Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Correlatie en regressie

Deze samenvatting gaat over de samenhang tussen twee kwantitatieve variabelen. Je leert een spreidingsdiagram maken en de aard, richting en sterkte van de samenhang beschrijven, de correlatiecoëfficiënt $r$ en de determinatiecoëfficiënt $r^2$ berekenen en interpreteren, en de kleinste-kwadratenlijn $y=ax+b$ opstellen met de formules $a=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum (x-\bar{x})^2}$ en $b=\bar{y}-a\bar{x}$ . Ten slotte voorspel je met de regressielijn (interpolatie versus extrapolatie) en leer je kritisch redeneren: correlatie is geen causaliteit. Correlatie en regressie horen bij domein B en worden bij wiskunde D uitsluitend in het schoolexamen (SE) getoetst — wiskunde D kent geen centraal examen.

4 Onderdelen~23 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 1 · Verdieping 2

T·0777 / 19

Examenprofiel

Een spreidingsdiagram maken en de aard, richting (positief/negatief) en sterkte van de samenhang tussen twee variabelen beschrijven (domein B)De correlatiecoëfficiënt r en de determinatiecoëfficiënt r² met ICT of met de formule bepalen en interpreterenDe kleinste-kwadratenlijn y=ax+b opstellen met de formules voor a en b (of met ICT) en de betekenis van a en b in de context benoemenMet de regressielijn voorspellen en kritisch redeneren over interpolatie, extrapolatie en het verschil tussen correlatie en causaliteit

Operatoren:tekenlees afberekenbepaalinterpreteerbeoordeelvoorspelleg uit

basisniveau

Kern van het onderwerp (SE-stof, domein B): een spreidingsdiagram lezen en tekenen, de richting en sterkte van de samenhang benoemen, en met ICT de correlatiecoëfficiënt $r$ en de regressielijn $y=ax+b$ bepalen en gebruiken om te voorspellen.

verhoogd niveau

Verdieping: $r$ en $b$ met de hand berekenen via de kleinste-kwadratenformules, $r^2$ interpreteren als aandeel verklaarde variantie, residuen analyseren, en scherp redeneren over de grenzen van een lineair model (extrapolatie) en over correlatie versus causaliteit (schijncorrelatie, derde variabele).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Correlatie en regressie

Samenhang en het spreidingsdiagram#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Correlatie en regressie draaien om bivariate data: bij elke onderzoekseenheid meet je twee kwantitatieve variabelen tegelijk, bijvoorbeeld van elke leerling zowel het aantal studeeruren per week

x

als het behaalde cijfer

y

. Elke eenheid levert zo een getallenpaar

(x_i, y_i)

, en die paren zet je uit als punten in een assenstelsel: het spreidingsdiagram (puntenwolk, scatterplot). In Afb. 1 zie je zo'n diagram voor zes leerlingen; elk punt is één leerling. De centrale vraag is of de twee variabelen samenhangen: gaat een grotere

x

systematisch samen met een grotere (of juist kleinere)

y

, of ligt de wolk vormloos door elkaar? Het spreidingsdiagram is altijd de eerste stap — je kijkt eerst naar het patroon voordat je iets gaat berekenen.

Spreidingsdiagram met een positief verband

Afb. 1Studeeruren per week (

x

) tegen behaald cijfer (

y

) voor zes leerlingen. De wolk loopt van linksonder naar rechtsboven: een positief verband. Het zwaartepunt is

(\bar{x}, \bar{y}) = (5{,}5;\,6{,}0)

Aan een puntenwolk lees je de richting van de samenhang af. Bij een positief verband loopt de wolk van linksonder naar rechtsboven: een grotere

x

gaat gemiddeld samen met een grotere

y

(Afb. 1: meer studeren, hoger cijfer). Bij een negatief verband loopt de wolk van linksboven naar rechtsonder: een grotere

x

gaat samen met een kleinere

y

. In Afb. 2 staat het aantal gemiste lessen tegen het cijfer: hoe meer lessen gemist, hoe lager het cijfer — een duidelijk negatief verband. Ligt er geen richting in de wolk, dan is er (nagenoeg) geen lineaire samenhang. De richting is dus een kwalitatief oordeel dat je later kwantificeert met het teken van de correlatiecoëfficiënt

r

Spreidingsdiagram met een negatief verband

Afb. 2Aantal gemiste lessen (

x

) tegen behaald cijfer (

y

) voor zes leerlingen. De wolk loopt van linksboven naar rechtsonder: hoe meer gemiste lessen, hoe lager het cijfer — een sterk negatief verband.

