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Resumos/Geometria Descritiva A/Representação diédrica do ponto, do segmento de reta e da reta
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Representação diédrica do ponto, do segmento de reta e da reta

A representação diédrica constrói-se a partir do elemento mais simples — o ponto — e sobe à reta. Estudam-se as projeções do ponto (cota e afastamento, sinais e diedros), as projeções da reta e os seus traços nos planos de projeção, a classificação das retas em posições particulares (retas notáveis) e as posições relativas de duas retas na épure.

4 secções·~12 min de leitura·3 competências·Nível Base 1 · Padrão 2 · Aprofundamento 1

T·0222 / 14
Perfil de exame
Representar e ler pontos na épure a partir de cotas e afastamentosRepresentar retas e determinar os seus traços horizontal e frontalClassificar retas notáveis e reconhecer posições relativas de duas retas
Operadores:representadeterminaclassificaidentificajustifica

nível básico

Representar pontos e retas e reconhecer as retas notáveis mais comuns (horizontal, frontal, de topo, vertical).

nível avançado

Determinar traços de retas oblíquas e de perfil e discutir posições relativas de retas na épure.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Representação diédrica do ponto, do segmento de reta e da reta
    • 01O ponto e as suas projeções○
    • 02A reta e os seus traços◐
    • 03Retas notáveis (posições particulares)◐
    • 04Posições relativas de duas retas●
§ 01

O ponto e as suas projeções#

●○○BaseLPAE-geometria-descritiva-a-10-ponto-reta

Pontos-chave

Todo o estudo diédrico começa no ponto, porque retas, planos e sólidos se constroem a partir de pontos. Um ponto A fica representado pelas suas duas projeções ortogonais: a «projeção horizontal» A₁ (sobre o plano horizontal ν) e a «projeção frontal» A₂ (sobre o plano frontal φ). Na épure, A₁ e A₂ situam-se sempre sobre a mesma linha de chamada, perpendicular à linha de terra — regra que nunca deve ser esquecida (ver Fig. 1).

Ponto no espaço e a sua épure

Ponto e projeçõesFigura geométrica (3D), A, A₁, A₂, cota, afast., ν, φAA₁A₂νφx1x2x3cotaafast.
Fig. 1Fig. 1 — Ponto A e as suas projeções: a cota mede-se de A₂ à LT, o afastamento de A₁ à LT.
As duas coordenadas que interessam ao desenho são a «cota» e o «afastamento». A cota é a distância orientada do ponto ao plano horizontal (positiva acima, negativa abaixo) e lê-se na projeção frontal: é a distância de A₂ à linha de terra. O afastamento é a distância orientada ao plano frontal (positivo à frente, negativo atrás) e lê-se na projeção horizontal: é a distância de A₁ à linha de terra. Um terceiro valor, a «abcissa», mede a posição ao longo da linha de terra e distingue pontos situados em linhas de chamada diferentes.
Os sinais da cota e do afastamento determinam o «diedro» do ponto: cota e afastamento positivos → 1.º diedro; cota positiva e afastamento negativo → 2.º; ambos negativos → 3.º; cota negativa e afastamento positivo → 4.º. A leitura correta dos sinais é decisiva porque muda a posição das projeções relativamente à linha de terra: no 1.º diedro A₂ está acima e A₁ abaixo da LT; no 3.º passa-se o contrário.
Há pontos com posição especial. Um ponto do «plano horizontal de projeção» tem cota nula (A₂ está sobre a linha de terra); um ponto do «plano frontal» tem afastamento nulo (A₁ está sobre a LT); um ponto da «linha de terra» tem cota e afastamento nulos, e as duas projeções coincidem sobre a própria linha de terra. Reconhecer estes casos evita erros de leitura e é frequentemente a chave de problemas de pertença e interseção.
Exemplo resolvido

Ler as coordenadas de um ponto

Numa épure, A₂ está 3 unidades acima da linha de terra e A₁ está 2 unidades abaixo, na mesma linha de chamada. Indica cota, afastamento e diedro de A.

  1. 01Cota

    A₂ está 3 acima da LT → cota = +3.

  2. 02Afastamento

    A₁ está 2 abaixo da LT → afastamento = +2.

  3. 03Diedro

    Cota e afastamento positivos → 1.º diedro.

Resultado: Cota +3, afastamento +2; A é um ponto do 1.º diedro.

Foco no Exame Nacional

  • Representar um ponto dado por (abcissa; afastamento; cota) e ler essas grandezas de uma épure.
  • Identificar pontos dos planos de projeção e da linha de terra pelas suas projeções.

