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Resumos/Geometria Descritiva A/Representação diédrica do plano e retas e pontos do plano
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Representação diédrica do plano e retas e pontos do plano

O plano representa-se, na dupla projeção ortogonal, pelos seus traços nos planos de projeção ou por elementos que o definem (pontos e retas). Estudam-se a representação pelos traços, a condição de pertença de retas e pontos ao plano (com as retas notáveis do plano), a classificação dos planos em posições particulares (planos notáveis) e as retas de maior declive e de maior inclinação, que medem a inclinação do plano.

4 secções·~13 min de leitura·3 competências·Nível Padrão 3 · Aprofundamento 1

T·0333 / 14
Perfil de exame
Representar planos pelos traços e por elementos (pontos e retas)Aplicar a condição de pertença de retas e pontos a um planoClassificar planos notáveis e reconhecer retas de maior declive e de maior inclinação
Operadores:representadeterminaclassificajustificarelaciona

nível básico

Representar planos pelos traços e reconhecer os planos notáveis mais comuns.

nível avançado

Trabalhar retas e pontos do plano e caracterizar a inclinação por retas de maior declive/inclinação.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Representação diédrica do plano e retas e pontos do plano
    • 01Representação do plano pelos traços◐
    • 02Retas e pontos do plano; retas notáveis do plano◐
    • 03Planos notáveis (posições particulares)◐
    • 04Retas de maior declive e de maior inclinação●
§ 01

Representação do plano pelos traços#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-plano

Pontos-chave

Um plano pode ser representado pelos seus «traços»: as retas segundo as quais ele interseta os planos de projeção. O «traço horizontal» hα é a reta de interseção do plano α com o plano horizontal de projeção; o «traço frontal» fα é a interseção com o plano frontal. Como ambos os traços passam pelos pontos comuns aos três planos, hα e fα concorrem, em regra, num ponto da linha de terra (ver Fig. 1). Esta é a representação mais compacta e usada de um plano oblíquo.

Traços de um plano oblíquo

Traços de um planoFigura geométrica, LT, fα, hαx1x2LTfαhα
Fig. 1Fig. 1 — Plano oblíquo α: traços hα e fα concorrentes num ponto da linha de terra.
Os traços não são independentes: se um plano oblíquo corta a linha de terra, os seus dois traços têm de se encontrar exatamente nesse ponto da LT. Por isso, ao representar um plano por traços, desenha-se hα (uma reta no semiplano horizontal) e fα (uma reta no semiplano frontal) concorrentes num ponto da linha de terra. Cada traço é, ele próprio, uma reta notável: hα é uma reta do plano com cota nula, e fα uma reta do plano com afastamento nulo.
Nem sempre o plano se dá por traços. Um plano fica igualmente definido por: três pontos não colineares; uma reta e um ponto exterior a ela; duas retas concorrentes; ou duas retas estritamente paralelas. A partir de qualquer destes conjuntos podem obter-se os traços do plano — determinando os traços das retas que o definem: os traços horizontais das retas do plano alinham-se sobre hα e os traços frontais sobre fα.
A relação entre os traços e os elementos do plano é a chave prática. Como os traços do plano contêm todos os traços homónimos das suas retas, o traço horizontal do plano passa por todos os traços horizontais (H) das retas do plano, e o frontal por todos os traços frontais (F). Este facto permite construir os traços de um plano definido por retas e, reciprocamente, gerar retas de um plano definido por traços.
Exemplo resolvido

Traços de um plano por duas retas

O plano α contém as retas concorrentes r e s. Explica a obtenção dos traços hα e fα.

  1. 01Traços das retas

    Determinam-se os traços horizontal (H) e frontal (F) de r e de s.

  2. 02Traço horizontal do plano

    hα é a reta que passa por Hr e Hs (os traços horizontais das duas retas), pois ambos têm cota nula e pertencem a α.

  3. 03Traço frontal do plano

    fα é a reta que passa por Fr e Fs (os traços frontais); hα e fα encontram-se num ponto da linha de terra.

Resultado: hα = reta por Hr e Hs; fα = reta por Fr e Fs, concorrentes na linha de terra.

Foco no Exame Nacional

  • Representar um plano oblíquo pelos seus traços concorrentes na linha de terra.
  • Obter os traços de um plano definido por pontos ou retas, alinhando traços homónimos.

