Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Profielspecifieke verdieping kansrekening en statistiek

Deze samenvatting is de profielverdieping binnen domein B: statistische gevolgtrekking (inferentie). Je bestudeert de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde $\bar{X}$ (met verwachting $\mu$ en standaardfout $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ), de centrale limietstelling die $\bar{X}$ voor grote $n$ bij benadering normaal maakt, het betrouwbaarheidsinterval $\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (bij 95% is $z \approx 1{,}96$ ), en de chi-kwadraattoets $\chi^2 = \sum \frac{(\text{waargenomen}-\text{verwacht})^2}{\text{verwacht}}$ als aanpassings- en onafhankelijkheidstoets. Deze stof is profielverdieping binnen domein B en wordt bij wiskunde D uitsluitend in het schoolexamen (SE) getoetst — wiskunde D kent geen centraal examen. De normale verdeling en de z-score veronderstellen we bekend (herhaling).

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 2 · Verdieping 2

T·0888 / 19

Examenprofiel

De steekproefverdeling van \bar{X} beschrijven — verwachting μen standaardfout \frac{σ}{\sqrt{n}} — als profielverdieping binnen domein BDe centrale limietstelling toepassen om kansen over het steekproefgemiddelde \bar{X} te berekenen met de z-scoreEen betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde opstellen en correct interpreteren (\bar{x} \pm z ·\frac{σ}{\sqrt{n}})Een chi-kwadraattoets (aanpassings- of onafhankelijkheidstoets) uitvoeren en de uitkomst in de context interpreteren

Operatoren:berekenbepaaltoon aantoetsinterpreteerbeoordeelleg uit

basisniveau

Kern van de profielverdieping (SE-stof, domein B): de standaardfout $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ berekenen, met de centrale limietstelling een kans over $\bar{X}$ bepalen, een 95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen, en een eenvoudige chi-kwadraattoets uitvoeren en interpreteren.

verhoogd niveau

Verdieping: de standaardfout afleiden uit $\operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ , de voorwaarden van de centrale limietstelling scherp benoemen, betrouwbaarheidsintervallen correct (frequentistisch) interpreteren, en bij chi-kwadraat de verwachte aantallen, vrijheidsgraden en voorwaarden verantwoorden.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Profielspecifieke verdieping kansrekening en statistiek

De verdeling van het steekproefgemiddelde#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

In de inferentiële statistiek wil je iets zeggen over een hele populatie op grond van een steekproef. Je kent zelden het echte populatiegemiddelde

\mu

, maar je kunt wel een aselecte steekproef van

n

eenheden trekken en daarvan het steekproefgemiddelde

\bar{X}

berekenen. Cruciaal is het inzicht dat

\bar{X}

zelf een toevalsvariabele is: trek je een nieuwe steekproef, dan krijg je een iets andere waarde. Alle mogelijke waarden van

\bar{X}

met hun kansen vormen samen de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde. Afb. 1 laat zien hoe die verdeling eruitziet: een klokvormige verdeling rond

\mu

, die smaller wordt naarmate de steekproef groter is.

De steekproefverdeling versmalt bij grotere n

Afb. 1De steekproefverdeling van

\bar{X}

bij een vast populatiegemiddelde

\mu = 100

. Bij een kleine steekproef (grote standaardfout) is de klok breed; bij een grote steekproef (kleine standaardfout) wordt hij smaller en hoger rond

\mu

De eerste eigenschap van die verdeling is de ligging. De verwachting van het steekproefgemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde:

E(\bar{X}) = \mu

. Dat betekent dat

\bar{X}

een zuivere (onvertekende) schatter van

\mu

is: gemiddeld genomen — over heel veel steekproeven — komt

\bar{X}

precies op

\mu

uit, zonder systematisch te hoog of te laag te zitten. Een individuele steekproef geeft natuurlijk zelden exact

\mu

, maar de steekproefgemiddelden liggen wél gecentreerd rond

\mu

. Dit rechtvaardigt dat je

\bar{x}

uit één steekproef gebruikt als schatting van het onbekende

\mu

De tweede eigenschap is de spreiding. De standaardafwijking van

\bar{X}

heet de standaardfout en is

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

, met

\sigma

de standaardafwijking in de populatie en

n

de steekproefgrootte. De standaardfout is dus kleiner dan de spreiding

\sigma

van de individuele waarnemingen, en hij krimpt met

\sqrt{n}

: een grotere steekproef geeft een preciezer gemiddelde. In Afb. 1 zie je dit terug — bij een grote

n

is de klok smal en hoog rond

\mu

, bij een kleine

n

breed en laag. Let op de wortel: om de standaardfout te halveren, heb je niet twee maar vier keer zoveel waarnemingen nodig.