Naast de richting beoordeel je de sterkte en de vorm. De samenhang is sterk als de punten dicht rond één rechte lijn liggen, en zwak als ze ver om die denkbeeldige lijn heen spatten. Let op een veelgemaakte denkfout: sterkte gaat over hoe dicht de punten bij een lijn liggen, niet over hoe steil de lijn is — een flauw stijgende wolk kan een sterkere samenhang hebben dan een steile maar rommelige wolk. De vorm is meestal lineair (een rechte trend), maar soms kromlijnig (bijvoorbeeld eerst stijgend en dan afvlakkend); in dat laatste geval is een rechte lijn niet passend, ook al is er wel degelijk samenhang. Losse punten die ver van de rest liggen zijn afwijkende waarnemingen (uitschieters) die de berekende maten sterk kunnen beïnvloeden.

Bij bivariate data onderscheid je vaak een verklarende variabele en een verklaarde variabele. De verklarende (onafhankelijke) variabele zet je op de horizontale as (

x

); de verklaarde (afhankelijke, respons-)variabele op de verticale as (

y

). Bij studeeruren en cijfer is 'studeeruren' de verklarende en 'cijfer' de verklaarde variabele: je verwacht dat studeeruren het cijfer helpen verklaren, niet andersom. Deze keuze bepaalt hoe je de assen tekent én, verderop, welke regressielijn je opstelt (de lijn van

y

x

is een andere lijn dan die van

x

y

). Verwissel

x

y

dus niet zomaar.

Een handig ankerpunt is het zwaartepunt (gemiddelde punt)

(\bar{x}, \bar{y})

van de puntenwolk, met

\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}

\bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}

. Dit punt ligt als het ware in het midden van de wolk en — dat blijkt later een sleuteleigenschap — de kleinste-kwadratenlijn gaat er altijd precies doorheen. Voor de zes leerlingen van Afb. 1 is

\bar{x}=5{,}5

uur en

\bar{y}=6{,}0

, dus het zwaartepunt is

(5{,}5;\,6{,}0)

. Door het zwaartepunt te markeren krijg je meteen gevoel voor waar het 'centrum' van de samenhang ligt. In de volgende paragrafen maak je het visuele oordeel (richting, sterkte) exact met de correlatiecoëfficiënt

r

en de regressielijn.

\text{datapunt: } (x_i, y_i), \quad i = 1, 2, \ldots, n

Bivariate waarneming

Bij elke eenheid horen twee gemeten waarden; samen vormen de $n$ paren de puntenwolk in het spreidingsdiagram.

\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}, \qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}

Zwaartepunt van de puntenwolk

De gemiddelden van $x$ en $y$ ; het punt $(\bar{x}, \bar{y})$ ligt in het midden van de wolk en de regressielijn gaat er altijd doorheen.

Uitgewerkt voorbeeld

Een spreidingsdiagram beschrijven

Van zes leerlingen is het aantal uren sport per week ( $x$ ) en de rusthartslag in slagen per minuut ( $y$ ) genoteerd: (1; 78), (2; 74), (3; 72), (5; 66), (6; 64), (7; 60). Bepaal het zwaartepunt $(\bar{x}, \bar{y})$ en beschrijf de richting, sterkte en vorm van de samenhang.

Bereken de gemiddelden
$\bar{x} = \frac{1+2+3+5+6+7}{6} = \frac{24}{6} = 4$ uur en $\bar{y} = \frac{78+74+72+66+64+60}{6} = \frac{414}{6} = 69$ slagen per minuut. Het zwaartepunt is dus $(4;\,69)$ .
$\bar{x}=\frac{24}{6}=4, \qquad \bar{y}=\frac{414}{6}=69$
Bepaal de richting
Zet de punten uit. Naarmate $x$ (sporturen) toeneemt, daalt $y$ (rusthartslag) systematisch van 78 naar 60. De wolk loopt van linksboven naar rechtsonder: een negatief verband.
Beoordeel de sterkte en de vorm
De punten liggen bijna precies op één dalende rechte lijn — er is nauwelijks spreiding om die lijn. De samenhang is dus sterk en de vorm is lineair. (Reken je $r$ uit, dan vind je $r \approx -1$ , wat dit bevestigt.)

Resultaat: Het zwaartepunt is $(4;\,69)$ . Er is een sterk, negatief en nagenoeg lineair verband: meer sporturen gaan samen met een lagere rusthartslag. Let op: dit beschrijft samenhang, nog geen oorzaak-gevolg.

