Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Kansverdelingen (binomiaal en normaal)

Twee kansmodellen keren in de statistiek steeds terug. De binomiale verdeling telt het aantal successen $X$ bij $n$ onafhankelijke pogingen met een vaste succeskans $p$ ; je berekent kansen met $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ en de verwachting en spreiding met $E(X)=np$ en $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ . De normale verdeling is de continue klokkromme, volledig vastgelegd door $\mu$ en $\sigma$ , waarbij een kans een oppervlakte onder de kromme is en de z-score $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ elke verdeling standaardiseert. Je leert beide met de hand (formules, de vuistregels 68–95–99,7%) en met de grafische rekenmachine (binompdf/binomcdf, normalcdf/invNorm), en hoe de normale verdeling met een continuïteitscorrectie de binomiale benadert.

4 Onderdelen~20 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·0555 / 19

Examenprofiel

Domein B — de binomiale verdeling herkennen (vier voorwaarden), P(X=k)=\binom{n}{k}pk(1-p)n⁻k berekenen en E(X)=np, σ=\sqrt{np(1-p)} bepalenDe normale verdeling: de klokkromme met μen σ, kansen als oppervlakte en de z-score z=\frac{x-μ}{σ}Normale kansen bepalen met de vuistregels 68–95–99,7% en met de grafische rekenmachine (normalcdf/invNorm)De normale benadering van de binomiale verdeling toepassen, met continuïteitscorrectie

Operatoren:berekenbepaalschatleg uitinterpreteertoon aanstel op

basisniveau

De binomiale en de normale verdeling zijn SE-stof binnen domein B (Kansrekening en statistiek) van wiskunde D; wiskunde D kent geen centraal examen, dus je oefent ze richting het schoolexamen.

verhoogd niveau

Wie beide verdelingen — inclusief de normale benadering — vlot beheerst, heeft direct profijt bij het toetsen van hypothesen, waar de binomiale en normale verdeling het rekengereedschap vormen.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Kansverdelingen (binomiaal en normaal)

De binomiale verdeling#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Veel kansexperimenten bestaan uit het steeds opnieuw uitvoeren van dezelfde poging met maar twee mogelijke aflopen, „succes” of „mislukking”. De telvariabele

X=

„het aantal successen” heet dan binomiaal verdeeld, mits aan vier voorwaarden is voldaan: (1) er is een vast aantal pogingen

n

; (2) elke poging heeft precies twee uitkomsten; (3) de succeskans

p

is bij iedere poging hetzelfde; en (4) de pogingen zijn onderling onafhankelijk. We noteren dit kort als

X\sim\text{Bin}(n,p)

. In Afb. 1 staat de verdeling voor

n=10

p=0{,}5

— bijvoorbeeld het aantal keer kop bij tien worpen met een eerlijke munt — en je ziet meteen de kenmerkende symmetrische, klokachtige vorm met de grootste kans rond het midden

k=5

Afb. 1 — Binomiale verdeling (n = 10, p = 0,5)

Afb. 1Het aantal keer kop bij tien worpen met een eerlijke munt. Symmetrisch rond

E(X)=np=5

; de hoogste kans is

P(X=5)\approx 0{,}2461

De kans op precies

k

successen bereken je met de binomiale kansformule

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

. Je leest haar als een product van drie stukken:

p^{k}

is de kans dat

k

bepaalde pogingen slagen,

(1-p)^{n-k}

de kans dat de overige

n-k

mislukken, en de binomiaalcoëfficiënt

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

telt in hoeveel verschillende volgordes die

k

successen kunnen optreden. Neem

n=10

p=0{,}5

k=5

: er zijn

\binom{10}{5}=252

volgordes, elk met kans

0{,}5^{5}\cdot 0{,}5^{5}=0{,}5^{10}=\tfrac{1}{1024}

, samen

252\cdot\tfrac{1}{1024}\approx 0{,}2461

— precies de hoogte van de middelste staaf in Afb. 1. Zonder de coëfficiënt zou je slechts één volgorde meetellen en de kans schromelijk onderschatten.

