Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones, cilindros, esfera)

Representar um sólido na dupla projeção ortogonal é representar todos os seus vértices, arestas e superfícies e resolver a visibilidade. Estudam-se os prismas e pirâmides (poliedros), os sólidos de revolução (cilindro, cone e esfera), o contorno aparente e a regra da visibilidade, geralmente com a base assente num plano notável.

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0999 / 14

Perfil de exame

Representar prismas e pirâmides com base em plano notávelRepresentar cilindros, cones e a esfera e o seu contorno aparenteDeterminar a visibilidade de arestas e geratrizes

Operadores:representaconstróideterminaidentificajustifica

nível básico

Representar sólidos com base num plano horizontal ou frontal e ler as duas projeções.

nível avançado

Representar sólidos de revolução, o contorno aparente e a visibilidade completa.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 3 secções

Representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones, cilindros, esfera)

Prismas e pirâmides#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-11-solidos

Prisma quadrangular reto

Fig. 2Fig. 2 — Prisma quadrangular reto: base em VG e arestas laterais verticais.

Um «prisma» tem duas bases iguais e paralelas, ligadas por faces laterais paralelogramos; num prisma «reto», as faces laterais são perpendiculares às bases. Uma «pirâmide» tem uma base poligonal e um vértice (o ápice), com faces laterais triangulares; é «reta» quando o ápice está sobre a perpendicular ao centro da base. Representá-los começa por assentar a base num plano notável, onde ela aparece em VG (ver Fig. 1).

Pirâmide quadrangular regular

Fig. 1Fig. 1 — Pirâmide quadrangular regular: base em VG na projeção horizontal, ápice V sobre o centro.

O método de representação é sistemático: (1) assenta-se a base num plano horizontal (ou frontal) e constrói-se em VG na projeção correspondente; (2) determinam-se as projeções dos vértices da base na outra projeção; (3) erguem-se as arestas laterais (verticais, no caso reto de base horizontal) até à altura dada, obtendo o topo ou o ápice; (4) unem-se os vértices para completar as duas projeções. A base horizontal projeta-se em VG na projeção horizontal.

A pirâmide regular ilustra bem o processo: constrói-se o polígono da base em VG na projeção horizontal; o ápice V projeta-se em V₁ no centro da base e em V₂ à altura dada, na projeção frontal; as arestas laterais unem cada vértice da base ao ápice, nas duas projeções (Fig. 1). O prisma reto obtém-se de modo análogo, transladando a base para o topo segundo a altura.

As dimensões e as posições devem respeitar exatamente o enunciado — lado da base, altura, cota do plano de assento, orientação. Um pormenor decisivo é a coerência entre projeções: cada vértice tem de estar na mesma linha de chamada nas duas projeções. Terminada a representação, resolve-se a visibilidade das arestas (secção 3), sem a qual o desenho fica incompleto.

Exemplo resolvido

Representar uma pirâmide quadrangular

Representa uma pirâmide quadrangular regular de base 5 cm de lado (plano horizontal) e altura 7 cm.

Base em VG
Constrói-se o quadrado [ABCD] de 5 cm de lado na projeção horizontal (VG); a projeção frontal da base é um segmento à cota do plano de assento.
Ápice
V₁ marca-se no centro do quadrado (interseção das diagonais); V₂ marca-se 7 cm acima da base na projeção frontal.
Arestas laterais
Unem-se A, B, C, D a V nas duas projeções; resolve-se depois a visibilidade das arestas.

Resultado: V₁ no centro da base; V₂ a 7 cm de altura; arestas laterais de cada vértice ao ápice.

Erros frequentes

Construir a base fora de VG (deve estar na projeção onde o plano de assento a mostra verdadeira).
Colocar o ápice de uma pirâmide reta fora da perpendicular ao centro da base.

Revisão ativa

Representa uma pirâmide quadrangular regular de base 5 cm de lado num plano horizontal e altura 7 cm; indica onde ficam V₁ e V₂.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Sólidos de revolução: cilindro, cone e esfera#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-11-solidos

Esfera

Fig. 5Fig. 5 — Esfera: qualquer projeção é um círculo do raio da esfera.

Os «sólidos de revolução» geram-se rodando uma figura em torno de um eixo. O «cilindro de revolução» resulta de rodar um retângulo em torno de um lado: tem duas bases circulares iguais e paralelas e uma superfície lateral gerada por geratrizes paralelas ao eixo. O «cone de revolução» resulta de rodar um triângulo retângulo em torno de um cateto: tem uma base circular e um vértice, com geratrizes que unem o vértice à circunferência da base (ver Fig. 3 e Fig. 4).

Cone de revolução

Fig. 3Fig. 3 — Cone de revolução: base circular (VG na horizontal), vértice sobre o eixo, geratrizes de contorno.

Cilindro de revolução

Fig. 4Fig. 4 — Cilindro de revolução: bases circulares paralelas e geratrizes paralelas ao eixo.

A «esfera» gera-se rodando uma semicircunferência em torno do diâmetro; é o único destes sólidos cuja projeção, em qualquer direção, é sempre um «círculo» de raio igual ao da esfera. Por isso, a esfera representa-se pelas duas projeções circulares (do mesmo raio), acrescentando, quando útil, o equador e os meridianos principais para localizar pontos na superfície.

