Resumos · FísicaPT · Secundário

Campo gravítico e campo elétrico

Introduz-se o conceito de campo de forças para descrever as interações à distância: o campo gravítico criado por massas (Lei da Gravitação Universal, Leis de Kepler, velocidade de escape) e o campo elétrico criado por cargas (Lei de Coulomb, campo e potencial elétrico), sublinhando a analogia formal entre ambos e o movimento de cargas num campo uniforme. Disciplina de opção do 12.º ano, sem Exame Nacional: inclui a atividade laboratorial do campo elétrico entre placas e é avaliada internamente.

4 secções~14 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

T·0444 / 8

Perfil de exame

Caracterizar o campo gravítico e aplicar a Lei da Gravitação Universal e as Leis de KeplerDeterminar a velocidade de escape por conservação da energia mecânicaAplicar a Lei de Coulomb e caracterizar o campo elétrico de uma carga pontualRelacionar potencial elétrico e campo uniforme e caracterizar o movimento de cargas

Operadores:interpretacaracterizaaplicacalcularelacionajustificacompara

nível básico

Aplicar a Lei da Gravitação Universal e a Lei de Coulomb e caracterizar os campos por linhas de campo.

nível avançado

Determinar a velocidade de escape por energia e analisar o movimento de cargas num campo elétrico uniforme.

Profundidade

Texto

Conteúdo · 4 secções

Campo gravítico e campo elétrico

Lei da Gravitação Universal e Leis de Kepler#

PadrãoAE-fisica-12-campos-gravitico-eletrico

A Lei da Gravitação Universal de Newton afirma que duas massas pontuais «m_1» e «m_2», separadas por uma distância «r», se atraem com uma força de intensidade «F = G·m_1·m_2/r²», dirigida ao longo da reta que as une (ver Fig. 1). A constante de gravitação universal é «G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²». As duas forças do par formam um par ação-reação: iguais em intensidade e opostas em sentido, atuando em corpos diferentes.

Força gravítica entre duas massas

Fig. 1Fig. 1 — A gravitação é sempre atrativa: as forças sobre M₁ e M₂ são iguais e opostas, ao longo da reta que as une.

A dependência «1/r²» (lei do inverso do quadrado) é característica das interações de campo criadas por fontes pontuais: duplicar a distância reduz a força a um quarto. Esta lei é universal — rege desde a queda de uma maçã até ao movimento dos planetas — e foi o grande triunfo da síntese newtoniana, ao mostrar que os céus e a Terra obedecem às mesmas leis.

Historicamente, a lei de Newton explicou as três Leis de Kepler, deduzidas da observação: (1.ª) os planetas descrevem elipses com o Sol num dos focos; (2.ª) o raio-vetor Sol-planeta varre áreas iguais em tempos iguais (o planeta é mais rápido no periélio); (3.ª) o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do semieixo maior, «T² ∝ r³». A terceira lei decorre diretamente de igualar a força gravítica à força centrípeta numa órbita circular.

Essa igualdade — «G·M·m/r² = m·v²/r» — é a chave de muitos problemas orbitais: permite relacionar o raio, o período e a velocidade de satélites e planetas, e até «pesar» corpos celestes. Conhecidos o período e o raio da órbita da Lua, por exemplo, obtém-se a massa da Terra; é assim que se determinam as massas do Sol e dos planetas.

F = G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^{2}}

Lei da Gravitação Universal

Força atrativa entre duas massas, ao longo da reta que as une; G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².

\dfrac{T^{2}}{r^{3}} = \dfrac{4\pi^{2}}{G\,M}

3.ª Lei de Kepler (órbita circular)

Obtém-se igualando a força gravítica à centrípeta; T² é proporcional a r³.

Exemplo resolvido

Massa da Terra a partir da órbita da Lua

A Lua orbita a Terra com período 27,3 dias a um raio de 3,84 × 10⁸ m. Estima a massa da Terra (G = 6,67 × 10⁻¹¹ SI).

Igualar gravítica e centrípeta
G·M·m/r² = m·v²/r, com v = 2πr/T, dá M = 4π²·r³/(G·T²).
$M = \dfrac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,T^{2}}$
Converter o período
T = 27,3 × 86 400 ≈ 2,36 × 10⁶ s, logo T² ≈ 5,57 × 10¹² s².
Calcular r³
r³ = (3,84 × 10⁸)³ ≈ 5,66 × 10²⁵ m³.
Substituir
M = (4π² × 5,66 × 10²⁵)/(6,67 × 10⁻¹¹ × 5,57 × 10¹²) ≈ 6,0 × 10²⁴ kg.