Voor de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van een binomiale verdeling hoef je de lange somformules niet te gebruiken; er bestaan korte formules. De verwachtingswaarde is

E(X)=n\cdot p

— intuïtief: bij

n

pogingen die elk met kans

p

slagen, verwacht je

np

successen — en de standaardafwijking is

\sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

. Voor

n=10

p=0{,}5

geeft dat

E(X)=5

\sigma=\sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}58

. Zodra

p\neq 0{,}5

verliest de verdeling haar symmetrie: Afb. 2 toont

n=10

p=0{,}2

, waar de top naar links schuift naar

E(X)=np=2

en er een lange staart naar rechts overblijft.

Afb. 2 — Scheve binomiale verdeling (n = 10, p = 0,2)

Afb. 2Zodra

p\neq 0{,}5

wordt de verdeling scheef. Hier is

p=0{,}2

, dus

E(X)=np=2

; de top ligt bij

k=2

en er is een lange staart naar rechts.

Voor grotere

n

reken je binomiale kansen met de grafische rekenmachine. `binompdf(n, p, k)` geeft de kans op precies

k

successen,

P(X=k)

, en `binomcdf(n, p, k)` de cumulatieve kans

P(X\le k)

— de kans op hóógstens

k

successen. Alle andere kansen leid je hieruit af met het complement en met aftrekken:

P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)

voor „minstens

k

”, en

P(a\le X\le b)=\text{binomcdf}(n,p,b)-\text{binomcdf}(n,p,a-1)

voor een tussengebied. De

k-1

in de „minstens”-regel is de klassieke valkuil: wil je

k

zélf meetellen, dan moet je tot en met

k-1

aftrekken.

Het lastigste is vaak niet het rekenen maar het herkénnen van een binomiale situatie; controleer daarom altijd de vier voorwaarden. Let vooral op de onafhankelijkheid en op een gelijkblijvende

p

: trek je zónder terugleggen uit een kléíne groep, dan verandert de succeskans na elke trekking en is

X

strikt genomen niet binomiaal (dan hoort de hypergeometrische verdeling erbij, geen SE-stof). Bij een grote populatie — of bij trekken mét terugleggen — blijft

p

nagenoeg constant en mag je de binomiale verdeling gebruiken. Signaalwoorden die op een binomiaal model wijzen zijn „

n

keer”, „onafhankelijk”, „telkens dezelfde kans” en „hoeveel van de …”.

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

Binomiale kans

Kans op precies k successen bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p.

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Binomiaalcoëfficiënt

Het aantal volgordes waarin k successen over n pogingen kunnen vallen (op de GR: nCr).

E(X)=n\cdot p

Verwachtingswaarde (binomiaal)

Het verwachte aantal successen.

\sigma(X)=\sqrt{n\,p\,(1-p)}

Standaardafwijking (binomiaal)

De spreiding van het aantal successen rond np.

P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)

„Minstens k” via het complement

Let op de k−1: de waarde k zelf moet meetellen.

Uitgewerkt voorbeeld

Binomiale kansen bij een controle van zonnepanelen

In een grote batch zonnepanelen heeft $15\%$ een kleine cosmetische onvolkomenheid. Uit de batch worden $12$ panelen onafhankelijk gekozen. Zij $X$ het aantal panelen met een onvolkomenheid. (a) Bereken $P(X=2)$ . (b) Bereken de kans op minstens $3$ panelen met een onvolkomenheid. (c) Bepaal $E(X)$ en $\sigma(X)$ .

