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Resumos/Geometria Descritiva A/Introdução à Geometria Descritiva: projeções e sistemas de representação
Resumos · Geometria Descritiva APT · Secundário

Introdução à Geometria Descritiva: projeções e sistemas de representação

A Geometria Descritiva resolve um problema central do desenho técnico e da arquitetura: representar rigorosamente, numa folha plana, objetos que existem no espaço a três dimensões, de modo reversível — a partir do desenho é possível reconstruir o objeto. Estuda-se o conceito de projeção e os seus tipos, os grandes sistemas de representação e, em detalhe, o sistema de dupla projeção ortogonal (método de Monge) com a construção da épure.

4 secções·~13 min de leitura·3 competências·Nível Base 2 · Padrão 2

T·0111 / 14
Perfil de exame
Distinguir os tipos de projeção (central e paralela; oblíqua e ortogonal)Caracterizar os sistemas de representação e reconhecer a dupla projeção ortogonalCompreender o método de Monge e a construção da épure (cotas e afastamentos)
Operadores:identificadistingueexplicadescreverelaciona

nível básico

Reconhecer os tipos de projeção e o papel dos dois planos de projeção e da linha de terra.

nível avançado

Compreender a reversibilidade da dupla projeção ortogonal e dominar a passagem do espaço para a épure por rebatimento.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Introdução à Geometria Descritiva: projeções e sistemas de representação
    • 01Projeção: conceito e tipos○
    • 02Sistemas de representação○
    • 03O sistema de Monge: planos de projeção, linha de terra e diedros◐
    • 04A épure: rebatimento, cotas e afastamentos◐
§ 01

Projeção: conceito e tipos#

●○○BaseLPAE-geometria-descritiva-a-10-introducao

Pontos-chave

Representar o espaço numa folha exige um processo que faça corresponder a cada ponto do objeto um ponto do plano do desenho: esse processo é a «projeção». Ela envolve sempre três elementos — um «centro de projeção» (o ponto de onde se «olha» ou de onde partem os raios), os «raios projetantes» (as retas que passam pelo centro e por cada ponto do objeto) e um «plano de projeção» (o plano onde se recolhe a imagem). A projeção de um ponto é a interseção do raio projetante que passa por esse ponto com o plano de projeção. Toda a Geometria Descritiva assenta nesta operação elementar, aplicada de forma organizada.
Consoante a posição do centro de projeção, distinguem-se dois grandes tipos. Na «projeção central» (ou cónica) o centro é um ponto próprio, a distância finita: os raios projetantes divergem desse ponto como num feixe, e é este o modelo da visão humana e da perspetiva cónica. Na «projeção paralela» (ou cilíndrica) o centro está no infinito (é um ponto impróprio): os raios projetantes são todos paralelos entre si, como acontece, com boa aproximação, com os raios do Sol. A Fig. 1 organiza esta classificação e as suas subdivisões.

Tipos de projeção

Tipos de projeçãoGrafo, Projeção → Central (cónica), Projeção → Paralela (cilíndrica), Paralela (cilíndrica) → Ortogonal, Paralela (cilíndrica) → Oblíqua (clinogonal)ProjeçãoCentral (cónica)Paralela(cilíndrica)OrtogonalOblíqua(clinogonal)
Fig. 1Fig. 1 — Classificação das projeções: central (cónica) e paralela (cilíndrica); a paralela é ortogonal ou oblíqua.
A projeção paralela subdivide-se ainda conforme a direção dos raios relativamente ao plano de projeção. Se os raios são «perpendiculares» ao plano de projeção, a projeção diz-se «ortogonal»; se são «oblíquos» ao plano, diz-se «oblíqua» (ou clinogonal). A projeção ortogonal é a base do método de Monge e da axonometria ortogonal; a projeção oblíqua está na origem da perspetiva cavaleira e da planométrica. Reter esta árvore — central/paralela e, dentro da paralela, ortogonal/oblíqua — é indispensável para situar cada sistema de representação que se estudará.
Uma projeção isolada perde informação: dois pontos diferentes sobre um mesmo raio projetante têm a mesma projeção, pelo que a partir de uma única imagem não se pode, em geral, reconstruir o objeto. Diz-se que uma única projeção não é «reversível». A Geometria Descritiva resolve este problema recorrendo a mais do que uma projeção do mesmo objeto (como no método de Monge, com duas projeções ortogonais) ou introduzindo informação adicional (como a cota, na projeção cotada). A exigência de reversibilidade é o critério que distingue um sistema rigoroso de uma simples imagem.
Exemplo resolvido

Classificar projeções

Classifica quanto ao tipo de projeção: (a) a sombra de um poste ao sol; (b) a imagem numa máquina fotográfica; (c) a projeção do método de Monge.