Veelgemaakte fouten

De verklarende en de verklaarde variabele verwisselen, zodat $x$ en $y$ op de verkeerde as komen. Zet de variabele die verklaart (de oorzaak-kandidaat) op de horizontale as.
Sterkte verwarren met steilheid: een steile wolk is niet per se een sterke samenhang. Sterkte gaat over hoe dicht de punten bij een lijn liggen, niet over de helling.
Bij een duidelijk kromlijnig patroon concluderen dat er 'geen verband' is. Er kan sterke, niet-lineaire samenhang zijn; alleen een rechte lijn past er dan niet bij.

Actieve herhaling

Van acht auto's is de leeftijd (in jaren) en de verkoopprijs (in duizenden euro's) genoteerd: (1; 22), (2; 19), (3; 17), (4; 15), (5; 12), (6; 11), (7; 8), (8; 7). Teken het spreidingsdiagram, bepaal het zwaartepunt $(\bar{x}, \bar{y})$ en beschrijf de richting, sterkte en vorm van de samenhang.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De correlatiecoëfficiënt r en de determinatiecoëfficiënt r²#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

De correlatieschaal van −1 tot +1

Afb. 3De correlatiecoëfficiënt

r

ligt altijd tussen

-1

(perfect negatief lineair verband) en

+1

(perfect positief); bij

0

is er geen lineair verband. Het teken geeft de richting, de afstand tot

0

de sterkte.

De correlatiecoëfficiënt

r

maakt de visuele indruk van 'sterkte en richting' exact. Het is één getal dat altijd tussen

-1

1

ligt:

-1 \le r \le 1

(Afb. 1). Het teken geeft de richting:

r > 0

hoort bij een positief verband,

r < 0

bij een negatief verband. De absolute waarde

|r|

geeft de sterkte: hoe dichter

|r|

bij 1, hoe strakker de punten om een rechte lijn liggen. De formule is

r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum (y_i-\bar{y})^2}}

. De teller (de som van de producten van de afwijkingen) bepaalt het teken; de noemer schaalt alles netjes naar het bereik

[-1, 1]

, zodat

r

niet afhangt van de meeteenheden.

De uitersten en het midden geven houvast bij de interpretatie. Is

r = 1

, dan liggen alle punten precies op één stijgende rechte lijn (perfect positief lineair verband);

r = -1

hoort bij een perfect dalende lijn. Is

r = 0

, dan is er geen lineair verband. Als vuistregel noem je

|r|

boven ongeveer

0{,}8

sterk, rond

0{,}5

matig en onder ongeveer

0{,}3

zwak — maar die grenzen zijn richtsnoeren, geen wet. In Afb. 2 staat een puntenwolk met

r \approx 0{,}24

: de punten spatten alle kanten op, en dat kleine positieve getal bevestigt dat er nauwelijks lineaire samenhang is. Vergelijk dat met de sterke wolken uit de vorige paragraaf, waar

|r|

dicht bij 1 lag.

De determinatiecoëfficiënt

r^2

is het kwadraat van

r

en ligt daarom altijd tussen 0 en 1. Je leest

r^2

als het aandeel van de variatie (variantie) in

y

dat door de lineaire samenhang met

x

wordt verklaard, vaak uitgedrukt als percentage. Vind je bijvoorbeeld

r = 0{,}9

, dan is

r^2 = 0{,}81

: ongeveer 81% van de verschillen in

y

hangt samen met de verschillen in

x

, en de overige 19% komt door andere factoren en toeval. Zo vertaalt

r^2

de nogal abstracte

r

naar een concreet 'verklarend vermogen' van het model. Omdat het kwadrateren het teken wegneemt, zegt

r^2

niets meer over de richting — daarvoor kijk je naar het teken van

r

zelf.

Een paar belangrijke waarschuwingen horen bij

r

. Ten eerste meet

r

uitsluitend het lineaire verband: bij een sterk kromlijnig patroon (bijvoorbeeld een parabool) kan

r

bijna 0 zijn terwijl er wél een duidelijke — maar niet-rechte — samenhang bestaat. Kijk daarom altijd eerst naar de puntenwolk en vertrouw niet blind op één getal. Ten tweede is

r

gevoelig voor uitschieters: één afwijkend punt kan

r

flink omhoog of omlaag trekken. Ten derde: dezelfde

r

hoort bij totaal verschillende wolken, dus

r

vervangt het spreidingsdiagram niet, maar vult het aan.

