, assim, mista: contínua fora do sólido, interrompida no interior. Esta leitura, associada à visibilidade das arestas do sólido, completa o exercício.
Exemplo resolvido

Reta de topo numa pirâmide

Uma reta de topo r atravessa uma pirâmide de base horizontal. Determina os pontos de entrada e de saída.

  1. 01Reta projetante

    Como r é de topo, a sua projeção frontal r₂ é um ponto; ambos os pontos de furo têm a mesma projeção frontal (esse ponto).

  2. 02Plano auxiliar

    Toma-se o plano de topo que contém r (traço frontal em r₂); a secção da pirâmide por esse plano dá o contorno onde r fura.

  3. 03Pontos I e J

    Na projeção horizontal, r₁ encontra o contorno da secção em I₁ e J₁ — os pontos de entrada e de saída; a visibilidade decide-se por afastamentos.

Resultado: Os pontos de furo têm projeção frontal comum (r é de topo); I₁ e J₁ leem-se no contorno da secção sobre r₁.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar os pontos de furo de uma reta num prisma ou pirâmide (interseção com o polígono de secção).
  • Identificar as faces de entrada e de saída da reta.

Erros frequentes

  • Não identificar corretamente as faces de entrada e de saída, errando a visibilidade.
  • Representar o troço interior a contínuo (num sólido opaco é invisível).

Revisão ativa

Uma reta de topo atravessa uma pirâmide. Determina os pontos de entrada e de saída aproveitando que a reta é projetante.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Sólidos de revolução e visibilidade do segmento#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-interseccao-reta-solido

Interseção de uma reta com um cone

Interseção reta/coneFigura geométrica (3D), O, V, r, rOVrx1x2x3r
Fig. 3Fig. 3 — No cone, o plano auxiliar pelo vértice corta-o segundo geratrizes; a reta fura-as nos pontos de entrada e saída.

Pontos-chave

Nos «sólidos de revolução» (cilindro, cone), o método é o mesmo, mas a secção produzida pelo plano auxiliar é uma «curva» (ou um polígono, se o plano contém o eixo ou é paralelo a geratrizes). Os pontos de furo são as interseções da reta com essa curva de secção. Escolhendo, quando possível, um plano auxiliar que corte o sólido segundo geratrizes (plano por o vértice, num cone; plano paralelo ao eixo, num cilindro), a secção fica retilínea e a interseção simplifica-se.
No «cone», o plano auxiliar mais cómodo é o que contém a reta «e» passa pelo vértice: esse plano corta o cone segundo duas geratrizes (um triângulo, com a base), e os pontos de furo são as interseções da reta com essas geratrizes. No «cilindro», o plano auxiliar «paralelo ao eixo» que contém a reta corta o cilindro segundo duas geratrizes (um retângulo, com as bases), e os furos são as interseções da reta com elas.
A «visibilidade do segmento» resolve-se comparando, ponto a ponto, com o sólido opaco. O troço da reta interior ao sólido é invisível (tracejado). Nos troços exteriores, há ainda que decidir se a reta passa à frente ou atrás da superfície visível: aplica-se a regra da visibilidade (maior cota na horizontal, maior afastamento na frontal) nos cruzamentos da reta com o contorno aparente do sólido.
A representação final combina três leituras: os pontos de furo (entrada e saída), o troço interior invisível e a visibilidade dos troços exteriores relativamente ao contorno aparente. Uma resolução completa legenda tudo isto com clareza. Este tipo de exercício, que integra secções, interseções e visibilidade num único sólido, é um bom exemplo da síntese que o Exame Nacional procura.
Exemplo resolvido

Reta a atravessar um cone

Determina os pontos de furo de uma reta r num cone de revolução, e a visibilidade do segmento.

  1. 01Plano auxiliar pelo vértice

    Toma-se o plano que contém r e o vértice V: corta o cone segundo duas geratrizes (mais um segmento da base).

  2. 02Pontos de furo

    Determinam-se as interseções de r com essas duas geratrizes: são os pontos de entrada I e de saída J.

  3. 03Visibilidade

    O troço IJ é interior ao cone (invisível, tracejado); os troços exteriores decidem-se pela regra da visibilidade face ao contorno aparente.

Resultado: I e J obtêm-se nas geratrizes cortadas pelo plano pelo vértice; o troço IJ é invisível.

Foco no Exame Nacional

  • Escolher o plano auxiliar que corta o cone/cilindro segundo geratrizes (secção retilínea).
  • Resolver a visibilidade do segmento (troço interior invisível; exteriores pela regra da visibilidade).

Erros frequentes

  • Num cone, não escolher o plano auxiliar pelo vértice, complicando a secção (curva em vez de geratrizes).
  • Esquecer a visibilidade dos troços exteriores relativamente ao contorno aparente do sólido.

Revisão ativa

Determina os pontos de furo de uma reta num cone, usando o plano auxiliar que contém a reta e passa pelo vértice, e resolve a visibilidade.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 03

    • 01Método do plano auxiliar●
    • 02Interseção com sólidos de faces planas●
    • 03Sólidos de revolução e visibilidade do segmento●

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Dos resumos à prática

Interseção de reta com sólido

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

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