Erros frequentes

  • Trocar cota (lida na projeção frontal) com afastamento (lido na projeção horizontal).
  • Colocar A₁ e A₂ em linhas de chamada diferentes, quebrando a correspondência entre projeções.

Revisão ativa

Representa na épure os pontos A(0; 2; 3), B(0; 0; 4) e C(0; 3; 0). Indica a que plano de projeção pertencem B e C.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

A reta e os seus traços#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-ponto-reta

Pontos-chave

Uma reta fica definida por dois dos seus pontos: as projeções horizontais desses pontos determinam a «projeção horizontal» r₁ da reta, e as projeções frontais determinam a «projeção frontal» r₂. Assim, cada projeção da reta obtém-se unindo as projeções homónimas de dois pontos dela. Uma reta em posição geral (oblíqua) tem as duas projeções concorrentes com a linha de terra em pontos distintos (ver Fig. 2).

Traços de uma reta oblíqua

Traços de uma retaFigura geométrica, F₁, F₂, H₂, H₁, LTF₁F₂H₂H₁x1x2r₂r₁LT
Fig. 2Fig. 2 — Reta oblíqua r: traço frontal F (F₁ na LT) e traço horizontal H (H₂ na LT).
Chamam-se «traços» da reta os pontos em que ela fura os planos de projeção. O «traço horizontal» H é o ponto onde a reta encontra o plano horizontal de projeção: tem cota nula, pelo que H₂ está sobre a linha de terra e H₁ está sobre r₁. O «traço frontal» F é onde a reta encontra o plano frontal: tem afastamento nulo, pelo que F₁ está sobre a linha de terra e F₂ está sobre r₂. Determinar os traços é essencial para situar a reta e para os problemas de pertença.
O procedimento para achar os traços é sistemático e deve ser mecanizado. Para o traço horizontal H: marca-se sobre r₂ o ponto em que r₂ corta a linha de terra (é H₂, de cota nula) e sobe-se a linha de chamada até r₁, obtendo H₁. Para o traço frontal F: marca-se sobre r₁ o ponto em que r₁ corta a linha de terra (é F₁, de afastamento nulo) e sobe-se a linha de chamada até r₂, obtendo F₂. É a aplicação direta da regra da linha de chamada.
Os traços dizem em que diedros a reta se desenvolve e por onde passa de um para o outro: entre os dois traços, a reta atravessa um diedro; para além deles, entra noutros. Uma reta pode não ter um dos traços (por exemplo, uma reta paralela a um plano de projeção não fura esse plano, logo não tem o traço correspondente). Interpretar os traços é interpretar o percurso da reta no espaço.
Exemplo resolvido

Determinar os traços de uma reta

A reta r passa por A(0; 1; 4) e B(5; 4; 1). Descreve a construção dos traços H e F.

  1. 01Projeções de r

    Unem-se A₁ com B₁ (obtém-se r₁) e A₂ com B₂ (obtém-se r₂). Ambas cortam a linha de terra por serem projeções de uma reta oblíqua.

  2. 02Traço frontal F

    F tem afastamento nulo: F₁ é a interseção de r₁ com a LT; a linha de chamada por F₁ encontra r₂ em F₂.

  3. 03Traço horizontal H

    H tem cota nula: H₂ é a interseção de r₂ com a LT; a linha de chamada por H₂ encontra r₁ em H₁.

Resultado: F obtém-se a partir de r₁ na LT; H obtém-se a partir de r₂ na LT — ambos por linha de chamada.

Foco no Exame Nacional

  • Determinar graficamente os traços horizontal e frontal de uma reta oblíqua.
  • Reconhecer que H tem cota nula (H₂ na LT) e F tem afastamento nulo (F₁ na LT).

Erros frequentes

  • Trocar os traços: procurar H sobre r₁ (em vez de partir de r₂ na LT) e vice-versa.
  • Esquecer que o traço horizontal tem cota zero e o frontal tem afastamento zero.

Revisão ativa

Uma reta r passa por A(0; 1; 4) e B(5; 4; 1). Determina graficamente, na épure, os traços horizontal (H) e frontal (F) de r.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Retas notáveis (posições particulares)#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-ponto-reta

Pontos-chave

Quando uma reta ocupa uma posição particular relativamente aos planos de projeção, as suas projeções ganham propriedades notáveis que simplificam o trabalho. Convém classificá-las e reter as suas «marcas» na épure. A Fig. 3 sistematiza as principais retas notáveis com o comportamento de cada projeção; dominá-la poupa tempo e evita erros no exame.