In de praktijk bereken je

r

r^2

vrijwel altijd met ICT. Op de grafische rekenmachine voer je de

x

-waarden in lijst

L_1

en de

y

-waarden in

L_2

in en kies je lineaire regressie (bijvoorbeeld

\text{LinReg}(ax+b)

); de machine geeft dan naast

a

b

meteen

r

r^2

(zet zo nodig 'DiagnosticOn' aan). In een spreadsheet gebruik je

=\text{CORRELATIE}(x\text{-bereik};\,y\text{-bereik})

. Bij een klein aantal punten kun je

r

ook met de hand uitrekenen via de formule — precies wat je in het uitgewerkte voorbeeld hieronder doet — zodat je begrijpt wat de machine berekent.

r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum (y_i-\bar{y})^2}}, \qquad -1 \le r \le 1

Correlatiecoëfficiënt

Het teken van $r$ geeft de richting (positief/negatief), de absolute waarde $|r|$ de sterkte van het lineaire verband. $r = \pm 1$ betekent dat alle punten op één rechte lijn liggen.

r^2 = \left( \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum (y_i-\bar{y})^2}} \right)^{\!2}, \qquad 0 \le r^2 \le 1

Determinatiecoëfficiënt

Het aandeel van de variatie in $y$ dat door de lineaire samenhang met $x$ wordt verklaard; vaak als percentage. $r^2 = 0{,}81$ betekent: ongeveer 81% verklaarde variatie.

Spreidingsdiagram met een zwakke samenhang

Afb. 4Schoenmaat (

x

) tegen wiskundecijfer (

y

) voor zes leerlingen. De wolk heeft geen duidelijke richting; de berekende correlatie is slechts

r \approx 0{,}24

(

r^2 \approx 0{,}06

): een zwakke, nietszeggende samenhang.

Uitgewerkt voorbeeld

r en r² met de hand berekenen

Voor vijf leerlingen zijn het aantal uren studeren ( $x$ ) en het aantal goed beantwoorde vragen ( $y$ ) genoteerd: (1; 3), (2; 5), (3; 4), (4; 6), (5; 7). Bereken de correlatiecoëfficiënt $r$ en de determinatiecoëfficiënt $r^2$ en interpreteer beide.

Bereken de gemiddelden
$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$ en $\bar{y} = \frac{3+5+4+6+7}{5} = \frac{25}{5} = 5$ .
$\bar{x}=3, \qquad \bar{y}=5$
Maak de afwijkingen en hun producten
$(x_i-\bar{x})$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ . $(y_i-\bar{y})$ : $-2, 0, -1, 1, 2$ . Producten $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ : $4,\ 0,\ 0,\ 1,\ 4$ , met som $\sum = 9$ .
Bereken de kwadraatsommen
$\sum (x_i-\bar{x})^2 = 4+1+0+1+4 = 10$ en $\sum (y_i-\bar{y})^2 = 4+0+1+1+4 = 10$ .
$\sum (x_i-\bar{x})^2 = 10, \qquad \sum (y_i-\bar{y})^2 = 10$
Vul de formule voor r in
$r = \frac{9}{\sqrt{10 \cdot 10}} = \frac{9}{10} = 0{,}90$ . De waarde is positief en dicht bij 1: een sterk positief lineair verband.
$r=\frac{9}{\sqrt{10 \cdot 10}}=\frac{9}{10}=0{,}90$
Bereken en interpreteer r²
$r^2 = 0{,}90^2 = 0{,}81$ . Ongeveer 81% van de verschillen in het aantal goede vragen hangt samen met de verschillen in studietijd; de overige 19% komt door andere factoren en toeval.

Resultaat: $r = 0{,}90$ (sterk positief lineair verband) en $r^2 = 0{,}81$ : ongeveer 81% van de variatie in $y$ wordt verklaard door de lineaire samenhang met $x$ .

Veelgemaakte fouten

$r$ en $r^2$ door elkaar halen. $r$ ( $\in [-1,1]$ ) draagt de richting via zijn teken; $r^2$ ( $\in [0,1]$ ) is het verklarende aandeel en zegt niets over de richting.
Denken dat $r = 0$ 'geen enkel verband' betekent. $r = 0$ betekent geen líneair verband; er kan een sterk kromlijnig verband schuilgaan — kijk altijd naar de puntenwolk.
$|r|$ opvatten als de helling van de lijn. $r$ meet alleen hoe strak de punten om een lijn liggen, niet hoe steil die lijn is (dat is de richtingscoëfficiënt $a$ ).

