Samenvattingen · Wiskunde DNL · VWO

Discrete dynamische systemen (rijen, recursie, webgrafieken)

Een discreet dynamisch systeem beschrijft een grootheid die in vaste stappen verandert: uit de toestand $u(n)$ volgt de volgende toestand $u(n+1)=f(u(n))$ . Rekenkundige rijen tellen elke stap hetzelfde bedrag op, meetkundige rijen vermenigvuldigen met een vaste factor, en algemene recursies koppelen elke term aan de vorige. Door het evenwicht (vaste punt) $u^*=f(u^*)$ te bepalen en met de helling $|f'(u^*)|$ de stabiliteit te onderzoeken, en door een webgrafiek te tekenen, voorspel je het lange-termijngedrag: convergentie, divergentie of een cyclus. Wiskunde D is een schoolexamenvak (SE) zonder centraal examen; dit onderwerp hoort bij domein C.

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 1 · Verdieping 2

T·0999 / 19

Examenprofiel

Rijen herkennen en opstellen: rekenkundig, meetkundig en recursief gedefinieerdWisselen tussen een recursieve en een directe (expliciete) formuleHet evenwicht (vaste punt) en de stabiliteit van een discreet systeem bepalenEen webgrafiek tekenen en aflezen: convergentie, divergentie of een cyclus

Operatoren:berekenbepaalstel oponderzoektekenbeschrijftoon aanleg uit

basisniveau

Schoolexamenstof (SE) domein C: rekenkundige, meetkundige en recursieve rijen, het omzetten tussen recursie en directe formule, en het evenwicht van een discreet systeem berekenen.

verhoogd niveau

Verdieping: de directe formule van een lineaire recursie $u(n+1)=a\,u(n)+b$ afleiden, de stabiliteit met $|f'(u^*)|$ onderbouwen, en het lange-termijngedrag uit een webgrafiek lezen (monotone convergentie, spiraal, divergentie, cyclus).

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Discrete dynamische systemen (rijen, recursie, webgrafieken)

Rijen: rekenkundig, meetkundig en recursief#

Basisexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Een „rij" (getallenrij) is een geordende lijst getallen

u(0),\,u(1),\,u(2),\,\dots

, waarin

u(n)

de „term" met rangnummer

n

is. In de theorie van dynamische systemen lees je zo'n rij als een grootheid die in vaste, discrete stappen verandert:

u(n)

is de „toestand" op tijdstip

n

(bijvoorbeeld een aantal dieren, een saldo of een concentratie na

n

dagen). Het hart van elk discreet model is de vraag: hoe hangt de volgende toestand af van de huidige? In Afb. 1 staan de eerste termen van de rij

2,\,5,\,8,\,11,\,14

op een getallenlijn; ze liggen op gelijke afstand, want bij elke stap komt er hetzelfde bedrag bij. Dat regelmatige patroon is precies wat een rij tot een rekenkundige rij maakt.

Afb. 1 — Rekenkundige rij op de getallenlijn

Afb. 1Afb. 1 — De rij met u(0)=2 en verschil v=3: de termen 2, 5, 8, 11, 14 liggen op gelijke afstand op de getallenlijn, kenmerkend voor een rekenkundige rij.

Bij een „rekenkundige rij" is het verschil tussen twee opeenvolgende termen steeds hetzelfde vaste getal

v

, dus

v=u(n+1)-u(n)

. Omdat je bij elke stap hetzelfde bedrag optelt, groeit de rij lineair, en de directe formule volgt uit

n

keer

v

optellen bij de startterm:

u(n)=u(0)+n\cdot v

. Bij de rij uit Afb. 1 is

u(0)=2

v=3

, dus

u(n)=2+3n

en bijvoorbeeld

u(4)=2+3\cdot 4=14

. Let bij de nummering goed op: begint de rij bij

u(0)

, dan hoort

u(0)+n\cdot v

; begint hij bij

u(1)