Erros frequentes

  • Desenhar hα e fα sem se encontrarem num ponto da linha de terra (num plano oblíquo têm de concorrer na LT).
  • Confundir o traço do plano (uma reta) com o traço de uma reta (um ponto).

Revisão ativa

Um plano α é definido pelas retas concorrentes r e s. Descreve como obténs os traços hα e fα a partir dos traços de r e s.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Retas e pontos do plano; retas notáveis do plano#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-plano

Pontos-chave

A «condição de pertença» de uma reta a um plano é o instrumento central deste tema: uma reta pertence a um plano se, e só se, os seus traços estiverem sobre os traços homónimos do plano — o traço horizontal da reta sobre hα e o traço frontal sobre fα. Equivalentemente, uma reta pertence a um plano se assenta em duas retas do plano (por exemplo, contém dois pontos do plano). Um ponto pertence a um plano se pertence a uma reta desse plano.
Deste critério tira-se um método construtivo muito usado: para traçar uma reta contida num plano dado pelos traços, escolhe-se um ponto do traço frontal (afastamento nulo) e um ponto do traço horizontal (cota nula) e unem-se as projeções homónimas; a reta assim obtida tem os traços sobre os traços do plano, logo pertence-lhe. É também assim que se testa se um ponto está no plano: constrói-se uma reta do plano que passe pela projeção do ponto e verifica-se a outra projeção.
Entre as retas de um plano, destacam-se as «retas notáveis do plano». As «horizontais do plano» são as retas do plano paralelas ao plano horizontal (cota constante): a sua projeção frontal é paralela à linha de terra e a horizontal é paralela ao traço horizontal hα. As «frontais do plano» são paralelas ao plano frontal (afastamento constante): a projeção horizontal é paralela à LT e a frontal é paralela ao traço frontal fα. Estas retas são ferramentas preciosas para colocar pontos no plano e para os métodos auxiliares (ver Fig. 2).

Horizontal de um plano

Horizontal do planoFigura geométrica, F, LT, fα, hα, h₂, h₁Fx1x2LTfαhαh₂h₁
Fig. 2Fig. 2 — Horizontal do plano α: h₂ paralela à LT; h₁ paralela ao traço horizontal hα.
As horizontais e frontais do plano são, na prática, «réguas» dentro do plano: como mostram uma direção em verdadeira grandeza e são paralelas a um traço, permitem transportar pontos e medir dentro do plano sem sair da épure. Por isso, muitos problemas de pertença resolvem-se traçando uma horizontal ou uma frontal do plano que passe pelo ponto dado — uma técnica que reaparece constantemente ao longo da disciplina.
Exemplo resolvido

Colocar um ponto num plano

Verifica se o ponto P(afastamento 2; cota 3) pertence ao plano α dado pelos seus traços.

  1. 01Reta auxiliar

    Traça-se uma horizontal do plano de cota 3: a sua projeção frontal é paralela à LT à altura 3 e a horizontal é paralela a hα.

  2. 02Projeção do ponto

    Sobre essa horizontal, procura-se o ponto de afastamento 2; obtêm-se as suas projeções P₁ e P₂ compatíveis com o plano.

  3. 03Conclusão

    Se as projeções dadas de P coincidem com as da reta auxiliar, P pertence a α; caso contrário, não pertence.

Resultado: P pertence a α se as suas projeções assentam numa reta (horizontal do plano) contida em α.

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar a condição de pertença (traços da reta sobre os traços homónimos do plano).
  • Traçar horizontais e frontais do plano para colocar pontos e retas nele.

Erros frequentes

  • Verificar a pertença só numa projeção — é preciso que AMBOS os traços da reta estejam sobre os traços homónimos.
  • Confundir a horizontal do plano (r₂ paralela à LT, r₁ paralela a hα) com a frontal do plano.

Revisão ativa

Num plano α dado pelos traços, traça uma horizontal do plano de cota 3 e verifica que a sua projeção horizontal é paralela a hα.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Planos notáveis (posições particulares)#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-plano

Pontos-chave

À semelhança das retas, os planos que ocupam posições particulares ganham propriedades notáveis. Classificam-se em «paralelos a um plano de projeção», «projetantes» (perpendiculares a um plano de projeção) e o «plano de rampa». A Fig. 3 reúne os planos notáveis com o comportamento dos seus traços — um quadro de leitura obrigatória, porque a maior parte das construções escolhe deliberadamente planos notáveis como auxiliares.

