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Resumos/Geometria Descritiva A/Métodos geométricos auxiliares: mudança dos planos de projeção
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Métodos geométricos auxiliares: mudança dos planos de projeção

Os métodos geométricos auxiliares servem para colocar retas, planos e figuras em posições vantajosas e para obter verdadeiras grandezas. A mudança dos planos de projeção substitui um dos planos de projeção por um novo, escolhido de modo a que a entidade fique numa posição notável — conservando, no essencial, a cota (mudança do plano frontal) ou o afastamento (mudança do plano horizontal).

4 secções·~12 min de leitura·3 competências·Nível Padrão 1 · Aprofundamento 3

T·0777 / 14
Perfil de exame
Compreender o objetivo dos métodos auxiliares (posições vantajosas e VG)Aplicar mudanças do plano frontal (a cota conserva-se) e do plano horizontal (o afastamento conserva-se)Obter verdadeiras grandezas de segmentos e figuras por mudança de planos
Operadores:aplicaconstróideterminajustificatransforma

nível básico

Aplicar uma mudança de plano para obter a VG de um segmento oblíquo.

nível avançado

Encadear duas mudanças de plano para transformar retas e planos em posições notáveis e medir distâncias.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Métodos geométricos auxiliares: mudança dos planos de projeção
    • 01Princípio dos métodos auxiliares e da mudança de plano◐
    • 02Mudança do plano frontal de projeção●
    • 03Mudança do plano horizontal de projeção●
    • 04Aplicações e duplas mudanças de plano●
§ 01

Princípio dos métodos auxiliares e da mudança de plano#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-11-mudanca-planos

Pontos-chave

Muitas grandezas — o comprimento verdadeiro de um segmento oblíquo, a forma real de uma figura oblíqua, um ângulo, uma distância — não se leem diretamente na épure, porque as projeções deformam. Os «métodos geométricos auxiliares» resolvem este problema: transformam a posição relativa entre a entidade e os planos de referência, sem alterar a entidade, até que uma projeção passe a mostrar a verdadeira grandeza. São três: a mudança dos planos de projeção, a rotação e o rebatimento.
A «mudança dos planos de projeção» mantém o objeto imóvel e substitui um dos planos de projeção por outro, mais conveniente. Escolhe-se um novo plano de projeção (perpendicular ao plano que se conserva, para que o novo par continue a ser um sistema de Monge) e projeta-se o objeto sobre ele. Uma «nova linha de terra» (x') marca a interseção do plano conservado com o novo plano. O objeto ganha assim uma nova projeção, escolhida à medida do problema (ver Fig. 1).

Novo plano de projeção

Novo plano de projeçãoFigura geométrica (3D), A, A₁, ν (conservado), φ'AA₁ν(conserva…φ'x1x2x3
Fig. 1Fig. 1 — Mudança de plano: conserva-se um plano de projeção e introduz-se um novo, com nova linha de terra x'.
A regra de conservação é o coração do método e deve ficar bem fixada. Se se «muda o plano frontal» (conservando o horizontal), as projeções horizontais não se alteram e «conserva-se a cota»: a nova projeção frontal de cada ponto marca-se, a partir da nova linha de terra, com a cota que o ponto já tinha. Se se «muda o plano horizontal» (conservando o frontal), «conserva-se o afastamento». O que muda é sempre a distância à nova linha de terra na direção do plano substituído.
A vantagem estratégica está na escolha da nova linha de terra. Colocando x' paralela a uma projeção (por exemplo, paralela à projeção horizontal de um segmento), a nova projeção do segmento fica em verdadeira grandeza; colocando x' perpendicular a uma direção, transforma-se uma reta oblíqua numa reta projetante. Saber orientar a nova linha de terra é o que distingue uma aplicação eficaz — e é sistematicamente pedido no exame.
Exemplo resolvido

O que se conserva numa mudança de frontal

Numa mudança do plano frontal de projeção, indica o que se conserva e o que muda para um ponto A de cota 4 e afastamento 2.

  1. 01Plano conservado

    Mantém-se o plano horizontal; logo, a projeção horizontal A₁ não muda (o afastamento continua a ler-se nela).

  2. 02Cota conservada

    A cota (4) é a distância ao plano horizontal, que não mudou: a nova projeção frontal A₂' marca-se a 4 acima da nova linha de terra x'.