Herken de binomiale verdeling
Vast aantal pogingen $n=12$ , twee uitkomsten (onvolkomenheid of niet), gelijke kans $p=0{,}15$ en onafhankelijke keuzes uit een grote batch. Dus $X\sim\text{Bin}(12;\,0{,}15)$ .
(a) Bereken P(X=2)
$P(X=2)=\binom{12}{2}(0{,}15)^2(0{,}85)^{10}=66\cdot 0{,}0225\cdot 0{,}196874\approx 0{,}2924$ . Op de GR: binompdf(12, 0.15, 2).
$P(X=2)=\binom{12}{2}(0{,}15)^2(0{,}85)^{10}\approx 0{,}2924$
(b) Bereken P(X\ge 3)
„Minstens $3$ ” is het complement van „hoogstens $2$ ”: $P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\text{binomcdf}(12;\,0{,}15;\,2)$ . De GR geeft $\text{binomcdf}(12;\,0{,}15;\,2)\approx 0{,}7358$ , dus $P(X\ge 3)\approx 1-0{,}7358=0{,}2642$ .
$P(X\ge 3)=1-\text{binomcdf}(12;\,0{,}15;\,2)\approx 0{,}2642$
(c) Verwachting en standaardafwijking
$E(X)=np=12\cdot 0{,}15=1{,}8$ en $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{12\cdot 0{,}15\cdot 0{,}85}=\sqrt{1{,}53}\approx 1{,}24$ .
$E(X)=1{,}8,\quad \sigma(X)=\sqrt{1{,}53}\approx 1{,}24$

Resultaat: (a) $P(X=2)\approx 0{,}2924$ ; (b) $P(X\ge 3)\approx 0{,}2642$ ; (c) $E(X)=1{,}8$ en $\sigma(X)\approx 1{,}24$ . Gemiddeld zitten er dus bijna twee panelen met een onvolkomenheid tussen elke twaalf.

Veelgemaakte fouten

De binomiaalcoëfficiënt $\binom{n}{k}$ vergeten en alleen $p^{k}(1-p)^{n-k}$ nemen; dan tel je één volgorde in plaats van alle $\binom{n}{k}$ mogelijke volgordes.
„Minstens $k$ ” verwarren met $\text{binomcdf}(n,p,k)$ . Het is $P(X\ge k)=1-\text{binomcdf}(n,p,k-1)$ — vergeet de $-1$ niet, anders reken je de waarde $k$ zelf ten onrechte weg.
De binomiale verdeling gebruiken terwijl er zónder terugleggen uit een kleine groep wordt getrokken; dan is $p$ niet constant en zijn de pogingen niet onafhankelijk.

Actieve herhaling

Een leerling maakt een meerkeuzetoets van $15$ vragen door bij elke vraag willekeurig te gokken; elke vraag heeft $4$ opties. Zij $X$ het aantal goede antwoorden. Bereken $P(X=5)$ , de kans op minstens $6$ goede antwoorden, en $E(X)$ en $\sigma(X)$ . Rond kansen af op vier decimalen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De normale verdeling en de z-score#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Veel grootheden in de praktijk zijn continu en bij benadering normaal verdeeld: lichaamslengte, meetfouten, de vulhoeveelheid van pakken, reactietijden. De normale verdeling is de bekende symmetrische klokkromme, volledig vastgelegd door twee getallen: het gemiddelde

\mu

(mu), dat het midden en de top bepaalt, en de standaardafwijking

\sigma

(sigma), die de breedte bepaalt. Anders dan bij een discrete variabele lees je een kans niet af als staafhoogte maar als óppervlakte onder de kromme:

P(a<X<b)

is de oppervlakte tussen

x=a

x=b

. In Afb. 3 staat de kromme voor de lengte van volwassen vrouwen met

\mu=170

cm en

\sigma=8

cm; de gearceerde oppervlakte van

170

tot

178

is de kans

P(170<X<178)\approx 0{,}3413

. De totale oppervlakte is

1

, en door de symmetrie ligt links en rechts van

\mu

elk precies de helft.

Afb. 3 — Normale verdeling met μ = 170, σ = 8

Afb. 3De normale kromme voor de vrouwenlengte met

\mu=170

\sigma=8

. De verticale lijn markeert

\mu=170

; de gearceerde oppervlakte van

170

tot

178

P(170<X<178)=P(0<z<1)\approx 0{,}3413

Om verschillende normale verdelingen met elkaar te kunnen vergelijken, standaardiseer je een waarde met de z-score

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

. De z-score zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde bóven (

z>0

) of ónder (

z<0

) het gemiddelde ligt;

z=0

valt precies op

\mu

. In Afb. 4 staat de z-schaal onder de x-schaal voor

\mu=170

\sigma=8

x=178

hoort bij

z=1

(één

\sigma

boven het midden) en

x=154

bij

z=-2

(twee

\sigma

eronder). Door te standaardiseren verandert elke normale verdeling in dezelfde standaardnormale verdeling met gemiddelde

0

en standaardafwijking

1

, zodat één tabel of één rekenregel voor allemaal volstaat.

