EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde D/Het toetsen van hypothesen
Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Het toetsen van hypothesen

Bij een hypothesetoets gebruik je één steekproef om te beslissen of een waargenomen resultaat een echt effect aantoont of nog aan toeval kan worden toegeschreven. Je zet een nulhypothese H0H_0H0​ (het toeval, de status-quo) tegenover een alternatieve hypothese H1H_1H1​, kiest eenzijdig of tweezijdig en legt een significantieniveau α\alphaα vast. Met een binomiale toets bereken je de overschrijdingskans (p-waarde) — de kans op je uitkomst of extremer als H0H_0H0​ waar is — en die vergelijk je met α\alphaα, of je bepaalt het kritieke gebied en kijkt of je toetsingsgrootheid erin valt. Ten slotte weeg je de twee soorten fouten: H0H_0H0​ onterecht verwerpen (eerste soort, kans α\alphaα) of onterecht behouden (tweede soort).

4 Onderdelen·~22 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·0666 / 19
Examenprofiel
Domein B — een nulhypothese H₀ en alternatieve hypothese H₁ formuleren en beargumenteerd kiezen tussen eenzijdig en tweezijdig toetsenEen binomiale toets uitvoeren: de overschrijdingskans (p-waarde) berekenen, met het significantieniveau αvergelijken en de conclusie in de context verwoordenHet kritieke gebied en de kritieke waarde bepalen en de toetsingsgrootheid daaraan toetsenDe fout van de eerste soort (α) en de fout van de tweede soort onderscheiden en interpreteren
Operatoren:formuleertoetsberekenbepaalleg uitinterpreteerberedeneerconcludeer

basisniveau

Het toetsen van hypothesen hoort bij domein B (Kansrekening en statistiek) van wiskunde D en is SE-stof; wiskunde D heeft geen centraal examen, dus dit wordt in het schoolexamen getoetst.

verhoogd niveau

De verdieping zit in het scherp verwoorden van de conclusie in de context en in het doorzien van de symmetrie tussen p-waarde en kritiek gebied, plus de afweging tussen de fout van de eerste en de tweede soort.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Het toetsen van hypothesen
    • 01Hypothesen, eenzijdig en tweezijdig toetsen◐
    • 02De binomiale toets: p-waarde en beslissing◐
    • 03Het kritieke gebied en de kritieke waarde●
    • 04Fouten van de eerste en tweede soort●
§ 01

Hypothesen, eenzijdig en tweezijdig toetsen#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Kernpunten

Bij een hypothesetoets wil je beslissen of een waargenomen resultaat een écht effect aantoont of nog goed door toeval te verklaren is. Je zet daarvoor twee tegengestelde hypothesen tegenover elkaar. De nulhypothese H0H_0H0​ is de „er is niets aan de hand”-uitspraak — het toeval, de status-quo — en is bijna altijd een gelijkheid, bijvoorbeeld p=0,5p=0{,}5p=0,5 of p=p0p=p_0p=p0​. De alternatieve hypothese H1H_1H1​ is wat je vermoedt of wilt aantonen, en is een ongelijkheid: p>p0p>p_0p>p0​, p<p0p<p_0p<p0​ of p≠p0p\neq p_0p=p0​. Je rekent altijd vanuit H0H_0H0​: je bepaalt hoe (on)waarschijnlijk je uitkomst is als H0H_0H0​ waar zou zijn, en alleen een zeer onwaarschijnlijke uitkomst laat je H0H_0H0​ verwerpen. Afb. 1 toont die logica op de standaardnormale verdeling: gewone uitkomsten liggen in het midden, de uiterste staarten vormen het kritieke gebied.

Afb. 1 — Tweezijdig kritiek gebied op de standaardnormale verdeling

Tweezijdig kritiek gebied (α=0,05)Schaubild von φ(z), Hochpunkt bei (0, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.399, im Bereich x von -4 bis 4−4−3−2−112340.10.20.30.4z = −1,96z = 1,96φ(z)kansdichtheidz
Afb. 1Bij een tweezijdige toets op α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 ligt het kritieke gebied in béíde staarten, elk met 2,5%2{,}5\%2,5% oppervlak, begrensd door z=−1,96z=-1{,}96z=−1,96 en z=+1,96z=+1{,}96z=+1,96. Bij een eenzijdige toets zou je diezelfde 5%5\%5% in één staart leggen (grens z=1,645z=1{,}645z=1,645).
Vóórdat je gaat rekenen kies je een significantieniveau α\alphaα, meestal α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 (5%) of soms 0,010{,}010,01. Dat is de grens: is de kans op je uitkomst (of extremer) onder H0H_0H0​ kleiner dan α\alphaα, dan noem je hem te onwaarschijnlijk om aan toeval te wijten en verwerp je H0H_0H0​. Tegelijk is α\alphaα het risico dat je bewust neemt om H0H_0H0​ te verwerpen terwijl H0H_0H0​ eigenlijk waar is — de fout van de eerste soort uit de laatste paragraaf. Bij α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 accepteer je dus dat je in ongeveer 5%5\%5% van de gevallen ten onrechte „alarm slaat”. Een kleiner α\alphaα maakt je strenger en die fout zeldzamer, maar — zoals verderop blijkt — ten koste van meer fouten van de tweede soort.
Of je eenzijdig of tweezijdig toetst, volgt uit de onderzoeksvraag en dus uit H1H_1H1​. Vermoed je een afwijking in één bepaalde richting („méér dan”, „minder dan”), dan is H1H_1H1​ eenzijdig (p>p0p>p_0p>p0​ of p<p0p<p_0p<p0​) en ligt het hele kritieke gebied van α\alphaα in één staart. Vraag je alleen of iets „anders” is, zonder richting, dan is H1H_1H1​ tweezijdig (p≠p0p\neq p_0p=p0​) en verdeel je α\alphaα over béíde staarten, elk α2\tfrac{\alpha}{2}2α​. Op de z-schaal hoort bij een eenzijdige toets op 5%5\%5% de grenswaarde z=1,645z=1{,}645z=1,645, en bij een tweezijdige toets op 5%5\%5% de grenzen z=±1,96z=\pm 1{,}96z=±1,96 (Afb. 1) — je ziet meteen dat een tweezijdige toets in één richting strenger is. Kies de richting vóóraf uit de vraag, nooit achteraf uit de data.
In de praktijk verloopt het opstellen in vaste stappen: (1) benoem de parameter (meestal een kans of proportie ppp) en leg met H0H_0H0​ de status-quo vast; (2) formuleer H1H_1H1​ in de richting van je vermoeden en beslis eenzijdig of tweezijdig; (3) leg α\alphaα vast. Voorbeeld A (eenzijdig): een fabrikant claimt dat 90%90\%90% van de leveringen op tijd is, maar een klant vermoedt minder — H0: p=0,90H_0:\ p=0{,}90H0​: p=0,90 tegen H1: p<0,90H_1:\ p<0{,}90H1​: p<0,90. Voorbeeld B (tweezijdig): je onderzoekt of een dobbelsteen zuiver is, zonder vooraf een richting te kiezen — H0: p=16H_0:\ p=\tfrac{1}{6}H0​: p=61​ tegen H1: p≠16H_1:\ p\neq\tfrac{1}{6}H1​: p=61​. Het daadwerkelijk berekenen van de p-waarde en het trekken van de conclusie gebeurt in de volgende paragrafen.
H0: p=p0H1: p>p0, p<p0 of p≠p0H_0:\ p=p_0 \qquad H_1:\ p>p_0,\ p<p_0\ \text{of}\ p\neq p_0H0​: p=p0​H1​: p>p0​, p<p0​ of p=p0​