, dan

u(1)+(n-1)v

Bij een „meetkundige rij" is niet het verschil maar het quotiënt van twee opeenvolgende termen constant:

r=\dfrac{u(n+1)}{u(n)}

, de „reden". Je maakt elke volgende term door met

r

te vermenigvuldigen, zodat de directe formule

u(n)=u(0)\cdot r^{\,n}

wordt — een exponentieel verband. Zo geeft

u(0)=1

met

r=2

de rij

1,\,2,\,4,\,8,\,16,\dots

die telkens verdubbelt. De reden bepaalt het gedrag:

r>1

betekent onbegrensde groei,

0<r<1

betekent dalen naar

0

(halveringen, verval), en een negatieve

r

geeft een rij die van teken wisselt. Meetkundig groeien (factor

\times r

) is fundamenteel anders dan rekenkundig groeien (bedrag

+v

De algemene, meest krachtige manier om een discreet systeem vast te leggen is de „recursieve formule" (of differentievergelijking)

u(n+1)=f(u(n))

, samen met een startwaarde

u(0)

. Hierin is

f

een functie die uit de huidige term de volgende berekent. Rekenkundig (

f(u)=u+v

) en meetkundig (

f(u)=r\cdot u

) zijn er speciale gevallen van, maar

f

mag ook ingewikkelder zijn, bijvoorbeeld

u(n+1)=0{,}5\,u(n)+10

of het logistische

u(n+1)=r\,u(n)\bigl(1-u(n)\bigr)

. De startwaarde is onmisbaar: zonder

u(0)

legt de regel

u(n+1)=f(u(n))

oneindig veel verschillende rijen vast. Een recursie is intuïtief (elke stap hangt van de vorige af), maar om

u(100)

te berekenen moet je in principe alle voorgaande termen doorlopen — tenzij je een directe formule vindt.

Om te bepalen met welk type je te maken hebt, schrijf je eerst enkele termen op en onderzoek je de verschillen en de quotiënten. Is het verschil

u(n+1)-u(n)

constant, dan is de rij rekenkundig; is het quotiënt

u(n+1)/u(n)

constant, dan meetkundig; is geen van beide constant, dan is de rij „anders" en beschrijf je hem alleen recursief. Bij

1,\,4,\,9,\,16

(de kwadraten) zijn de verschillen

3,5,7

en de quotiënten

4;\,2{,}25;\dots

— geen van beide constant, dus noch rekenkundig noch meetkundig. Deze eerste controle bepaalt welke formules je verderop mag gebruiken, en of je een directe formule mag verwachten.

u(n)=u(0)+n\cdot v

Rekenkundige rij — directe formule

Constant verschil $v=u(n+1)-u(n)$ ; vanaf $u(0)$ tel je $n$ keer $v$ op.

u(n)=u(0)\cdot r^{\,n}

Meetkundige rij — directe formule

Constante reden $r=u(n+1)/u(n)$ ; vanaf $u(0)$ vermenigvuldig je $n$ keer met $r$ .

u(n+1)=f(u(n)),\quad u(0)\ \text{gegeven}

Algemene recursie (differentievergelijking)

De volgende toestand is een functie $f$ van de huidige; de startwaarde $u(0)$ legt de rij vast.

Uitgewerkt voorbeeld

Type herkennen en de directe formule opstellen

Van een rij is gegeven: $u(0)=5$ en $u(n+1)=u(n)+3$ . Bepaal om welk type rij het gaat, stel de directe formule op en bereken $u(10)$ .

