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Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas

Estende-se a mecânica a sistemas de várias partículas: define-se o centro de massa e caracteriza-se o seu movimento, introduz-se o momento linear e o impulso, e demonstra-se a Lei da Conservação do Momento Linear a partir da terceira lei de Newton, aplicando-a a colisões elásticas e inelásticas a uma dimensão. Disciplina de opção do 12.º ano, sem Exame Nacional: inclui a atividade laboratorial de colisões e é avaliada internamente.

4 secções·~13 min de leitura·4 competências·Nível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·0222 / 8
Perfil de exame
Determinar a posição do centro de massa de um sistema e caracterizar a sua velocidade e aceleraçãoRelacionar o impulso de uma força com a variação do momento linearJustificar e aplicar a Lei da Conservação do Momento Linear num sistema isoladoAnalisar colisões a uma dimensão, distinguindo elásticas de inelásticas
Operadores:determinacalculaaplicajustificainterpretadistinguerelaciona

nível básico

Calcular o centro de massa e aplicar a conservação do momento linear a colisões simples.

nível avançado

Relacionar impulso e força numa colisão, e analisar energeticamente colisões elásticas e inelásticas.

Profundidade

Profundidade de leitura: Aprofundado

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Conteúdo · 4 secções▾
  1. Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas
    • 01Centro de massa de um sistema de partículas◐
    • 02Momento linear, impulso e a segunda lei para um sistema◐
    • 03Conservação do momento linear●
    • 04Colisões a uma dimensão: elásticas e inelásticas●
§ 01

Centro de massa de um sistema de partículas#

●●○PadrãoLPAE-fisica-12-mecanica-centro-massa-momento-linear

Pontos-chave

Um sistema de partículas comporta-se, no que respeita ao movimento de translação, como se toda a sua massa estivesse concentrada num único ponto — o centro de massa (CM). A sua posição é a média das posições das partículas, ponderada pelas respetivas massas: «r_cm = (Σ m_i·r_i)/M», onde «M = Σ m_i» é a massa total. O CM está sempre mais próximo das massas maiores (ver Fig. 1).

Centro de massa de três partículas

Centro de massaFigura geométrica, 1 kg, 1 kg, 2 kg, CM1 kg1 kg2 kgCMx1x2
Fig. 1Fig. 1 — O centro de massa (anel) é a média das posições ponderada pelas massas; aproxima-se da massa maior.
Em coordenadas, calcula-se cada componente separadamente: «x_cm = (Σ m_i·x_i)/M» e «y_cm = (Σ m_i·y_i)/M». Para dois corpos, o CM situa-se sobre o segmento que os une, dividindo-o na razão inversa das massas. Num corpo rígido homogéneo e simétrico, o CM coincide com o centro geométrico; num corpo irregular, pode até situar-se fora da matéria (como no interior de um arco).
Derivando a posição do CM em ordem ao tempo obtém-se a velocidade do centro de massa, «v_cm = (Σ m_i·v_i)/M», e derivando de novo a aceleração, «a_cm = (Σ m_i·a_i)/M». Estas grandezas descrevem o movimento «global» do sistema, ignorando os movimentos internos das partículas umas em relação às outras. É por isso que, ao analisar a translação de um corpo, o representamos por um ponto material situado no seu CM.
Conhecida a posição do CM em função do tempo, todo o aparato da cinemática se aplica ao seu movimento: velocidade e aceleração obtêm-se por derivação, como para uma partícula. A grande vantagem é que, como se verá, a resultante das forças exteriores determina exclusivamente o movimento do CM — as forças internas, aos pares de ação-reação, não o afetam.
r⃗cm=∑imi r⃗i∑imi\vec{r}_{cm} = \dfrac{\sum_i m_i\,\vec{r}_i}{\sum_i m_i}rcm​=∑i​mi​∑i​mi​ri​​

Posição do centro de massa

Média das posições ponderada pelas massas; M = Σ mᵢ é a massa total.

v⃗cm=∑imi v⃗iM,a⃗cm=∑imi a⃗iM\vec{v}_{cm} = \dfrac{\sum_i m_i\,\vec{v}_i}{M}, \qquad \vec{a}_{cm} = \dfrac{\sum_i m_i\,\vec{a}_i}{M}vcm​=M∑i​mi​vi​​,acm​=M∑i​mi​ai​​

Velocidade e aceleração do CM

Obtêm-se por derivação sucessiva da posição do centro de massa.