Null- en alternatieve hypothese

H0 is de gelijkheid (het toeval / de status-quo); H1 kiest de richting: eenzijdig (> of <) of tweezijdig (≠).

α=P(H0 verwerpen∣H0 waar)\alpha = P(H_0\ \text{verwerpen}\mid H_0\ \text{waar})α=P(H0​ verwerpen∣H0​ waar)

Significantieniveau = kans op een fout van de eerste soort

Het vooraf gekozen risico (meestal 0,05) om H0 ten onrechte te verwerpen. Bij α hoort het kritieke gebied.

zeenzijdig, 5%=1,645,ztweezijdig, 5%=±1,96z_{\text{eenzijdig, }5\%}=1{,}645,\qquad z_{\text{tweezijdig, }5\%}=\pm 1{,}96zeenzijdig, 5%​=1,645,ztweezijdig, 5%​=±1,96

Kritieke z-waarden bij α = 0,05

Eenzijdig zit de hele 5% in één staart (z=1,645); tweezijdig 2,5% per staart (z=±1,96).

Uitgewerkt voorbeeld

Hypothesen opstellen en de toetsrichting kiezen

Een fabrikant beweert dat 90%90\%90% van zijn leveringen op tijd aankomt. Een grote klant heeft de indruk dat het minder is en gaat 404040 recente leveringen na. Formuleer H0H_0H0​ en H1H_1H1​, geef beargumenteerd aan of je eenzijdig of tweezijdig toetst, en leg het significantieniveau vast op 5%5\%5%.

  1. 01Parameter en H0

    De parameter is ppp, de kans dat een levering op tijd is. De claim „90%90\%90% op tijd” legt H0H_0H0​ vast als de gelijkheid p=0,90p=0{,}90p=0,90.

  2. 02H1 en richting

    De klant vermoedt dat het percentage lãger is, dus H1: p<0,90H_1:\ p<0{,}90H1​: p<0,90. Dat is een gerichte bewering, dus je toetst eenzijdig (linkszijdig): het hele kritieke gebied van 5%5\%5% ligt in de linkerstaart (weinig leveringen op tijd).

  3. 03Significantieniveau

    Kies vooraf α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05. Straks verwerp je H0H_0H0​ alleen als het aantal op-tijd-leveringen zó laag is dat de kans daarop onder H0H_0H0​ kleiner is dan 0,050{,}050,05.

Resultaat: H0: p=0,90H_0:\ p=0{,}90H0​: p=0,90 tegen H1: p<0,90H_1:\ p<0{,}90H1​: p<0,90, een eenzijdige (linkszijdige) toets op α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05. In de volgende paragraaf reken je met de waargenomen aantallen de p-waarde uit.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: bij een context H0H_0H0​ (de gelijkheid / status-quo) en H1H_1H1​ (het vermoeden als ongelijkheid) correct formuleren en beargumenteerd eenzijdig of tweezijdig kiezen.
  • Examendoel: het significantieniveau α\alphaα benoemen als het vooraf gekozen risico op een fout van de eerste soort, en weten dat bij α\alphaα het kritieke gebied hoort.

Veelgemaakte fouten

  • H0H_0H0​ en H1H_1H1​ omdraaien, of H1H_1H1​ als gelijkheid schrijven. H0H_0H0​ is altijd de gelijkheid (p=p0p=p_0p=p0​); H1H_1H1​ bevat het vermoeden als ongelijkheid (>>>, <<< of ≠\neq=).
  • De toetsrichting pas achteraf kiezen op grond van de uitkomst. De richting van H1H_1H1​ moet vóór het meten uit de onderzoeksvraag volgen.
  • Bij een tweezijdige toets vergeten α\alphaα over twee staarten te verdelen (elk α2\tfrac{\alpha}{2}2α​), waardoor je in één staart te snel verwerpt.

