Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos

As relações de paralelismo e de perpendicularidade entre retas e planos traduzem-se em regras precisas sobre as projeções. Estudam-se o paralelismo (de retas, de reta e plano, de dois planos), a perpendicularidade de reta e plano — o teorema fundamental da geometria diédrica — e a perpendicularidade entre planos e entre retas, incluindo o teorema das três perpendiculares.

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 2

T·0555 / 14

Perfil de exame

Estabelecer e verificar paralelismos entre retas e planosAplicar o teorema da perpendicularidade de reta e plano na épureEstabelecer perpendicularidade entre planos e entre retas

Operadores:justificaconstróiverificarelacionadetermina

nível básico

Reconhecer e aplicar o paralelismo de projeções e a perpendicularidade em casos com retas notáveis.

nível avançado

Aplicar o teorema da perpendicularidade reta/plano e o teorema das três perpendiculares em posição geral.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 3 secções

Paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos

Paralelismo de retas e de planos#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-10-paralelismo-perpendicularidade

O paralelismo lê-se nas projeções com três critérios encadeados. Duas «retas são paralelas» se, e só se, as suas projeções homónimas são paralelas — r₁∥s₁ e r₂∥s₂ (com a ressalva das retas de perfil, que exigem confirmação por pontos). Uma «reta é paralela a um plano» se é paralela a uma reta do plano; basta encontrar, no plano, uma reta com as projeções paralelas às da reta dada. «Dois planos são paralelos» se os seus traços homónimos são paralelos — hα∥hβ e fα∥fβ (ver Fig. 1).

Planos paralelos (traços homónimos paralelos)

Fig. 1Fig. 1 — Planos paralelos α e β: hα∥hβ e fα∥fβ.

O critério da reta paralela a um plano é o mais usado na construção. Para traçar por um ponto P uma reta paralela a um plano α, escolhe-se uma reta de α (frequentemente uma horizontal ou frontal do plano) e traça-se por P uma reta com as projeções paralelas às dessa reta; a reta obtida é paralela a α. Reciprocamente, para verificar se uma reta é paralela a um plano, procura-se no plano uma reta paralela a ela.

O paralelismo de planos pelos traços é imediato de aplicar, mas exige as «duas» condições: os traços horizontais paralelos e os traços frontais paralelos. Se apenas uma das condições se verifica, os planos não são paralelos — cruzam-se segundo uma reta. Para construir por um ponto um plano paralelo a outro, traçam-se traços paralelos aos do plano dado, ajustados de modo que uma reta do novo plano passe pelo ponto.

As exceções merecem atenção. Em retas de perfil, projeções homónimas paralelas não garantem retas paralelas: é preciso confirmar por rebatimento ou pelo plano de perfil. E dois planos de rampa (traços paralelos à LT) podem ter os traços «paralelos» sem serem paralelos, exigindo verificação adicional. Nestes casos particulares, a prudência de confirmar com pontos evita conclusões erradas — precisamente o tipo de armadilha que o exame gosta de propor.

Exemplo resolvido

Plano paralelo a outro por um ponto

Constrói um plano β paralelo a α e que passa por um ponto P dado.

Direções dos traços
β terá o traço horizontal paralelo a hα e o traço frontal paralelo a fα.
Reta do plano por P
Traça-se por P uma horizontal (ou frontal) com projeções paralelas às da reta homónima de α — essa reta pertence a β.
Traços de β
A partir dessa reta obtêm-se os traços de β, paralelos aos de α; o plano β passa por P e é paralelo a α.

Resultado: β tem hβ∥hα e fβ∥fα e contém P — é o plano paralelo a α pedido.

Erros frequentes

Concluir que dois planos são paralelos verificando só um par de traços homónimos.
Aplicar o critério das projeções paralelas a retas de perfil sem confirmar com os pontos.

Revisão ativa

Por um ponto P exterior a um plano α, constrói um plano β paralelo a α, traçando traços paralelos aos de α.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Perpendicularidade de reta e plano#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-10-paralelismo-perpendicularidade

A perpendicularidade de reta e plano é o teorema mais poderoso da geometria diédrica, porque se traduz numa regra direta sobre as projeções. Uma reta é perpendicular a um plano quando é perpendicular a todas as retas do plano; em particular, é perpendicular às horizontais e às frontais do plano. Ora, uma horizontal do plano projeta-se em VG na projeção horizontal (paralela a hα) e uma frontal projeta-se em VG na frontal (paralela a fα).

Daí resulta o «teorema»: uma reta p é perpendicular a um plano α se, e só se, a «projeção horizontal p₁ é perpendicular ao traço horizontal hα» e a «projeção frontal p₂ é perpendicular ao traço frontal fα». Isto porque a perpendicularidade da reta às horizontais do plano se vê em VG no plano horizontal (p₁⟂hα) e a perpendicularidade às frontais se vê em VG no frontal (p₂⟂fα). É uma regra de construção imediata (ver Fig. 2).

Reta perpendicular a um plano

Fig. 2Fig. 2 — Reta p perpendicular ao plano α: p₁⟂hα e p₂⟂fα.

A aplicação é dupla. Para traçar por um ponto P a «perpendicular a um plano α», desenha-se p₁ por P₁ perpendicular a hα e p₂ por P₂ perpendicular a fα: a reta p assim obtida é a perpendicular a α por P. Reciprocamente, para construir o «plano perpendicular a uma reta» p por um ponto, escolhe-se hα perpendicular a p₁ e fα perpendicular a p₂, concorrentes na LT — o plano α resultante é perpendicular a p.