Exemplo resolvido

Centro de massa de três partículas

Três partículas: 1,0 kg em (0; 0), 1,0 kg em (4; 0) e 2,0 kg em (2; 4) (SI). Determina o centro de massa.

  1. 01Massa total

    M = 1,0 + 1,0 + 2,0 = 4,0 kg.

  2. 02Coordenada x

    x_cm = (1,0×0 + 1,0×4 + 2,0×2)/4,0 = (0 + 4 + 4)/4,0 = 2,0 m.

  3. 03Coordenada y

    y_cm = (1,0×0 + 1,0×0 + 2,0×4)/4,0 = (0 + 0 + 8)/4,0 = 2,0 m.

    ycm=∑miyiMy_{cm} = \dfrac{\sum m_i y_i}{M}ycm​=M∑mi​yi​​

Resultado: O centro de massa situa-se em (2,0; 2,0) m — deslocado para junto da partícula de 2,0 kg.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular a posição do centro de massa ponderando as posições pelas massas.
  • Obter a velocidade e a aceleração do centro de massa por derivação da sua posição.

Erros frequentes

  • Fazer a média simples das posições, esquecendo a ponderação pelas massas.
  • Confundir centro de massa com centro geométrico num corpo não homogéneo ou assimétrico.

Revisão ativa

Três partículas estão em: 1,0 kg em (0; 0), 1,0 kg em (4; 0) e 2,0 kg em (2; 4) (SI). Determina a posição do centro de massa do sistema.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 02

Momento linear, impulso e a segunda lei para um sistema#

●●○PadrãoLPAE-fisica-12-mecanica-centro-massa-momento-linear

Pontos-chave

O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é o vetor «p = m·v»: tem a direção e o sentido da velocidade e mede-se em kg·m/s (ou N·s). O momento linear total de um sistema é a soma vetorial dos momentos de cada partícula e relaciona-se com o CM por «p_sistema = M·v_cm» — como se toda a massa se movesse com a velocidade do centro de massa.
A segunda lei de Newton, na sua forma mais geral, escreve-se com o momento linear: «F_resultante = dp/dt». Para um sistema, apenas as forças exteriores contam (as internas cancelam-se aos pares de ação-reação): «F_exterior = dp_sistema/dt = M·a_cm». A forma «F = m·a» é o caso particular em que a massa é constante.
Integrando a força no tempo obtém-se o impulso: «I = F·Δt» (para força constante) ou a área sob o gráfico força-tempo (para força variável). O teorema do impulso afirma que o impulso da resultante é igual à variação do momento linear: «I = Δp = p_final − p_inicial» (ver Fig. 2). É um resultado muito útil em interações breves e intensas, como colisões e impactos.

Impulso como área do gráfico força-tempo

Impulso de uma forçaGráfico de F(t), máximo em (5, 80), ordenada na origem y = 0.044, no intervalo x de 0 a 1024681020406080100F(t)força (N)tempo (ms)
Fig. 2Fig. 2 — O impulso é a área sob o gráfico força-tempo e iguala a variação do momento linear (I = Δp).
Este teorema explica muitos dispositivos de segurança. Para uma dada variação de momento linear («Δp» fixo), prolongar o tempo da interação reduz a força média: «F = Δp/Δt». É o princípio do airbag, dos capacetes, dos colchões de saltos e das zonas deformáveis dos automóveis — todos aumentam «Δt» para diminuir a força sobre o corpo, um objetivo da própria segurança rodoviária estudada na disciplina.
p⃗=m v⃗\vec{p} = m\,\vec{v}p​=mv

Momento linear

Vetor com a direção e o sentido da velocidade; unidade kg·m/s = N·s.