Actieve herhaling

Een politieke partij zou volgens de peilingen 30%30\%30% van de stemmen halen. Een journalist vermoedt dat de werkelijke steun is veranderd (hij weet niet of hoger of lager) en ondervraagt 200200200 aselect gekozen kiezers. Formuleer H0H_0H0​ en H1H_1H1​, geef aan of je eenzijdig of tweezijdig toetst en waarom, en noem het significantieniveau (α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

§ 02

De binomiale toets: p-waarde en beslissing#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Kernpunten

De p-waarde — ook overschrijdingskans genoemd — is het hart van de toets: het is de kans, berekend ónder de aanname dat H0H_0H0​ waar is, op je waargenomen uitkomst óf een nog extremere uitkomst in de richting van H1H_1H1​. Een kleine p-waarde betekent dat zulke data heel onwaarschijnlijk zijn als H0H_0H0​ klopt, en is dus bewijs tégen H0H_0H0​. De beslisregel is kort: verwerp H0H_0H0​ als de p-waarde kleiner is dan α\alphaα, behoud H0H_0H0​ anders. In Afb. 2 is de p-waarde de som van de staafhoogten vanaf de waargenomen waarde tot het uiterste — het geaccentueerde deel in de rechterstaart van de binomiale verdeling onder H0H_0H0​.

Afb. 2 — Binomiale verdeling onder H0 met de p-waarde-staart

Binomiaal n=15, p=0,5 (H0)Kolomdiagram: P(X=k) naar aantal successen k, Gegevens: P(X=k) · 0: 0; P(X=k) · 1: 0; P(X=k) · 2: 0.003; P(X=k) · 3: 0.014; P(X=k) · 4: 0.042; P(X=k) · 5: 0.092; P(X=k) · 6: 0.153; P(X=k) · 7: 0.196; P(X=k) · 8: 0.196; P(X=k) · 9: 0.153; P(X=k) · 10: 0.092; P(X=k) · 11: 0.042; P(X=k) · 12: 0.014; P(X=k) · 13: 0.003; P(X=k) · 14: 0; P(X=k) · 15: 000.050.10.150123456789101112131415P(X = k)aantal successen k
Afb. 2De verdeling van het aantal goede proeven onder H0H_0H0​ (p=0,5p=0{,}5p=0,5): Bin(15; 0,5)\text{Bin}(15;\,0{,}5)Bin(15;0,5), symmetrisch rond E(X)=7,5E(X)=7{,}5E(X)=7,5. De p-waarde bij 121212 goede proeven is de rechterstaart P(X≥12)P(X\ge 12)P(X≥12); de geaccentueerde staaf bij k=12k=12k=12 is de grens ervan.
Bij tellingen — een aantal successen — is de toets een binomiale toets. Onder H0H_0H0​ is het aantal successen XXX binomiaal verdeeld: X∼Bin(n,p0)X\sim\text{Bin}(n,p_0)X∼Bin(n,p0​), met P(X=k)=(nk)p0k(1−p0)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}p_0^{k}(1-p_0)^{n-k}P(X=k)=(kn​)p0k​(1−p0​)n−k. De p-waarde is dan een staartkans die je met de grafische rekenmachine berekent. Bij een rechtszijdige toets (H1: p>p0H_1:\ p>p_0H1​: p>p0​) is dat P(X≥k)=1−binomcdf(n,p0,k−1)P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p_0,k-1)P(X≥k)=1−binomcdf(n,p0​,k−1), bij een linkszijdige toets (H1: p<p0H_1:\ p<p_0H1​: p<p0​) is het P(X≤k)=binomcdf(n,p0,k)P(X\le k)=\text{binomcdf}(n,p_0,k)P(X≤k)=binomcdf(n,p0​,k). Let goed op de richting van H1H_1H1​: die bepaalt wélke staart je neemt, en de k−1k-1k−1 in de rechtszijdige regel zorgt dat de waarde kkk zelf meetelt.
Bij een tweezijdige toets (H1: p≠p0H_1:\ p\neq p_0H1​: p=p0​) telt „extremer” naar béíde kanten. In de praktijk bereken je dan de staartkans aan de kant waar je waarneming ligt en vergelijk je die met α2\tfrac{\alpha}{2}2α​; is die kleinste staartkans kleiner dan α2\tfrac{\alpha}{2}2α​, dan verwerp je H0H_0H0​. Even goed mag je de tweezijdige p-waarde vormen door de kleinste staartkans te verdubbelen en die met α\alphaα zelf te vergelijken. Beide manieren geven dezelfde conclusie — kies er één en pas hem consequent toe.
Sluit een toets altijd af met een conclusie in woorden, in de context: „op significantieniveau 5%5\%5% is er voldoende bewijs dat …” (bij verwerpen) of „… onvoldoende bewijs om te concluderen dat …” (bij niet-verwerpen). Wees kritisch op het woord „significant”: statistisch significant betekent alleen „moeilijk aan toeval toe te schrijven onder H0H_0H0​”, níet groot, belangrijk of zeker. Een niet-verworpen H0H_0H0​ is bovendien géén bewijs dát H0H_0H0​ waar is — afwezigheid van bewijs is geen bewijs van afwezigheid. En de p-waarde is niet de kans dat H0H_0H0​ waar is; het is een kans berekend ónder de aanname dat H0H_0H0​ waar is.
Verwerp H0 als p-waarde<α\text{Verwerp } H_0 \text{ als } p\text{-waarde} < \alphaVerwerp H0​ als p-waarde<α

Beslisregel

Is de kans op de waargenomen uitkomst (of extremer) onder H0 kleiner dan het significantieniveau, dan verwerp je H0; anders niet.

X∼Bin(n,p0),P(X=k)=(nk)p0k(1−p0)n−kX\sim\text{Bin}(n,p_0),\quad P(X=k)=\binom{n}{k}p_0^{k}(1-p_0)^{n-k}X∼Bin(n,p0​),P(X=k)=(kn​)p0k​(1−p0​)n−k

Verdeling onder H0

Het aantal successen X is onder H0 binomiaal verdeeld; de p-waarde is een staartkans hiervan.

P(X≥k)=1−binomcdf(n,p0,k−1)P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p_0,k-1)P(X≥k)=1−binomcdf(n,p0​,k−1)

p-waarde rechtszijdig (H1: p > p0)

De rechterstaartkans op de GR; let op de k−1 zodat k zelf meetelt.