É preciso não confundir a perpendicularidade no espaço com a perpendicularidade aparente das projeções em geral. A regra p₁⟂hα e p₂⟂fα vale porque hα e fα são traços (retas notáveis em VG na respetiva projeção); não é verdade, em geral, que retas perpendiculares no espaço tenham projeções perpendiculares. A exceção é exatamente o teorema das três perpendiculares, estudado a seguir. Este teorema da perpendicularidade reta/plano é, ano após ano, dos conteúdos mais avaliados.

Exemplo resolvido

Perpendicular a um plano por um ponto

Traça a reta p perpendicular ao plano oblíquo α, passando por P.

Projeção horizontal
Por P₁ traça-se p₁ perpendicular ao traço horizontal hα.
Projeção frontal
Por P₂ traça-se p₂ perpendicular ao traço frontal fα.
Reta p
A reta p, com estas duas projeções, é perpendicular a α; o ponto de furo I obtém-se pela interseção reta/plano.

Resultado: p é a perpendicular a α por P, com p₁⟂hα e p₂⟂fα.

Erros frequentes

Aplicar a perpendicularidade só a uma das projeções (é preciso p₁⟂hα E p₂⟂fα).
Supor que retas perpendiculares no espaço têm sempre projeções perpendiculares (só com retas notáveis).

Revisão ativa

Por um ponto P, traça a reta p perpendicular a um plano oblíquo α dado pelos traços. Indica a direção de p₁ e de p₂.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Perpendicularidade de planos e de retas#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-10-paralelismo-perpendicularidade

A perpendicularidade entre planos define-se por meio da perpendicularidade reta/plano: «dois planos são perpendiculares quando um deles contém uma reta perpendicular ao outro». Esta é a chave construtiva: para traçar por uma reta (ou ponto) um plano perpendicular a α, basta que esse plano contenha uma reta perpendicular a α (construída pelo teorema anterior, com projeções perpendiculares aos traços de α). Há uma infinidade de planos perpendiculares a um dado plano por um ponto — o problema costuma acrescentar uma condição que fixa a solução.

A perpendicularidade entre «duas retas» no espaço, em geral, não se vê como projeções perpendiculares — as projeções de um ângulo reto só o mantêm em condições especiais. A condição em que se vê é dada pelo «teorema das três perpendiculares»: se de duas retas perpendiculares uma é paralela a um plano de projeção, então o ângulo reto projeta-se em verdadeira grandeza (isto é, em ângulo reto) nesse plano. É o instrumento para construir e reconhecer perpendicularidades entre retas na épure (ver Fig. 3).

Teorema das três perpendiculares

Fig. 3Fig. 3 — Teorema das três perpendiculares: o ângulo reto entre h (horizontal) e p projeta-se em VG no plano horizontal.

Em consequência do teorema das três perpendiculares: se uma reta é «horizontal» (paralela ao plano horizontal), a perpendicular a ela vê o ângulo reto em VG na «projeção horizontal» (as projeções horizontais são perpendiculares); se uma reta é «frontal», o ângulo reto vê-se na «projeção frontal». Assim, para traçar a perpendicular a uma reta horizontal por um ponto, faz-se a projeção horizontal perpendicular à da reta; para uma reta frontal, faz-se a projeção frontal perpendicular.

Estas propriedades resolvem problemas métricos importantes: distância de um ponto a um plano (traça-se a perpendicular ao plano e mede-se o segmento por VG), distância de um ponto a uma reta, e construção de figuras com ângulos retos assentes num plano. A distância exige quase sempre uma verdadeira grandeza obtida por rebatimento ou mudança de plano — ponte natural para os métodos auxiliares que se seguem.

Exemplo resolvido

Perpendicular a uma reta horizontal

Por um ponto P, traça a reta perpendicular à reta horizontal h.

Reconhecer a reta
h é horizontal (paralela ao plano horizontal): a sua projeção horizontal h₁ mostra a direção verdadeira.
Teorema das três perpendiculares
Como h é paralela ao plano horizontal, o ângulo reto vê-se em VG no plano horizontal: traça-se p₁ por P₁ perpendicular a h₁.
Projeção frontal
A projeção frontal p₂ completa-se com a condição do problema (por exemplo, p concorrente com h no ponto de interseção).

Resultado: A perpendicular a h por P tem p₁⟂h₁ (o ângulo reto vê-se em VG na projeção horizontal).

Erros frequentes

Julgar que retas perpendiculares no espaço têm sempre projeções perpendiculares (só quando uma é paralela ao plano de projeção onde se lê).
Esquecer que há infinitos planos perpendiculares a um plano por um ponto — é preciso a condição adicional do enunciado.

Revisão ativa

Traça, por um ponto P, a reta perpendicular a uma reta horizontal h, aplicando o teorema das três perpendiculares na projeção horizontal.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano

Paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 2

Paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos

Pontos-chave

Plano paralelo a outro por um ponto

Pontos-chave

Perpendicular a um plano por um ponto

Pontos-chave

Perpendicular a uma reta horizontal

Fontes

Paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos

Pontos-chave

Plano paralelo a outro por um ponto

Pontos-chave

Perpendicular a um plano por um ponto

Pontos-chave

Perpendicular a uma reta horizontal

Fontes