Resultado: A massa da Terra é cerca de 6,0 × 10²⁴ kg — o valor conhecido, obtido só a partir da órbita da Lua.

Erros frequentes

Esquecer que a distância entra ao quadrado (duplicar r divide a força por 4, não por 2).
Pensar que a força sobre a massa maior é maior (o par ação-reação tem forças de igual intensidade).

Revisão ativa

A Lua orbita a Terra com período 27,3 dias a um raio de 3,84 × 10⁸ m. Estima a massa da Terra igualando a força gravítica à força centrípeta (G = 6,67 × 10⁻¹¹ SI).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Campo gravítico, energia e velocidade de escape#

AprofundamentoAE-fisica-12-campos-gravitico-eletrico

O campo gravítico traduz a ideia de que uma massa modifica o espaço à sua volta, exercendo força sobre qualquer outra massa aí colocada. Define-se como a força por unidade de massa: «g = F/m». Para uma massa pontual (ou esférica) «M», o campo à distância «r» é «g = G·M/r²», dirigido para «M». À superfície de um planeta, é este campo que dá a aceleração gravítica (na Terra, «g ≈ 9,8 m/s²»).

O campo representa-se por linhas de campo: para uma massa isolada, são radiais e dirigidas para a massa (o campo é atrativo — ver Fig. 2). A densidade das linhas indica a intensidade do campo: mais juntas junto da massa (campo forte), mais afastadas longe dela (campo fraco), traduzindo a lei «1/r²». O campo é uma grandeza vetorial; num ponto sujeito a vários corpos, soma-se vetorialmente.

Linhas do campo gravítico de uma massa

Fig. 2Fig. 2 — O campo gravítico de uma massa é radial e dirigido para ela; a intensidade decresce com 1/r².

A energia potencial gravítica de um sistema de duas massas é «E_p = −G·M·m/r» (negativa, tendendo para zero no infinito). A energia mecânica total, «E_m = E_c + E_p», conserva-se na ausência de forças dissipativas. Esta conservação resolve problemas de órbitas e de lançamento: por exemplo, um corpo em órbita fechada tem energia mecânica negativa; para escapar, precisa de energia mecânica nula ou positiva.

A velocidade de escape é a velocidade mínima de lançamento à superfície para um corpo se libertar do campo gravítico (chegar ao infinito com velocidade nula). Impondo «E_m = 0», ou seja «½·m·v² = G·M·m/R», obtém-se «v_escape = raiz(2·G·M/R)», independente da massa do corpo lançado. É por isso que os planetas pequenos e quentes (baixa velocidade de escape) não retêm atmosfera, enquanto os grandes a conservam.

\vec{g} = \dfrac{\vec{F}}{m} = G\,\dfrac{M}{r^{2}}

Campo gravítico de uma massa pontual

Força por unidade de massa, dirigida para a massa M; à superfície da Terra vale ≈ 9,8 N/kg.

E_p = -\,G\,\dfrac{M\,m}{r}

Energia potencial gravítica

Negativa, tende para zero no infinito; a energia mecânica E_m = E_c + E_p conserva-se.

v_{\text{escape}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}

Velocidade de escape

Obtém-se de E_m = 0; não depende da massa do corpo lançado.

Exemplo resolvido

Velocidade de escape da Terra

Determina a velocidade de escape à superfície da Terra (M = 5,97 × 10²⁴ kg, R = 6,37 × 10⁶ m, G = 6,67 × 10⁻¹¹ SI).

Partir da conservação de energia
No limiar do escape, E_m = 0: ½·m·v² = G·M·m/R, logo v = raiz(2GM/R).
Calcular o numerador
2·G·M = 2 × 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ ≈ 7,96 × 10¹⁴.
Dividir por R
2GM/R = 7,96 × 10¹⁴ / 6,37 × 10⁶ ≈ 1,25 × 10⁸ m²/s².
Raiz quadrada
v = raiz(1,25 × 10⁸) ≈ 1,12 × 10⁴ m/s.
$v_{\text{escape}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

Resultado: A velocidade de escape da Terra é cerca de 11,2 km/s, independente da massa do corpo lançado.