F⃗resultante=dp⃗dt\vec{F}_{\text{resultante}} = \dfrac{d\vec{p}}{dt}Fresultante​=dtdp​​

Segunda lei com momento linear

Forma geral da segunda lei; para um sistema, só contam as forças exteriores.

I⃗=F⃗ Δt=Δp⃗\vec{I} = \vec{F}\,\Delta t = \Delta \vec{p}I=FΔt=Δp​

Teorema do impulso

O impulso da resultante é igual à variação do momento linear; para força variável, é a área sob o gráfico F–t.

Exemplo resolvido

Impulso e força média num ressalto

Uma bola de 0,50 kg embate numa parede a 8,0 m/s e ressalta a 6,0 m/s no sentido oposto, com contacto de 0,020 s. Determina o impulso e a força média.

  1. 01Escolher o sentido positivo

    Positivo o da velocidade inicial: v_inicial = +8,0 m/s; v_final = −6,0 m/s (ressalta).

  2. 02Variação do momento linear

    Δp = m·v_final − m·v_inicial = 0,50×(−6,0) − 0,50×(8,0) = −3,0 − 4,0 = −7,0 kg·m/s.

  3. 03Impulso

    I = Δp = −7,0 N·s (o sinal indica o sentido: para longe da parede).

  4. 04Força média

    F = |Δp|/Δt = 7,0 / 0,020 = 350 N.

    F=∣Δp∣ΔtF = \dfrac{|\Delta p|}{\Delta t}F=Δt∣Δp∣​

Resultado: Impulso de módulo 7,0 N·s e força média de 350 N sobre a bola.

Foco no Exame Nacional

  • Calcular o momento linear e aplicar o teorema do impulso I = Δp.
  • Explicar dispositivos de segurança (airbag, capacete) pela relação F = Δp/Δt (aumentar Δt reduz a força).

Erros frequentes

  • Tratar o momento linear como escalar, ignorando que muda de sinal quando o corpo inverte o sentido.
  • Confundir impulso (I = F·Δt, um vetor com unidade N·s) com trabalho (W = F·d, um escalar com unidade J).

Revisão ativa

Uma bola de 0,50 kg embate numa parede a 8,0 m/s e ressalta a 6,0 m/s no sentido oposto. O contacto dura 0,020 s. Determina o impulso e a intensidade da força média sobre a bola.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 03

Conservação do momento linear#

●●●AprofundamentoLPAE-fisica-12-mecanica-centro-massa-momento-linear

Pontos-chave

A Lei da Conservação do Momento Linear afirma que, num sistema isolado (resultante das forças exteriores nula), o momento linear total mantém-se constante: «p_inicial = p_final». Decorre diretamente da segunda lei na forma «F_exterior = dp/dt»: se «F_exterior = 0», então «dp/dt = 0» e «p» é constante. É uma das leis de conservação mais fundamentais da Física.
A sua raiz mais profunda está na terceira lei de Newton. Num par de partículas que interagem, as forças internas são iguais e opostas («F_12 = −F_21»), pelo que os impulsos internos se cancelam: o que uma partícula ganha em momento linear, a outra perde. Somando sobre todo o sistema, as forças internas anulam-se aos pares e só as exteriores podem alterar o momento total.
Um sistema pode não ser globalmente isolado e, ainda assim, conservar o momento linear numa direção em que a resultante exterior seja nula. Nas colisões e explosões, por exemplo, as forças exteriores (peso, atrito) são muitas vezes desprezáveis face às forças internas, enormes e breves — pelo que o momento linear se conserva com excelente aproximação durante o embate (ver Fig. 3).