Afb. 4 — De z-schaal onder de normale verdeling

Afb. 4Standaardiseren: elke waarde

x

hoort bij een z-score

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

. Bij

\mu=170

\sigma=8

ligt

178

z=1

154

z=-2

De kracht van de z-score is dat je er ongelijksoortige dingen mee kunt vergelijken. Haalt Sanne een

7{,}8

op een toets met

\mu=6{,}2

\sigma=0{,}8

, en Tim een

8{,}1

op een andere toets met

\mu=6{,}5

\sigma=1{,}2

, dan is

z_{\text{Sanne}}=\frac{7{,}8-6{,}2}{0{,}8}=2{,}0

z_{\text{Tim}}=\frac{8{,}1-6{,}5}{1{,}2}\approx 1{,}33

. Sanne presteert dus relatief beter, ook al scheelt hun ruwe cijfer maar weinig. Door de symmetrie van de klokkromme geldt bovendien

P(Z<-a)=P(Z>a)

: de linkerstaart voorbij

-a

is even groot als de rechterstaart voorbij

+a

— een spiegelregel die je voortdurend gebruikt om kansen om te rekenen.

Omdat elke normale verdeling na standaardiseren dezelfde vorm heeft, horen bij vaste afstanden tot het gemiddelde vaste kansen — onafhankelijk van

\mu

\sigma

. Binnen één standaardafwijking van het midden, tussen

\mu-\sigma

\mu+\sigma

, ligt altijd ongeveer

68\%

van de waarnemingen; dat is de eerste van de vuistregels uit de volgende paragraaf. Let er wél op dat de klokkromme in theorie naar beide kanten oneindig doorloopt: ze raakt de x-as nooit, maar de staarten worden razendsnel verwaarloosbaar klein. Een normale verdeling kent dus geen „hoogste” of „laagste” waarde — alleen kansen die naar de randen toe naar nul gaan.

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

z-score

Het aantal standaardafwijkingen dat x boven (z>0) of onder (z<0) het gemiddelde ligt.

x=\mu+z\cdot\sigma

Terug naar x

Uit een z-score de bijbehorende waarde x terugrekenen.

P(Z<-a)=P(Z>a)

Symmetrie van de klokkromme

De linkerstaart voorbij −a is even groot als de rechterstaart voorbij +a.

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}

Kansdichtheid (ter info)

De formule van de klokkromme; op het SE reken je met oppervlakten (GR), niet met deze functie zelf.

Uitgewerkt voorbeeld

z-scores vergelijken tussen twee verdelingen

De lengte van volwassen vrouwen is normaal verdeeld met $\mu=170$ cm en $\sigma=8$ cm; de lengte van volwassen mannen met $\mu=181$ cm en $\sigma=7$ cm. Anna is $184$ cm en haar broer Bram is $192$ cm. (a) Bereken de z-score van Anna en van Bram. (b) Wie is, binnen de eigen groep, relatief het langst?

(a) z-score van Anna
$z_{\text{Anna}}=\frac{184-170}{8}=\frac{14}{8}=1{,}75$ .
$z_{\text{Anna}}=\frac{184-170}{8}=1{,}75$
(a) z-score van Bram
$z_{\text{Bram}}=\frac{192-181}{7}=\frac{11}{7}\approx 1{,}57$ .
(b) Vergelijk de z-scores
Anna ligt $1{,}75$ standaardafwijkingen boven het vrouwengemiddelde, Bram $1{,}57$ boven het mannengemiddelde. Hoewel Bram in absolute zin langer is, is Anna binnen haar eigen groep relatief het langst.

Resultaat: (a) $z_{\text{Anna}}=1{,}75$ en $z_{\text{Bram}}\approx 1{,}57$ ; (b) Anna is relatief het langst — een grotere z-score betekent een uitzonderlijker lengte binnen de eigen verdeling.