Erros frequentes

Fazer a energia potencial gravítica positiva ou esquecer o sinal negativo (E_p = −G·M·m/r).
Julgar que a velocidade de escape depende da massa do corpo lançado (não depende: a massa cancela-se).

Revisão ativa

Determina a velocidade de escape à superfície da Terra (M = 5,97 × 10²⁴ kg, R = 6,37 × 10⁶ m, G = 6,67 × 10⁻¹¹ SI).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Lei de Coulomb e campo elétrico; analogia com o campo gravítico#

PadrãoAE-fisica-12-campos-gravitico-eletrico

A Lei de Coulomb dá a força entre duas cargas pontuais «q_1» e «q_2» separadas por «r»: «F = k·|q_1·q_2|/r²», com a constante «k = 9,0 × 10⁹ N·m²/C²». A força atua ao longo da reta que une as cargas: é atrativa entre cargas de sinais contrários e repulsiva entre cargas do mesmo sinal. Tal como a gravitação, obedece à lei do inverso do quadrado da distância.

O campo elétrico exprime a força por unidade de carga de prova: «E = F/q». Para uma carga pontual «Q», o módulo do campo à distância «r» é «E = k·|Q|/r²». O campo é vetorial: aponta para fora de uma carga positiva e para dentro de uma carga negativa. Representa-se por linhas de campo que « saem » das cargas positivas e « entram » nas negativas, com densidade proporcional à intensidade.

A analogia entre o campo gravítico e o campo elétrico é notável e muito útil (ver Fig. 3): ambos decrescem com «1/r²», ambos definem energia potencial e potencial, e as expressões têm a mesma forma («G·M·m/r²» ↔ «k·q_1·q_2/r²»). Há, porém, duas diferenças essenciais: a gravitação é sempre atrativa e envolve a massa (sempre positiva), ao passo que a interação elétrica pode ser atrativa ou repulsiva, porque há cargas de dois sinais.

Analogia entre o campo gravítico e o campo elétrico

Fig. 3Fig. 3 — Analogia formal gravítico–elétrico: mesma estrutura 1/r²; difere no sinal e na intensidade.

Uma segunda diferença é de escala: a força elétrica é imensamente mais intensa do que a gravítica entre as mesmas partículas (entre um protão e um eletrão, cerca de 10³⁹ vezes maior). Por isso a gravidade domina à escala astronómica (grandes massas neutras), enquanto as forças elétricas dominam à escala atómica e molecular, mantendo a matéria coesa.

F = k\,\dfrac{|q_1\,q_2|}{r^{2}}

Lei de Coulomb

Força entre cargas; atrativa (sinais opostos) ou repulsiva (mesmo sinal); k = 9,0 × 10⁹ N·m²/C².

\vec{E} = \dfrac{\vec{F}}{q} = k\,\dfrac{|Q|}{r^{2}}

Campo elétrico de uma carga pontual

Força por unidade de carga de prova; aponta para fora de Q positiva, para dentro de Q negativa.

Exemplo resolvido

Força de Coulomb entre duas cargas

Duas cargas de +2,0 μC estão a 3,0 cm uma da outra. Determina a intensidade da força elétrica (k = 9,0 × 10⁹ SI).

Converter unidades
q = 2,0 μC = 2,0 × 10⁻⁶ C; r = 3,0 cm = 3,0 × 10⁻² m.
Aplicar a Lei de Coulomb
F = k·|q₁q₂|/r² = 9,0 × 10⁹ × (2,0 × 10⁻⁶)² / (3,0 × 10⁻²)².
$F = k\,\dfrac{q^{2}}{r^{2}}$
Calcular
F = 9,0 × 10⁹ × 4,0 × 10⁻¹² / 9,0 × 10⁻⁴ = 40 N.

Resultado: A força é de 40 N, repulsiva (as cargas têm o mesmo sinal).

Erros frequentes

Esquecer o sinal/sentido: o módulo dá a intensidade, mas o sentido depende dos sinais das cargas.
Confundir a constante k de Coulomb com a constante G da gravitação (grandezas e valores muito diferentes).

Revisão ativa

Duas cargas de +2,0 μC estão a 3,0 cm uma da outra. Determina a intensidade da força elétrica entre elas (k = 9,0 × 10⁹ SI).