Recuo: momentos iguais e opostos

Conservação do momento (p total = 0)Figura geométrica, espingarda, bala, p (recuo), p (bala)espingardabalax1x2p (recuo)p (bala)
Fig. 3Fig. 3 — Num recuo, o momento total permanece nulo: os dois momentos são iguais e de sentidos opostos.
O recuo é a aplicação mais direta. Um sistema inicialmente em repouso tem momento total nulo; se uma parte é projetada num sentido, a outra recua no sentido oposto de modo que a soma vetorial dos momentos continue nula. É o que se passa no disparo de uma arma, na propulsão de um foguete (que expele gases para trás) e no salto de um patinador que empurra um objeto — todos exemplos previstos pela conservação do momento linear.
F⃗exterior=0⃗  ⇒  p⃗inicial=p⃗final\vec{F}_{\text{exterior}} = \vec{0} \;\Rightarrow\; \vec{p}_{\text{inicial}} = \vec{p}_{\text{final}}Fexterior​=0⇒p​inicial​=p​final​

Conservação do momento linear

Num sistema isolado, o momento linear total mantém-se constante (soma vetorial).

∑imi v⃗i,inicial=∑imi v⃗i,final\sum_i m_i\,\vec{v}_{i,\text{inicial}} = \sum_i m_i\,\vec{v}_{i,\text{final}}i∑​mi​vi,inicial​=i∑​mi​vi,final​

Aplicação a um sistema de corpos

A soma dos momentos antes é igual à soma dos momentos depois da interação.

Exemplo resolvido

Velocidade de recuo de uma espingarda

Uma espingarda de 4,0 kg dispara uma bala de 0,020 kg a 400 m/s. Determina a velocidade de recuo da espingarda (sistema isolado).

  1. 01Momento inicial

    O sistema parte do repouso: p_inicial = 0.

  2. 02Conservação

    0 = m_bala·v_bala + M·V ⇒ 0 = 0,020×400 + 4,0×V.

    0=mbalavbala+MV0 = m_{\text{bala}}v_{\text{bala}} + M V0=mbala​vbala​+MV
  3. 03Resolver

    4,0×V = −8,0 ⇒ V = −2,0 m/s.

Resultado: A espingarda recua a 2,0 m/s, no sentido oposto ao da bala.

Foco no Exame Nacional

  • Justificar a conservação do momento linear a partir da terceira lei de Newton (impulsos internos cancelam-se).
  • Aplicar p_inicial = p_final a recuos, explosões e propulsão.

Erros frequentes

  • Aplicar a conservação a um sistema em que há forças exteriores não desprezáveis na direção considerada.
  • Esquecer o caráter vetorial: momentos em sentidos opostos subtraem-se (têm sinais contrários).

Revisão ativa

Uma espingarda de 4,0 kg dispara uma bala de 0,020 kg a 400 m/s. Determina a velocidade de recuo da espingarda, supondo o sistema isolado.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

§ 04

Colisões a uma dimensão: elásticas e inelásticas#

●●●AprofundamentoLPAE-fisica-12-mecanica-centro-massa-momento-linear

Pontos-chave

Numa colisão, o momento linear total conserva-se sempre (as forças exteriores são desprezáveis face às do embate). O que distingue os tipos de colisão é o que acontece à energia cinética. Numa colisão elástica, a energia cinética total também se conserva; numa colisão inelástica, parte da energia cinética converte-se noutras formas (deformação, calor, som), pelo que a energia cinética final é menor (ver Fig. 4).