Waar komt die

\sqrt{n}

vandaan? Schrijf

\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)

, met de

X_i

onafhankelijk en elk met variantie

\sigma^2

. Voor een som van onafhankelijke variabelen tellen de varianties op, dus

\operatorname{Var}(X_1 + \cdots + X_n) = n\sigma^2

. Omdat

\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)

met hier

a = \frac{1}{n}

, volgt

\operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}

. De standaardfout is de wortel hieruit:

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. De variantie krimpt dus met

n

, en de standaardafwijking (de wortel ervan) met

\sqrt{n}

— precies de

\sqrt{n}

-wet.

De praktische gevolgtrekking is belangrijk: hoe groter de steekproef, hoe betrouwbaarder de schatting van

\mu

. Verdubbel je

n

, dan daalt de standaardfout met een factor

\sqrt{2} \approx 1{,}41

; verviervoudig je

n

, dan halveert de standaardfout. Deze eigenschappen —

E(\bar{X}) = \mu

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

— gelden ongeacht de vorm van de populatieverdeling. Wélke vorm de steekproefverdeling zelf aanneemt, is het onderwerp van de volgende paragraaf (de centrale limietstelling); de ligging

\mu

en de standaardfout

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

liggen hoe dan ook vast.

E(\bar{X}) = \mu

Verwachting van het steekproefgemiddelde

Het steekproefgemiddelde is een zuivere schatter van $\mu$ : gemiddeld over veel steekproeven komt $\bar{X}$ precies op het populatiegemiddelde uit.

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Standaardfout

De standaardafwijking van $\bar{X}$ . Kleiner dan $\sigma$ en krimpt met $\sqrt{n}$ : vier keer zoveel data halveert de standaardfout.

\operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

Variantie van het steekproefgemiddelde

Volgt uit het optellen van varianties van onafhankelijke $X_i$ en $\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)$ ; de wortel ervan is de standaardfout.

Uitgewerkt voorbeeld

Standaardfout berekenen en het effect van n

De lengte van volwassen mannen heeft een populatiegemiddelde $\mu = 180$ cm en standaardafwijking $\sigma = 7$ cm. Je trekt een aselecte steekproef van $n = 49$ mannen. a) Bereken $E(\bar{X})$ en de standaardfout van $\bar{X}$ . b) Hoeveel keer zo groot moet de steekproef zijn om de standaardfout te halveren?

a) Verwachting van X̄
De verwachting van het steekproefgemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde: $E(\bar{X}) = \mu = 180$ cm.
$E(\bar{X}) = \mu = 180 \text{ cm}$
a) Standaardfout
Vul in de formule in: $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{49}} = \frac{7}{7} = 1$ cm. De steekproefgemiddelden liggen dus met een standaardafwijking van $1$ cm rond $180$ cm.
$\sigma_{\bar{X}} = \frac{7}{\sqrt{49}} = 1 \text{ cm}$
b) Effect van n op de standaardfout
De standaardfout is evenredig met $\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Om hem te halveren moet $\sqrt{n}$ verdubbelen, dus $n$ moet vier keer zo groot worden: van $49$ naar $4 \cdot 49 = 196$ mannen.
$\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \tfrac{\sigma}{\sqrt{4n}} \;\Rightarrow\; n \to 4n$

Resultaat: $E(\bar{X}) = 180$ cm en de standaardfout is $1$ cm. Om de standaardfout te halveren is een vier keer zo grote steekproef nodig: $n = 196$ .

Veelgemaakte fouten

De standaardfout gelijkstellen aan $\sigma$ (vergeten te delen door $\sqrt{n}$ ). De spreiding van een gemiddelde is kleiner dan die van één waarneming.
Delen door $n$ in plaats van $\sqrt{n}$ . De variantie is $\frac{\sigma^2}{n}$ , maar de standaardfout is de wortel daarvan, dus $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
Denken dat je $n$ verdubbelt om de standaardfout te halveren. Door de wortel is daarvoor een viervoudige steekproef nodig.