Classificação dos planos notáveis

Planos notáveisTabela com 4 colunas e 7 linhas, Dados: Plano · Relação com os planos · Traço horizontal hα · Traço frontal fα; Horizontal (de nível) · Paralelo ao horizontal · Não tem · Paralelo à LT; Frontal (de frente) · Paralelo ao frontal · Paralelo à LT · Não tem; De topo · Perpendicular ao frontal · Perpendicular à LT · Oblíquo (projeta em reta); Vertical · Perpendicular ao horizontal · Oblíquo (projeta em reta) · Perpendicular à LT; De perfil · Perpendicular à LT · Perpendicular à LT · Perpendicular à LT; De rampa · Oblíquo (traços ∥ LT) · Paralelo à LT · Paralelo à LT; Passante · Oblíquo (contém a LT) · Sobre a LT · Sobre a LTPLANORELAÇÃO COM OS PLANOSTRAÇO HORIZONTAL HΑTRAÇO FRONTAL FΑHORIZONTAL (DENÍVEL)Paralelo ao horizontalNão temParalelo à LTFRONTAL (DEFRENTE)Paralelo ao frontalParalelo à LTNão temDE TOPOPerpendicular ao frontalPerpendicular à LTOblíquo (projeta em reta)VERTICALPerpendicular ao horizontalOblíquo (projeta em reta)Perpendicular à LTDE PERFILPerpendicular à LTPerpendicular à LTPerpendicular à LTDE RAMPAOblíquo (traços ∥ LT)Paralelo à LTParalelo à LTPASSANTEOblíquo (contém a LT)Sobre a LTSobre a LT
Fig. 3Fig. 3 — Planos notáveis e o comportamento dos seus traços.
Os «planos paralelos a um plano de projeção» mostram figuras em verdadeira grandeza. O «plano horizontal» (de nível) é paralelo ao plano horizontal de projeção: não tem traço horizontal e o seu traço frontal é paralelo à linha de terra; qualquer figura nele contida projeta-se em VG no plano horizontal. O «plano frontal» (de frente) é paralelo ao frontal: não tem traço frontal e o horizontal é paralelo à LT; as figuras nele projetam-se em VG no plano frontal.
Os «planos projetantes» são perpendiculares a um plano de projeção e projetam-se aí segundo uma reta. O «plano de topo» é perpendicular ao plano frontal: o seu traço frontal é oblíquo e nele se projetam, sobre uma reta, todas as suas figuras (a projeção frontal do plano é uma reta). O «plano vertical» é perpendicular ao horizontal: a projeção horizontal reduz-se a uma reta (o traço horizontal, oblíquo). Estes planos são os auxiliares por excelência nas interseções e secções, porque uma das projeções de tudo o que contêm cai sobre o seu traço.
Faltam três casos. O «plano de perfil» é perpendicular à linha de terra (perpendicular aos dois planos de projeção): ambos os traços são perpendiculares à LT e coincidem numa linha de chamada. O «plano de rampa» tem os dois traços paralelos à linha de terra, mas não é paralelo a nenhum plano de projeção (é oblíquo, «inclinado como uma rampa»). E o «plano passante» é um plano oblíquo que contém a linha de terra (os dois traços coincidem com a LT). Saber reconhecê-los pelos traços é meio caminho andado em qualquer exercício.
Exemplo resolvido

Identificar planos pelos traços

Classifica: (a) plano sem traço horizontal e com traço frontal paralelo à LT; (b) plano com projeção frontal reduzida a uma reta oblíqua; (c) plano com ambos os traços paralelos à LT.

  1. 01(a)

    Sem traço horizontal e traço frontal paralelo à LT ⇒ plano horizontal (de nível), paralelo ao plano horizontal de projeção.

  2. 02(b)

    Tudo o que o plano contém se projeta sobre uma reta no plano frontal ⇒ plano de topo (⟂ ao frontal).

  3. 03(c)

    Dois traços paralelos à LT, mas oblíquo ao espaço ⇒ plano de rampa.

Resultado: (a) horizontal; (b) de topo; (c) de rampa.

Foco no Exame Nacional

  • Classificar um plano notável a partir do comportamento dos seus traços.
  • Reconhecer que planos horizontais/frontais dão VG e que planos projetantes reduzem uma projeção a uma reta.

