Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Pertença e interseções (reta/plano e plano/plano)

Reunindo as condições de pertença de pontos, retas e planos, resolvem-se os dois problemas centrais da geometria diédrica: a interseção de uma reta com um plano e a interseção de dois planos. Ambos se apoiam no método do plano auxiliar (cortante) e nas retas notáveis, e são a base das secções e interseções de sólidos que se estudam mais adiante.

4 secções~12 min de leitura3 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·0444 / 14

Perfil de exame

Aplicar as condições de pertença de ponto, reta e planoDeterminar o ponto de interseção de uma reta com um planoDeterminar a reta de interseção de dois planos

Operadores:determinaintersetajustificaconstróiaplica

nível básico

Determinar interseções em casos com planos projetantes, lendo o resultado numa das projeções.

nível avançado

Aplicar o método do plano auxiliar a planos e retas em posição geral.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Pertença e interseções (reta/plano e plano/plano)

Pertença de pontos, retas e planos#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-10-interseccoes

As interseções resolvem-se a partir de três condições de pertença que convém ter presentes em conjunto. Um «ponto pertence a uma reta» se as suas projeções pertencem às projeções homónimas da reta (com respeito pela linha de chamada). Uma «reta pertence a um plano» se os seus traços assentam nos traços homónimos do plano, ou, de modo equivalente, se contém dois pontos do plano. Um «ponto pertence a um plano» se pertence a uma reta do plano (ver Fig. 1).

Ponto contido num plano por uma reta do plano

Fig. 1Fig. 1 — P pertence ao plano α porque assenta numa reta (horizontal) do plano.

A ligação entre estas condições é o que torna as interseções abordáveis. Para colocar um ponto num plano, traça-se uma reta do plano (frequentemente uma horizontal ou uma frontal do plano) que passe por uma das projeções do ponto; a outra projeção do ponto tem de cair sobre a mesma reta. Este «princípio da reta auxiliar contida no plano» é o motor de quase todas as construções de pertença e de interseção.

Convém distinguir pertença de incidência aparente. Que as projeções de um ponto caiam sobre as projeções de uma reta numa das vistas não basta: é preciso que caiam em ambas, na mesma linha de chamada. Do mesmo modo, uma reta cujos traços não estejam sobre os traços homónimos do plano não lhe pertence, ainda que uma das projeções sugira o contrário. A verificação nas duas projeções é sempre obrigatória.

As retas notáveis do plano (horizontais e frontais) são as auxiliares preferidas, porque a sua construção é imediata a partir dos traços e porque mostram uma direção em verdadeira grandeza. Muitos problemas de pertença resumem-se a: «traça a horizontal (ou a frontal) do plano que passa pelo ponto e lê a projeção que falta». É esta economia de meios que se pede no exame.

Exemplo resolvido

Achar a projeção que falta

De um ponto P do plano α conhece-se a projeção frontal P₂. Determina P₁.

Reta do plano
Traça-se a horizontal do plano que passa por P₂: a projeção frontal h₂ é paralela à LT e passa por P₂.
Projeção horizontal da reta
A projeção horizontal h₁ é paralela ao traço horizontal hα e parte do traço frontal da reta.
Projeção do ponto
Pela linha de chamada de P₂, P₁ cai sobre h₁.

Resultado: P₁ obtém-se na interseção da linha de chamada de P₂ com a projeção horizontal da reta do plano.

Erros frequentes

Dar como certa a pertença de um ponto verificando apenas uma projeção.
Esquecer que a reta auxiliar tem de estar realmente contida no plano (traços sobre os traços homónimos).

Revisão ativa

Dado um plano α pelos traços e a projeção frontal P₂ de um ponto do plano, determina a projeção horizontal P₁ recorrendo a uma reta do plano.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Interseção de reta com plano#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-10-interseccoes

A interseção de uma reta r com um plano α é, em geral, um ponto I (o «ponto de furo» da reta no plano). O método universal é o do «plano auxiliar cortante»: fazer passar pela reta r um plano auxiliar β (de preferência um plano projetante, que contém a reta); esse plano interseta α segundo uma reta i; o ponto onde i encontra r é o ponto I procurado, comum a r e a α (ver Fig. 2).

Interseção de reta com plano (plano auxiliar)

Fig. 2Fig. 2 — A reta r fura o plano α em I; o plano auxiliar β (que contém r) corta α segundo i, e I = r ∩ i.