  1. 01(a) Sombra ao sol

    O Sol está tão longe que os raios chegam praticamente paralelos → projeção paralela (cilíndrica). Como os raios são geralmente oblíquos ao solo, é oblíqua.

  2. 02(b) Fotografia

    A objetiva funciona como um centro de projeção próprio, do qual os raios divergem → projeção central (cónica).

  3. 03(c) Método de Monge

    Os raios projetantes são paralelos e perpendiculares a cada plano de projeção → projeção paralela ortogonal.

Resultado: (a) paralela oblíqua; (b) central; (c) paralela ortogonal.

Foco no Exame Nacional

  • Identificar, num enunciado ou figura, o tipo de projeção em causa (central/paralela; ortogonal/oblíqua).
  • Explicar por que razão uma única projeção não é reversível e como a GD contorna essa limitação.

Erros frequentes

  • Confundir projeção central (raios que divergem de um ponto) com projeção paralela (raios paralelos).
  • Chamar «ortogonal» a qualquer projeção paralela — só é ortogonal quando os raios são perpendiculares ao plano de projeção.

Revisão ativa

Classifica quanto ao tipo de projeção: (a) a sombra de um objeto ao sol; (b) uma fotografia; (c) a projeção usada no método de Monge. Justifica cada resposta.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Sistemas de representação#

●○○BaseLPAE-geometria-descritiva-a-10-introducao

Pontos-chave

Um «sistema de representação» é um conjunto de regras que fixa como se projeta o espaço num plano de forma reversível e legendável. Os principais sistemas dividem-se em dois grupos, conforme o número de imagens que usam. Os «sistemas de dupla projeção» (multivistas) usam duas ou mais projeções ortogonais sobre planos distintos — é o caso do método de Monge, o sistema central desta disciplina. Os «sistemas de projeção única» (axonometria, perspetiva cónica, projeção cotada) usam uma só imagem, à qual acrescentam artifícios que garantem a reversibilidade.
No «método de Monge» (dupla projeção ortogonal) representa-se o objeto por duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares. É o sistema mais rigoroso e o mais usado no desenho técnico, porque preserva formas e permite medir com exatidão; em contrapartida, exige interpretação, pois nenhuma das duas vistas mostra o objeto «tal como se vê». A Fig. 2 compara os sistemas quanto à imagem, ao rigor e à intuição visual.

Comparação de sistemas de representação

Sistemas de representaçãoTabela com 5 colunas e 4 linhas, Dados: Sistema · Projeção · N.º de imagens · Rigor métrico · Intuição visual; Monge (dupla proj. ortogonal) · Paralela ortogonal · 2 (ou mais) · Muito alto · Baixa; Axonometria · Paralela (ort./obl.) · 1 · Alto · Alta; Perspetiva cónica · Central · 1 · Baixo · Muito alta; Projeção cotada · Paralela ortogonal + cota · 1 · Alto · Média, célula destacada: Muito altoSISTEMAPROJEÇÃON.º DE IMAGENSRIGOR MÉTRICOINTUIÇÃO VISUALMONGE (DUPLA PROJ.ORTOGONAL)Paralela ortogonal2 (ou mais)Muito altoBaixaAXONOMETRIAParalela (ort./obl.)1AltoAltaPERSPETIVA CÓNICACentral1BaixoMuito altaPROJEÇÃO COTADAParalela ortogonal + cota1AltoMédia
Fig. 2Fig. 2 — Os grandes sistemas de representação e as suas características.
A «axonometria» é um sistema de projeção paralela sobre um único plano que mostra as três dimensões numa só imagem, sendo por isso mais intuitiva; distingue-se em ortogonal (isometria, dimetria, trimetria) e oblíqua/clinogonal (cavaleira, planométrica). A «perspetiva cónica» usa projeção central e é a que mais se aproxima da visão humana, mas deforma as medidas com a distância. A «projeção cotada» usa uma única projeção ortogonal (a horizontal) e junta a cada ponto a sua cota (altura), sendo típica da cartografia e da topografia.
A escolha do sistema depende do fim em vista. Para o rigor construtivo e a medição (arquitetura, engenharia), privilegia-se o método de Monge; para uma visão global e comunicativa de um objeto, a axonometria ou a perspetiva cónica; para o relevo do terreno, a projeção cotada. Nesta disciplina estudam-se sobretudo o método de Monge (a maior parte do programa) e a axonometria (clinogonal e ortogonal). Compreender as vantagens e limitações de cada um é uma competência transversal exigida no exame.
Exemplo resolvido

Escolher o sistema adequado

Justifica o sistema de representação mais adequado a: (a) a planta rigorosa de uma casa; (b) uma ilustração de um móvel para um catálogo; (c) a carta do relevo de uma montanha.