Actieve herhaling

Voor zes dagen zijn de gemiddelde temperatuur ( $x$ , in °C) en het aantal verkochte kopjes warme chocolademelk ( $y$ ) genoteerd: (2; 48), (5; 42), (8; 39), (11; 30), (14; 27), (17; 21). Bereken $r$ en $r^2$ (met de formule of met ICT) en interpreteer beide waarden in de context.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Lineaire regressie: de kleinste-kwadratenlijn#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Spreidingsdiagram met de regressielijn

Afb. 5Studeeruren (

x

) tegen cijfer (

y

) met de kleinste-kwadratenlijn

y = 0{,}56x + 2{,}92

. De correlatie is

r \approx 0{,}92

(

r^2 \approx 0{,}84

): de punten liggen dicht bij de lijn.

Als er een lineair verband is, vat je dat samen met één rechte lijn door de puntenwolk: de regressielijn

y = ax + b

. Maar door een wolk kun je oneindig veel lijnen tekenen — welke is 'het best'? Het antwoord is de kleinste-kwadratenlijn. Voor elk datapunt is het residu

e_i = y_i - \hat{y}_i

het verticale verschil tussen de werkelijke

y_i

en de door de lijn voorspelde

\hat{y}_i = a x_i + b

(Afb. 1). De kleinste-kwadratenlijn is de lijn waarvoor de som van de kwadraten van die residuen,

\sum e_i^2

, zo klein mogelijk is. Je kwadrateert de residuen zodat positieve en negatieve afwijkingen elkaar niet opheffen en grote afwijkingen extra meetellen.

De optimale lijn heeft een vaste formule. De richtingscoëfficiënt is

a=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}

en het snijpunt met de

y

-as is

b=\bar{y}-a\bar{x}

. Merk op dat de teller van

a

dezelfde is als de teller van

r

: regressie en correlatie zijn nauw verwant. Uit

b=\bar{y}-a\bar{x}

volgt bovendien direct dat de lijn door het zwaartepunt

(\bar{x}, \bar{y})

gaat: vul je

x=\bar{x}

in, dan is

y = a\bar{x} + (\bar{y}-a\bar{x}) = \bar{y}

. Bereken dus altijd éérst

a

en pas dáárna

b

, want

b

hangt van

a

af.

De betekenis van

a

b

lees je af in de context. De richtingscoëfficiënt

a

is de gemiddelde verandering in

y

per eenheid toename van

x

. Voor de studeeruren-data van Afb. 1 vind je

a = 0{,}56

: elk extra studeeruur gaat gemiddeld samen met

0{,}56

punt hoger cijfer. Het snijpunt

b = 2{,}92

is de voorspelde

y

-waarde bij

x = 0

(het 'startcijfer' bij nul studeeruren). Let op de nuance:

a

beschrijft een gemiddelde samenhang, geen gegarandeerd effect voor één individu, en

b

heeft alleen een zinvolle betekenis als

x = 0

binnen (of dicht bij) het meetbereik ligt.

Waarom juist deze formules? Je zoekt de

a

b

die

S(a,b)=\sum (y_i - a x_i - b)^2

minimaliseren. Door

S

partieel naar

b

en naar

a

te differentiëren en beide afgeleiden nul te stellen, krijg je twee vergelijkingen (de 'normaalvergelijkingen'). De eerste levert

b=\bar{y}-a\bar{x}

(de lijn door het zwaartepunt), de tweede, na invullen, de formule voor

a

. Deze afleiding hoef je op het SE meestal niet volledig te reproduceren, maar het idee — minimaliseren van een kwadratensom via de afgeleide — verklaart waar de formules vandaan komen en waarom de lijn door

(\bar{x}, \bar{y})

gaat.