A escolha de um plano auxiliar «projetante contendo a reta» torna a construção rápida. Se r é oblíqua, escolhe-se como β um plano de topo ou vertical que contenha r: por exemplo, o plano vertical que contém r tem por traço horizontal a própria projeção r₁. A interseção i de β com α determina-se facilmente (é uma reta do plano α cuja projeção sobre o plano de projeção de β coincide com o traço de β), e I = r ∩ i.

O procedimento típico, com β vertical contendo r, é: (1) tomar β com traço horizontal coincidente com r₁; (2) determinar a reta i = α ∩ β — os seus pontos obtêm-se onde o traço de β corta os traços de α, subindo por linhas de chamada; (3) a projeção frontal i₂ corta r₂ no ponto I₂; (4) por linha de chamada, I₁ sobre r₁. O ponto I fica assim determinado nas duas projeções.

Por fim, discute-se a «visibilidade»: em desenhos com sólidos ou planos opacos, importa dizer que troços da reta ficam à frente (visíveis) e atrás (invisíveis) do plano. A visibilidade decide-se comparando cotas ou afastamentos dos pontos que se cruzam em projeção. Este cuidado com a visibilidade é sistematicamente avaliado e distingue uma resolução completa de uma incompleta.

Exemplo resolvido

Ponto de furo de uma reta num plano

Determina o ponto de interseção I da reta oblíqua r com o plano oblíquo α.

Plano auxiliar
Considera-se o plano vertical β que contém r: o seu traço horizontal coincide com r₁.
Reta de interseção i
Determina-se i = α ∩ β. Onde o traço horizontal de β (isto é, r₁) corta hα obtém-se um ponto de i; a projeção frontal i₂ constrói-se com esse e outro ponto de α.
Ponto I
I₂ = i₂ ∩ r₂; por linha de chamada, I₁ sobre r₁. Confirma-se a visibilidade comparando cotas.

Resultado: I = r ∩ α obtém-se como interseção de r com a reta i = α ∩ β.

Erros frequentes

Escolher um plano auxiliar que não contém a reta (o método deixa de funcionar).
Determinar o ponto I só numa projeção e não o confirmar na outra por linha de chamada.

Revisão ativa

Determina o ponto de interseção da reta oblíqua r com o plano oblíquo α, usando um plano vertical auxiliar que contenha r.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Interseção de dois planos#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-10-interseccoes

Dois planos não paralelos intersetam-se segundo uma reta i. Como uma reta fica determinada por dois pontos, basta obter dois pontos comuns aos dois planos. Quando os planos estão dados pelos traços, esses dois pontos surgem naturalmente: onde os traços horizontais dos dois planos se cruzam há um ponto comum de cota nula (é o traço horizontal de i), e onde se cruzam os traços frontais há um ponto de afastamento nulo (o traço frontal de i). A reta i que une estes dois traços é a interseção procurada (ver Fig. 3).

Interseção de dois planos

Fig. 3Fig. 3 — Dois planos oblíquos intersetam-se segundo a reta i, comum a ambos.

Quando os traços não se cruzam dentro do desenho, ou os planos não estão dados por traços, usa-se o «método dos planos auxiliares»: corta-se o par de planos por um terceiro plano auxiliar (tipicamente um plano horizontal ou frontal). O plano auxiliar interseta cada um dos planos dados segundo uma reta; essas duas retas cruzam-se num ponto comum aos dois planos. Repetindo com um segundo plano auxiliar obtém-se um segundo ponto — e a reta i fica definida.

Os planos auxiliares horizontais são especialmente cómodos: cada plano horizontal de cota k corta um plano α segundo uma horizontal do plano (de cota k), cuja construção é imediata. As duas horizontais (uma de α, outra de β) na mesma cota cruzam-se num ponto de i. Dois planos auxiliares a cotas diferentes dão dois pontos e, portanto, a reta i completa nas duas projeções.

Casos particulares simplificam tudo. Se um dos planos é projetante (de topo ou vertical), a reta de interseção lê-se de imediato numa das projeções, porque cai sobre o traço do plano projetante; basta então determinar a outra projeção. Reconhecer que um dos planos é notável e explorar essa vantagem é, muitas vezes, o caminho mais curto — e o que o exame recompensa.

Exemplo resolvido

Reta de interseção por traços

Determina a reta i = α ∩ β, com α e β dados pelos traços (os traços homónimos cruzam-se dentro do desenho).