Herken het type
De recursie telt bij elke stap hetzelfde bedrag $3$ op, dus het verschil is constant: de rij is rekenkundig met $v=3$ en startterm $u(0)=5$ . De rij begint met $5,\,8,\,11,\,14,\dots$
Stel de directe formule op
Vul $u(0)=5$ en $v=3$ in de rekenkundige standaardvorm in.
$u(n)=u(0)+n\cdot v=5+3n$
Bereken u(10)
Vul $n=10$ in de directe formule in.
$u(10)=5+3\cdot 10=35$

Resultaat: Het is een rekenkundige rij; de directe formule is $u(n)=5+3n$ en $u(10)=35$ .

Veelgemaakte fouten

Bij nummering vanaf $u(0)$ de rekenkundige formule als $u(0)+(n-1)v$ schrijven; vanaf $u(0)$ hoort $u(0)+n\cdot v$ , en vanaf $u(1)$ hoort $u(1)+(n-1)v$ .
Een recursie geven zonder startwaarde (dan ligt de rij niet vast), of het rangnummer $n$ verwarren met de termwaarde $u(n)$ .

Actieve herhaling

Van een rij is gegeven: $u(0)=48$ en $u(n+1)=0{,}5\cdot u(n)$ . Bepaal het type, stel de directe formule op en bereken $u(4)$ . Ga daarna na of $u(n+1)=u(n)-6$ met $u(0)=48$ hetzelfde of een ander type rij oplevert.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Recursievergelijkingen en de directe formule#

Standaardexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Afb. 1 — Convergerende lineaire recursie

Afb. 2Afb. 1 — De rij u(n)=20+20·0,5^n (envelop door de discrete termen) daalt van u(0)=40 naar het evenwicht u* = 20; de horizontale asymptoot y=20 is het vaste punt.

Een recursie en een directe formule beschrijven dezelfde rij op twee manieren. De recursie

u(n+1)=f(u(n))

is „stapsgewijs": ze vertelt hoe je van de ene term naar de volgende komt en sluit aan bij hoe een model ontstaat. De directe (expliciete) formule geeft

u(n)

meteen als functie van

n

, zodat je elke term in één berekening vindt. Voor de eenvoudige gevallen ken je de vertaling al: rekenkundig

u(n+1)=u(n)+v

wordt

u(n)=u(0)+n\cdot v

, en meetkundig

u(n+1)=r\,u(n)

wordt

u(n)=u(0)\cdot r^{\,n}

. De uitdaging van dit onderwerp is de tussenvorm: de „lineaire" (affiene) recursie

u(n+1)=a\,u(n)+b

, die zowel vermenigvuldigt als optelt.

Bij de lineaire recursie

u(n+1)=a\,u(n)+b

(met

a\neq 1

) bestaat er ook een directe formule, en de sleutel is het „vaste punt"

u^*

: de waarde die onveranderd blijft, dus

u^*=a\,u^*+b

. Hieruit los je

u^*=\dfrac{b}{1-a}

op. Meet je elke term af tegen dit vaste punt via

d(n)=u(n)-u^*

, dan blijkt

d

een zuivere meetkundige rij te zijn:

d(n+1)=a\,d(n)

, dus

d(n)=d(0)\cdot a^{\,n}

. Terugvertaald geeft dat de directe formule

u(n)=u^*+\bigl(u(0)-u^*\bigr)\cdot a^{\,n}

. In woorden: de afwijking tot het vaste punt krimpt of groeit met de factor

a

per stap.

In Afb. 1 zie je deze structuur voor

u(n+1)=0{,}5\,u(n)+10

met

u(0)=40

. Het vaste punt is

u^*=\dfrac{10}{1-0{,}5}=20

, en de directe formule wordt

u(n)=20+(40-20)\cdot 0{,}5^{\,n}=20+20\cdot 0{,}5^{\,n}

. De termen

40,\,30,\,25,\,22{,}5,\,21{,}25,\dots

naderen

20

steeds dichter maar bereiken het nooit, precies zoals de gladde kromme door de discrete punten de horizontale lijn

y=20

als asymptoot heeft. Omdat de factor

a=0{,}5

tussen

0

1

ligt, halveert de afstand tot

20

elke stap; dit is de reden waarom dit systeem naar zijn evenwicht convergeert.