Classificação das retas notáveis

Retas notáveisTabela com 4 colunas e 7 linhas, Dados: Reta · Relação com os planos · Projeção horizontal r₁ · Projeção frontal r₂; Horizontal (de nível) · Paralela ao horizontal · VG (oblíqua) · Paralela à LT; Frontal (de frente) · Paralela ao frontal · Paralela à LT · VG (oblíqua); Fronto-horizontal · Paralela a ambos (∥ LT) · Paralela à LT · Paralela à LT; De topo · Perpendicular ao frontal · Perpendicular à LT · Reduz-se a um ponto; Vertical · Perpendicular ao horizontal · Reduz-se a um ponto · Perpendicular à LT; De perfil · Paralela ao plano de perfil · Perpendicular à LT · Perpendicular à LT; Oblíqua (geral) · Nenhuma particular · Oblíqua à LT · Oblíqua à LTRETARELAÇÃO COM OS PLANOSPROJEÇÃO HORIZONTAL R₁PROJEÇÃO FRONTAL R₂HORIZONTAL (DENÍVEL)Paralela ao horizontalVG (oblíqua)Paralela à LTFRONTAL (DEFRENTE)Paralela ao frontalParalela à LTVG (oblíqua)FRONTO-HORIZONTALParalela a ambos (∥ LT)Paralela à LTParalela à LTDE TOPOPerpendicular ao frontalPerpendicular à LTReduz-se a um pontoVERTICALPerpendicular ao horizontalReduz-se a um pontoPerpendicular à LTDE PERFILParalela ao plano de perfilPerpendicular à LTPerpendicular à LTOBLÍQUA (GERAL)Nenhuma particularOblíqua à LTOblíqua à LT
Fig. 3Fig. 3 — Retas notáveis e as marcas das suas projeções na épure.
As «retas paralelas a um plano de projeção» mostram verdadeira grandeza numa das projeções. A «reta horizontal» (ou de nível) é paralela ao plano horizontal: tem cota constante, a projeção frontal r₂ é paralela à linha de terra e a projeção horizontal r₁ dá a verdadeira grandeza e a direção reais. A «reta frontal» (ou de frente) é paralela ao plano frontal: tem afastamento constante, r₁ é paralela à LT e r₂ mostra a verdadeira grandeza. A «reta fronto-horizontal» é paralela a ambos os planos (paralela à LT): ambas as projeções são paralelas à linha de terra.
As «retas projetantes» são perpendiculares a um plano de projeção e projetam-se aí num único ponto. A «reta de topo» é perpendicular ao plano frontal: a sua projeção frontal r₂ reduz-se a um ponto e r₁ é perpendicular à LT. A «reta vertical» é perpendicular ao plano horizontal: r₁ reduz-se a um ponto e r₂ é perpendicular à LT. Nestas retas, uma das projeções concentra toda a reta num ponto — propriedade muito útil como reta projetante auxiliar.
Faltam duas posições importantes. A «reta de perfil» é paralela ao plano de perfil (perpendicular à linha de terra): ambas as projeções são perpendiculares à LT e coincidem numa mesma linha de chamada, pelo que as duas projeções, sozinhas, não a determinam — é preciso dar dois dos seus pontos ou recorrer ao plano de perfil para a ler. As «retas oblíquas» (de posição geral) não são paralelas nem perpendiculares a nenhum plano de projeção: ambas as projeções são oblíquas à LT e nenhuma mostra verdadeira grandeza. Guardam-se ainda as «retas de maior declive e de maior inclinação», que se estudam associadas ao plano.
Exemplo resolvido

Identificar retas pela projeção

Classifica cada reta: (a) r₂ é paralela à LT e r₁ é oblíqua; (b) r₁ reduz-se a um ponto; (c) ambas as projeções são perpendiculares à LT.

  1. 01(a)

    r₂ paralela à LT ⇒ cota constante ⇒ reta horizontal (de nível); r₁ dá a VG.

  2. 02(b)

    r₁ num só ponto ⇒ a reta projeta-se num ponto no plano horizontal ⇒ reta vertical (perpendicular ao horizontal).

  3. 03(c)

    As duas projeções perpendiculares à LT (na mesma linha de chamada) ⇒ reta de perfil.

Resultado: (a) horizontal; (b) vertical; (c) de perfil.

Foco no Exame Nacional

  • Classificar uma reta notável a partir do comportamento das suas projeções.
  • Saber que retas horizontais/frontais mostram VG numa projeção e que retas projetantes se reduzem a um ponto.