Veelgemaakte fouten

In de z-score delen door de variantie $\sigma^{2}$ in plaats van door de standaardafwijking $\sigma$ . In de noemer staat $\sigma$ .
Het teken van de z-score negeren: een waarde ónder het gemiddelde hoort bij een negatieve z-score, en dat teken bepaalt in welke staart je zit.
Denken dat de klokkromme links of rechts „stopt”; ze loopt in theorie oneindig door, de staarten worden alleen verwaarloosbaar klein.

Actieve herhaling

Een vulmachine vult pakken meel met een hoeveelheid die normaal verdeeld is met $\mu=1000$ gram en $\sigma=12$ gram. Bereken de z-score van een pak van $985$ gram en van een pak van $1024$ gram, en leg met behulp van de z-scores uit welk pak verder van het gemiddelde af ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Normale kansen: vuistregels en de GR#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

De vuistregels — ook wel de

68

–

95

–

99{,}7

-regel — geven de kansen die bij vaste afstanden tot het gemiddelde horen, en gelden voor élke normale verdeling. Tussen

\mu-\sigma

\mu+\sigma

ligt ongeveer

68\%

van de waarnemingen, tussen

\mu-2\sigma

\mu+2\sigma

ongeveer

95\%

, en tussen

\mu-3\sigma

\mu+3\sigma

ongeveer

99{,}7\%

. Afb. 5 toont deze geneste gebieden voor de vrouwenlengte met

\mu=170

\sigma=8

: de smalle band

162

–

178

vangt

68\%

, de bredere band

154

–

186

vangt

95\%

. Je gebruikt de vuistregels om zonder rekenmachine snel een kans te schatten of om een berekende kans te controleren.

Afb. 5 — De vuistregels 68–95–99,7%

Afb. 5De geneste vuistregelgebieden voor

\mu=170

\sigma=8

\mu\pm\sigma=162

–

178

(

\approx 68\%

, gearceerd),

\mu\pm2\sigma=154

–

186

(

\approx 95\%

) en

\mu\pm3\sigma=146

–

194

(

\approx 99{,}7\%

Uit de vuistregels haal je met het complement en de symmetrie ook de staartkansen. Ligt

68\%

binnen één

\sigma

, dan valt

32\%

daarbuiten, en door de symmetrie zit daarvan de helft in elke staart:

P(X>\mu+\sigma)\approx 16\%

. Net zo is

P(X>\mu+2\sigma)\approx \frac{100\%-95\%}{2}=2{,}5\%

P(X>\mu+3\sigma)\approx 0{,}15\%

. Zo reken je uit dat maar

2{,}5\%

van de vrouwen langer is dan

186

cm, want

186=\mu+2\sigma

. Onthoud alleen de kernpercentages

68

95

99{,}7

— de rest leid je hieruit af.

Voor een precieze kans gebruik je op de grafische rekenmachine `normalcdf(ondergrens, bovengrens, μ, σ)`; dat is de oppervlakte onder de klokkromme tussen beide grenzen. Voor een eenzijdige kans vul je als ontbrekende grens een heel groot getal in:

P(X>186)

bereken je als normalcdf(186, 10^99, 170, 8) en

P(X<160)

als normalcdf(−10^99, 160, 170, 8). De GR geeft

P(X>186)\approx 0{,}0228

, dus

2{,}28\%

— netjes in de buurt van de

2{,}5\%

uit de vuistregel, maar exacter. De z-score heb je hierbij niet meer nodig;

\mu

\sigma

voer je rechtstreeks in.