  3. 03Conclusão

    A₁ mantém-se; A₂' obtém-se transportando a cota 4 para a nova linha de terra, na linha de chamada perpendicular a x'.

Resultado: Conserva-se a projeção horizontal e a cota; a nova projeção frontal marca-se com a cota a partir da nova linha de terra.

Foco no Exame Nacional

  • Explicar o princípio da mudança de plano e a regra de conservação (cota ou afastamento).
  • Escolher a orientação da nova linha de terra em função do objetivo (VG ou posição projetante).

Erros frequentes

  • Alterar a projeção que se deve conservar (na mudança de frontal, a projeção horizontal mantém-se).
  • Marcar a nova projeção com a distância errada (não conservar a cota ou o afastamento).

Revisão ativa

Explica, com um exemplo, por que na mudança do plano frontal se conserva a cota e a projeção horizontal se mantém inalterada.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Mudança do plano frontal de projeção#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-mudanca-planos

Pontos-chave

Na mudança do plano frontal, conserva-se o plano horizontal e substitui-se o frontal por um novo plano φ' (perpendicular ao horizontal). As projeções horizontais ficam intactas; determinam-se novas projeções frontais transportando, para a nova linha de terra x', a cota de cada ponto. É o método de eleição para obter a «verdadeira grandeza de um segmento de reta horizontal» ou para transformar uma reta em frontal (ver Fig. 2).

VG de um segmento por mudança do plano frontal

Mudança do plano frontalFigura geométrica, A₁, B₁, A₂', B₂', LT, x', [A₁B₁], VGA₁B₁A₂'B₂'x1x2LTx'[A₁B₁]VG
Fig. 2Fig. 2 — Nova linha de terra x' paralela a [A₁B₁]; a nova projeção frontal [A₂'B₂'] dá a VG.
O procedimento é sistemático. (1) Escolhe-se e desenha-se a nova linha de terra x' na posição conveniente (por exemplo, paralela à projeção horizontal r₁ do segmento, se se quer a VG). (2) De cada ponto, baixa-se uma linha de chamada perpendicular a x'. (3) Sobre cada linha de chamada, marca-se a nova projeção frontal à distância igual à cota do ponto (medida na épure original). (4) Unem-se as novas projeções frontais.
Para obter a «VG de um segmento oblíquo [AB]», a mudança do plano frontal só resolve diretamente se o segmento for horizontal (cota constante); se for oblíquo, transforma-se primeiro numa reta frontal escolhendo x' paralela a r₁ — a nova projeção frontal dá então a VG. É frequente, por isso, orientar x' paralela à projeção horizontal do segmento: a nova projeção frontal fica com o comprimento verdadeiro.
A verificação faz-se pela coerência das cotas: como a cota se conserva, a nova projeção frontal de um ponto está à mesma «altura» (medida a partir de x') que a projeção frontal original estava a partir da LT. Um erro de sinal ou de transporte de cota deteta-se logo, porque a figura resultante fica incoerente com os dados. O rigor no transporte das cotas é decisivo para a cotação no exame.
Exemplo resolvido

VG de um segmento oblíquo

Determina a verdadeira grandeza do segmento oblíquo [AB] por mudança do plano frontal.

  1. 01Nova linha de terra

    Traça-se x' paralela à projeção horizontal [A₁B₁]: relativamente a x', o segmento passa a comportar-se como frontal.

  2. 02Transporte de cotas

    De A₁ e B₁ baixam-se linhas de chamada perpendiculares a x'; sobre elas marcam-se A₂' e B₂' com as cotas de A e B (medidas na épure original).

  3. 03Leitura da VG

    O segmento [A₂'B₂'] é a nova projeção frontal e mostra a verdadeira grandeza de [AB].

Resultado: [A₂'B₂'] é a VG de [AB]; obtém-se com x' paralela a [A₁B₁] e as cotas conservadas.

Foco no Exame Nacional

  • Obter a VG de um segmento orientando a nova linha de terra paralela à sua projeção horizontal.
  • Transportar corretamente as cotas para a nova projeção frontal.

Erros frequentes

  • Mudar a projeção horizontal (que deve permanecer inalterada na mudança de frontal).
  • Medir a nova cota a partir da linha de terra antiga em vez da nova (x').