Actieve herhaling

De vulmachine van een fabriek vult flessen met een gemiddelde inhoud $\mu = 500$ mL en standaardafwijking $\sigma = 12$ mL. Je controleert een aselecte steekproef van $n = 36$ flessen. Bereken $E(\bar{X})$ en de standaardfout van $\bar{X}$ , en bepaal hoe groot de steekproef moet zijn om de standaardfout tot $1$ mL terug te brengen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De centrale limietstelling#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Kans over het steekproefgemiddelde als oppervlakte

Afb. 2De steekproefverdeling van

\bar{X}

bij

\mu = 500

g en standaardfout

\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2{,}5

g (

\sigma = 15

n = 36

). Het gearceerde gebied is

P(498 < \bar{X} < 503) \approx 0{,}67

, berekend via de z-scores.

De centrale limietstelling (CLT) is het fundament van de inferentiële statistiek. Ze zegt dat het steekproefgemiddelde

\bar{X}

voor voldoende grote

n

bij benadering normaal verdeeld is, ongeacht de vorm van de populatieverdeling. In formule:

\bar{X}

is bij benadering

N\!\left(\mu,\, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

verdeeld. Het opvallende is dat 'ongeacht de vorm': ook als de individuele waarnemingen scheef, uniform of anderszins niet-normaal verdeeld zijn, wordt het gemiddelde van veel van die waarnemingen tóch klokvormig. Als vuistregel geldt

n \ge 30

als 'voldoende groot'; is de populatie zelf al normaal, dan is

\bar{X}

exact normaal voor élke

n

De CLT maakt kansberekeningen over

\bar{X}

mogelijk. Omdat

\bar{X}

bij benadering

N\!\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

is, standaardiseer je met de z-score

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}

(herhaling van de z-score, maar nu met de standaardfout in de noemer in plaats van

\sigma

). Vervolgens bepaal je de kans als oppervlakte onder de standaardnormale kromme, met een tabel of met

\text{normalcdf}

op de rekenmachine. Afb. 1 toont de steekproefverdeling met zo'n oppervlakte gearceerd. Let goed op de noemer: bij een kans over één individu deel je door

\sigma

, bij een kans over een gemiddelde door de standaardfout

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Waarom is dit zo krachtig? Veel grootheden in de praktijk — meetfouten, gemiddelde gewichten, gemiddelde wachttijden — zijn eigenlijk sommen of gemiddelden van veel kleine, onafhankelijke bijdragen. De CLT verklaart waarom juist die grootheden bijna altijd klokvormig verdeeld zijn, en waarom de normale verdeling overal opduikt. Dankzij de CLT kun je met de vertrouwde normale verdeling rekenen, zelfs als je de precieze verdeling van de losse waarnemingen helemaal niet kent — je hebt alleen

\mu

\sigma

n

nodig.

De voorwaarden verdienen aandacht. De benadering is beter naarmate

n

groter is en naarmate de populatie minder scheef is. Bij een sterk scheve of extreem verdeelde populatie kan

n \ge 30

te weinig zijn; dan is een grotere steekproef nodig voordat de klokvorm goed opgaat. Omgekeerd: is de populatie al (ongeveer) normaal, dan mag je de normale verdeling ook bij kleine

n

gebruiken. Ook moeten de waarnemingen onafhankelijk zijn (een aselecte steekproef). Bij een kleine steekproef uit een sterk scheve, onbekende verdeling is de CLT-benadering dus niet vanzelfsprekend geldig.

Houd het verschil tussen twee verdelingen scherp. De verdeling van

X

beschrijft de spreiding van de individuele waarnemingen (standaardafwijking

\sigma

); de verdeling van

\bar{X}

beschrijft de spreiding van de steekproefgemiddelden (standaardafwijking

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

, dus veel smaller). Een vraag over 'de kans dat één fles minder dan 496 mL bevat' gebruikt

\sigma

; een vraag over 'de kans dat het gemiddelde van 36 flessen onder 496 mL ligt' gebruikt de standaardfout. Verwar deze twee niet — het is de meest voorkomende fout bij dit onderwerp.