P(X≤k)=binomcdf(n,p0,k)P(X\le k)=\text{binomcdf}(n,p_0,k)P(X≤k)=binomcdf(n,p0​,k)

p-waarde linkszijdig (H1: p < p0)

De linkerstaartkans, rechtstreeks met binomcdf.

Uitgewerkt voorbeeld

Een binomiale toets volledig uitvoeren

Een leerling beweert te kunnen proeven of er suikervrije of gewone cola in een glas zit. Bij puur gokken zou ze kans p=0,5p=0{,}5p=0,5 hebben. Ze doet 151515 onafhankelijke proeven en heeft er 121212 goed. Toets op α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 of ze het echt beter kan dan gokken. Gebruik H0: p=0,5H_0:\ p=0{,}5H0​: p=0,5 tegen H1: p>0,5H_1:\ p>0{,}5H1​: p>0,5.

  1. 01Verdeling onder H0

    Als H0H_0H0​ waar is (puur gokken, p=0,5p=0{,}5p=0,5) is het aantal goede proeven XXX binomiaal verdeeld met verwachting np=7,5np=7{,}5np=7,5.

    X∼Bin(15; 0,5),E(X)=15⋅0,5=7,5X\sim\text{Bin}(15;\,0{,}5),\quad E(X)=15\cdot 0{,}5=7{,}5X∼Bin(15;0,5),E(X)=15⋅0,5=7,5
  2. 02p-waarde berekenen

    Haar waarneming is 121212 goed; „extremer” in de richting van H1H_1H1​ betekent 121212 of méér. De p-waarde is de rechterstaartkans P(X≥12)=1−binomcdf(15; 0,5; 11)P(X\ge 12)=1-\text{binomcdf}(15;\,0{,}5;\,11)P(X≥12)=1−binomcdf(15;0,5;11).

    p-waarde=P(X≥12)=1−binomcdf(15; 0,5; 11)≈0,0176p\text{-waarde}=P(X\ge 12)=1-\text{binomcdf}(15;\,0{,}5;\,11)\approx 0{,}0176p-waarde=P(X≥12)=1−binomcdf(15;0,5;11)≈0,0176
  3. 03Vergelijken met α

    De p-waarde 0,01760{,}01760,0176 is kleiner dan het significantieniveau 0,050{,}050,05, dus je verwerpt H0H_0H0​.

    0,0176<0,05  ⇒  verwerp H00{,}0176 < 0{,}05 \;\Rightarrow\; \text{verwerp } H_00,0176<0,05⇒verwerp H0​
  4. 04Conclusie in context

    Op significantieniveau 5%5\%5% is er voldoende bewijs dat de leerling het beter kan dan gokken (p>0,5p>0{,}5p>0,5). Let op: dit zegt niet hóé goed ze proeft — alleen dat 121212-of-meer goed bij puur gokken te onwaarschijnlijk is om aan toeval toe te schrijven.

Resultaat: De p-waarde is P(X≥12)≈0,0176<0,05P(X\ge 12)\approx 0{,}0176<0{,}05P(X≥12)≈0,0176<0,05, dus H0H_0H0​ wordt verworpen. Conclusie: op 5%5\%5%-niveau is er voldoende bewijs dat de leerling suikervrije van gewone cola kan proeven.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: een binomiale toets uitvoeren — de p-waarde (overschrijdingskans) als staartkans met binomcdf berekenen, met α\alphaα vergelijken en de conclusie in de context verwoorden.
  • Examendoel: uitleggen wat „statistisch significant” wél en niet betekent (niet: groot of zeker; een niet-verworpen H0H_0H0​ is geen bewijs van H0H_0H0​; de p-waarde is niet de kans dat H0H_0H0​ waar is).

Veelgemaakte fouten

  • Bij een rechtszijdige toets P(X≥k)P(X\ge k)P(X≥k) verwarren met P(X>k)P(X>k)P(X>k) of met binomcdf(n,p,k)\text{binomcdf}(n,p,k)binomcdf(n,p,k). Gebruik P(X≥k)=1−binomcdf(n,p,k−1)P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)P(X≥k)=1−binomcdf(n,p,k−1) en tel de waarde kkk zelf mee.
  • De verkeerde staart nemen: de richting van H1H_1H1​ (>>> of <<<) bepaalt of je P(X≥k)P(X\ge k)P(X≥k) of P(X≤k)P(X\le k)P(X≤k) berekent.
  • Concluderen dat H0H_0H0​ bewezen is als je niet verwerpt, of „significant” lezen als „groot/belangrijk”; niet-verwerpen betekent alleen: onvoldoende bewijs tégen H0H_0H0​.

Actieve herhaling

Een dobbelsteen wordt 606060 keer geworpen en je telt 161616 zessen. Onderzoek met een binomiale toets op α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 of de steen vaker een zes geeft dan een zuivere steen (p=16p=\tfrac{1}{6}p=61​). Formuleer H0H_0H0​ en H1H_1H1​, bereken de p-waarde P(X≥16)P(X\ge 16)P(X≥16) met de GR en trek een onderbouwde conclusie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

§ 03

Het kritieke gebied en de kritieke waarde#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Kernpunten

Naast de p-waarde-methode bestaat een tweede, gelijkwaardige route: het kritieke gebied. In plaats van bij je waarneming de staartkans te berekenen, bepaal je vóóraf welke uitkomsten zó extreem zijn dat je H0H_0H0​ zou verwerpen. Dat is het kritieke gebied (of verwerpingsgebied); de grenswaarde ervan heet de kritieke waarde. Bij een linkszijdige toets is het kritieke gebied de verzameling kleinste aantallen {0,1,…,g}\{0,1,\dots,g\}{0,1,…,g} waarvan de totale kans onder H0H_0H0​ nog net ≤α\le \alpha≤α blijft; de grootste zo'n grens ggg is de kritieke waarde. Afb. 3 toont de binomiale verdeling onder H0H_0H0​ met de kritieke waarde geaccentueerd — alle staven links daarvan (inclusief de grens) vormen het kritieke gebied.

