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Cinemática e dinâmica da partícula a duas dimensões

Descreve-se o movimento a duas dimensões com os vetores posição, velocidade e aceleração e as respetivas equações paramétricas, decompõe-se a aceleração nas componentes tangencial e normal (referencial de Frenet), estuda-se o movimento de projéteis como composição de dois movimentos e aplica-se a segunda lei de Newton na forma vetorial ao movimento circular e a corpos com ligações. Disciplina de opção do 12.º ano, sem Exame Nacional: aprofunda a cinemática e a dinâmica de Física e Química A e é avaliada internamente.

4 secções~15 min de leitura4 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 3

T·0111 / 8

Perfil de exame

Descrever o movimento a duas dimensões com os vetores posição, velocidade e aceleração e equações paramétricasDecompor a aceleração nas componentes tangencial e normal e determiná-las analiticamenteResolver o movimento de projéteis compondo um MRU e um MRUA independentesAplicar a segunda lei de Newton na forma vetorial ao movimento circular e a corpos com ligações

Operadores:interpretadecompõecalculaaplicajustificarelacionaanalisa

nível básico

Interpretar os vetores posição, velocidade e aceleração a duas dimensões e resolver lançamentos horizontais.

nível avançado

Decompor a aceleração em componentes tangencial e normal, resolver lançamentos oblíquos e aplicar a segunda lei ao movimento circular e a corpos com ligações.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Cinemática e dinâmica da partícula a duas dimensões

Vetores posição, velocidade e aceleração a duas dimensões#

PadrãoAE-fisica-12-mecanica-cinematica-dinamica-2d

Num movimento a duas dimensões, a posição de uma partícula é dada pelo vetor posição «r», que liga a origem do referencial ao ponto onde a partícula se encontra. Em coordenadas cartesianas escreve-se «r = x·e_x + y·e_y», onde «x» e «y» são as equações paramétricas do movimento (as coordenadas em função do tempo). Conhecer «x(t)» e «y(t)» é conhecer completamente o movimento: a trajetória obtém-se eliminando o tempo entre as duas equações (ver Fig. 1).

Vetor posição e velocidade tangente à trajetória

Fig. 1Fig. 1 — O vetor posição r localiza a partícula; a velocidade v é sempre tangente à trajetória.

A velocidade é a taxa de variação temporal do vetor posição: «v = dr/dt». As suas componentes são as derivadas das coordenadas, «v_x = dx/dt» e «v_y = dy/dt». O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória e aponta no sentido do movimento; o seu módulo, «v = raiz(v_x² + v_y²)», é a rapidez. Entre dois instantes, a velocidade média é o quociente entre o deslocamento «Δr» e o intervalo de tempo, «v_média = Δr/Δt» — um vetor com a direção e o sentido do deslocamento.

A aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade: «a = dv/dt», com componentes «a_x = dv_x/dt» e «a_y = dv_y/dt». Ao contrário do movimento a uma dimensão, a aceleração a duas dimensões pode existir mesmo quando o módulo da velocidade é constante — basta que a direção da velocidade mude (como no movimento circular). Por isso, o vetor aceleração raramente é tangente à trajetória: aponta, em geral, para o «interior» da curva.

O método é sempre o mesmo: das equações paramétricas «x(t)» e «y(t)» obtêm-se, por derivação, as componentes da velocidade e depois da aceleração; da composição das componentes obtêm-se os módulos e as direções. É crucial trabalhar componente a componente e só no fim compor os vetores — nunca somar módulos de vetores com direções diferentes. A Fig. 1 mostra o vetor posição e a velocidade tangente à trajetória num dado instante.

\vec{r} = x\,\vec{e}_x + y\,\vec{e}_y

Vetor posição

x(t) e y(t) são as equações paramétricas do movimento; a trajetória obtém-se eliminando o tempo.

\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt}, \qquad \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}

Velocidade e aceleração

A velocidade é a derivada da posição e a aceleração a derivada da velocidade; deriva-se cada componente separadamente.

v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}

Módulo da velocidade

Compõem-se as componentes pela regra do paralelogramo (teorema de Pitágoras quando são perpendiculares).

Exemplo resolvido

Velocidade e aceleração a partir das equações paramétricas

Uma partícula move-se no plano com x(t) = 4t e y(t) = 3t − t² (SI). Determina os vetores velocidade e aceleração em t = 1 s e os respetivos módulos.