\bar{X} \ \text{is bij benadering}\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \quad (n \text{ groot})

Centrale limietstelling

Voor voldoende grote $n$ (vuistregel $n \ge 30$ ) is het steekproefgemiddelde bij benadering normaal, ongeacht de vorm van de populatieverdeling.

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}

z-score voor het steekproefgemiddelde

Standaardiseer $\bar{X}$ met de standaardfout in de noemer; de kans volgt als oppervlakte onder de standaardnormale kromme (tabel of normalcdf).

Uitgewerkt voorbeeld

Een kans over het steekproefgemiddelde berekenen

Een machine vult zakken met een gemiddeld gewicht $\mu = 500$ g en standaardafwijking $\sigma = 15$ g; de verdeling van de losse gewichten is niet per se normaal. Je weegt een aselecte steekproef van $n = 36$ zakken. Bereken a) $P(\bar{X} < 496)$ en b) $P(498 < \bar{X} < 503)$ .

Bepaal de verdeling van X̄
Met $n = 36 \ge 30$ geeft de centrale limietstelling dat $\bar{X}$ bij benadering normaal is met $\mu = 500$ en standaardfout $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2{,}5$ .
$\bar{X} \approx N(500;\ 2{,}5)$
a) Standaardiseer 496
$z = \frac{496 - 500}{2{,}5} = \frac{-4}{2{,}5} = -1{,}6$ . Uit de standaardnormale tabel (of normalcdf) volgt $P(Z < -1{,}6) \approx 0{,}055$ .
$z = \frac{496 - 500}{2{,}5} = -1{,}6$
b) Standaardiseer 498 en 503
$z_1 = \frac{498 - 500}{2{,}5} = -0{,}8$ en $z_2 = \frac{503 - 500}{2{,}5} = 1{,}2$ . Dan $P(498 < \bar{X} < 503) = P(-0{,}8 < Z < 1{,}2) = \Phi(1{,}2) - \Phi(-0{,}8) \approx 0{,}885 - 0{,}212 = 0{,}673$ .
$P(-0{,}8 < Z < 1{,}2) \approx 0{,}885 - 0{,}212 = 0{,}673$

Resultaat: a) $P(\bar{X} < 496) \approx 0{,}055$ en b) $P(498 < \bar{X} < 503) \approx 0{,}67$ (Afb. 1). Dankzij de centrale limietstelling mag je hier de normale verdeling gebruiken, ook al is de verdeling van de losse gewichten onbekend.

Veelgemaakte fouten

Bij een kans over een gemiddelde delen door $\sigma$ in plaats van door de standaardfout $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Een kans over één waarneming gebruikt $\sigma$ , over een gemiddelde de standaardfout.
De centrale limietstelling gebruiken bij een klein $n$ uit een sterk scheve, onbekende populatie, waar de normale benadering nog niet opgaat.
Denken dat de centrale limietstelling zegt dat de populatie normaal wordt. Ze gaat over de verdeling van het gemiddelde $\bar{X}$ , niet over de losse waarnemingen $X$ .

Actieve herhaling

De verblijftijd van klanten in een winkel heeft $\mu = 12$ minuten en $\sigma = 6$ minuten (scheve verdeling). Van een aselecte steekproef van $n = 64$ klanten wordt de gemiddelde verblijftijd $\bar{X}$ bepaald. Bereken $P(\bar{X} > 13)$ en $P(11 < \bar{X} < 13)$ , en licht toe waarom je hier de normale verdeling mag gebruiken.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Betrouwbaarheidsintervallen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval rond het gemiddelde

Afb. 3Het 95%-betrouwbaarheidsinterval

[70{,}0;\ 74{,}0]

rond de puntschatting

\bar{x} = 72

(standaardfout

1

). De marge

z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}96 \cdot 1 = 1{,}96

ligt aan weerszijden van

\bar{x}

Een puntschatting — het onbekende

\mu

gelijkstellen aan het gemeten

\bar{x}

— geeft één getal, maar zegt niets over de onzekerheid. Een betrouwbaarheidsinterval doet dat wél: het geeft een heel bereik van plausibele waarden voor

\mu

, samen met een betrouwbaarheidsniveau (meestal 95%). Het idee is om rond de puntschatting

\bar{x}

een marge te leggen die groot genoeg is om

\mu

met de gewenste betrouwbaarheid te 'vangen'. Zo verandert 'het gemiddelde is ongeveer 72' in de veel informatievere uitspraak 'we zijn er 95% zeker van dat het gemiddelde tussen 70,0 en 74,0 ligt' (Afb. 1).