Revisão ativa

Um segmento [AB] é oblíquo. Determina a sua VG por mudança do plano frontal, colocando a nova linha de terra paralela a [A₁B₁].

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Mudança do plano horizontal de projeção#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-mudanca-planos

VG de um segmento por mudança do plano horizontal

Mudança do plano horizontalFigura geométrica, C₂, D₂, C₁', D₁', LT, x', [C₂D₂], VGC₂D₂C₁'D₁'x1x2LTx'[C₂D₂]VG
Fig. 3Fig. 3 — Nova linha de terra x' paralela a [C₂D₂]; a nova projeção horizontal [C₁'D₁'] dá a VG.

Pontos-chave

Na mudança do plano horizontal, conserva-se o plano frontal e substitui-se o horizontal por um novo plano ν' (perpendicular ao frontal). Agora são as projeções frontais que ficam intactas, e determinam-se novas projeções horizontais transportando o «afastamento» de cada ponto para a nova linha de terra. É o método simétrico do anterior, usado para obter a VG de um segmento «frontal» ou para transformar uma reta em horizontal.
O procedimento espelha o da mudança de frontal, trocando os papéis. (1) Escolhe-se a nova linha de terra x' (por exemplo, paralela à projeção frontal r₂ do segmento). (2) De cada ponto, baixa-se a linha de chamada perpendicular a x' a partir da projeção frontal conservada. (3) Marca-se a nova projeção horizontal à distância igual ao afastamento do ponto. (4) Unem-se as novas projeções horizontais para ler a VG.
A escolha entre mudar o frontal ou o horizontal decide-se pela natureza do segmento e pela projeção onde interessa obter a VG. Se o segmento é «frontal» (afastamento constante), muda-se o horizontal para o pôr paralelo a x' e ler a VG; se é «horizontal», muda-se o frontal. Para um segmento «oblíquo», qualquer das mudanças serve, orientando x' paralela à projeção correspondente.
Como sempre, a coerência dos afastamentos valida o trabalho: o afastamento conserva-se, pelo que cada nova projeção horizontal fica à mesma distância de x' que a original estava da LT. As mudanças de plano são reversíveis e encadeáveis: pode aplicar-se uma segunda mudança sobre a primeira (dupla mudança) para transformar, por exemplo, uma reta oblíqua sucessivamente em frontal e depois em vertical — assunto da secção seguinte.
Exemplo resolvido

VG de um segmento frontal

Determina a VG do segmento frontal [CD] por mudança do plano horizontal.

  1. 01Nova linha de terra

    Traça-se x' paralela à projeção frontal [C₂D₂]; relativamente a x', o segmento comporta-se como horizontal.

  2. 02Transporte de afastamentos

    De C₂ e D₂ baixam-se linhas de chamada perpendiculares a x'; marcam-se C₁' e D₁' com os afastamentos de C e D.

  3. 03Leitura da VG

    O segmento [C₁'D₁'] é a nova projeção horizontal e mostra a verdadeira grandeza de [CD].

Resultado: [C₁'D₁'] é a VG de [CD]; obtém-se com x' paralela a [C₂D₂] e os afastamentos conservados.

Foco no Exame Nacional

  • Obter a VG de um segmento frontal por mudança do plano horizontal.
  • Escolher entre mudar o plano frontal ou o horizontal conforme o segmento e a projeção pretendida.

Erros frequentes

  • Alterar a projeção frontal (que se conserva na mudança do plano horizontal).
  • Transportar a cota em vez do afastamento para a nova projeção horizontal.

Revisão ativa

Um segmento [CD] é frontal. Determina a sua VG por mudança do plano horizontal, com a nova linha de terra paralela a [C₂D₂].

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Aplicações e duplas mudanças de plano#

●●●AprofundamentoLPAE-geometria-descritiva-a-11-mudanca-planos

Pontos-chave

A mudança de planos é uma ferramenta de propósito geral, e vale a pena arrumar o que cada aplicação exige. A Fig. 4 associa o objetivo à orientação da nova linha de terra: obter a VG de um segmento, transformar uma reta oblíqua em frontal, horizontal, vertical ou de topo, obter a VG de uma figura oblíqua, ou medir a distância de um ponto a uma reta ou a um plano. Cada objetivo corresponde a uma escolha precisa de x'.

