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Resumos/Geometria Descritiva A/Secções de sólidos por planos
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Secções de sólidos por planos

A secção de um sólido por um plano é a figura plana que resulta do corte. Estudam-se o método geral de determinação da figura de secção (cortando aresta a aresta ou geratriz a geratriz), o caso vantajoso dos planos projetantes, a verdadeira grandeza da secção por rebatimento e as secções dos sólidos de revolução — em especial as cónicas obtidas no cone.

3 secções·~8 min de leitura·3 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 2

T·101010 / 14
Perfil de exame
Determinar a figura de secção de um sólido por um planoObter a verdadeira grandeza da figura de secçãoReconhecer as secções dos sólidos de revolução (cónicas)
Operadores:determinaseccionaconstróiidentificajustifica

nível básico

Determinar secções por planos projetantes, lendo a secção numa das projeções.

nível avançado

Obter a VG da secção por rebatimento e reconhecer as cónicas no cone.

Profundidade

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Conteúdo · 3 secções▾
  1. Secções de sólidos por planos
    • 01Secção plana: conceito e método◐
    • 02Secções por planos projetantes e verdadeira grandeza●
    • 03Secções de sólidos de revolução●
§ 01

Secção plana: conceito e método#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-11-seccoes

Pontos-chave

A «secção» de um sólido por um plano (o «plano secante» ou «plano de corte») é a figura plana comum ao sólido e ao plano — a «superfície de corte». Num poliedro, a secção é um polígono cujos «vértices» são os pontos onde o plano corta as arestas e cujos «lados» são os segmentos onde o plano corta as faces. Num sólido de revolução, a secção é, em geral, uma curva (ver Fig. 1).

Secção de um prisma por um plano

Secção de um prismaFigura geométrica (3D), A, B, C, D, plano secanteABCDplanosecantex1x2x3
Fig. 1Fig. 1 — Secção de um prisma: os vértices são as interseções das arestas com o plano secante.
O método geral para poliedros é «cortar aresta a aresta»: para cada aresta do sólido, determina-se o ponto onde o plano secante a interseta (um problema de interseção de reta com plano); esses pontos são os vértices da secção. Unindo, pela ordem correta (a de percurso das faces), os pontos obtidos, fecha-se o polígono de secção. Cada vértice obtém-se, portanto, como interseção de uma aresta (reta) com o plano de corte.
Para «sólidos de revolução» usa-se o método análogo de «cortar geratriz a geratriz» (cilindro e cone) ou por «paralelos» (esfera e superfícies de revolução): tomam-se várias geratrizes (ou paralelos), determina-se onde o plano as corta e unem-se os pontos com uma curva suave. Quantos mais pontos, mais rigorosa a curva; escolhem-se pontos notáveis (os dos eixos, os de contorno) para garantir a forma correta.
A determinação da secção resolve-se muito mais depressa quando o «plano secante é projetante»: nesse caso, uma das projeções da secção cai imediatamente sobre o traço do plano, e só falta a outra projeção e a VG. Por isso, os exercícios de secção escolhem frequentemente planos de topo ou verticais — caso tratado em detalhe na secção seguinte, onde se obtém também a verdadeira grandeza.
Exemplo resolvido

Vértices da secção de um prisma

Um prisma quadrangular reto é cortado por um plano oblíquo. Descreve como obténs os vértices da secção.

  1. 01Cortar aresta a aresta

    Cada aresta lateral (uma reta vertical) é intersetada com o plano secante: obtém-se um ponto por aresta.

  2. 02Pontos de secção

    Nas arestas verticais, o ponto de corte lê-se onde a projeção da aresta encontra a projeção da secção (com o plano projetante, sobre o seu traço).

  3. 03Fechar o polígono

    Unem-se os quatro pontos pela ordem das faces (A→B→C→D) — obtém-se o quadrilátero de secção.

Resultado: A secção é o polígono cujos vértices são as interseções das arestas laterais com o plano secante.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar os vértices de uma secção cortando aresta a aresta (interseção reta/plano).
  • Unir os pontos de secção pela ordem correta das faces.

Erros frequentes

  • Unir os vértices da secção por uma ordem errada (não a do percurso das faces).
  • Esquecer arestas ao cortar, deixando o polígono de secção incompleto.