De formule bouwt voort op de centrale limietstelling. Omdat

\bar{X}

bij benadering

N\!\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

is, ligt

\bar{X}

in 95% van de gevallen binnen

1{,}96

standaardfouten van

\mu

. Draai je dat om, dan ligt

\mu

in 95% van de steekproeven binnen

1{,}96

standaardfouten van

\bar{x}

. Het betrouwbaarheidsinterval is dus

\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

, met de foutmarge

m = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. De

z

-waarde hoort bij het betrouwbaarheidsniveau:

z \approx 1{,}96

bij 95%,

z \approx 1{,}645

bij 90% en

z \approx 2{,}576

bij 99%. Deze drie waarden moet je paraat hebben.

De interpretatie luistert nauw. Een 95%-betrouwbaarheidsinterval betekent: als je dit onderzoek heel vaak zou herhalen en telkens zo'n interval zou berekenen, dan bevat ongeveer 95% van al die intervallen het echte

\mu

. Het betekent nadrukkelijk níét dat er '95% kans is dat

\mu

in dít ene interval ligt' —

\mu

is een vast (maar onbekend) getal en ligt er wel of niet in; de kans zit in de procedure, niet in dit concrete interval. Deze frequentistische interpretatie is een geliefd toetspunt: formuleer de betrouwbaarheid als een eigenschap van de methode over veel herhalingen.

De breedte van het interval hangt van drie dingen af (Afb. 1). Een hoger betrouwbaarheidsniveau (grotere

z

) maakt het interval breder: meer zekerheid kost precisie. Een grotere steekproef (grotere

n

) maakt het interval smaller, want de standaardfout

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

krimpt. En een grotere spreiding

\sigma

in de populatie maakt het interval breder. Er is dus een afruil: wil je én heel zeker én heel precies zijn, dan heb je een grote steekproef nodig. Een breder interval is niet 'beter' — het is minder informatief; je koopt er alleen meer zekerheid mee.

Andersom kun je met dezelfde formule de benodigde steekproefgrootte plannen. Wil je een foutmarge van hoogstens

m

bij een gegeven betrouwbaarheid, dan los je

m = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

op naar

n

n = \left(\frac{z\sigma}{m}\right)^2

. Zo bepaal je vóór het onderzoek hoeveel waarnemingen je moet verzamelen om de gewenste precisie te halen. In deze paragraaf gaan we ervan uit dat

\sigma

bekend is; is

\sigma

onbekend en

n

klein, dan gebruikt men in plaats van de normale

z

-waarde de zogenoemde t-verdeling — een uitbreiding die buiten de kern van deze SE-stof valt.

\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde

Rond de puntschatting $\bar{x}$ een marge van $z$ standaardfouten. De $z$ -waarde hoort bij het betrouwbaarheidsniveau.

z \approx 1{,}645 \ (90\%), \qquad z \approx 1{,}96 \ (95\%), \qquad z \approx 2{,}576 \ (99\%)

z-waarden per betrouwbaarheidsniveau

Een hoger niveau geeft een grotere $z$ en dus een breder interval. Deze drie waarden komen het vaakst voor.

m = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Rightarrow\quad n = \left(\frac{z\sigma}{m}\right)^{2}

Foutmarge en steekproefgrootte

De halve breedte $m$ is de foutmarge; omgekeerd bepaal je hiermee hoeveel waarnemingen nodig zijn voor een gewenste precisie.

Uitgewerkt voorbeeld

Een betrouwbaarheidsinterval opstellen

In een steekproef van $n = 64$ leerlingen is de gemiddelde score $\bar{x} = 72$ ; de populatiestandaardafwijking is bekend, $\sigma = 8$ . a) Stel het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde op. b) Stel ook het 99%-interval op en vergelijk de breedtes.