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Potencial elétrico e movimento de cargas num campo uniforme#

AprofundamentoAE-fisica-12-campos-gravitico-eletrico

A energia potencial elétrica de uma carga num campo, e o potencial elétrico «V» (energia potencial por unidade de carga), descrevem energeticamente a interação. O trabalho da força elétrica ao deslocar uma carga «q» entre dois pontos com diferença de potencial «U» é «W = q·U». O potencial mede-se em volt (1 V = 1 J/C). As superfícies em que o potencial é constante — superfícies equipotenciais — são sempre perpendiculares às linhas de campo.

Entre duas placas planas e paralelas com cargas opostas, o campo elétrico é uniforme (mesma intensidade e direção em todos os pontos): as linhas de campo são retas paralelas, da placa positiva para a negativa (ver Fig. 4). A intensidade relaciona-se com a diferença de potencial e a distância entre as placas por «E = U/d». As superfícies equipotenciais são planos paralelos às placas — precisamente o que se estuda na atividade laboratorial do campo elétrico entre placas.

Campo elétrico uniforme entre placas paralelas

Fig. 4Fig. 4 — Entre placas paralelas o campo é uniforme; E = U/d e as equipotenciais são paralelas às placas.

Uma carga «q» colocada nesse campo fica sujeita a uma força constante «F = q·E». O seu movimento é, por isso, análogo ao de um projétil no campo gravítico: se a carga entra perpendicularmente ao campo, descreve uma trajetória parabólica (movimento uniforme na direção da entrada, uniformemente acelerado na direção do campo). É este o princípio da deflexão de feixes em osciloscópios e em tubos de raios catódicos.

Se, em vez disso, uma carga é acelerada de uma placa à outra a partir do repouso, todo o trabalho da força elétrica se converte em energia cinética: «q·U = ½·m·v²». É assim que se aceleram partículas carregadas (eletrões, iões) em « canhões de eletrões » e aceleradores, atingindo velocidades muito elevadas com diferenças de potencial moderadas. A análise é sempre a mesma: energia (W = q·U) ou força (F = q·E) e cinemática.

E = \dfrac{U}{d}

Campo uniforme entre placas

Relaciona a intensidade do campo com a diferença de potencial U e a distância d entre as placas.

W = q\,U, \qquad F = q\,E

Trabalho e força elétrica

O trabalho da força elétrica entre pontos com diferença de potencial U; a força sobre a carga é q·E.

Exemplo resolvido

Campo e força entre placas paralelas

Duas placas paralelas estão a 4,0 cm, com diferença de potencial de 200 V. Determina o campo elétrico e a força sobre uma carga de 2,0 μC.

Campo uniforme
E = U/d = 200 / 0,040 = 5,0 × 10³ V/m.
$E = \dfrac{U}{d}$
Força sobre a carga
F = q·E = 2,0 × 10⁻⁶ × 5,0 × 10³.
Calcular
F = 1,0 × 10⁻² N = 0,010 N, dirigida ao longo do campo.

Resultado: O campo entre as placas é 5,0 × 10³ V/m e a força sobre a carga é 0,010 N.

Erros frequentes

Confundir campo elétrico (E, em V/m ou N/C) com potencial elétrico (V, em volt) — grandezas diferentes.
Desenhar as superfícies equipotenciais paralelas às linhas de campo (são-lhes perpendiculares).

Revisão ativa

Duas placas paralelas estão a 4,0 cm, com uma diferença de potencial de 200 V. Determina o campo elétrico entre elas e a força sobre uma carga de 2,0 μC.

Evocação ativa

Recorda os pontos-chave — depois revela.

Fontes: Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE) (Direção-Geral da Educação (DGE))

Referências e fontes

Fontes

Direção-Geral da Educação (DGE)

Aprendizagens Essenciais de Física — 12.º ano (DGE)

Campo gravítico e campo elétrico

4 secções~14 min de leitura4 competênciasNível Padrão 2 · Aprofundamento 2

Campo gravítico e campo elétrico

Pontos-chave

Massa da Terra a partir da órbita da Lua

Pontos-chave

Velocidade de escape da Terra

Pontos-chave

Força de Coulomb entre duas cargas

Pontos-chave

Campo e força entre placas paralelas

Fontes

Campo gravítico e campo elétrico

Pontos-chave

Massa da Terra a partir da órbita da Lua

Pontos-chave

Velocidade de escape da Terra

Pontos-chave

Força de Coulomb entre duas cargas

Pontos-chave

Campo e força entre placas paralelas

Fontes