In de praktijk laat je de regressielijn door ICT bepalen (

\text{LinReg}(ax+b)

op de GR, of een trendlijn in een spreadsheet), maar bij weinig punten reken je hem met de formules uit. Een nuttige controle: de residuen van de kleinste-kwadratenlijn tellen altijd op tot 0 (

\sum e_i = 0

). In Afb. 2 zijn de residuen van de studeeruren-data uitgezet tegen

x

; ze schommelen rond de nullijn zonder duidelijk patroon, wat bevestigt dat een rechte lijn hier goed past. Zou je in zo'n residuenplot een kromme (bijvoorbeeld een U-vorm) zien, dan is een lineair model niet passend en zoek je een ander verband.

a=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}

Richtingscoëfficiënt (kleinste kwadraten)

De helling van de best passende lijn; de teller is gelijk aan die van $r$ , wat regressie en correlatie verbindt.

b=\bar{y}-a\bar{x}

Snijpunt met de y-as

Volgt na $a$ ; hieruit blijkt dat de lijn door het zwaartepunt $(\bar{x}, \bar{y})$ gaat. Bereken $a$ altijd vóór $b$ .

e_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (a x_i + b), \qquad \text{minimaliseer } \sum e_i^2

Residu en kleinste-kwadratencriterium

Het residu is het verticale verschil tussen waarneming en lijn; de regressielijn maakt de som van de gekwadrateerde residuen minimaal. Altijd geldt $\sum e_i = 0$ .

Residuenplot bij de regressielijn

Afb. 6Residuen

e_i = y_i - \hat{y}_i

van de studeeruren-data, uitgezet tegen

x

. Ze schommelen rond

0

(samen

\sum e_i = 0

) zonder systematisch patroon: een rechte lijn past goed bij deze data.

Uitgewerkt voorbeeld

De kleinste-kwadratenlijn opstellen

Voor zes leerlingen zijn de studeeruren per week ( $x$ ) en het cijfer ( $y$ ) genoteerd: (2; 4,5), (3; 4,0), (5; 6,5), (6; 5,5), (8; 7,0), (9; 8,5). Bepaal met de formules de kleinste-kwadratenlijn $y = ax + b$ en interpreteer $a$ .

Bereken de gemiddelden
$\bar{x} = \frac{2+3+5+6+8+9}{6} = \frac{33}{6} = 5{,}5$ en $\bar{y} = \frac{4{,}5+4{,}0+6{,}5+5{,}5+7{,}0+8{,}5}{6} = \frac{36}{6} = 6{,}0$ .
$\bar{x}=5{,}5, \qquad \bar{y}=6{,}0$
Bereken de sommen voor a
$(x_i-\bar{x})$ : $-3{,}5, -2{,}5, -0{,}5, 0{,}5, 2{,}5, 3{,}5$ . De producten $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ leveren $\sum = 21{,}0$ , en $\sum (x_i-\bar{x})^2 = 12{,}25+6{,}25+0{,}25+0{,}25+6{,}25+12{,}25 = 37{,}5$ .
$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 21{,}0, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 37{,}5$
Bereken a
$a = \frac{21{,}0}{37{,}5} = 0{,}56$ .
$a=\frac{21{,}0}{37{,}5}=0{,}56$
Bereken b
$b = \bar{y} - a\bar{x} = 6{,}0 - 0{,}56 \cdot 5{,}5 = 6{,}0 - 3{,}08 = 2{,}92$ .
$b=6{,}0-0{,}56 \cdot 5{,}5 = 2{,}92$
Interpreteer a
De regressielijn is $y = 0{,}56x + 2{,}92$ . De richtingscoëfficiënt $a = 0{,}56$ betekent: elk extra studeeruur gaat gemiddeld samen met $0{,}56$ punt hoger cijfer.

Resultaat: De kleinste-kwadratenlijn is $y = 0{,}56x + 2{,}92$ . Per extra studeeruur stijgt het voorspelde cijfer met gemiddeld $0{,}56$ punt; bij $0$ uur voorspelt het model een cijfer van $2{,}92$ .

Veelgemaakte fouten

$b$ gelijkstellen aan $\bar{y}$ in plaats van $b=\bar{y}-a\bar{x}$ , of $a$ en $b$ verwisselen. Bereken eerst $a$ en gebruik die waarde dan in $b$ .
De regressie van $y$ op $x$ verwarren met die van $x$ op $y$ ; dat zijn verschillende lijnen. Zet de verklarende variabele consequent als $x$ .
Residuen horizontaal (loodrecht op de lijn) meten in plaats van verticaal. Het residu is $y_i - \hat{y}_i$ , gemeten evenwijdig aan de $y$ -as.