Afb. 3 — Kritieke waarde op de binomiale verdeling onder H0

Binomiaal n=20, p=0,8 (H0)Kolomdiagram: P(X=k) naar aantal werkzame behandelingen k, Gegevens: P(X=k) · 0: 0; P(X=k) · 1: 0; P(X=k) · 2: 0; P(X=k) · 3: 0; P(X=k) · 4: 0; P(X=k) · 5: 0; P(X=k) · 6: 0; P(X=k) · 7: 0; P(X=k) · 8: 0; P(X=k) · 9: 0; P(X=k) · 10: 0.002; P(X=k) · 11: 0.007; P(X=k) · 12: 0.022; P(X=k) · 13: 0.055; P(X=k) · 14: 0.109; P(X=k) · 15: 0.175; P(X=k) · 16: 0.218; P(X=k) · 17: 0.205; P(X=k) · 18: 0.137; P(X=k) · 19: 0.058; P(X=k) · 20: 0.01200.050.10.150.201234567891011121314151617181920P(X = k)aantal werkzame behandelingen…
Afb. 3De verdeling onder H0H_0H0​ (p=0,80p=0{,}80p=0,80): Bin(20; 0,80)\text{Bin}(20;\,0{,}80)Bin(20;0,80) met μ=16\mu=16μ=16, scheef naar links. Voor de linkszijdige toets is de kritieke waarde g=12g=12g=12 (geaccentueerd); het kritieke gebied is {0,1,…,12}\{0,1,\dots,12\}{0,1,…,12} met totale kans binomcdf(20; 0,80; 12)≈0,0321≤0,05\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,12)\approx 0{,}0321\le 0{,}05binomcdf(20;0,80;12)≈0,0321≤0,05.
Je vindt de kritieke waarde door de cumulatieve kansen af te lopen. Bij een linkszijdige toets zoek je de grootste ggg met P(X≤g)=binomcdf(n,p0,g)≤αP(X\le g)=\text{binomcdf}(n,p_0,g)\le\alphaP(X≤g)=binomcdf(n,p0​,g)≤α; bij een rechtszijdige toets de kleinste ggg met P(X≥g)=1−binomcdf(n,p0,g−1)≤αP(X\ge g)=1-\text{binomcdf}(n,p_0,g-1)\le\alphaP(X≥g)=1−binomcdf(n,p0​,g−1)≤α. Belangrijk is dat je een grens kiest waarvoor de staartkans nog nét onder α\alphaα blijft: neem je één stap verder de andere kant op, dan overschrijdt de kans α\alphaα en hoort dat aantal niet meer bij het kritieke gebied. Omdat XXX discreet is, is de werkelijke kans op een fout van de eerste soort meestal iéts kleiner dan α\alphaα — je kunt α\alphaα zelden precies raken.
De beslissing is nu een simpele vraag: valt de toetsingsgrootheid (je waarneming) in het kritieke gebied, dan verwerp je H0H_0H0​; valt hij erbuiten, dan behoud je H0H_0H0​. Deze methode geeft altijd dezelfde conclusie als de p-waarde-methode, want „waarneming in het kritieke gebied” is precies hetzelfde als „p-waarde ≤α\le\alpha≤α”. Het voordeel van het kritieke gebied is dat je het vóór de meting kunt vastleggen: je weet dan van tevoren bij welke uitkomsten je zult verwerpen. Afb. 4 laat dezelfde gedachte zien op de klokkromme van de standaardnormale verdeling — bij grote nnn ligt de kritieke waarde bij z=−1,645z=-1{,}645z=−1,645 (linkszijdig) of z=1,645z=1{,}645z=1,645 (rechtszijdig).

Afb. 4 — Linkszijdig kritiek gebied op de standaardnormale verdeling

Linkszijdig kritiek gebied (α=0,05)Schaubild von φ(z), Hochpunkt bei (0, 0.399), y-Achsenabschnitt bei y = 0.399, im Bereich x von -4 bis 4−4−3−2−112340.10.20.30.4grens z = −1,645φ(z)kansdichtheidz
Afb. 4Bij grote nnn ligt de kritieke waarde van een linkszijdige toets op α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 bij z=−1,645z=-1{,}645z=−1,645: het geschaduwde staartoppervlak links daarvan is precies 5%5\%5%. Via g=μ+zσg=\mu+z\sigmag=μ+zσ zet je die z-grens om naar een aantal successen.
Bij een grote nnn bepaal je de kritieke waarde vaak via de normale benadering in plaats van met veel binomiale kansen. Je zet de zzz-grenswaarde om naar een aantal successen met g=μ+z⋅σg=\mu+z\cdot\sigmag=μ+z⋅σ, waarbij μ=np0\mu=np_0μ=np0​ en σ=np0(1−p0)\sigma=\sqrt{np_0(1-p_0)}σ=np0​(1−p0​)​. Voor een linkszijdige toets op 5%5\%5% neem je z=−1,645z=-1{,}645z=−1,645, voor een rechtszijdige z=1,645z=1{,}645z=1,645, en voor een tweezijdige toets de grenzen z=±1,96z=\pm1{,}96z=±1,96. Vergeet ook hier de continuïteitscorrectie niet als je nauwkeurig wilt zijn. Zo verbindt dit onderwerp de binomiale toets rechtstreeks met de normale verdeling uit het vorige onderwerp.
{0,1,…,g}: binomcdf(n,p0,g)≤α\{0,1,\dots,g\}:\ \text{binomcdf}(n,p_0,g)\le\alpha{0,1,…,g}: binomcdf(n,p0​,g)≤α

Kritieke waarde (linkszijdig)

De grootste g waarvoor de linkerstaartkans nog ≤ α is; de aantallen 0..g vormen het kritieke gebied.