Traço horizontal de i
H_i é o ponto onde hα cruza hβ (ponto comum de cota nula).
Traço frontal de i
F_i é o ponto onde fα cruza fβ (ponto comum de afastamento nulo).
Reta i
Unindo as projeções homónimas de H_i e F_i obtêm-se i₁ e i₂: a reta i é a interseção dos planos.

Resultado: i é a reta que passa pelos pontos H_i (hα∩hβ) e F_i (fα∩fβ).

Erros frequentes

Unir traços não homónimos (o traço horizontal de um com o frontal do outro) ao procurar os pontos de i.
Não aproveitar que um plano projetante entrega logo uma das projeções da reta de interseção.

Revisão ativa

Determina a reta de interseção de dois planos oblíquos α e β dados pelos traços, sabendo que os traços horizontais se cruzam e os frontais também.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Casos particulares e planos projetantes#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-10-interseccoes

Uma boa parte dos exercícios de interseção envolve, de propósito, elementos em posições notáveis, porque isso simplifica a construção. Convém saber reconhecer e explorar esses casos, resumidos na Fig. 4. A regra geral é: sempre que um plano é projetante, uma das projeções de tudo o que ele contém — incluindo a reta de interseção com outro plano — cai sobre o seu traço, e fica logo determinada.

Interseções com elementos projetantes

Fig. 4Fig. 4 — Casos particulares: como os elementos projetantes simplificam a interseção.

Na interseção de reta com plano, se o «plano é projetante», o ponto de furo lê-se de imediato: por exemplo, se α é de topo, a projeção frontal I₂ está sobre o traço frontal de α (onde este cruza r₂), e I₁ obtém-se por linha de chamada. Se a «reta é projetante» (vertical ou de topo), o ponto de furo tem uma das projeções coincidente com a projeção pontual da reta, e determina-se a outra sobre o plano.

Na interseção de dois planos, se «um é projetante», a reta i tem uma projeção sobre o traço desse plano, e a outra projeção obtém-se determinando dois pontos de i no outro plano. Se «ambos são projetantes» ao mesmo plano de projeção (por exemplo, dois planos verticais), a interseção é uma reta projetante (vertical) cuja projeção horizontal é o ponto de cruzamento dos dois traços horizontais.

A lição prática é económica: antes de montar o método geral do plano auxiliar, verifica-se se algum elemento é notável. Um plano de topo, um plano vertical, uma reta vertical ou de topo transformam quase sempre um problema aparentemente trabalhoso numa leitura quase direta. Escolher bem o plano auxiliar — projetante e contendo a reta — é meio caminho para uma resolução limpa.

Exemplo resolvido

Interseção com um plano de topo

Determina a reta de interseção de um plano de topo α com um plano oblíquo β.

Projeção frontal de i
Como α é de topo, tudo o que contém se projeta no plano frontal sobre o seu traço frontal: logo i₂ está sobre o traço frontal de α.
Pontos de i em β
Determinam-se dois pontos de i pertencentes a β (por exemplo, onde i₂ cruza os traços de β), obtendo as suas projeções horizontais.
Projeção horizontal de i
Unindo as projeções horizontais desses dois pontos obtém-se i₁.

Resultado: i₂ coincide com o traço frontal de α; i₁ obtém-se por dois pontos de i em β.

Erros frequentes

Não reconhecer que um plano de topo ou vertical entrega logo uma das projeções da interseção.
Aplicar o método geral, mais longo, mesmo quando há elementos notáveis a explorar.

Revisão ativa

Determina a interseção de um plano de topo α com um plano oblíquo β, aproveitando que a projeção frontal da reta de interseção cai sobre o traço frontal de α.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano

Pertença e interseções (reta/plano e plano/plano)

4 secções~12 min de leitura3 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Pertença e interseções (reta/plano e plano/plano)

Pontos-chave

Achar a projeção que falta

Pontos-chave

Ponto de furo de uma reta num plano

Pontos-chave

Reta de interseção por traços

Pontos-chave

Interseção com um plano de topo

Fontes

Pertença e interseções (reta/plano e plano/plano)

Pontos-chave

Achar a projeção que falta

Pontos-chave

Ponto de furo de uma reta num plano

Pontos-chave

Reta de interseção por traços

Pontos-chave

Interseção com um plano de topo

Fontes