Derivar a posição
v_x = dx/dt = 4 m/s (constante); v_y = dy/dt = 3 − 2t.
Velocidade em t = 1 s
v_y = 3 − 2×1 = 1 m/s, logo v = (4; 1) m/s e v = raiz(4² + 1²) = raiz(17) ≈ 4,1 m/s.
Derivar a velocidade
a_x = dv_x/dt = 0; a_y = dv_y/dt = −2 m/s². A aceleração é a = (0; −2) m/s², constante.
$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$
Módulo da aceleração
a = raiz(0² + (−2)²) = 2 m/s².

Resultado: Em t = 1 s: v = (4; 1) m/s (v ≈ 4,1 m/s) e a = (0; −2) m/s² (a = 2 m/s²).

Erros frequentes

Somar módulos de vetores com direções diferentes em vez de os compor componente a componente.
Supor que, se o módulo da velocidade é constante, a aceleração é nula (a direção da velocidade pode estar a mudar).

Revisão ativa

Uma partícula move-se no plano com x(t) = 4t e y(t) = 3t − t² (SI). Determina os vetores velocidade e aceleração no instante t = 1 s e os seus módulos.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Componentes tangencial e normal da aceleração#

AprofundamentoAE-fisica-12-mecanica-cinematica-dinamica-2d

Como o vetor aceleração aponta, em geral, para o interior da curva, é útil decompô-lo segundo duas direções ligadas à própria trajetória: a direção tangente (a da velocidade) e a direção normal (perpendicular, dirigida para o centro de curvatura). Este par de eixos móveis é o referencial de Frenet. Assim, «a = a_t + a_n», sendo estas duas componentes sempre perpendiculares entre si (ver Fig. 2).

Decomposição da aceleração em componentes tangencial e normal

Fig. 2Fig. 2 — Em P, a aceleração decompõe-se em a_t (tangente, muda a rapidez) e a_n (para o centro, muda a direção).

A componente tangencial «a_t = dv/dt» mede a variação do módulo da velocidade: é responsável por o movimento acelerar ou travar. Quando o módulo da velocidade é constante, «a_t = 0». O seu sinal indica o sentido: positiva (mesmo sentido de v) num movimento acelerado, negativa num movimento retardado. É esta a componente que existe num movimento retilíneo variado.

A componente normal (ou centrípeta) «a_n = v²/r» mede a variação da direção da velocidade, sendo «r» o raio de curvatura da trajetória nesse ponto. Aponta sempre para o centro de curvatura e é tanto maior quanto maior a rapidez e menor o raio. Num movimento retilíneo, o raio é infinito e «a_n = 0»; num movimento curvo, «a_n» nunca é nula, mesmo que a rapidez seja constante.

O módulo da aceleração total obtém-se compondo as duas componentes perpendiculares: «a = raiz(a_t² + a_n²)». Esta decomposição é poderosa porque separa dois efeitos independentes — «mudar de rapidez» (tangencial) e «mudar de direção» (normal). No movimento circular uniforme, por exemplo, «a_t = 0» e «a = a_n = v²/r»; num movimento circular acelerado, existem ambas.

\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n

Decomposição de Frenet

A aceleração decompõe-se numa componente tangente (variação da rapidez) e numa componente normal (variação da direção).

a_t = \dfrac{dv}{dt}, \qquad a_n = \dfrac{v^{2}}{r}

Componentes tangencial e normal

a_t mede a variação do módulo da velocidade; a_n mede a variação da direção, com r o raio de curvatura.

a = \sqrt{a_t^{2} + a_n^{2}}

Módulo da aceleração total

As duas componentes são perpendiculares, pelo que se compõem pelo teorema de Pitágoras.

Exemplo resolvido

Componentes da aceleração numa curva

Um automóvel percorre uma curva de raio 50 m com rapidez de 20 m/s, aumentando a rapidez à taxa de 3,0 m/s². Determina a_t, a_n e o módulo da aceleração.

Componente tangencial
a_t = dv/dt = 3,0 m/s² (o módulo da velocidade está a aumentar).
Componente normal
a_n = v²/r = 20² / 50 = 400/50 = 8,0 m/s² (dirigida para o centro da curva).
Módulo da aceleração
a = raiz(a_t² + a_n²) = raiz(3,0² + 8,0²) = raiz(9 + 64) = raiz(73).
$a = \sqrt{a_t^{2} + a_n^{2}}$
Calcular
a ≈ 8,5 m/s².

Resultado: a_t = 3,0 m/s², a_n = 8,0 m/s² e a ≈ 8,5 m/s².

Erros frequentes

Trocar as componentes: usar v²/r para a tangencial (é a normal) ou dv/dt para a normal (é a tangencial).
Julgar que a aceleração é nula num movimento circular uniforme (a_t é nula, mas a_n = v²/r não).