1−binomcdf(n,p0,g−1)≤α1-\text{binomcdf}(n,p_0,g-1)\le\alpha1−binomcdf(n,p0​,g−1)≤α

Kritieke waarde (rechtszijdig)

De kleinste g waarvoor de rechterstaartkans P(X≥g) nog ≤ α is.

g=μ+z⋅σ,μ=np0, σ=np0(1−p0)g=\mu+z\cdot\sigma,\quad \mu=np_0,\ \sigma=\sqrt{np_0(1-p_0)}g=μ+z⋅σ,μ=np0​, σ=np0​(1−p0​)​

Grenswaarde via de normale benadering

Zet de kritieke z-waarde (±1,645 eenzijdig, ±1,96 tweezijdig) om naar een aantal successen.

Uitgewerkt voorbeeld

Het kritieke gebied van een linkszijdige binomiale toets bepalen

Een standaardbehandeling werkt bij 80%80\%80% van de patiënten. Een arts vermoedt dat een goedkoper alternatief mínder vaak werkt en probeert het bij 202020 patiënten. Zij XXX het aantal patiënten bij wie het alternatief werkt; onder H0H_0H0​ geldt p=0,80p=0{,}80p=0,80, tegen H1: p<0,80H_1:\ p<0{,}80H1​: p<0,80. (a) Bepaal bij α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 het kritieke gebied. (b) Bij 111111 patiënten werkt de behandeling. Wat is de conclusie?

  1. 01Verdeling en richting

    Onder H0H_0H0​ geldt X∼Bin(20; 0,80)X\sim\text{Bin}(20;\,0{,}80)X∼Bin(20;0,80) met μ=np0=16\mu=np_0=16μ=np0​=16. Omdat H1: p<0,80H_1:\ p<0{,}80H1​: p<0,80 linkszijdig is, ligt het kritieke gebied in de linkerstaart (weinig successen).

  2. 02(a) Zoek de kritieke waarde

    Zoek de grootste ggg met P(X≤g)≤0,05P(X\le g)\le 0{,}05P(X≤g)≤0,05. De GR geeft binomcdf(20; 0,80; 12)≈0,0321\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,12)\approx 0{,}0321binomcdf(20;0,80;12)≈0,0321 (≤0,05\le 0{,}05≤0,05) en binomcdf(20; 0,80; 13)≈0,0867\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,13)\approx 0{,}0867binomcdf(20;0,80;13)≈0,0867 (>0,05>0{,}05>0,05). Dus de kritieke waarde is g=12g=12g=12 en het kritieke gebied is {0,1,…,12}\{0,1,\dots,12\}{0,1,…,12}.

    binomcdf(20;0,80;12)≈0,0321≤0,05<0,0867≈binomcdf(20;0,80;13)\text{binomcdf}(20;0{,}80;12)\approx 0{,}0321\le 0{,}05<0{,}0867\approx\text{binomcdf}(20;0{,}80;13)binomcdf(20;0,80;12)≈0,0321≤0,05<0,0867≈binomcdf(20;0,80;13)
  3. 03(b) Beslis

    De waarneming is 111111. Omdat 111111 in het kritieke gebied {0,…,12}\{0,\dots,12\}{0,…,12} valt, verwerp je H0H_0H0​. Controle met de p-waarde: P(X≤11)=binomcdf(20; 0,80; 11)≈0,0100<0,05P(X\le 11)=\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,11)\approx 0{,}0100<0{,}05P(X≤11)=binomcdf(20;0,80;11)≈0,0100<0,05 — dezelfde conclusie.

  4. 04Conclusie in context

    Op significantieniveau 5%5\%5% is er voldoende bewijs dat het alternatief bij mínder dan 80%80\%80% van de patiënten werkt.

Resultaat: Het kritieke gebied is {0,1,…,12}\{0,1,\dots,12\}{0,1,…,12} met kritieke waarde 121212. De waarneming 111111 valt erin, dus H0H_0H0​ wordt verworpen: op 5%5\%5%-niveau werkt het alternatief significant minder vaak dan de standaardbehandeling.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: bij een binomiale toets het kritieke gebied en de kritieke waarde bepalen met binomcdf, en de toetsingsgrootheid daaraan toetsen.
  • Examendoel: inzien dat de kritieke-gebied-methode en de p-waarde-methode altijd dezelfde conclusie geven, en bij grote nnn de grenswaarde via de normale benadering (g=μ+zσg=\mu+z\sigmag=μ+zσ) berekenen.

Veelgemaakte fouten

  • Een grenswaarde kiezen waarvoor de staartkans al gróter dan α\alphaα is. De kritieke waarde is de láátste waarde waarvoor de staartkans nog ≤α\le\alpha≤α blijft.
  • De grenswaarde zelf buiten het kritieke gebied laten of juist een extra waarde meenemen; controleer met binomcdf welke aantallen precies binnen de staartkans ≤α\le\alpha≤α vallen.
  • Bij de normale benadering de continuïteitscorrectie vergeten of het teken van zzz verwisselen (linkszijdig z=−1,645z=-1{,}645z=−1,645, rechtszijdig z=+1,645z=+1{,}645z=+1,645).

Actieve herhaling

Bij een rechtszijdige binomiale toets is H0: p=0,5H_0:\ p=0{,}5H0​: p=0,5 en H1: p>0,5H_1:\ p>0{,}5H1​: p>0,5, met n=25n=25n=25 en α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05. Bepaal met de GR de kritieke waarde en het kritieke gebied (de kleinste ggg met P(X≥g)≤0,05P(X\ge g)\le 0{,}05P(X≥g)≤0,05), en beslis of een waarneming van 171717 successen tot verwerpen leidt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

§ 04

Fouten van de eerste en tweede soort#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Kernpunten

Een toets kan zich op twee manieren vergissen, en die verwar je makkelijk. Een fout van de eerste soort is H0H_0H0​ verwerpen terwijl H0H_0H0​ in werkelijkheid waar is — vals alarm. Een fout van de tweede soort is H0H_0H0​ behouden terwijl H1H_1H1​ in werkelijkheid waar is — een gemist effect. Afb. 5 zet de vier mogelijke uitkomsten in een tabel: de twee diagonaalvakken zijn juiste beslissingen, de twee andere de fouten. De kans op een fout van de eerste soort is precies het significantieniveau: P(fout 1e soort)=αP(\text{fout }1^{\text{e}}\text{ soort})=\alphaP(fout 1e soort)=α. De kans op een fout van de tweede soort noteren we met β\betaβ.