Soms is de kans gegeven en zoek je de bijbehorende grenswaarde — het omgekeerde probleem. Daarvoor dient `invNorm(oppervlakte-links, μ, σ)`: je geeft de oppervlakte lïnks van de grens (de cumulatieve kans) en krijgt de waarde

x

terug. Wil je bijvoorbeeld de lengte waarboven de langste

5\%

van de vrouwen valt, dan zit links van die grens

95\%

, dus reken je invNorm(0.95, 170, 8)

\approx 183{,}2

cm. Zo bepaal je percentielen en grenswaarden. Let op de valkuil: invNorm verwacht altijd de oppervlakte lïnks van de grens, dus voor „de bovenste

5\%

” voer je

0{,}95

in, niet

0{,}05

P(a<X<b)=\text{normalcdf}(a,\,b,\,\mu,\,\sigma)

Normale kans met de GR

De oppervlakte onder de klokkromme tussen a en b; voor een eenzijdige kans gebruik je 10^99 of −10^99 als ontbrekende grens.

P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx 0{,}68

Vuistregel (1σ)

Binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ligt ongeveer 68% van de waarnemingen.

P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0{,}95

Vuistregel (2σ)

Binnen twee standaardafwijkingen ligt ongeveer 95%.

x=\text{invNorm}(p,\,\mu,\,\sigma)

Inverse normale (grenswaarde)

Bij een gegeven oppervlakte p links van de grens de bijbehorende waarde x terugvinden (percentiel).

Uitgewerkt voorbeeld

Normale kansen: vuistregel, normalcdf en invNorm

De lengte van volwassen vrouwen is normaal verdeeld met $\mu=170$ cm en $\sigma=8$ cm. (a) Welk percentage is tussen $154$ en $186$ cm? (b) Bereken $P(X>186)$ met de vuistregel én met de GR. (c) Bepaal met invNorm de lengte waarboven de langste $5\%$ valt.

(a) Herken μ ± 2σ
$154=170-2\cdot 8=\mu-2\sigma$ en $186=170+2\cdot 8=\mu+2\sigma$ . Tussen $\mu-2\sigma$ en $\mu+2\sigma$ ligt volgens de vuistregel ongeveer $95\%$ . Exact met de GR: normalcdf(154, 186, 170, 8) $\approx 0{,}9545$ .
(b) P(X>186) met de vuistregel
$186=\mu+2\sigma$ . Buiten de band $\mu\pm2\sigma$ ligt $5\%$ , en door de symmetrie zit in de rechterstaart de helft: $P(X>186)\approx 2{,}5\%$ .
(b) P(X>186) met de GR
Eenzijdig: normalcdf(186, 10^99, 170, 8) $\approx 0{,}0228$ , oftewel $2{,}28\%$ — dat bevestigt de schatting, maar nauwkeuriger.
(c) De langste 5% met invNorm
Boven de gezochte grens ligt $5\%$ , dus eronder $95\%$ : $x=$ invNorm(0.95, 170, 8) $\approx 183{,}2$ cm.
$x=\text{invNorm}(0{,}95;\,170;\,8)\approx 183{,}2$

Resultaat: (a) ongeveer $95\%$ (exact $0{,}9545$ ); (b) $P(X>186)\approx 2{,}5\%$ met de vuistregel en $2{,}28\%$ met de GR; (c) de langste $5\%$ is langer dan ongeveer $183$ cm.

Veelgemaakte fouten

Bij een eenzijdige kans de tweede grens vergeten of $0$ invoeren; gebruik $10^{99}$ als bovengrens of $-10^{99}$ als ondergrens.
invNorm voeden met de rechteroppervlakte: invNorm verwacht de oppervlakte links van de grens. Voor de bovenste $5\%$ voer je $0{,}95$ in, niet $0{,}05$ .
De vuistregels toepassen op grenzen die géén heel aantal $\sigma$ van het gemiddelde liggen; $68$ – $95$ – $99{,}7$ geldt precies bij $\mu\pm\sigma$ , $\mu\pm2\sigma$ en $\mu\pm3\sigma$ , voor andere grenzen gebruik je de GR.