Niet elke recursie heeft een handige directe formule. Voor het logistische model

u(n+1)=r\,u(n)\bigl(1-u(n)\bigr)

bestaat er geen eenvoudige gesloten uitdrukking voor

u(n)

: zulke niet-lineaire recursies onderzoek je numeriek (term voor term met de rekenmachine) en kwalitatief (met een webgrafiek, zie verderop). Het is dus belangrijk te herkennen wanneer een directe formule wél bestaat — bij rekenkundige, meetkundige en lineaire recursies — en wanneer je op stapsgewijs rekenen en grafische analyse aangewezen bent. Controleer een gevonden directe formule altijd door

n=0,1,2

in te vullen en te vergelijken met de recursief berekende termen.

De directe formule van een lineaire recursie legt het lange-termijngedrag meteen bloot. In

u(n)=u^*+\bigl(u(0)-u^*\bigr)\cdot a^{\,n}

bepaalt de macht

a^{\,n}

alles: is

|a|<1

, dan gaat

a^{\,n}\to 0

en nadert

u(n)

het vaste punt

u^*

; is

|a|>1

, dan groeit

|a^{\,n}|

onbegrensd en loopt

u(n)

juist weg van

u^*

. Het teken van

a

verfijnt het beeld:

0<a<1

geeft een gestaag, monotone nadering, terwijl

-1<a<0

een nadering geeft die om

u^*

heen slingert (afwisselend erboven en eronder). Zo geeft één formule de brug tussen de algebra (de directe formule) en het gedrag (evenwicht en stabiliteit, de volgende paragraaf).

u(n+1)=a\cdot u(n)+b

Lineaire (affiene) recursie

Combineert een vermenigvuldiging ( $\times a$ ) met een optelling ( $+b$ ); rekenkundig en meetkundig zijn speciale gevallen.

u^*=\frac{b}{1-a}\quad(a\neq 1)

Vast punt van de lineaire recursie

De waarde die onveranderd blijft, gevonden uit $u^*=a\,u^*+b$ .

u(n)=u^*+\bigl(u(0)-u^*\bigr)\cdot a^{\,n}

Directe formule van de lineaire recursie

De afwijking tot het vaste punt is een meetkundige rij met reden $a$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Van lineaire recursie naar directe formule

Gegeven is de recursie $u(n+1)=0{,}5\,u(n)+10$ met $u(0)=40$ . Bepaal het vaste punt $u^*$ , stel de directe formule op en bereken $u(4)$ .

Bepaal het vaste punt
Stel $u^*=f(u^*)$ : de waarde die de recursie onveranderd laat.
$u^*=0{,}5\,u^*+10\ \Rightarrow\ 0{,}5\,u^*=10\ \Rightarrow\ u^*=20$
Stel de directe formule op
Gebruik $u(n)=u^*+\bigl(u(0)-u^*\bigr)a^{\,n}$ met $a=0{,}5$ , $u(0)=40$ en $u^*=20$ .
$u(n)=20+(40-20)\cdot 0{,}5^{\,n}=20+20\cdot 0{,}5^{\,n}$
Bereken u(4)
Vul $n=4$ in; er geldt $0{,}5^{4}=0{,}0625$ .
$u(4)=20+20\cdot 0{,}0625=20+1{,}25=21{,}25$

Resultaat: Het vaste punt is $u^*=20$ , de directe formule $u(n)=20+20\cdot 0{,}5^{\,n}$ en $u(4)=21{,}25$ .

Veelgemaakte fouten

De directe formule van $u(n+1)=a\,u(n)+b$ als $u(0)\cdot a^{\,n}+b$ schrijven; de constante $b$ zit in het vaste punt $u^*$ , niet los erbij.
Denken dat elke recursie een directe formule heeft; niet-lineaire recursies zoals $u(n+1)=r\,u(n)(1-u(n))$ los je numeriek en grafisch op.