Bereken de standaardfout
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{64}} = \frac{8}{8} = 1$ .
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{8} = 1$
a) 95%-interval
Met $z = 1{,}96$ is de marge $1{,}96 \cdot 1 = 1{,}96$ . Het interval is $72 \pm 1{,}96$ , dus $[70{,}04;\ 73{,}96]$ , ofwel ongeveer $[70{,}0;\ 74{,}0]$ (Afb. 1).
$72 \pm 1{,}96 \cdot 1 = [70{,}04;\ 73{,}96]$
b) 99%-interval
Met $z = 2{,}576$ is de marge $2{,}576 \cdot 1 = 2{,}576$ . Het interval is $72 \pm 2{,}576$ , dus $[69{,}42;\ 74{,}58]$ .
$72 \pm 2{,}576 \cdot 1 = [69{,}42;\ 74{,}58]$
Vergelijk de breedtes
Het 99%-interval (breedte $\approx 5{,}15$ ) is breder dan het 95%-interval (breedte $\approx 3{,}92$ ). Meer betrouwbaarheid kost precisie: het interval wordt wijder.

Resultaat: 95%-interval: $[70{,}0;\ 74{,}0]$ ; 99%-interval: $[69{,}4;\ 74{,}6]$ . Het hogere betrouwbaarheidsniveau geeft een breder (minder precies) interval. Correcte interpretatie: van alle zó gemaakte 95%-intervallen bevat ongeveer 95% het echte $\mu$ .

Veelgemaakte fouten

De verkeerde interpretatie geven: 'er is 95% kans dat $\mu$ in dit interval ligt'. Correct is dat 95% van alle zó berekende intervallen $\mu$ bevat; $\mu$ is vast, niet toevallig.
De $z$ -waarden verwisselen (1,96 voor 95%, 1,645 voor 90%, 2,576 voor 99%) of $z = 2$ gebruiken zonder toelichting.
$\sigma$ gebruiken in plaats van de standaardfout $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , waardoor het interval veel te breed uitvalt.

Actieve herhaling

Bij een steekproef van $n = 100$ pakken suiker is het gemiddelde gewicht $\bar{x} = 1002$ g, met bekende $\sigma = 10$ g. Stel het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde gewicht op, interpreteer het in de context, en bepaal welke steekproefgrootte nodig zou zijn om de foutmarge tot $1$ g terug te brengen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

De chi-kwadraattoets#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-B

Kruistabel met de waargenomen aantallen

Afb. 4Waargenomen aantallen (

O

) van

200

leerlingen, ingedeeld naar wel/niet ontbijten en wel/niet slagen. De rij- en kolomtotalen gebruik je om de verwachte aantallen te berekenen.

De chi-kwadraattoets (

\chi^2

-toets) onderzoekt of waargenomen frequenties van categorische data passen bij wat je onder een bepaalde veronderstelling zou verwachten. Er zijn twee hoofdvormen. Bij de aanpassingstoets (goodness-of-fit) toets je of één verdeling past bij een verwacht patroon — bijvoorbeeld of een dobbelsteen eerlijk is (elke uitkomst even waarschijnlijk). Bij de onafhankelijkheidstoets toets je of twee kenmerken in een kruistabel samenhangen of juist onafhankelijk zijn — bijvoorbeeld of 'wel/niet ontbijten' en 'wel/niet slagen' met elkaar te maken hebben (Afb. 1). In beide gevallen stel je een nulhypothese

H_0

op (het verwachte patroon geldt / de kenmerken zijn onafhankelijk) en een alternatief

H_1

De kern is de toetsingsgrootheid

\chi^2 = \sum \frac{(\text{waargenomen} - \text{verwacht})^2}{\text{verwacht}}

, vaak geschreven als

\sum \frac{(O - E)^2}{E}

. Voor elke cel bereken je het verschil tussen het waargenomen aantal

O

en het verwachte aantal

E

, kwadrateert dat (zodat tekens niet wegvallen en grote afwijkingen zwaar tellen), deelt door

E

(zodat een afwijking wordt afgewogen tegen hoe groot je die cel verwachtte) en telt alles op. Is

\chi^2

klein, dan liggen waarneming en verwachting dicht bij elkaar en past

H_0

goed; is

\chi^2

groot, dan is er een forse afwijking en pleit dat tégen

H_0

. De toets is dus altijd rechtszijdig: alleen een grote

\chi^2

leidt tot verwerping.

