Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Representação de figuras planas

Uma figura plana (polígono ou circunferência) representa-se conhecendo o plano onde assenta. Consoante esse plano seja projetante, paralelo a um plano de projeção ou oblíquo, a verdadeira grandeza aparece de imediato numa projeção ou exige rebatimento. Estudam-se estes três casos e a representação da circunferência, cuja projeção é, em geral, uma elipse.

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Base 1 · Padrão 1 · Aprofundamento 1

T·0666 / 14

Perfil de exame

Representar figuras planas conhecido o plano de assentoObter a verdadeira grandeza de figuras planas em diferentes planosRepresentar a circunferência e reconhecer a sua projeção como elipse

Operadores:representaconstróideterminaidentificajustifica

nível básico

Representar figuras em planos horizontais/frontais, onde a VG aparece diretamente numa projeção.

nível avançado

Obter a VG de figuras em planos projetantes e oblíquos e representar a circunferência como elipse.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 3 secções

Representação de figuras planas

Figuras em planos projetantes#

PadrãoAE-geometria-descritiva-a-10-figuras-planas

Uma figura plana assente num «plano projetante» tem uma das projeções reduzida a um segmento de reta — sobre o traço do plano — porque tudo o que o plano contém se projeta aí. Se a figura está num «plano de topo», a sua projeção frontal é um segmento sobre o traço frontal do plano; se está num «plano vertical», a projeção horizontal é um segmento sobre o traço horizontal. A outra projeção mostra a figura deformada (em perspetiva), com o contorno completo (ver Fig. 1).

Figura plana num plano de topo

Fig. 1Fig. 1 — Lâmina triangular [ABC] num plano de topo: a projeção frontal é um segmento; a VG obtém-se por rebatimento.

Nestes planos, a verdadeira grandeza obtém-se por «rebatimento imediato». Como a figura vive num plano projetante, basta rebater esse plano sobre um plano de projeção em torno do seu traço: a figura descreve arcos e vem assentar em VG. O rebatimento de um plano de topo faz-se em torno do traço frontal; o de um plano vertical, em torno do traço horizontal. É um dos rebatimentos mais simples, precisamente porque a figura está «de perfil» numa das vistas.

O procedimento para o rebatimento imediato de uma figura num plano de topo é: (1) cada vértice tem a projeção frontal sobre o traço frontal do plano; (2) roda-se cada vértice em torno do traço (a charneira), com o compasso, até à horizontal do plano frontal, obtendo o vértice rebatido em VG; (3) unem-se os vértices rebatidos, reconstruindo a figura na sua forma e dimensão reais. A distância de cada vértice à charneira mantém-se no rebatimento.

A leitura da figura nestes planos exige método. É frequente pedir-se: dada a figura num plano de topo, determinar a sua projeção horizontal e a sua VG. Parte-se da projeção frontal (o segmento sobre o traço), passam-se os vértices por linha de chamada para a projeção horizontal e, em paralelo, rebate-se para obter a VG. Este triplo registo — projeção frontal, projeção horizontal e VG rebatida — é a marca de uma resolução completa.

Exemplo resolvido

VG de um triângulo num plano de topo

O triângulo [ABC] está contido num plano de topo. Obtém a projeção horizontal e a VG.

Projeção frontal
As projeções frontais A₂, B₂, C₂ alinham-se sobre o traço frontal do plano de topo (a figura vê-se «de perfil» no frontal).
Projeção horizontal
Por linha de chamada de cada vértice e com os afastamentos dados, obtêm-se A₁, B₁, C₁; unindo-os tem-se a projeção horizontal deformada.
Rebatimento (VG)
Rebate-se o plano em torno do traço frontal (charneira): cada vértice roda com o compasso até à VG; une-se [A'B'C'] — o triângulo em verdadeira grandeza.

Resultado: A projeção frontal é um segmento; a projeção horizontal é deformada; a VG obtém-se por rebatimento em torno do traço.

Erros frequentes

Esquecer que num plano de topo a projeção frontal da figura é um segmento (sobre o traço frontal).
Não conservar, no rebatimento, a distância de cada vértice à charneira.

Revisão ativa

Um triângulo [ABC] assenta num plano de topo. Descreve como obténs a sua projeção horizontal e a sua verdadeira grandeza por rebatimento.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Figuras em planos horizontais e frontais#

BaseAE-geometria-descritiva-a-10-figuras-planas

Quando a figura assenta num plano «paralelo a um plano de projeção», a verdadeira grandeza aparece diretamente, sem rebatimento. Numa figura contida num «plano horizontal» (de nível), a projeção horizontal mostra a figura em VG — tem a forma e as dimensões reais — enquanto a projeção frontal se reduz a um segmento paralelo à linha de terra. É o caso ideal para construir polígonos regulares (ver Fig. 2).

Hexágono regular em verdadeira grandeza

Fig. 2Fig. 2 — Hexágono regular em VG: forma e dimensões reais na projeção horizontal (plano horizontal).

Simetricamente, numa figura contida num «plano frontal» (de frente), a projeção frontal mostra a VG e a projeção horizontal reduz-se a um segmento paralelo à LT. A escolha entre pousar a figura num plano horizontal ou frontal faz-se por conveniência: coloca-se a figura no plano que dê a VG na projeção mais útil ao problema.

A construção de polígonos regulares é uma competência prática exigida. Constrói-se o polígono em VG na projeção onde ele aparece verdadeiro, a partir do centro e do raio da circunferência circunscrita (ou do lado): o «triângulo equilátero», o «quadrado», o «pentágono» e o «hexágono regular» têm construções com régua e compasso que convém dominar. Depois, transportam-se os vértices para a outra projeção (o segmento) por linhas de chamada.