Actieve herhaling

Gegeven is $u(n+1)=0{,}8\,u(n)+30$ met $u(0)=200$ . Bepaal het vaste punt, stel de directe formule op en bereken $u(3)$ . Beschrijf of de rij naar het vaste punt toe of ervan weg beweegt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Evenwicht en stabiliteit#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Afb. 1 — Webgrafiek van het logistische systeem

Afb. 3Afb. 1 — De grafiek y=f(u)=2,8·u(1−u) snijdt de lijn y=u in de evenwichten u=0 en u≈0,64; het snijpunt bij 0,64 is stabiel want |f'(0,64)|=0,8<1.

Een „evenwicht" (of vast punt) van een discreet systeem

u(n+1)=f(u(n))

is een toestand die zichzelf voortzet: als

u(n)=u^*

, dan is ook

u(n+1)=u^*

. Wiskundig is dat precies de oplossing van de vergelijking

u^*=f(u^*)

. Grafisch is een evenwicht het snijpunt van de grafiek

y=f(u)

met de lijn

y=u

(de „

45^\circ

-lijn"), want daar geldt

f(u)=u

. In Afb. 1 zie je voor het logistische systeem

f(u)=2{,}8\,u(1-u)

dat de parabool

y=f(u)

de lijn

y=u

snijdt in twee punten: bij

u^*=0

en bij

u^*\approx 0{,}64

. Een systeem kan dus meerdere evenwichten hebben, en de kernvraag is: naar welk evenwicht beweegt de rij, en van welk beweegt hij weg?

Of een evenwicht „stabiel" is (aantrekkend) of „instabiel" (afstotend) hangt af van hoe steil

f

door het vaste punt loopt: de helling

f'(u^*)

. Vlak bij het vaste punt gedraagt

f

zich als een lineaire recursie met factor

a=f'(u^*)

, en we weten al dat de afwijking dan met

|a|

per stap krimpt of groeit. De stabiliteitsregel is daarom: als

|f'(u^*)|<1

is het evenwicht stabiel (kleine afwijkingen sterven uit, de rij wordt aangetrokken), en als

|f'(u^*)|>1

is het instabiel (kleine afwijkingen groeien, de rij wordt afgestoten). Precies op

|f'(u^*)|=1

beslist de helling niet en is nader onderzoek nodig.

Pas dit toe op het logistische model

f(u)=2{,}8\,u(1-u)

met afgeleide

f'(u)=2{,}8-5{,}6\,u

. In het evenwicht

u^*=0

f'(0)=2{,}8

, en omdat

|2{,}8|>1

u^*=0

instabiel: start je met een klein aantal, dan groeit de populatie weg van

0

. In het evenwicht

u^*=1-\tfrac{1}{2{,}8}=\tfrac{9}{14}\approx 0{,}64

f'(u^*)=2{,}8-5{,}6\cdot 0{,}64=-0{,}8

, en omdat

|-0{,}8|<1

is dit evenwicht stabiel: de rij wordt ernaartoe getrokken. Dat het teken van de helling negatief is, betekent bovendien dat de nadering slingerend verloopt — de rij springt afwisselend boven en onder

0{,}64

, wat je in de webgrafiek als een inspiraliserend patroon terugziet.