A representação de cilindros e cones com «base num plano horizontal» é direta: a base circular aparece em VG (circunferência) na projeção horizontal e reduz-se a um segmento (o diâmetro) na frontal; a superfície lateral fica limitada pelas geratrizes de «contorno aparente». Se a base assenta num plano oblíquo, a base projeta-se como elipse e a construção exige métodos auxiliares.

Localizar «pontos na superfície» é uma tarefa frequente: um ponto do cilindro/cone pertence a uma geratriz; um ponto da esfera pertence a um paralelo (circunferência de nível) ou a um meridiano. Para colocar um ponto na superfície de um cone, por exemplo, traça-se a geratriz que passa por ele; para a esfera, usa-se o paralelo da sua cota. Esta técnica é a base das secções e interseções que se estudam a seguir.

Exemplo resolvido

Ponto na superfície de um cone

Localiza um ponto P na superfície lateral de um cone de revolução (raio 3, altura 6, base horizontal), conhecida a sua projeção horizontal P₁.

Geratriz por P
Traça-se, na projeção horizontal, a geratriz que une o vértice V₁ ao ponto da circunferência da base alinhado com P₁ (V₁ está no centro da base).
Projeção frontal da geratriz
Obtém-se a projeção frontal dessa geratriz unindo V₂ ao ponto correspondente da base na frontal.
Ponto P
Por linha de chamada de P₁, P₂ cai sobre a projeção frontal da geratriz — P fica na superfície.

Resultado: P pertence à superfície porque assenta numa geratriz do cone; P₂ obtém-se na geratriz por linha de chamada.

Erros frequentes

Desenhar a base de um cone/cilindro oblíquo como circunferência (num plano oblíquo é uma elipse).
Colocar um ponto na superfície sem o apoiar numa geratriz (cone/cilindro) ou num paralelo (esfera).

Revisão ativa

Representa um cone de revolução de raio 3 cm e altura 6 cm com base num plano horizontal e localiza um ponto P da sua superfície pela geratriz que passa por ele.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Visibilidade e contorno aparente#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-11-solidos

Um sólido é opaco, pelo que algumas arestas ficam «escondidas» atrás dele em cada vista. A «visibilidade» consiste em decidir, em cada projeção, que arestas são visíveis (traço contínuo) e que arestas são invisíveis (traço interrompido/tracejado). É parte obrigatória da representação: um desenho com todas as arestas a contínuo está incompleto e é penalizado (ver Fig. 6).

Regra da visibilidade

Fig. 6Fig. 6 — Regra da visibilidade: o que se vê em cada projeção.

O «contorno aparente» de um sólido, numa dada projeção, é a linha que separa a parte visível da parte oculta — a silhueta. Nos poliedros, é formado por arestas; nos sólidos de revolução, pelas geratrizes ou circunferências de contorno (por exemplo, as duas geratrizes extremas de um cone na projeção frontal). Tudo o que está dentro do contorno aparente e fica «para trás» é invisível nessa projeção.

A regra prática da visibilidade compara «cotas» (na projeção horizontal, vê-se o que está mais alto) e «afastamentos» (na projeção frontal, vê-se o que está mais à frente). Assim: na «projeção horizontal», a aresta visível num cruzamento é a de maior cota; na «projeção frontal», é a de maior afastamento. Aplicada aresta a aresta nos pontos de cruzamento, esta regra resolve toda a visibilidade.

A visibilidade é independente em cada projeção: uma aresta pode ser visível na horizontal e invisível na frontal. Convém decidir a visibilidade dos vértices e das arestas de forma organizada — começando pelo contorno aparente, que é sempre visível, e progredindo para o interior. Uma legendagem cuidada (contínuo/tracejado) transmite corretamente a forma do sólido e é, também ela, avaliada.

Exemplo resolvido

Visibilidade numa pirâmide

Numa pirâmide de base horizontal, decide a visibilidade das arestas laterais na projeção frontal.

Contorno aparente
As arestas que formam a silhueta na projeção frontal são visíveis (contorno aparente).
Comparar afastamentos
Nas arestas que se cruzam em projeção, é visível a de maior afastamento (mais à frente); a de menor afastamento fica invisível.
Legendagem
Traça-se a visível a contínuo e a invisível a tracejado; a aresta do vértice mais recuado é a candidata a invisível.

Resultado: Na frontal, vê-se a aresta de maior afastamento; a mais recuada desenha-se a tracejado.

Erros frequentes

Desenhar todas as arestas a traço contínuo (não distinguir visíveis de invisíveis).
Aplicar o mesmo critério de visibilidade às duas projeções (é cota na horizontal, afastamento na frontal).

Revisão ativa

Numa pirâmide, indica que arestas laterais são visíveis e quais são invisíveis na projeção frontal, justificando pela comparação de afastamentos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

Representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones, cilindros, esfera)

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 1

Representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones, cilindros, esfera)

Pontos-chave

Representar uma pirâmide quadrangular

Pontos-chave

Ponto na superfície de um cone

Pontos-chave

Visibilidade numa pirâmide

Fontes

Representação de sólidos (prismas, pirâmides, cones, cilindros, esfera)

Pontos-chave

Representar uma pirâmide quadrangular

Pontos-chave

Ponto na superfície de um cone

Pontos-chave

Visibilidade numa pirâmide

Fontes