Actieve herhaling

De scores op een SE-onderdeel zijn normaal verdeeld met $\mu=64$ en $\sigma=10$ . (a) Schat met de vuistregels welk percentage tussen $44$ en $84$ ligt. (b) Bereken met de GR $P(X>75)$ . (c) Bepaal met invNorm de score die hoort bij het $90^{\text{e}}$ percentiel.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De normale benadering van de binomiale verdeling#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Bij een grote

n

wordt het optellen van veel binomiale kansen bewerkelijk, en dan komt een handige eigenschap van pas: een binomiale verdeling met voldoende grote

n

lijkt sterk op een normale verdeling. Je mag

\text{Bin}(n,p)

daarom benaderen door een normale verdeling met hetzelfde midden en dezelfde spreiding:

\mu=np

\sigma=\sqrt{np(1-p)}

. De gebruikelijke vuistregel is dat de benadering goed is zolang

np\ge 5

én

n(1-p)\ge 5

— dan liggen genoeg staven links én rechts van de top om de klokvorm te herkennen. Afb. 6 toont de benaderende normale kromme voor

n=50

p=0{,}4

, met

\mu=20

\sigma=\sqrt{12}\approx 3{,}46

Afb. 6 — Normale benadering van Bin(50; 0,4)

Afb. 6De normale benadering van

\text{Bin}(50;\,0{,}4)

heeft

\mu=np=20

\sigma=\sqrt{12}\approx 3{,}46

. Voor

P(X\ge 25)

ligt de gecorrigeerde grens bij

24{,}5

(gestreept), waarna je de gearceerde rechterstaart neemt.

Er is één subtiliteit: je vervangt een discrete verdeling (die alleen de gehele waarden

0,1,2,\dots

aanneemt) door een continue kromme. Een losse staaf bij

X=k

heeft in het binomiale plaatje breedte

1

en strekt zich uit van

k-\tfrac{1}{2}

tot

k+\tfrac{1}{2}

; om de oppervlakte goed te vangen, verschuif je de grens met

\tfrac{1}{2}

. Dit heet de continuïteitscorrectie. Voor „minstens

k

” reken je dus

P(X\ge k)\approx P\!\left(Y>k-\tfrac{1}{2}\right)

met

Y

normaal verdeeld, en voor „hoogstens

k

”

P(X\le k)\approx P\!\left(Y<k+\tfrac{1}{2}\right)

. In Afb. 6 is de grens voor

P(X\ge 25)

daarom niet

25

maar

24{,}5

(de gestreepte lijn), waarna je de rechterstaart neemt.

Na de correctie reken je de kans zoals in de vorige paragraaf: met normalcdf, of via de z-score

z=\frac{(k\mp\tfrac{1}{2})-\mu}{\sigma}

. Voor

n=50

p=0{,}4

P(X\ge 25)

geeft dat

z=\frac{24{,}5-20}{\sqrt{12}}\approx 1{,}30

, en

P(Z>1{,}30)\approx 0{,}0970

. De exacte binomiale waarde is

1-\text{binomcdf}(50;\,0{,}4;\,24)\approx 0{,}0978

: de benadering wijkt met continuïteitscorrectie nog geen half procent af. Zónder de correctie zou je

z=\frac{25-20}{\sqrt{12}}\approx 1{,}44

P(Z>1{,}44)\approx 0{,}0745

krijgen — een duidelijk slechtere schatting.

De normale benadering is dezelfde brug die achter veel statistiek zit: de som (of het aantal) van veel onafhankelijke pogingen is bij benadering normaal verdeeld. Sinds elke grafische rekenmachine binomcdf tot grote

n

exact aankan, gebruik je de benadering in de praktijk vooral als denkgereedschap — om te zïen dat een aantal successen normaal verdeeld raakt — en bij het toetsen van hypothesen met grote steekproeven. Vergeet de continuïteitscorrectie niet zolang je met de discrete binomiale telvariabele werkt; laat je haar weg, dan krijg je systematisch een iets te kleine of te grote staartkans.

\mu=np,\qquad \sigma=\sqrt{np(1-p)}

Benaderende normale verdeling

Voor grote n benader je Bin(n, p) door een normale verdeling met dit gemiddelde en deze standaardafwijking.

np\ge 5\ \text{ én }\ n(1-p)\ge 5

Vuistregel: mag de benadering?

Zolang zowel np als n(1−p) minstens 5 is, is de normale benadering betrouwbaar.