Het teken van

f'(u^*)

verfijnt dus het stabiliteitsbeeld in vier gevallen. Bij

0<f'(u^*)<1

nadert de rij het evenwicht monotoon (stapsgewijs van één kant, een „trap"); bij

-1<f'(u^*)<0

nadert hij slingerend (een inwaartse spiraal); bij

f'(u^*)>1

loopt de rij monotoon weg; en bij

f'(u^*)<-1

loopt hij slingerend weg (een uitwaartse spiraal). Voor een zuivere lineaire recursie

u(n+1)=a\,u(n)+b

f'(u)=a

overal gelijk, zodat de stabiliteit alleen van

|a|

afhangt — vandaar dat

u(n+1)=0{,}5\,u(n)+10

uit de vorige paragraaf keurig convergeert (

|0{,}5|<1

Stabiliteit is de wiskundige verklaring achter „waar gaat het systeem naartoe?". Een stabiel evenwicht is een toestand waarin een populatie, een saldo of een temperatuur zich op de lange duur nestelt; een instabiel evenwicht is een omslagpunt dat je in de praktijk nooit vasthoudt. Bij het onderzoeken van een discreet model bereken je daarom eerst álle evenwichten uit

u^*=f(u^*)

, bepaal je bij elk de helling

f'(u^*)

, en trek je per evenwicht de conclusie stabiel/instabiel. Zo voorspel je het lange-termijngedrag zonder honderden termen uit te rekenen.

u^*=f(u^*)

Evenwicht (vast punt)

De toestand die zichzelf voortzet; grafisch het snijpunt van $y=f(u)$ met $y=u$ .

|f'(u^*)|<1\ \text{stabiel},\qquad |f'(u^*)|>1\ \text{instabiel}

Stabiliteitscriterium

De helling in het vaste punt bepaalt of kleine afwijkingen krimpen (aantrekkend) of groeien (afstotend).

f(u)=r\,u\,(1-u),\qquad f'(u)=r-2r\,u

Discreet logistisch model

Niet-lineaire recursie met twee evenwichten; hier gebruikt met $r=2{,}8$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Evenwichten en stabiliteit van een logistisch systeem

Onderzoek het discrete systeem $u(n+1)=2{,}8\,u(n)\bigl(1-u(n)\bigr)$ : bepaal de evenwichten en onderzoek voor elk de stabiliteit met de helling $f'(u^*)$ .

Stel de evenwichtsvergelijking op
Een evenwicht voldoet aan $u^*=f(u^*)$ .
$u^*=2{,}8\,u^*(1-u^*)$
Los de evenwichten op
Deel de vergelijking; naast $u^*=0$ geeft $1=2{,}8(1-u^*)$ het tweede evenwicht.
$u^*=0\quad\text{of}\quad u^*=1-\tfrac{1}{2{,}8}=\tfrac{9}{14}\approx 0{,}64$
Bepaal de helling
Differentieer $f(u)=2{,}8\,u-2{,}8\,u^{2}$ .
$f'(u)=2{,}8-5{,}6\,u$
Toets elk evenwicht
Vul beide evenwichten in en vergelijk met $1$ .
$f'(0)=2{,}8\ (>1),\qquad f'(0{,}64)=2{,}8-5{,}6\cdot 0{,}64=-0{,}8\ (|{-0{,}8}|<1)$

Resultaat: Evenwichten $u^*=0$ (instabiel, want $|f'(0)|=2{,}8>1$ ) en $u^*\approx 0{,}64$ (stabiel, want $|f'(0{,}64)|=0{,}8<1$ ); de rij wordt naar $0{,}64$ toe getrokken, slingerend omdat de helling daar negatief is.

Veelgemaakte fouten

Bij $u^*=2{,}8\,u^*(1-u^*)$ door $u^*$ delen en zo het evenwicht $u^*=0$ verliezen; hou beide oplossingen.
De stabiliteit beoordelen met $f'(u^*)$ zelf in plaats van met de absolute waarde $|f'(u^*)|$ — een helling van $-0{,}8$ is stabiel, niet instabiel.