Actieve herhaling

Voor vijf weken zijn het aantal geplaatste advertenties ( $x$ ) en het aantal verkochte producten ( $y$ ) genoteerd: (2; 14), (4; 18), (6; 23), (8; 25), (10; 30). Bepaal met de formules de kleinste-kwadratenlijn $y = ax + b$ , controleer dat de lijn door het zwaartepunt gaat, en interpreteer $a$ in de context.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Voorspellen, en correlatie versus causaliteit#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Schijncorrelatie: ijsverkoop en zonnesteek

Afb. 7IJsverkoop (

x

) tegen aantal gevallen van zonnesteek (

y

) over zes dagen, met de regressielijn. De correlatie is zeer sterk (

r \approx 0{,}997

), maar er is geen oorzakelijk verband: beide worden gedreven door de buitentemperatuur (een derde variabele). Dit is een schijncorrelatie.

De belangrijkste toepassing van de regressielijn is voorspellen. Vul je een

x

-waarde in de lijnformule

\hat{y} = ax + b

in, dan krijg je de voorspelde

y

-waarde. Voor de studeeruren-lijn

y = 0{,}56x + 2{,}92

voorspel je bij

7

studeeruren een cijfer

\hat{y} = 0{,}56 \cdot 7 + 2{,}92 = 6{,}84

. Zo'n voorspelling binnen het bereik van de gemeten

x

-waarden heet interpolatie en is doorgaans betrouwbaar. Voorspel je buiten dat bereik, dan heet dat extrapolatie, en dat is riskant: bij

x = 20

uur geeft dezelfde lijn

\hat{y} = 0{,}56 \cdot 20 + 2{,}92 = 14{,}12

— een onmogelijk cijfer boven de 10. Blijf bij voorspellingen dus binnen (of vlak bij) het interval

[x_{\min}, x_{\max}]

Extrapolatie is gevaarlijk omdat een lineair model maar op een beperkt gebied geldt. Buiten het meetbereik kan het echte verband afvlakken, ombuigen of van karakter veranderen, terwijl de rechte lijn onverstoorbaar doorloopt. Afb. 2 laat dat zien: een verband dat eerst vrijwel recht stijgt en daarna afvlakt (bijvoorbeeld plantengroei die tegen een maximum aanloopt). Een rechte lijn beschrijft het middenstuk redelijk, maar overschat de groei ver naar rechts en klopt bij grote

x

niet meer. De les: een regressielijn is een lokaal model, geen natuurwet. Vermeld bij een voorspelling altijd of het om interpolatie of extrapolatie gaat en hoe betrouwbaar hij daarmee is.

Een sterke correlatie bewijst géén oorzakelijk verband: correlatie is geen causaliteit. Dat twee variabelen samen op- en neergaan, betekent niet dat de ene de andere veroorzaakt. Vaak is er een derde, verborgen variabele (een 'confounder') die beide tegelijk beïnvloedt. Het klassieke voorbeeld staat in Afb. 1: de ijsverkoop en het aantal gevallen van zonnesteek hangen sterk positief samen (

r \approx 0{,}997

), maar ijs eten veroorzaakt geen zonnesteek — beide worden gedreven door een derde factor, de buitentemperatuur. Zo'n misleidend verband heet een schijncorrelatie.

Bij een gevonden correlatie tussen

x

y

zijn er dus meerdere verklaringen, en die moet je afwegen. Ten eerste:

x

veroorzaakt

y

(echte oorzaak). Ten tweede:

y

veroorzaakt

x

(omgekeerde causaliteit). Ten derde: een derde variabele

z

veroorzaakt zowel

x

als

y

(confounding, zoals de temperatuur). Ten vierde: puur toeval, zeker bij kleine steekproeven of bij het vergelijken van heel veel variabelen. Alleen op grond van een spreidingsdiagram en een hoge

r

kun je tussen deze mogelijkheden niet kiezen — de data zelf 'weten' niet wat de oorzaak is.

Om causaliteit hard te maken heb je meer nodig dan waarnemingen achteraf. De sterkste aanwijzing komt uit een gecontroleerd experiment, waarin je de verklarende variabele bewust varieert en alle andere invloeden zoveel mogelijk constant houdt of at random verdeelt. Verder helpen een plausibel werkingsmechanisme, herhaalbaarheid van het resultaat en het uitsluiten van bekende confounders. In het SE wordt van je verwacht dat je bij een hoge correlatie niet automatisch 'dus

x

veroorzaakt

y

' concludeert, maar de alternatieven benoemt (derde variabele, omgekeerde causaliteit, toeval) en aangeeft hoe je oorzakelijkheid zou onderzoeken.