Revisão ativa

Determina os vértices da secção de um prisma por um plano oblíquo, cortando cada aresta lateral pelo plano secante.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Secções por planos projetantes e verdadeira grandeza#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-seccoes

Pontos-chave

Quando o «plano secante é projetante» (de topo ou vertical), uma das projeções da secção é imediata: toda a secção se projeta sobre o traço do plano. Se o plano é de «topo», a «projeção frontal» da secção cai sobre o seu traço frontal (um segmento); se é «vertical», a «projeção horizontal» cai sobre o traço horizontal. Fica assim determinada uma das projeções da figura de secção sem esforço (ver Fig. 2).

Secção por plano de topo e VG

Secção por plano projetanteTabela com 3 colunas e 4 linhas, Dados: Passo · Operação · Resultado; 1 · Ler a secção no traço do plano projetante · Uma projeção da secção (imediata); 2 · Transportar por linhas de chamada · A outra projeção da secção; 3 · Rebater o plano secante (charneira = traço) · Secção em verdadeira grandeza; 4 · Resolver a visibilidade · Secção legendada (contínuo/tracejado), célula destacada: Secção em verdadeira grandezaPASSOOPERAÇÃORESULTADO1Ler a secção no traço doplano projetanteUma projeção da secção(imediata)2Transportar por linhas dechamadaA outra projeção da secção3Rebater o plano secante(charneira = traço)Secção em verdadeiragrandeza4Resolver a visibilidadeSecção legendada (contínuo/tracejado)
Fig. 2Fig. 2 — Passos da secção por plano projetante até à verdadeira grandeza.
A outra projeção obtém-se por «linha de chamada»: cada vértice da secção, lido na projeção onde ela cai sobre o traço, transporta-se para a outra projeção sobre a aresta correspondente do sólido. Determinadas as duas projeções, tem-se a secção representada, mas ainda «deformada» — nenhuma projeção mostra a sua forma real, porque o plano secante é oblíquo relativamente aos planos de projeção.
A «verdadeira grandeza» da secção obtém-se por «rebatimento» do plano secante sobre um plano de projeção, em torno do seu traço (a charneira). Cada vértice da secção descreve um arco em torno da charneira, conservando a distância verdadeira (calculada com o triângulo de rebatimento a partir da cota/afastamento); unindo os vértices rebatidos obtém-se a figura de secção na sua forma e dimensões reais.
A sequência-tipo de um problema completo é, portanto: (1) identificar o plano projetante e ler a projeção imediata da secção sobre o seu traço; (2) obter a outra projeção por linhas de chamada; (3) rebater o plano secante para obter a VG da secção; (4) legendar visibilidade. É um dos exercícios mais representativos do 11.º ano, que integra interseção, projeção e rebatimento.
Exemplo resolvido

Secção de uma pirâmide por plano de topo

Uma pirâmide de base horizontal é cortada por um plano de topo. Obtém as projeções e a VG da secção.

  1. 01Projeção frontal da secção

    Como o plano é de topo, a projeção frontal da secção cai sobre o seu traço frontal: marcam-se aí os pontos onde o traço corta as arestas (em projeção frontal).

  2. 02Projeção horizontal

    Cada vértice desce por linha de chamada até à projeção horizontal da aresta correspondente, dando a projeção horizontal da secção.

  3. 03VG por rebatimento

    Rebate-se o plano de topo em torno do traço frontal; cada vértice roda até à VG (distância pelo triângulo de rebatimento). Une-se a figura em VG.

Resultado: Projeção frontal sobre o traço; projeção horizontal por linhas de chamada; VG por rebatimento em torno do traço.

Foco no Exame Nacional

  • Ler a projeção imediata da secção sobre o traço de um plano projetante.
  • Obter a VG da figura de secção por rebatimento do plano secante.

Erros frequentes

  • Confundir a projeção da secção (deformada) com a sua verdadeira grandeza (só por rebatimento).
  • Não conservar a distância dos vértices à charneira ao rebater a secção.