Actieve herhaling

Onderzoek $u(n+1)=3{,}2\,u(n)\bigl(1-u(n)\bigr)$ : bepaal de twee evenwichten en toets met $f'(u^*)=3{,}2-6{,}4\,u^*$ of het niet-triviale evenwicht stabiel is. Verklaar wat je uitkomst zegt over het lange-termijngedrag.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Webgrafieken en lange-termijngedrag#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-d-domein-C

Afb. 1 — Convergente versus divergente recursie

Afb. 4Afb. 1 — Beide rijen hebben evenwicht u*=20. De convergente rij u(n)=20+20·0,5^n (|a|<1) nadert 20; de divergente rij u(n)=20+5·1,3^n (|a|>1) loopt weg van 20.

Een „webgrafiek" (cobweb) is een grafische manier om een recursie

u(n+1)=f(u(n))

stap voor stap te volgen, zonder termen uit te rekenen. Je tekent de grafiek

y=f(u)

en de lijn

y=u

in hetzelfde assenstelsel (zoals in Afb. 1 van de vorige paragraaf). Vanuit een startwaarde

u(0)

op de horizontale as ga je verticaal naar de grafiek

y=f(u)

— daar lees je

u(1)=f(u(0))

af — en vervolgens horizontaal naar de lijn

y=u

, waarmee

u(1)

terug op de horizontale as komt. Dit herhaal je: verticaal naar de kromme, horizontaal naar de lijn, verticaal, horizontaal, … Zo ontstaat een „web" van lijnstukjes dat het verloop van de rij toont.

Uit de vorm van dat web lees je meteen het lange-termijngedrag af. Trekt het web zich samen naar het snijpunt (het evenwicht), dan „convergeert" de rij; waaiert het web ervandaan uit, dan „divergeert" de rij. De helling van

f

in het vaste punt bepaalt de vorm: bij

0<f'(u^*)<1

krijg je een trapvormig web dat monotoon naar het evenwicht loopt, bij

-1<f'(u^*)<0

een rechthoekige inwaartse spiraal (slingerende convergentie), en bij

|f'(u^*)|>1

een web dat naar buiten spiraliseert of wegtrapt (divergentie). Zo verbindt de webgrafiek het stabiliteitscriterium uit de vorige paragraaf met een concreet, zichtbaar patroon.

Afb. 1 zet twee lineaire recursies met hetzelfde evenwicht

u^*=20

naast elkaar. De „convergente" rij

u(n+1)=0{,}5\,u(n)+10

met

u(0)=40

heeft

u(n)=20+20\cdot 0{,}5^{\,n}

: omdat

|0{,}5|<1

krimpt de afwijking en nadert de rij

20

. De „divergente" rij

u(n+1)=1{,}3\,u(n)-6

met

u(0)=25

heeft

u(n)=20+5\cdot 1{,}3^{\,n}

: omdat

|1{,}3|>1

groeit de afwijking en loopt de rij onbeperkt weg van

20

. Beide hebben hetzelfde vaste punt, maar de factor

a

beslist over de afloop — precies wat de macht

a^{\,n}

in de directe formule voorspelt.

Niet elke rij convergeert of divergeert: er zijn ook „periodieke" uitkomsten. Bij het logistische model

u(n+1)=r\,u(n)(1-u(n))

blijft de rij voor kleine

r

bij één stabiel evenwicht, maar naarmate

r

groter wordt (voorbij

r=3

) wordt dat evenwicht instabiel en gaat de rij heen en weer tussen twee waarden: een „cyclus" met periode

2

. Voor nog grotere

r

ontstaan cycli van periode

4,\,8,\dots

en uiteindelijk grillig, chaotisch gedrag. In een webgrafiek herken je een periode-

2

-cyclus aan een gesloten rechthoekig lusje dat zich niet naar het snijpunt samentrekt maar er blijvend omheen loopt.