\hat{y} = a x + b

Voorspelling met de regressielijn

De voorspelde $y$ -waarde bij een gekozen $x$ : vul $x$ in de regressielijn in. Betrouwbaar bij interpolatie, onzeker bij extrapolatie.

x_{\min} \le x \le x_{\max} \;\Rightarrow\; \text{interpolatie}; \qquad x < x_{\min} \ \text{of}\ x > x_{\max} \;\Rightarrow\; \text{extrapolatie}

Interpolatie versus extrapolatie

Een voorspelling binnen het meetbereik is interpolatie (betrouwbaar); buiten het meetbereik is het extrapolatie (onzeker — het lineaire model geldt daar mogelijk niet meer).

Waarom extrapolatie misgaat: een afvlakkend verband

Afb. 8Een verband dat eerst stijgt en dan afvlakt (bijvoorbeeld groeihoogte tegen tijd). De rechte regressielijn past redelijk in het midden, maar overschat de waarden bij grote

x

: extrapoleren met een lineair model geeft hier onzin.

Uitgewerkt voorbeeld

Voorspellen en over causaliteit redeneren

Gebruik de regressielijn $y = 0{,}56x + 2{,}92$ uit de vorige paragraaf (studeeruren $x$ , cijfer $y$ , gemeten voor $x$ tussen 2 en 9 uur). a) Voorspel het cijfer bij 7 studeeruren. b) Voorspel het cijfer bij 20 studeeruren en beoordeel of die voorspelling zinvol is. c) Leg uit waarom een hoge correlatie tussen studeeruren en cijfer nog niet bewijst dat méér studeren een hoger cijfer veroorzaakt.

a) Voorspelling bij 7 uur
Vul $x = 7$ in: $\hat{y} = 0{,}56 \cdot 7 + 2{,}92 = 3{,}92 + 2{,}92 = 6{,}84 \approx 6{,}8$ . Omdat $7$ binnen het meetbereik $[2, 9]$ ligt, is dit interpolatie en dus betrouwbaar.
$\hat{y}=0{,}56 \cdot 7 + 2{,}92 = 6{,}84$
b) Voorspelling bij 20 uur
Vul $x = 20$ in: $\hat{y} = 0{,}56 \cdot 20 + 2{,}92 = 11{,}2 + 2{,}92 = 14{,}12$ . Dat is groter dan 10 en dus een onmogelijk cijfer. Bovendien ligt $20$ ver buiten het meetbereik: dit is extrapolatie en de voorspelling is niet zinvol.
$\hat{y}=0{,}56 \cdot 20 + 2{,}92 = 14{,}12 \ (> 10)$
c) Correlatie is geen causaliteit
Een hoge $r$ toont samenhang, geen oorzaak. Een derde variabele — bijvoorbeeld motivatie of aanleg — kan zowel de studietijd als het cijfer verhogen. Ook is toeval bij zes leerlingen niet uit te sluiten. Om een oorzakelijk effect aan te tonen zou je een gecontroleerd experiment nodig hebben.

Resultaat: a) $\hat{y} \approx 6{,}8$ (betrouwbare interpolatie). b) $\hat{y} = 14{,}12$ , een onmogelijk cijfer door extrapolatie — niet zinvol. c) De sterke correlatie kan door een derde variabele of toeval komen; alleen een experiment toont causaliteit aan.

Veelgemaakte fouten

Klakkeloos extrapoleren ver buiten het meetbereik, waardoor je onmogelijke of onzinnige voorspellingen krijgt. Controleer of $x$ binnen $[x_{\min}, x_{\max}]$ ligt.
Uit een hoge correlatie concluderen dat $x$ de oorzaak van $y$ is. Correlatie toont alleen samenhang; benoem de mogelijke derde variabele of omgekeerde causaliteit.
Aannemen dat de regressielijn overal geldt. Een lineair model is lokaal; buiten het meetbereik kan het echte verband afvlakken of ombuigen (Afb. 2).

Actieve herhaling

Uit een onderzoek blijkt dat gemeenten met meer ooievaars gemiddeld ook meer geboortes hebben ( $r \approx 0{,}8$ ). a) Verklaar waarom dit vrijwel zeker een schijncorrelatie is en noem een mogelijke derde variabele. b) Bedenk zelf een regressielijn $y = ax + b$ voor een gemeten verband uit je eigen omgeving, doe één interpolatie- en één extrapolatievoorspelling, en beoordeel beide op betrouwbaarheid.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Correlatie en regressie

Kernpunten

Een spreidingsdiagram beschrijven

Kernpunten

r en r² met de hand berekenen

Kernpunten

De kleinste-kwadratenlijn opstellen

Kernpunten

Voorspellen en over causaliteit redeneren

Bronnen