Comparação de colisões a uma dimensão

Colisões a uma dimensãoTabela com 4 colunas e 3 linhas, Dados: Tipo de colisão · Momento linear · Energia cinética · Após a colisão; Elástica · Conserva-se · Conserva-se · Os corpos separam-se; Inelástica · Conserva-se · Diminui · Os corpos separam-se; Perfeitamente inelástica · Conserva-se · Diminui ao máximo · Os corpos seguem unidosTIPO DE COLISÃOMOMENTO LINEARENERGIA CINÉTICAAPÓS A COLISÃOElásticaConserva-seConserva-seOs corpos separam-seInelásticaConserva-seDiminuiOs corpos separam-sePerfeitamente inelásticaConserva-seDiminui ao máximoOs corpos seguem unidos
Fig. 4Fig. 4 — Em qualquer colisão o momento linear conserva-se; a energia cinética distingue os tipos.
A colisão perfeitamente inelástica é o caso-limite em que os corpos ficam unidos após o embate, movendo-se com uma velocidade comum «v». Da conservação do momento linear obtém-se logo «v = (m_1·v_1 + m_2·v_2)/(m_1 + m_2)». É neste tipo que a perda de energia cinética é máxima — embora nunca total, pois o CM continua a mover-se e transporta energia cinética.
Numa colisão elástica a uma dimensão dispomos de duas equações — conservação do momento linear e conservação da energia cinética — que permitem determinar as duas velocidades finais. Um caso notável: se as massas forem iguais, os corpos «trocam» de velocidade. Se um corpo muito leve embate num muito pesado em repouso, ressalta praticamente com a mesma rapidez, no sentido contrário.
A estratégia de resolução é sempre a mesma: escrever a conservação do momento linear (respeitando os sinais das velocidades) e, se a colisão for elástica, juntar a conservação da energia cinética. A variação de energia cinética, «ΔE_c = E_c,final − E_c,inicial», mede a energia « dissipada » na colisão — a análise energética que se realiza também na atividade laboratorial de colisões.
m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2fm_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}m1​v1i​+m2​v2i​=m1​v1f​+m2​v2f​

Conservação do momento linear (1D)

Vale em qualquer colisão; os sinais das velocidades indicam o sentido.

v=m1v1+m2v2m1+m2v = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}v=m1​+m2​m1​v1​+m2​v2​​

Colisão perfeitamente inelástica

Os corpos seguem unidos com a velocidade do centro de massa; perda de energia cinética máxima.

Exemplo resolvido

Colisão perfeitamente inelástica

Um carrinho de 2,0 kg a 3,0 m/s embate e fica unido a um de 1,0 kg em repouso. Determina a velocidade comum e a energia cinética dissipada.

  1. 01Conservação do momento linear

    2,0×3,0 + 1,0×0 = (2,0 + 1,0)×v ⇒ 6,0 = 3,0×v.

  2. 02Velocidade comum

    v = 6,0 / 3,0 = 2,0 m/s.

  3. 03Energia cinética inicial

    E_c,i = ½×2,0×3,0² = ½×2,0×9,0 = 9,0 J.

  4. 04Energia cinética final e perda

    E_c,f = ½×3,0×2,0² = ½×3,0×4,0 = 6,0 J; ΔE_c = 6,0 − 9,0 = −3,0 J.

Resultado: Velocidade comum de 2,0 m/s; dissipam-se 3,0 J de energia cinética na colisão.

Foco no Exame Nacional

  • Aplicar a conservação do momento linear a colisões a uma dimensão, com atenção aos sinais.
  • Distinguir colisões elásticas de inelásticas pela conservação (ou não) da energia cinética e calcular a energia dissipada.

Erros frequentes

  • Aplicar conservação da energia cinética a uma colisão inelástica (só o momento linear se conserva).
  • Somar velocidades como escalares sem lhes atribuir o sinal correto conforme o sentido.

Revisão ativa

Um carrinho de 2,0 kg a 3,0 m/s embate e fica unido a um carrinho de 1,0 kg em repouso. Determina a velocidade comum após a colisão e a energia cinética dissipada.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Conteúdo

Secção -- / 04

    • 01Centro de massa de um sistema de partículas◐
    • 02Momento linear, impulso e a segunda lei para um sistema◐
    • 03Conservação do momento linear●
    • 04Colisões a uma dimensão: elásticas e inelásticas●

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Centro de massa e momento linear de sistemas de partículas

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Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

  • Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE)

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