A vantagem destes planos é dupla: dão a VG de graça e servem de plano de assento natural para bases de sólidos (a base de uma pirâmide ou de um prisma pousada num plano horizontal projeta-se em VG na horizontal). Por isso, muitos problemas começam por «assentar» a figura num plano horizontal ou frontal, construí-la em VG e só depois erguer o sólido — uma estratégia recorrente que simplifica todo o trabalho posterior.

Exemplo resolvido

Hexágono regular num plano horizontal

Constrói um hexágono regular de lado 3 cm num plano horizontal e indica a sua projeção frontal.

Circunferência circunscrita
No hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado: r = 3 cm. Traça-se a circunferência de raio 3 na projeção horizontal (VG).
Vértices
Com a abertura do compasso igual ao raio, marcam-se seis pontos sucessivos sobre a circunferência; unindo-os obtém-se o hexágono em VG.
Projeção frontal
Como o plano é horizontal, a projeção frontal reduz-se a um segmento paralelo à LT, à cota do plano.

Resultado: O hexágono constrói-se em VG na projeção horizontal (r = lado = 3 cm); a projeção frontal é um segmento paralelo à LT.

Erros frequentes

Procurar a VG na projeção errada (num plano horizontal a VG está na projeção horizontal, não na frontal).
Errar a construção do polígono regular (raio da circunferência circunscrita vs lado).

Revisão ativa

Constrói, em VG, um hexágono regular de 3 cm de lado contido num plano horizontal e indica onde fica a sua projeção frontal.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Figuras em planos oblíquos e a circunferência#

AprofundamentoAE-geometria-descritiva-a-10-figuras-planas

Numa figura contida num «plano oblíquo», nenhuma das projeções mostra a verdadeira grandeza — ambas a deformam. A VG só se obtém recorrendo aos métodos auxiliares (rebatimento do plano de assento, mudança de planos ou rotação). O procedimento típico é rebater o plano oblíquo sobre um plano de projeção em torno de um dos seus traços, construir ou ler a figura em VG no rebatimento e depois «voltar» à épure por contra-rebatimento. A Fig. 3 resume, para cada plano de assento, onde surge a VG.

Onde aparece a verdadeira grandeza

Fig. 3Fig. 3 — Plano de assento da figura e obtenção da verdadeira grandeza.

A «circunferência» é o caso mais delicado. A projeção de uma circunferência é, em geral, uma «elipse»: quando o plano da circunferência é oblíquo ao plano de projeção, o círculo projeta-se deformado, e a projeção é uma elipse cujo eixo maior é igual ao diâmetro (a direção paralela ao plano de projeção mantém-se em VG) e o eixo menor é o diâmetro reduzido. Só quando o plano da circunferência é paralelo ao plano de projeção é que ela se projeta como circunferência (em VG).

Para representar a elipse com rigor, determinam-se os «eixos» a partir do diâmetro em VG: o eixo maior mede o diâmetro (segundo a direção que se mantém verdadeira) e o eixo menor mede a projeção do diâmetro perpendicular. Um método clássico é inscrever a circunferência num quadrado e projetar oito pontos (os quatro de tangência e os quatro das diagonais), obtendo pontos suficientes para traçar a elipse à mão ou com esquadros. Em rigor, a elipse traça-se pelos seus eixos.

A estratégia geral para figuras em planos oblíquos é, pois, «levar a figura a uma posição notável» para a ler em VG e depois regressar. Este é o elo que liga este tema aos métodos geométricos auxiliares — mudança de planos, rotações e rebatimentos —, que fornecem as técnicas rigorosas para obter verdadeiras grandezas de figuras e distâncias em qualquer posição.

Exemplo resolvido

Projeção de uma circunferência num plano de topo

Uma circunferência de diâmetro 6 cm assenta num plano de topo. Que forma tem a sua projeção horizontal? Qual o eixo maior?

Projeção frontal
No plano de topo, a projeção frontal da circunferência é um segmento (sobre o traço frontal), de comprimento igual ao diâmetro, 6 cm.
Projeção horizontal
A projeção horizontal é uma elipse: a direção paralela à LT mantém-se em VG (eixo maior = diâmetro), a direção perpendicular é reduzida (eixo menor).
Eixo maior
O eixo maior da elipse é igual ao diâmetro em VG, 6 cm; o eixo menor depende da inclinação do plano de topo.

Resultado: A projeção horizontal é uma elipse de eixo maior 6 cm (o diâmetro); o eixo menor é a projeção reduzida do diâmetro perpendicular.

Erros frequentes

Ler a VG de uma figura oblíqua diretamente numa projeção (só se obtém por método auxiliar).
Traçar a projeção de uma circunferência como circunferência quando o plano é oblíquo (é uma elipse).

Revisão ativa

Uma circunferência está num plano de topo. Justifica por que a sua projeção horizontal é uma elipse e indica a medida do eixo maior.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano

Representação de figuras planas

3 secções~9 min de leitura3 competênciasNível Base 1 · Padrão 1 · Aprofundamento 1

Representação de figuras planas

Pontos-chave

VG de um triângulo num plano de topo

Pontos-chave

Hexágono regular num plano horizontal

Pontos-chave

Projeção de uma circunferência num plano de topo

Fontes

Representação de figuras planas

Pontos-chave

VG de um triângulo num plano de topo

Pontos-chave

Hexágono regular num plano horizontal

Pontos-chave

Projeção de uma circunferência num plano de topo

Fontes