P(X\ge k)\approx P\!\left(Y>k-\tfrac{1}{2}\right),\quad P(X\le k)\approx P\!\left(Y<k+\tfrac{1}{2}\right)

Continuïteitscorrectie

Verschuif de grens met een halve: naar k−½ bij „minstens”, naar k+½ bij „hoogstens”.

z=\frac{\left(k\mp\tfrac{1}{2}\right)-\mu}{\sigma}

z-score met correctie

De gecorrigeerde grens gestandaardiseerd; daarna reken je de staartkans met de standaardnormale verdeling.

Uitgewerkt voorbeeld

Een binomiale kans schatten met de normale benadering

Op een webpagina vult gemiddeld $40\%$ van de bezoekers een korte enquête in. Op een dag komen er $50$ onafhankelijke bezoekers. Zij $X$ het aantal dat de enquête invult. (a) Waarom mag je hier de normale benadering gebruiken? (b) Schat $P(X\ge 25)$ met de normale benadering en continuïteitscorrectie. (c) Vergelijk met de exacte binomiale waarde.

(a) Mag de benadering?
$\mu=np=50\cdot 0{,}4=20$ en $n(1-p)=50\cdot 0{,}6=30$ ; beide zijn $\ge 5$ , dus de vuistregel is ruim vervuld. De spreiding is $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{50\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6}=\sqrt{12}\approx 3{,}46$ .
$\mu=20,\quad \sigma=\sqrt{12}\approx 3{,}46$
(b) Continuïteitscorrectie en z-score
„Minstens $25$ ” wordt $P(X\ge 25)\approx P(Y>24{,}5)$ . De z-score is $z=\frac{24{,}5-20}{\sqrt{12}}\approx 1{,}30$ , dus $P(Y>24{,}5)=P(Z>1{,}30)\approx 0{,}0970$ (op de GR: normalcdf(24.5, 10^99, 20, 3.4641)).
$z=\frac{24{,}5-20}{\sqrt{12}}\approx 1{,}30,\quad P(Z>1{,}30)\approx 0{,}0970$
(c) Vergelijk met de exacte waarde
Exact: $P(X\ge 25)=1-\text{binomcdf}(50;\,0{,}4;\,24)\approx 0{,}0978$ . De benadering ( $0{,}0970$ ) wijkt daar nog geen half procent van af. Zónder correctie zou je $z\approx 1{,}44$ en $P(Z>1{,}44)\approx 0{,}0745$ krijgen — duidelijk te laag.

Resultaat: De normale benadering met continuïteitscorrectie geeft $P(X\ge 25)\approx 0{,}097$ , vrijwel gelijk aan de exacte binomiale waarde $0{,}098$ . Weglaten van de $\tfrac{1}{2}$ -correctie ( $0{,}075$ ) zou een duidelijke onderschatting zijn.

Veelgemaakte fouten

De continuïteitscorrectie vergeten en met $k$ in plaats van $k\pm\tfrac{1}{2}$ rekenen; dat geeft een systematisch te kleine of te grote staartkans.
De correctie de verkeerde kant op toepassen. Voor „minstens $k$ ” ( $P(X\ge k)$ ) verschuif je naar $k-\tfrac{1}{2}$ , voor „hoogstens $k$ ” ( $P(X\le k)$ ) naar $k+\tfrac{1}{2}$ .
$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ verwarren met de variantie $np(1-p)$ of met $\sqrt{np}$ ; neem echt de wortel van $np(1-p)$ .

Actieve herhaling

Een munt wordt $100$ keer geworpen. Zij $X$ het aantal keer kop. (a) Ga na dat de normale benadering mag en geef $\mu$ en $\sigma$ . (b) Schat met de normale benadering en continuïteitscorrectie de kans op hoogstens $45$ keer kop, $P(X\le 45)$ . (c) Vergelijk desgewenst met de exacte binomiale waarde op de GR.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Kansverdelingen (binomiaal en normaal)

Kernpunten

Binomiale kansen bij een controle van zonnepanelen

Kernpunten

z-scores vergelijken tussen twee verdelingen

Kernpunten

Normale kansen: vuistregel, normalcdf en invNorm

Kernpunten

Een binomiale kans schatten met de normale benadering

Bronnen