Het onderzoeken van het lange-termijngedrag combineert dus drie gereedschappen die elkaar bevestigen: de directe formule (wanneer die bestaat, leest

a^{\,n}

de afloop af), het stabiliteitscriterium

|f'(u^*)|

(voorspelt aantrekken of afstoten) en de webgrafiek (maakt het verloop zichtbaar, ook bij niet-lineaire recursies). Bij een examenopgave is de aanpak: bepaal de evenwichten, toets hun stabiliteit, en beschrijf met een webgrafiek of directe formule of de rij convergeert (en waarnaartoe), divergeert, of in een cyclus belandt. Geef je conclusie altijd terug in de context van het model, met de juiste eenheid en betekenis.

u(n)=u^*+\bigl(u(0)-u^*\bigr)\cdot a^{\,n}

Lange-termijngedrag uit de directe formule

De macht $a^{\,n}$ beslist: naar het evenwicht toe of ervandaan.

|a|<1\Rightarrow u(n)\to u^*\ (\text{convergentie}),\qquad |a|>1\Rightarrow |u(n)-u^*|\to\infty\ (\text{divergentie})

Convergentie versus divergentie

Voor een lineaire recursie is $a=f'(u^*)$ ; hetzelfde criterium als de stabiliteit.

Uitgewerkt voorbeeld

Lange-termijngedrag van twee recursies vergelijken

Twee rijen hebben hetzelfde evenwicht $u^*=20$ : (A) $u(n+1)=0{,}5\,u(n)+10$ met $u(0)=40$ en (B) $u(n+1)=1{,}3\,u(n)-6$ met $u(0)=25$ . Beschrijf voor elke rij het lange-termijngedrag en onderbouw met de directe formule.

Rij A: directe formule
Vast punt $u^*=\tfrac{10}{1-0{,}5}=20$ , factor $a=0{,}5$ .
$u(n)=20+(40-20)\cdot 0{,}5^{\,n}=20+20\cdot 0{,}5^{\,n}$
Rij A: gedrag
Omdat $|0{,}5|<1$ gaat $0{,}5^{\,n}\to 0$ , dus $u(n)\to 20$ : rij A convergeert monotoon naar het evenwicht.
Rij B: directe formule
Vast punt $u^*=\tfrac{-6}{1-1{,}3}=20$ , factor $a=1{,}3$ .
$u(n)=20+(25-20)\cdot 1{,}3^{\,n}=20+5\cdot 1{,}3^{\,n}$
Rij B: gedrag
Omdat $|1{,}3|>1$ groeit $1{,}3^{\,n}$ onbeperkt, dus $u(n)\to\infty$ : rij B divergeert en loopt weg van het evenwicht.

Resultaat: Rij A convergeert naar $u^*=20$ ( $u(n)=20+20\cdot 0{,}5^{\,n}$ ); rij B divergeert ( $u(n)=20+5\cdot 1{,}3^{\,n}\to\infty$ ). Ondanks hetzelfde evenwicht beslist de factor $a$ over de afloop.

Veelgemaakte fouten

In de webgrafiek de stappen verkeerd om zetten (horizontaal naar de kromme en verticaal naar de lijn); het is verticaal naar $y=f(u)$ , dan horizontaal naar $y=u$ .
Denken dat gelijke evenwichten gelijk gedrag geven; de factor $a$ (of de helling $f'(u^*)$ ) beslist over convergentie of divergentie, niet de ligging van het evenwicht.

Actieve herhaling

Gegeven zijn (A) $u(n+1)=0{,}9\,u(n)+5$ met $u(0)=100$ en (B) $u(n+1)=1{,}1\,u(n)-5$ met $u(0)=60$ . Bepaal voor beide het evenwicht en de directe formule, en beschrijf met behulp van de factor $a$ het lange-termijngedrag (convergent of divergent).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — examenprogramma wiskunde D (VWO)

Discrete dynamische systemen (rijen, recursie, webgrafieken)

Kernpunten

Type herkennen en de directe formule opstellen

Kernpunten

Van lineaire recursie naar directe formule

Kernpunten

Evenwichten en stabiliteit van een logistisch systeem

Kernpunten

Lange-termijngedrag van twee recursies vergelijken

Bronnen