Afb. 5 — Beslissing × werkelijkheid: de vier uitkomsten

Beslissing × werkelijkheidTabel met 3 kolommen en 2 rijen, Gegevens: H0 waar · H0 onwaar (H1 waar); H0 verwerpen · fout 1e soort (kans α) · juiste beslissing; H0 behouden · juiste beslissing · fout 2e soort (kans β)H0 WAARH0 ONWAAR (H1 WAAR)H0 VERWERPENfout 1e soort (kans α)juiste beslissingH0 BEHOUDENjuiste beslissingfout 2e soort (kans β)
Afb. 5De vier mogelijke uitkomsten van een toets. De diagonaal (linksonder en rechtsboven) is juist; de fout van de eerste soort heeft kans α\alphaα, de fout van de tweede soort kans β\betaβ.
De kans op een fout van de eerste soort heb je volledig in de hand: het is het α\alphaα dat je vooraf kiest. Kies je α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05, dan verwerp je in 5%5\%5% van de gevallen H0H_0H0​ ten onrechte als H0H_0H0​ waar is. Wil je vals alarm zeldzamer maken, dan kies je een kleiner α\alphaα (bijvoorbeeld 0,010{,}010,01) en dus een kleiner kritiek gebied. Maar dat heeft een prijs, en die betaal je bij de fout van de tweede soort.
De kans β\betaβ op een fout van de tweede soort ligt niet vast: ze hangt af van de wérkelijke waarde van ppp (die je niet kent) en van nnn. Je berekent β\betaβ door aan te nemen dat een bepaalde alternatieve ppp waar is, en dan de kans uit te rekenen dat je tóch niet verwerpt (dat de waarneming búíten het kritieke gebied valt). Neem het voorbeeld uit de vorige paragraaf — linkszijdig, kritiek gebied {0,…,12}\{0,\dots,12\}{0,…,12} — en stel dat in werkelijkheid p=0,6p=0{,}6p=0,6. Dan is β=P(X≥13∣p=0,6)=1−binomcdf(20; 0,6; 12)≈0,42\beta=P(X\ge 13\mid p=0{,}6)=1-\text{binomcdf}(20;\,0{,}6;\,12)\approx 0{,}42β=P(X≥13∣p=0,6)=1−binomcdf(20;0,6;12)≈0,42: er is 42%42\%42% kans dat je de afwijking mist. Ligt de echte ppp dichter bij H0H_0H0​, dan is β\betaβ nog groter; ligt hij er verder vanaf, dan is β\betaβ kleiner. Afb. 6 laat dit zien: α\alphaα is de linkerstaart onder de H0H_0H0​-kromme, β\betaβ het deel van de H1H_1H1​-kromme dat rechts van de grens ligt.

Afb. 6 — Fout van de eerste soort (α) en van de tweede soort (β)

Fout 1e soort (α) en 2e soort (β)Schaubild von H0: p=0,8, Hochpunkt bei (16, 0.223), im Bereich x von 4 bis 24, Schaubild von H1: p=0,6, Hochpunkt bei (12, 0.182), im Bereich x von 4 bis 2451015200.050.10.150.2grens g = 12H0: p = 0,8H1: p = 0,6kansdichtheidaantal successen
Afb. 6De verdeling van het aantal successen onder H0H_0H0​ (p=0,8p=0{,}8p=0,8, top bij 161616) en onder een alternatief H1H_1H1​ (p=0,6p=0{,}6p=0,6, top bij 121212). Links van de grens g=12g=12g=12 verwerp je: de linkerstaart van de H0H_0H0​-kromme is α\alphaα, het deel van de H1H_1H1​-kromme réchts van de grens is β\betaβ (het gemiste effect).
Tussen de twee fouten bestaat een afruil: bij een vaste nnn maakt een kleiner kritiek gebied (kleinere α\alphaα) de fout van de eerste soort zeldzamer, maar de fout van de tweede soort juist waarschijnlijker — en omgekeerd. De enige manier om béíde fouten tegelijk te verkleinen is een grotere steekproef nnn. De kans 1−β1-\beta1−β dat je een echt effect wél oppikt heet het onderscheidingsvermogen (de „power”) van de toets; die groeit met nnn en met de grootte van het werkelijke effect. In de praktijk kies je α\alphaα klein genoeg om vals alarm te beperken, en nnn groot genoeg om een relevant effect met grote kans te vinden.
P(fout 1e soort)=αP(\text{fout }1^{\text{e}}\text{ soort})=\alphaP(fout 1e soort)=α

Fout van de eerste soort

H0 verwerpen terwijl H0 waar is; de kans erop is precies het gekozen significantieniveau α.

β=P(fout 2e soort)=P(H0 behouden∣H1 waar)\beta=P(\text{fout }2^{\text{e}}\text{ soort})=P(H_0\text{ behouden}\mid H_1\text{ waar})β=P(fout 2e soort)=P(H0​ behouden∣H1​ waar)

Fout van de tweede soort

H0 behouden terwijl H1 waar is; β hangt af van de werkelijke p en van n.

onderscheidingsvermogen=1−β\text{onderscheidingsvermogen}=1-\betaonderscheidingsvermogen=1−β

Power van de toets

De kans dat je een echt effect wél oppikt; groeit met n en met de effectgrootte.