Revisão ativa

Um automóvel percorre uma curva de raio 50 m com rapidez de 20 m/s, aumentando a rapidez à taxa de 3,0 m/s². Determina as componentes tangencial e normal da aceleração e o módulo da aceleração.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Movimento de projéteis#

AprofundamentoAE-fisica-12-mecanica-cinematica-dinamica-2d

Um projétil é um corpo lançado que se move apenas sob a ação do peso (desprezando a resistência do ar). A resultante das forças é constante (o peso) e tem, em geral, direção diferente da velocidade inicial — daí a trajetória curva. A chave para resolver estes problemas é o princípio da independência dos movimentos: o movimento horizontal e o movimento vertical processam-se em simultâneo mas de forma independente, partilhando apenas o tempo.

Na horizontal não há força (nem aceleração): o movimento é uniforme, «x = x_0 + v_{0x}·t». Na vertical atua o peso, com aceleração «g» dirigida para baixo: o movimento é uniformemente variado, «y = y_0 + v_{0y}·t − ½·g·t²» e «v_y = v_{0y} − g·t». Combinando as duas, a trajetória é uma parábola (ver Fig. 3). No lançamento horizontal, «v_{0y} = 0»; no lançamento oblíquo, decompõe-se a velocidade inicial: «v_{0x} = v_0·cos θ» e «v_{0y} = v_0·\operatorname{sen}θ».

Trajetória parabólica de um lançamento horizontal

Fig. 3Fig. 3 — Lançamento horizontal (v₀ = 15 m/s, h = 20 m): a trajetória é uma parábola; o alcance é 30 m.

O tempo de voo determina-se pela condição vertical (por exemplo, «y = 0» no solo); com esse tempo calcula-se o alcance horizontal «A = v_{0x}·t». No lançamento horizontal a partir de uma altura «h», o tempo de queda «t = raiz(2h/g)» é o mesmo que teria em queda livre — a velocidade horizontal não altera o tempo de queda, um resultado contraintuitivo mas central. A velocidade em cada instante compõe-se das componentes: «v = raiz(v_x² + v_y²)».

Vale a pena reconhecer as simetrias do lançamento oblíquo (num terreno plano): a altura máxima ocorre quando «v_y = 0»; o tempo de subida é igual ao de descida; o alcance é máximo para «θ = 45°». Este é, aliás, o conteúdo da atividade laboratorial « Lançamento horizontal », em que se estuda a relação entre o alcance e a velocidade inicial de um projétil lançado horizontalmente (ver o tópico das Atividades laboratoriais).

x = x_0 + v_{0x}\,t

Movimento horizontal (MRU)

Sem força horizontal, a velocidade horizontal mantém-se constante.

y = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}, \qquad v_y = v_{0y} - g\,t

Movimento vertical (MRUA)

Na vertical atua o peso; a aceleração é g, dirigida para baixo.

v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\operatorname{sen}\theta

Decomposição da velocidade inicial (lançamento oblíquo)

θ é o ângulo de lançamento com a horizontal; no lançamento horizontal v₀ᵧ = 0.

Exemplo resolvido

Lançamento horizontal completo

Uma bola é lançada horizontalmente com v₀ = 15 m/s do topo de uma mesa a 20 m de altura (g = 10 m/s²). Determina o tempo de queda, o alcance e a velocidade de impacto.

Tempo de queda (vertical)
De h = ½·g·t²: t = raiz(2h/g) = raiz(2×20/10) = raiz(4) = 2,0 s.
$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
Alcance (horizontal)
A = v₀·t = 15 × 2,0 = 30 m.
Velocidade de impacto
v_x = 15 m/s; v_y = g·t = 10 × 2,0 = 20 m/s.
Compor a velocidade
v = raiz(v_x² + v_y²) = raiz(15² + 20²) = raiz(225 + 400) = raiz(625) = 25 m/s.

Resultado: Tempo de queda 2,0 s; alcance 30 m; velocidade de impacto 25 m/s.

Erros frequentes

Pensar que a velocidade horizontal influencia o tempo de queda (é a queda vertical que o fixa).
Trocar seno e cosseno ao decompor a velocidade inicial de um lançamento oblíquo.