  1. 01(a) Planta rigorosa

    Exige medir e construir com exatidão → método de Monge (dupla projeção ortogonal).

  2. 02(b) Ilustração

    Interessa uma imagem global e apelativa que mostre as três dimensões → axonometria (ou perspetiva cónica).

  3. 03(c) Relevo

    Uma projeção horizontal com a altura de cada ponto descreve o terreno → projeção cotada.

Resultado: (a) Monge; (b) axonometria/perspetiva cónica; (c) projeção cotada.

Foco no Exame Nacional

  • Associar cada sistema de representação ao tipo de projeção que lhe está na base.
  • Justificar a escolha de um sistema (rigor vs intuição) em função do objetivo da representação.

Erros frequentes

  • Julgar que a perspetiva cónica permite medir diretamente — deforma as dimensões com a profundidade.
  • Trocar axonometria (projeção única, paralela) com o método de Monge (dupla projeção ortogonal).

Revisão ativa

Indica o sistema de representação mais adequado para: (a) a planta rigorosa de uma casa; (b) uma ilustração apelativa de um móvel; (c) a representação do relevo de uma montanha. Justifica.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

O sistema de Monge: planos de projeção, linha de terra e diedros#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-introducao

Pontos-chave

Gaspard Monge (séc. XVIII) sistematizou a dupla projeção ortogonal, que hoje leva o seu nome. O espaço é organizado por dois planos de projeção perpendiculares entre si: o «plano horizontal de projeção» (ν) e o «plano frontal de projeção» (φ). A sua reta de interseção chama-se «linha de terra» (LT ou eixo x). Cada ponto do espaço projeta-se ortogonalmente sobre cada um destes planos, dando origem a duas projeções — a horizontal e a frontal — que, em conjunto, o determinam sem ambiguidade (ver Fig. 3).

Os dois planos de projeção e a linha de terra

Planos de projeção e linha de terraFigura geométrica (3D), A, A₁, A₂, cota, afast., ν, φAA₁A₂νφx1x2x3cotaafast.
Fig. 3Fig. 3 — Planos de projeção ν (horizontal) e φ (frontal), linha de terra e projeções de um ponto A.
Os dois planos, ao cruzarem-se, dividem o espaço em quatro regiões chamadas «diedros» (ou quadrantes), numerados no sentido convencional: o 1.º diedro fica acima do plano horizontal e à frente do frontal; o 2.º acima e atrás; o 3.º abaixo e atrás; o 4.º abaixo e à frente. A maior parte dos exercícios situa os objetos no 1.º diedro, mas a leitura correta dos sinais das coordenadas em qualquer diedro é exigível. Cada semiplano dos planos de projeção tem também um nome (semiplano horizontal anterior/posterior, semiplano frontal superior/inferior).
A posição de um ponto fica descrita por duas medidas orientadas relativamente aos planos de projeção. A «cota» é a distância do ponto ao plano horizontal (positiva acima, negativa abaixo); o «afastamento» é a distância do ponto ao plano frontal (positivo à frente, negativo atrás). Estas duas grandezas, com sinal, mais a posição ao longo da linha de terra (a abcissa), localizam qualquer ponto. A cota manifesta-se na projeção frontal e o afastamento na projeção horizontal — relação que fundamenta toda a leitura da épure.
A grande virtude do sistema é a reversibilidade rigorosa: conhecidas as duas projeções ortogonais de um ponto, ele fica univocamente determinado, e o mesmo vale para retas, planos e sólidos. O preço é a perda de intuição — nenhuma das vistas mostra o objeto «como se vê» —, compensada pela exatidão e pela facilidade de medir e construir. É por isso o sistema de eleição do desenho técnico e o núcleo desta disciplina.
Exemplo resolvido

Localizar um ponto pelos sinais

Um ponto B tem cota −3 e afastamento +4. Indica o diedro e a posição relativa aos planos de projeção.

  1. 01Cota

    Cota −3 (negativa) → B está abaixo do plano horizontal de projeção.

  2. 02Afastamento

    Afastamento +4 (positivo) → B está à frente do plano frontal de projeção.

  3. 03Diedro

    Abaixo do horizontal e à frente do frontal corresponde ao 4.º diedro.

Resultado: B está no 4.º diedro (abaixo do plano horizontal e à frente do frontal).

Foco no Exame Nacional

  • Identificar os planos de projeção, a linha de terra e o diedro em que um ponto se encontra.
  • Relacionar cota com o plano horizontal e afastamento com o plano frontal, com os sinais corretos.