Aplicações da mudança de planos

Aplicações da mudança de planosTabela com 3 colunas e 5 linhas, Dados: Objetivo · N.º de mudanças · Nova linha de terra x'; VG de um segmento · 1 · Paralela à projeção do segmento; Reta oblíqua → frontal/horizontal · 1 · Paralela à projeção correspondente; Reta oblíqua → vertical/de topo · 2 · 1.ª paralela; 2.ª perpendicular à VG; VG de uma figura oblíqua · 2 · 1.ª perp. a reta do plano; 2.ª paralela ao plano; Distância de ponto a reta · 2 · Reduzir a reta a um pontoOBJETIVON.º DE MUDANÇASNOVA LINHA DE TERRA X'VG DE UM SEGMENTO1Paralela à projeção dosegmentoRETA OBLÍQUA →FRONTAL/HORIZONTAL1Paralela à projeçãocorrespondenteRETA OBLÍQUA →VERTICAL/DE TOPO21.ª paralela; 2.ªperpendicular à VGVG DE UMA FIGURAOBLÍQUA21.ª perp. a reta do plano;2.ª paralela ao planoDISTÂNCIA DE PONTOA RETA2Reduzir a reta a um ponto
Fig. 4Fig. 4 — Objetivos da mudança de planos e a orientação da nova linha de terra.
Uma única mudança nem sempre chega. Para transformar uma reta «oblíqua numa reta projetante» (vertical ou de topo), são precisas «duas mudanças sucessivas»: a primeira torna a reta frontal ou horizontal (x' paralela à projeção correspondente); a segunda, aplicada sobre a nova épure, torna-a projetante (nova linha de terra perpendicular à projeção em VG). Reduzir uma reta a um ponto é o que permite medir distâncias de pontos a essa reta ou obter a VG de figuras que a tenham por eixo.
Para a «VG de uma figura plana oblíqua», encadeiam-se duas mudanças: a primeira transforma o plano de assento num plano projetante (nova linha de terra perpendicular a uma reta notável do plano — por exemplo, perpendicular à projeção de uma horizontal do plano); a segunda projeta a figura num plano paralelo ao seu plano de assento, revelando a VG. É a técnica-padrão para determinar a forma verdadeira de secções e faces oblíquas.
A disciplina do método está em documentar cada passo: identificar o plano conservado, a grandeza conservada (cota ou afastamento), a orientação e o nome da nova linha de terra, e a leitura final. Nas duplas mudanças, é fácil perder o fio se não se nomearem as sucessivas linhas de terra (x', x''). Esta organização é, ela própria, avaliada — uma resolução clara e legendada vale mais pontos do que um desenho correto mas ilegível.
Exemplo resolvido

Reta oblíqua transformada em vertical

Descreve a dupla mudança que transforma uma reta oblíqua r numa reta vertical.

  1. 011.ª mudança (→ frontal)

    Muda-se o plano frontal com x' paralela a r₁: r passa a frontal e a nova projeção frontal r₂' mostra a VG e a direção verdadeira.

  2. 022.ª mudança (→ vertical)

    Sobre a nova épure, muda-se o plano horizontal com x'' perpendicular a r₂' (à VG): a nova projeção horizontal de r reduz-se a um ponto.

  3. 03Resultado

    r ficou vertical (projetante horizontal); a sua nova projeção horizontal é um ponto, o que permite medir distâncias a r.

Resultado: Duas mudanças (primeiro → frontal, depois → vertical) reduzem r a um ponto na projeção horizontal.

Foco no Exame Nacional

  • Associar cada objetivo (VG, reta projetante, distância) à orientação da nova linha de terra.
  • Encadear duas mudanças para transformar uma reta oblíqua em projetante ou obter a VG de uma figura.

Erros frequentes

  • Tentar reduzir uma reta oblíqua a um ponto com uma só mudança (são necessárias duas).
  • Não nomear as sucessivas linhas de terra numa dupla mudança, perdendo o rasto das conservações.

Revisão ativa

Descreve a sequência de duas mudanças de plano que transforma uma reta oblíqua r numa reta vertical (projetante horizontal).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Princípio dos métodos auxiliares e da mudança de plano◐
    • 02Mudança do plano frontal de projeção●
    • 03Mudança do plano horizontal de projeção●
    • 04Aplicações e duplas mudanças de plano●

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Dos resumos à prática

Métodos geométricos auxiliares: mudança dos planos de projeção

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 11.º ano

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