Revisão ativa

Uma bola é lançada horizontalmente com v₀ = 15 m/s do topo de uma mesa a 20 m de altura (g = 10 m/s²). Determina o tempo de queda, o alcance e a velocidade com que atinge o solo.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Segunda lei de Newton a duas dimensões, movimento circular e corpos com ligações#

AprofundamentoAE-fisica-12-mecanica-cinematica-dinamica-2d

A segunda lei de Newton é uma lei vetorial: «F_resultante = m·a». A duas dimensões, aplica-se componente a componente e, muitas vezes, é vantajoso projetá-la nas direções tangencial e normal: «F_t = m·a_t» (variação da rapidez) e «F_n = m·a_n = m·v²/r» (variação da direção). A escolha do referencial — fixo ou ligado à partícula (Frenet) — deve simplificar a resolução, mas o resultado físico é o mesmo.

No movimento circular, a resultante das forças na direção normal é a força centrípeta, «F_c = m·v²/r», sempre dirigida para o centro. Não é uma força «nova»: é o nome da resultante que aponta para o centro, desempenhada por forças reais (a tensão de um fio, o atrito entre os pneus e a estrada, a força gravítica sobre um planeta, a componente da normal numa curva com relevé). Sem essa resultante, o corpo seguiria em linha reta, por inércia (ver Fig. 4).

Forças sobre um automóvel numa curva plana

Fig. 4Fig. 4 — Numa curva plana, o atrito faz de força centrípeta (a resultante aponta para o centro).

No movimento circular uniforme, existe apenas «F_n» (o módulo da velocidade é constante, logo «F_t = 0»); no movimento circular acelerado, existem ambas as componentes. Muitos exemplos do dia a dia analisam-se assim: a força de atrito que permite descrever uma curva («μ·m·g ≥ m·v²/r»), o relevé (sobreelevação) das estradas e pistas, a montanha-russa, a roda gigante e a segurança rodoviária. Em todos, identifica-se a força real que faz de centrípeta.

Em sistemas de corpos com ligações (blocos ligados por fios, corpos sobre planos, sistemas com roldanas), a estratégia é sistemática: isolar cada corpo, desenhar o respetivo diagrama de corpo livre, escrever a segunda lei em cada direção e resolver o sistema de equações. As considerações energéticas (teorema da energia cinética, conservação da energia mecânica) são muitas vezes um caminho alternativo mais rápido, sobretudo quando não interessam os pormenores do tempo.

\vec{F}_{\text{resultante}} = m\,\vec{a}

Segunda lei (forma vetorial)

Aplica-se componente a componente; nas direções de Frenet dá F_t = m·a_t e F_n = m·a_n.

F_c = m\,\dfrac{v^{2}}{r}

Força centrípeta

É a resultante na direção normal, dirigida para o centro; desempenhada por uma força real (tensão, atrito, gravidade…).

Exemplo resolvido

Força centrípeta e atrito numa curva

Um automóvel de 1200 kg descreve uma curva plana de raio 50 m a 20 m/s. Determina a força centrípeta e o coeficiente de atrito mínimo (g = 10 m/s²).

Força centrípeta
F_c = m·v²/r = 1200 × 20² / 50 = 1200 × 400/50 = 1200 × 8,0 = 9600 N.
Quem faz de centrípeta
Numa curva plana é a força de atrito: F_atrito = F_c. No limite, F_atrito = μ·N = μ·m·g.
Coeficiente de atrito mínimo
μ·m·g = m·v²/r ⇒ μ = v²/(r·g) = 400 / (50 × 10) = 0,80.
$\mu_{\min} = \dfrac{v^{2}}{r\,g}$

Resultado: F_c = 9600 N; o coeficiente de atrito tem de ser, no mínimo, 0,80 para o automóvel não derrapar.

Erros frequentes

Tratar a força centrípeta como uma força adicional a somar às reais (é a resultante dirigida para o centro).
Inventar uma « força centrífuga » sobre o corpo num referencial fixo (não é uma força real; resulta da inércia).

Revisão ativa

Um automóvel de 1200 kg descreve uma curva plana de raio 50 m a 20 m/s. Determina a intensidade da força centrípeta e o coeficiente de atrito mínimo necessário (g = 10 m/s²).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE)

Cinemática e dinâmica da partícula a duas dimensões

4 secções~15 min de leitura4 competênciasNível Padrão 1 · Aprofundamento 3

Cinemática e dinâmica da partícula a duas dimensões

Pontos-chave

Velocidade e aceleração a partir das equações paramétricas

Pontos-chave

Componentes da aceleração numa curva

Pontos-chave

Lançamento horizontal completo

Pontos-chave

Força centrípeta e atrito numa curva

Fontes

Cinemática e dinâmica da partícula a duas dimensões

Pontos-chave

Velocidade e aceleração a partir das equações paramétricas

Pontos-chave

Componentes da aceleração numa curva

Pontos-chave

Lançamento horizontal completo

Pontos-chave

Força centrípeta e atrito numa curva

Fontes