Erros frequentes

  • Trocar cota (distância ao plano horizontal) com afastamento (distância ao plano frontal).
  • Numerar mal os diedros ou esquecer que abaixo do plano horizontal a cota é negativa.

Revisão ativa

Um ponto tem cota negativa e afastamento positivo. Em que diedro se encontra? Indica de que lado dos planos de projeção está.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

A épure: rebatimento, cotas e afastamentos#

●●○PadrãoLPAE-geometria-descritiva-a-10-introducao

Pontos-chave

As duas projeções vivem em planos diferentes e perpendiculares; para as desenhar numa única folha, faz-se «rebater» o plano horizontal sobre o plano frontal, rodando-o em torno da linha de terra até ambos coincidirem no plano do papel. Ao desenho plano assim obtido chama-se «épure» (do francês épure). Por convenção, roda-se o semiplano horizontal anterior para baixo, de modo que o que estava «à frente» fica «por baixo» da linha de terra e o que estava «acima» fica «por cima». A Fig. 4 mostra a épure de um ponto do 1.º diedro.

Épure de um ponto do 1.º diedro

Épure de um ponto do 1.º diedroFigura geométrica, A₂, A₁, x, LTA₂A₁xx1x2LT
Fig. 4Fig. 4 — Épure de A (1.º diedro): A₂ acima (cota) e A₁ abaixo (afastamento), na mesma linha de chamada.
Nesse rebatimento, as duas projeções de um mesmo ponto vêm alinhar-se numa reta perpendicular à linha de terra, chamada «linha de chamada». Esta é a regra de ouro da épure: as projeções horizontal e frontal de um ponto estão sempre sobre a mesma linha de chamada, perpendicular à linha de terra. É esta correspondência que liga as duas vistas e permite ler ou construir a segunda projeção a partir da primeira.
Na épure, cada grandeza tem um lugar próprio. A projeção frontal A₂ situa-se, acima ou abaixo da linha de terra, a uma distância igual à «cota» do ponto (para cima se a cota é positiva). A projeção horizontal A₁ situa-se, abaixo ou acima da linha de terra, a uma distância igual ao «afastamento» (para baixo se o afastamento é positivo). Assim, na vertical de um ponto, mede-se para cima da LT a cota (até A₂) e para baixo o afastamento (até A₁). Para um ponto do 1.º diedro, A₂ fica acima e A₁ fica abaixo da linha de terra.
A notação é rigorosa e deve ser respeitada: os pontos designam-se por maiúsculas (A, B, …), as retas por minúsculas (r, s, …) e os planos por letras gregas (α, β, …); as projeções indicam-se com o índice «1» (horizontal) e «2» (frontal): A₁, A₂, r₁, r₂. Cotas e afastamentos exprimem-se em unidades do enunciado. Dominar esta linguagem e a regra da linha de chamada é o alicerce de tudo o que se segue — sem ela, não há leitura nem construção corretas.
Exemplo resolvido

Construir a épure de um ponto

Representa na épure o ponto A(0; 3; 4) — abcissa 0, afastamento 3, cota 4. Onde ficam as projeções?

  1. 01Linha de chamada

    Traça-se a linha de terra e, na abcissa dada, a linha de chamada perpendicular à LT — onde ficarão A₁ e A₂.

  2. 02Projeção frontal

    A cota é 4 (positiva): marca-se A₂ a 4 unidades ACIMA da linha de terra.

  3. 03Projeção horizontal

    O afastamento é 3 (positivo): marca-se A₁ a 3 unidades ABAIXO da linha de terra, na mesma linha de chamada.

Resultado: A₂ fica 4 acima e A₁ fica 3 abaixo da linha de terra, sobre a mesma linha de chamada — ponto do 1.º diedro.

Foco no Exame Nacional

  • Construir a épure de um ponto a partir da cota e do afastamento, com a linha de chamada correta.
  • Ler cota e afastamento diretamente da épure e identificar o diedro.

Erros frequentes

  • Não traçar a linha de chamada perpendicular à linha de terra (as duas projeções deixam de corresponder).
  • Marcar a cota para baixo e o afastamento para cima (inverter os sentidos no 1.º diedro).

Revisão ativa

Representa na épure o ponto A com abcissa 0, afastamento 3 e cota 4 (1.º diedro). Indica onde ficam A₁ e A₂ relativamente à linha de terra.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Projeção: conceito e tipos○
    • 02Sistemas de representação○
    • 03O sistema de Monge: planos de projeção, linha de terra e diedros◐
    • 04A épure: rebatimento, cotas e afastamentos◐

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Dos resumos à prática

Introdução à Geometria Descritiva: projeções e sistemas de representação

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Geometria Descritiva A — 10.º ano

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