Revisão ativa

Uma pirâmide é seccionada por um plano de topo. Determina as duas projeções da secção e obtém a sua VG por rebatimento.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Secções de sólidos de revolução#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-seccoes

Pontos-chave

As secções dos sólidos de revolução são curvas, e o «cone» é o caso mais rico: consoante a inclinação do plano secante, obtêm-se as «secções cónicas». Um plano perpendicular ao eixo dá uma «circunferência»; um plano oblíquo que corta todas as geratrizes dá uma «elipse»; um plano paralelo a uma geratriz dá uma «parábola»; um plano paralelo ao eixo (ou que corta as duas folhas) dá uma «hipérbole». A Fig. 3 sistematiza estas quatro secções.

Secções cónicas do cone

Secções cónicasTabela com 3 colunas e 4 linhas, Dados: Plano secante · Condição · Secção; Perpendicular ao eixo · Corta todas as geratrizes · Circunferência; Oblíquo ao eixo · Corta todas as geratrizes · Elipse; Paralelo a uma geratriz · Corta as restantes geratrizes · Parábola; Paralelo ao eixo · Corta as duas folhas · HipérbolePLANO SECANTECONDIÇÃOSECÇÃOPERPENDICULAR AOEIXOCorta todas as geratrizesCircunferênciaOBLÍQUO AO EIXOCorta todas as geratrizesElipsePARALELO A UMAGERATRIZCorta as restantesgeratrizesParábolaPARALELO AO EIXOCorta as duas folhasHipérbole
Fig. 3Fig. 3 — As secções cónicas do cone de revolução conforme o plano secante.
No «cilindro», as secções são mais simples: um plano perpendicular ao eixo dá uma «circunferência» (igual à base), um plano oblíquo às geratrizes dá uma «elipse», e um plano paralelo ao eixo dá um «retângulo» (duas geratrizes e dois segmentos das bases). Na «esfera», qualquer secção plana é sempre uma «circunferência» (um «círculo máximo» se o plano passa pelo centro, menor caso contrário).
O método de determinação é o de «cortar geratriz a geratriz» ou por «paralelos»: escolhem-se geratrizes (no cone/cilindro) ou circunferências de nível (na esfera), determina-se onde o plano as corta e unem-se os pontos com uma curva. Convém incluir sempre os «pontos notáveis» — os extremos dos eixos da curva, os pontos de contorno aparente e, na parábola/hipérbole, os pontos das geratrizes de contorno — para fixar corretamente a forma.
A verdadeira grandeza da curva de secção obtém-se, como nos poliedros, por «rebatimento» do plano secante. É esse rebatimento que revela a elipse, a parábola ou a hipérbole na sua forma real e permite medir os seus eixos. As secções cónicas ligam a Geometria Descritiva à geometria das cónicas estudada noutras disciplinas, e são um conteúdo distintivo do programa do 11.º ano.
Exemplo resolvido

Identificar cónicas

Que secção se obtém ao cortar um cone de revolução por (a) um plano perpendicular ao eixo e (b) um plano paralelo a uma geratriz?

  1. 01(a) Perpendicular ao eixo

    O plano corta todas as geratrizes a igual distância do vértice → a secção é uma circunferência.

  2. 02(b) Paralelo a uma geratriz

    O plano é paralelo a uma geratriz e corta todas as outras → a secção é uma parábola (curva aberta).

  3. 03Nota

    Um plano oblíquo que corte todas as geratrizes daria uma elipse; um paralelo ao eixo, uma hipérbole.

Resultado: (a) circunferência; (b) parábola.

Foco no Exame Nacional

  • Associar a inclinação do plano secante à cónica obtida no cone (circunferência, elipse, parábola, hipérbole).
  • Reconhecer que qualquer secção plana da esfera é uma circunferência.

Erros frequentes

  • Confundir as condições que geram cada cónica (paralelo a uma geratriz → parábola; paralelo ao eixo → hipérbole).
  • Traçar a secção de um cilindro oblíquo como circunferência (é uma elipse).

Revisão ativa

Indica que secção se obtém ao cortar um cone de revolução por: (a) um plano perpendicular ao eixo; (b) um plano paralelo a uma geratriz.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 03

    • 01Secção plana: conceito e método◐
    • 02Secções por planos projetantes e verdadeira grandeza●
    • 03Secções de sólidos de revolução●

0/3 Lidos

Dos resumos à prática

Secções de sólidos por planos

Consolida este tema com perguntas do banco de perguntas.

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Competências
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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

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Representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones, cilindros, esfera)

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