Het bepalen van de verwachte aantallen

E

verschilt per toets. Bij de aanpassingstoets is

E = n \cdot p_i

, met

p_i

de onder

H_0

verwachte kans op categorie

i

(voor een eerlijke dobbelsteen bij

120

worpen is

E = 120 \cdot \tfrac{1}{6} = 20

per uitkomst). Bij de onafhankelijkheidstoets bereken je per cel

E = \frac{\text{rijtotaal} \cdot \text{kolomtotaal}}{n}

(Afb. 2). Daarna hoort bij de toets een aantal vrijheidsgraden:

\text{df} = k - 1

bij een aanpassingstoets met

k

categorieën, en

\text{df} = (r-1)(k-1)

bij een kruistabel met

r

rijen en

k

kolommen. De vrijheidsgraden bepalen welke kritieke waarde uit de

\chi^2

-tabel je nodig hebt.

De beslissing neem je door de berekende

\chi^2

te vergelijken met de kritieke waarde bij het gekozen significantieniveau

\alpha

(meestal

\alpha = 0{,}05

) en de bijbehorende vrijheidsgraden. Is

\chi^2

groter dan de kritieke waarde, dan verwerp je

H_0

(de afwijking is te groot om aan toeval toe te schrijven); is

\chi^2

kleiner, dan behoud je

H_0

. Formuleer de conclusie altijd in de context: 'er is een significant verband tussen ontbijten en slagen', of 'de dobbelsteen lijkt eerlijk'. Verwerpen van

H_0

betekent niet dat je

H_0

met zekerheid onwaar hebt bewezen — er is altijd een kans

\alpha

dat je

H_0

ten onrechte verwerpt (fout van de eerste soort).

Aan de

\chi^2

-toets zitten voorwaarden. Je rekent met absolute aantallen, nooit met percentages of relatieve frequenties. De steekproef moet aselect zijn, en als vuistregel moet elk verwacht aantal

E

minstens

5

zijn; bij te kleine verwachte aantallen is de toets onbetrouwbaar en voeg je categorieën samen. Ter illustratie de dobbelsteen: gooi je

120

keer en vind je de aantallen

18, 22, 16, 25, 19, 20

, dan is elke

E = 20

en wordt

\chi^2 = \frac{(18-20)^2}{20} + \cdots + \frac{(20-20)^2}{20} = 2{,}5

. Met

\text{df} = 5

is de kritieke waarde

11{,}07

; omdat

2{,}5 < 11{,}07

behoud je

H_0

: de dobbelsteen lijkt eerlijk.

\chi^2 = \sum \frac{(\text{waargenomen} - \text{verwacht})^2}{\text{verwacht}} = \sum \frac{(O - E)^2}{E}

Chi-kwadraat toetsingsgrootheid

Meet de totale afwijking tussen waargenomen en verwachte aantallen. Klein = goede aanpassing, groot = bewijs tegen $H_0$ . De toets is rechtszijdig.

E_{ij} = \frac{\text{rijtotaal}_i \cdot \text{kolomtotaal}_j}{n}

Verwacht aantal bij onafhankelijkheid

Het per cel verwachte aantal in een kruistabel als de twee kenmerken onafhankelijk zouden zijn. Bij een aanpassingstoets is $E = n \cdot p_i$ .

\text{df} = k - 1 \ (\text{aanpassing}), \qquad \text{df} = (r-1)(k-1) \ (\text{onafhankelijkheid})

Vrijheidsgraden

Het aantal vrijheidsgraden bepaalt de kritieke waarde uit de $\chi^2$ -tabel: $k$ categorieën bij een aanpassingstoets, $r$ rijen en $k$ kolommen bij een kruistabel.

Kruistabel met de verwachte aantallen bij onafhankelijkheid

Afb. 5Verwachte aantallen (

E

) bij onafhankelijkheid, per cel

\frac{\text{rijtotaal} \cdot \text{kolomtotaal}}{n}

, bijvoorbeeld

\frac{100 \cdot 120}{200} = 60

. Vergelijk met de waargenomen aantallen om

\chi^2

te berekenen.