Erros frequentes

  • Confundir plano de topo (⟂ ao frontal) com plano vertical (⟂ ao horizontal).
  • Trocar plano de rampa (traços paralelos à LT, oblíquo) com plano horizontal/frontal (paralelo a um plano de projeção).

Revisão ativa

Classifica cada plano pelos traços: (a) sem traço horizontal, traço frontal paralelo à LT; (b) traço frontal oblíquo, projeção frontal reduzida a uma reta; (c) ambos os traços paralelos à LT.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Retas de maior declive e de maior inclinação#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-10-plano

Pontos-chave

A inclinação de um plano relativamente aos planos de projeção mede-se através de retas especiais desse plano. A «reta de maior declive» de um plano é a reta do plano perpendicular às suas horizontais (perpendicular ao traço horizontal hα); é a reta do plano que faz o maior ângulo com o plano horizontal de projeção — a linha «mais a pique», por onde a água escorreria. A «reta de maior inclinação» é, dualmente, a reta do plano perpendicular às suas frontais (perpendicular a fα), a que faz o maior ângulo com o plano frontal (ver Fig. 4).

Reta de maior declive de um plano

Reta de maior decliveFigura geométrica, H, LT, fα, hα, d₁Hx1x2LTfαhαd₁
Fig. 4Fig. 4 — Reta de maior declive d: a projeção horizontal d₁ é perpendicular ao traço horizontal hα.
A propriedade decisiva é a projeção: a reta de maior declive tem a sua «projeção horizontal perpendicular ao traço horizontal» do plano. Por isso, dado o plano pelos traços, a reta de maior declive constrói-se de imediato — a sua projeção horizontal é a perpendicular a hα, e a partir dela obtém-se a projeção frontal. Analogamente, a reta de maior inclinação tem a projeção frontal perpendicular ao traço frontal fα.
Estas retas servem para «medir» o plano. O ângulo que a reta de maior declive faz com o plano horizontal é exatamente o ângulo do plano com o plano horizontal (o «diedro» que o plano forma com ν); obtém-se em verdadeira grandeza rebatendo a reta de maior declive. Do mesmo modo, a reta de maior inclinação dá o ângulo do plano com o plano frontal. É por isso que qualquer problema que peça o ângulo de um plano com um plano de projeção passa por uma destas retas.
A reta de maior declive determina completamente o plano: dá-se o plano, muitas vezes, indicando apenas a sua reta de maior declive, porque a partir dela se reconstroem os traços (o traço horizontal é perpendicular à projeção horizontal da reta de maior declive e passa pelo seu traço H). Dominar esta reta é, pois, dominar a inclinação e a própria definição do plano — matéria tipicamente de nível avançado, muito valorizada no exame.
Exemplo resolvido

Reta de maior declive e ângulo do plano

Dado o plano α pelos traços, constrói a reta de maior declive e indica que ângulo ela mede.

  1. 01Projeção horizontal

    A projeção horizontal d₁ da reta de maior declive traça-se perpendicular ao traço horizontal hα (a partir de um ponto de hα).

  2. 02Projeção frontal

    O seu traço H está sobre hα; o traço F está sobre fα. Unindo as projeções homónimas dos traços obtém-se d₂.

  3. 03Ângulo do plano

    Rebatendo a reta de maior declive obtém-se, em VG, o ângulo que α faz com o plano horizontal de projeção.

Resultado: A reta de maior declive dá, por rebatimento, o ângulo do plano α com o plano horizontal de projeção.

Foco no Exame Nacional

  • Construir a reta de maior declive de um plano (projeção horizontal perpendicular a hα).
  • Relacionar a reta de maior declive/inclinação com o ângulo do plano com os planos de projeção.

Erros frequentes

  • Traçar a projeção horizontal da reta de maior declive não perpendicular ao traço horizontal do plano.
  • Confundir reta de maior declive (mede o ângulo com o horizontal) com reta de maior inclinação (mede o ângulo com o frontal).

Revisão ativa

Dado um plano α pelos traços, traça a reta de maior declive e indica que ângulo, obtido por rebatimento, ela permite medir.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Representação do plano pelos traços◐
    • 02Retas e pontos do plano; retas notáveis do plano◐
    • 03Planos notáveis (posições particulares)◐
    • 04Retas de maior declive e de maior inclinação●

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Dos resumos à prática

Representação diédrica do plano e retas e pontos do plano

Consolida este tema com perguntas do banco de perguntas.

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano

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