Uitgewerkt voorbeeld

De kans op een fout van de tweede soort berekenen

Bij de linkszijdige toets uit de vorige paragraaf (H0: p=0,80H_0:\ p=0{,}80H0​: p=0,80, H1: p<0,80H_1:\ p<0{,}80H1​: p<0,80, n=20n=20n=20, α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05) is het kritieke gebied {0,1,…,12}\{0,1,\dots,12\}{0,1,…,12}. (a) Bereken de kans op een fout van de eerste soort. (b) Stel dat in werkelijkheid p=0,60p=0{,}60p=0,60. Bereken de kans β\betaβ op een fout van de tweede soort en interpreteer die.

  1. 01(a) Fout van de eerste soort

    Die treedt op als je H0H_0H0​ verwerpt terwijl H0H_0H0​ (p=0,80p=0{,}80p=0,80) waar is, dus als XXX tóch in {0,…,12}\{0,\dots,12\}{0,…,12} valt: α=P(X≤12∣p=0,80)=binomcdf(20; 0,80; 12)≈0,0321\alpha=P(X\le 12\mid p=0{,}80)=\text{binomcdf}(20;\,0{,}80;\,12)\approx 0{,}0321α=P(X≤12∣p=0,80)=binomcdf(20;0,80;12)≈0,0321.

    α=P(X≤12∣p=0,80)≈0,0321\alpha=P(X\le 12\mid p=0{,}80)\approx 0{,}0321α=P(X≤12∣p=0,80)≈0,0321
  2. 02(b) Verdeling onder het alternatief

    Neem aan dat p=0,60p=0{,}60p=0,60 echt waar is; dan is X∼Bin(20; 0,60)X\sim\text{Bin}(20;\,0{,}60)X∼Bin(20;0,60) met μ=12\mu=12μ=12. Een fout van de tweede soort is: H0H_0H0​ behouden (waarneming búíten het kritieke gebied, dus X≥13X\ge 13X≥13) terwijl H1H_1H1​ waar is.

  3. 03(b) Bereken β

    β=P(X≥13∣p=0,60)=1−binomcdf(20; 0,60; 12)≈0,42\beta=P(X\ge 13\mid p=0{,}60)=1-\text{binomcdf}(20;\,0{,}60;\,12)\approx 0{,}42β=P(X≥13∣p=0,60)=1−binomcdf(20;0,60;12)≈0,42.

    β=P(X≥13∣p=0,60)=1−binomcdf(20; 0,60; 12)≈0,42\beta=P(X\ge 13\mid p=0{,}60)=1-\text{binomcdf}(20;\,0{,}60;\,12)\approx 0{,}42β=P(X≥13∣p=0,60)=1−binomcdf(20;0,60;12)≈0,42
  4. 04Interpreteer

    Zelfs als het alternatief echt maar bij 60%60\%60% werkt, is er ongeveer 42%42\%42% kans dat deze toets met n=20n=20n=20 dat níet oppikt. Het onderscheidingsvermogen is dan 1−β≈0,581-\beta\approx 0{,}581−β≈0,58. Een grotere steekproef zou β\betaβ verkleinen.

Resultaat: (a) α≈0,0321\alpha\approx 0{,}0321α≈0,0321; (b) bij werkelijke p=0,60p=0{,}60p=0,60 is β≈0,42\beta\approx 0{,}42β≈0,42. De toets mist het effect dus in bijna de helft van de gevallen — het onderscheidingsvermogen 1−β≈0,581-\beta\approx 0{,}581−β≈0,58 is bescheiden, wat pleit voor een grotere nnn.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de fout van de eerste soort (kans α\alphaα, H0H_0H0​ onterecht verworpen) en de fout van de tweede soort (kans β\betaβ, H0H_0H0​ onterecht behouden) benoemen en in een context herkennen.
  • Examendoel: uitleggen dat α\alphaα vastligt door je keuze, dat β\betaβ afhangt van de werkelijke ppp en nnn, en dat een kleinere α\alphaα (bij vaste nnn) β\betaβ vergroot.

Veelgemaakte fouten

  • De twee fouten omwisselen. Eerste soort = H0H_0H0​ verwerpen terwijl H0H_0H0​ waar is (vals alarm); tweede soort = H0H_0H0​ behouden terwijl H1H_1H1​ waar is (gemist effect).
  • Denken dat je α\alphaα én β\betaβ tegelijk kleiner kunt maken zonder nnn te vergroten. Bij vaste nnn gaat een kleinere α\alphaα ten koste van een grotere β\betaβ.
  • De fout van de tweede soort een vaste kans toedichten. β\betaβ hangt af van de (onbekende) werkelijke ppp — zonder een aangenomen alternatief kun je β\betaβ niet berekenen.

Actieve herhaling

Bij een rechtszijdige toets H0: p=0,5H_0:\ p=0{,}5H0​: p=0,5 tegen H1: p>0,5H_1:\ p>0{,}5H1​: p>0,5 met n=20n=20n=20 en α=0,05\alpha=0{,}05α=0,05 is het kritieke gebied {15,16,…,20}\{15,16,\dots,20\}{15,16,…,20}. (a) Leg uit welke beslissing een fout van de eerste soort zou zijn en bereken de bijbehorende kans P(X≥15∣p=0,5)P(X\ge 15\mid p=0{,}5)P(X≥15∣p=0,5). (b) Stel dat in werkelijkheid p=0,7p=0{,}7p=0,7. Bereken de kans β\betaβ op een fout van de tweede soort, P(X≤14∣p=0,7)P(X\le 14\mid p=0{,}7)P(X≤14∣p=0,7), en interpreteer de uitkomst.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01Hypothesen, eenzijdig en tweezijdig toetsen◐
    • 02De binomiale toets: p-waarde en beslissing◐
    • 03Het kritieke gebied en de kritieke waarde●
    • 04Fouten van de eerste en tweede soort●

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Het toetsen van hypothesen

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~22
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Vorig onderwerp

Kansverdelingen (binomiaal en normaal)

Volgend onderwerp

Correlatie en regressie

EuraStudy·Samenvattingen T·06·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.