Uitgewerkt voorbeeld

Een onafhankelijkheidstoets uitvoeren

Onderzoek of er samenhang is tussen ontbijten en slagen voor een toets. Van $200$ leerlingen zijn de waargenomen aantallen (Afb. 1): van de $100$ ontbijters slaagden er $70$ en zakten er $30$ ; van de $100$ niet-ontbijters slaagden er $50$ en zakten er $50$ . Voer een chi-kwadraattoets uit met $\alpha = 0{,}05$ (kritieke waarde $3{,}841$ bij $\text{df} = 1$ ).

Formuleer de hypothesen
$H_0$ : ontbijten en slagen zijn onafhankelijk (geen verband). $H_1$ : er is een verband tussen ontbijten en slagen.
Bereken de verwachte aantallen
Per cel $E = \frac{\text{rijtotaal} \cdot \text{kolomtotaal}}{n}$ . Voor 'ontbijt & geslaagd': $\frac{100 \cdot 120}{200} = 60$ . Zo krijg je overal $60$ (geslaagd) en $40$ (gezakt) — zie Afb. 2. Alle verwachte aantallen zijn $\ge 5$ , dus de toets mag.
$E = \frac{100 \cdot 120}{200} = 60, \qquad E = \frac{100 \cdot 80}{200} = 40$
Bereken chi-kwadraat
$\chi^2 = \frac{(70-60)^2}{60} + \frac{(30-40)^2}{40} + \frac{(50-60)^2}{60} + \frac{(50-40)^2}{40} = \frac{100}{60} + \frac{100}{40} + \frac{100}{60} + \frac{100}{40} \approx 1{,}67 + 2{,}5 + 1{,}67 + 2{,}5 = 8{,}33$ .
$\chi^2 = \tfrac{100}{60} + \tfrac{100}{40} + \tfrac{100}{60} + \tfrac{100}{40} \approx 8{,}33$
Bepaal df en vergelijk
De tabel is $2 \times 2$ , dus $\text{df} = (2-1)(2-1) = 1$ . De kritieke waarde bij $\alpha = 0{,}05$ is $3{,}841$ . Omdat $8{,}33 > 3{,}841$ , verwerp je $H_0$ .
Conclusie in de context
De afwijking tussen waargenomen en verwachte aantallen is te groot voor toeval. Er is op significantieniveau $5\%$ een significant verband tussen ontbijten en slagen: ontbijters slagen vaker dan je bij onafhankelijkheid zou verwachten.

Resultaat: $\chi^2 \approx 8{,}33$ met $\text{df} = 1$ ; dit is groter dan de kritieke waarde $3{,}841$ , dus $H_0$ wordt verworpen. Er is een significant verband tussen ontbijten en slagen (correlatie, geen bewijs van oorzaak).

Veelgemaakte fouten

Delen door de waargenomen $O$ in plaats van door de verwachte $E$ : de noemer in $\frac{(O-E)^2}{E}$ is altijd het verwachte aantal.
De verkeerde vrijheidsgraden gebruiken — $(r-1)(k-1)$ bij een kruistabel, $k-1$ bij een aanpassingstoets — waardoor je de verkeerde kritieke waarde afleest.
Rekenen met percentages of relatieve frequenties in plaats van absolute aantallen, of de voorwaarde $E \ge 5$ negeren.

Actieve herhaling

Een dobbelsteen wordt $120$ keer geworpen; de uitkomsten $1$ t/m $6$ vallen respectievelijk $15, 24, 18, 20, 27, 16$ keer. Voer een aanpassingstoets uit ( $H_0$ : de dobbelsteen is eerlijk) met $\alpha = 0{,}05$ : bepaal de verwachte aantallen, bereken $\chi^2$ , gebruik $\text{df} = 5$ met kritieke waarde $11{,}07$ , en trek een conclusie in de context.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Profielspecifieke verdieping kansrekening en statistiek

Kernpunten

Standaardfout berekenen en het effect van n

Kernpunten

Een kans over het steekproefgemiddelde berekenen

Kernpunten

Een betrouwbaarheidsinterval opstellen

Kernpunten

Een onafhankelijkheidstoets uitvoeren

Bronnen