Erros frequentes

  • Confundir reta horizontal (paralela ao plano horizontal, r₂ paralela à LT) com reta de topo (perpendicular ao plano frontal).
  • Julgar que uma reta de perfil fica determinada só pelas duas projeções — é preciso dois pontos ou o plano de perfil.

Revisão ativa

Classifica cada reta pela sua marca na épure: (a) r₂ paralela à LT e r₁ oblíqua; (b) r₁ reduzida a um ponto; (c) ambas as projeções perpendiculares à LT.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Posições relativas de duas retas#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-10-ponto-reta

Pontos-chave

Duas retas do espaço podem ser «complanares» (existe um plano que as contém) ou «não complanares» (enviesadas). As complanares subdividem-se em «concorrentes» (um ponto comum) e «estritamente paralelas» (sem ponto comum, mesma direção). As não complanares não se intersetam nem têm a mesma direção. Distinguir estes três casos a partir da épure é uma competência frequentemente avaliada (ver Fig. 4).

Concorrentes ou enviesadas?

Posições relativas de retasFigura geométrica, r₂∩s₂, r₁∩s₁, LT, r₂, s₂, r₁, s₁r₂∩s₂r₁∩s₁x1x2LTr₂s₂r₁s₁
Fig. 4Fig. 4 — Se os cruzamentos das projeções não estão na mesma linha de chamada, as retas são enviesadas.
O «paralelismo» lê-se com facilidade: duas retas são paralelas se, e só se, as projeções homónimas forem paralelas — r₁ paralela a s₁ e r₂ paralela a s₂. Basta uma das condições falhar para as retas não serem paralelas. Há uma exceção prudente: em retas de perfil, o paralelismo das projeções não garante o paralelismo das retas, pelo que é preciso confirmar com os pontos (por rebatimento ou pelo plano de perfil).
A «concorrência» exige um ponto comum, e o ponto comum tem de respeitar a regra da linha de chamada. Assim, duas retas são concorrentes se as projeções homónimas se intersetam e, além disso, o ponto de interseção de r₁ com s₁ e o ponto de interseção de r₂ com s₂ estão sobre a mesma linha de chamada. Se as projeções se cruzam mas os pontos de cruzamento não estão alinhados verticalmente, as retas são «enviesadas»: cruzam-se apenas em projeção, não no espaço.
É este o erro clássico a evitar: interpretar o cruzamento aparente das projeções como uma interseção real. O cruzamento das projeções só corresponde a um ponto comum quando os dois cruzamentos estão na mesma linha de chamada. A verificação da linha de chamada é, portanto, o teste decisivo para separar retas concorrentes de retas enviesadas — e uma das perguntas mais recorrentes sobre posições relativas.
Exemplo resolvido

Concorrentes ou enviesadas

As projeções de r e s cruzam-se, mas r₁∩s₁ tem abcissa 2 e r₂∩s₂ tem abcissa 3. Que posição relativa têm r e s?

  1. 01Ponto comum?

    Um ponto comum às duas retas teria as duas projeções na mesma linha de chamada, isto é, a mesma abcissa.

  2. 02Comparação das abcissas

    r₁∩s₁ está na abcissa 2 e r₂∩s₂ na abcissa 3: são linhas de chamada diferentes.

  3. 03Conclusão

    Não há ponto comum no espaço; as projeções apenas se cruzam. As retas são enviesadas (não complanares).

Resultado: As retas são enviesadas: cruzam-se só em projeção, não no espaço.

Foco no Exame Nacional

  • Distinguir retas paralelas, concorrentes e enviesadas a partir das projeções e da linha de chamada.
  • Aplicar a regra da linha de chamada para confirmar (ou negar) um ponto comum.

Erros frequentes

  • Concluir que duas retas são concorrentes só porque as projeções se cruzam (sem verificar a linha de chamada).
  • Aplicar o critério do paralelismo das projeções a retas de perfil sem confirmar com os pontos.

Revisão ativa

As projeções de r e s cruzam-se: r₁∩s₁ tem abcissa 2 e r₂∩s₂ tem abcissa 3. As retas são concorrentes ou enviesadas? Justifica.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01O ponto e as suas projeções○
    • 02A reta e os seus traços◐
    • 03Retas notáveis (posições particulares)◐
    • 04Posições relativas de duas retas●

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Dos resumos à prática

Representação diédrica do ponto, do segmento de reta e da reta

Consolida este tema com perguntas do banco de perguntas.

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano

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