Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Veranderingen en veranderingsgedrag

Bij veranderingen bestudeer je hoe snel een grootheid toeneemt of afneemt. Je leert het veranderingsgedrag van een grafiek beschrijven (stijgen, dalen, toenemende en afnemende verandering), de gemiddelde verandering op een interval berekenen met het differentiequotiënt, veranderingen weergeven in een toenamediagram, en de (benaderde) helling in een punt bepalen met de grafische rekenmachine. Wiskunde C werkt hierbij zonder de formele differentieerregels. Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein D).

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0666 / 17

Examenprofiel

D · Veranderingsgedrag beschrijven: stijgen, dalen, toenemende en afnemende veranderingD · De gemiddelde verandering (gemiddelde veranderingssnelheid) berekenen met het differentiequotiënt Δy/ΔxD · Een toenamediagram tekenen en interpreterenD · De helling in een punt benaderen met de grafische rekenmachine en de hellinggrafiek schetsen

Operatoren:berekenbeschrijfbepaaltekeninterpreteer

basisniveau

Veranderingsgedrag, het differentiequotiënt en het toenamediagram zijn centraal-examenstof (domein D) van wiskunde C.

verhoogd niveau

Verdieping: het schetsen van de hellinggrafiek en het benaderen van de momentane helling met de GR leggen de intuïtie achter veranderingssnelheid vast — zonder de formele afgeleide die pas bij wiskunde A/B aan bod komt.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Veranderingen en veranderingsgedrag

Verandering aflezen: stijgen, dalen en veranderingsgedrag#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-D

Het veranderingsgedrag van een grafiek beschrijf je met twee vragen: gaat de grootheid omhoog of omlaag, en gebeurt dat steeds sneller of steeds langzamer? Een grafiek stijgt op een interval als de

y

-waarden er toenemen, en daalt als ze afnemen. Afb. 1 toont de hoogte

h(t)=-5t^{2}+20t

van een omhooggeschoten bal (in meter,

t

in seconden): de bal stijgt tussen

t=0

t=2

, bereikt zijn hoogste punt

20

m op

t=2

, en daalt daarna weer tot hij op

t=4

de grond raakt. Het hoogste punt — de top — is precies de plaats waar het stijgen overgaat in dalen.

Afb. 1 — Stijgen, top en dalen bij een balbeweging

Afb. 1Afb. 1 —

h(t)=-5t^{2}+20t

: de bal stijgt (afnemend) tot de top

(2,20)

en daalt daarna (toenemend) tot

(4,0)

. De top is het omslagpunt tussen stijgen en dalen.

Naast stijgen en dalen let je op hoe de verandering zelf verandert. Bij een toenemende stijging wordt de grafiek steeds steiler (de toenames per stap worden groter); bij een afnemende stijging wordt hij steeds vlakker (de toenames worden kleiner, maar blijven positief). Zo stijgt de bal in Afb. 1 tussen

t=0

t=2

wél, maar afnemend: hij wint elke seconde minder hoogte, tot de winst bij de top nul is. Op de terugweg daalt hij toenemend: hij verliest elke seconde meer hoogte. Dit onderscheid — de richting van de verandering én de verandering van die verandering — maakt het gedrag van een grafiek volledig beschrijfbaar.

Deze begrippen koppel je aan de vorm van de grafiek. Een grafiek die « hol naar boven » kromt (als een dal) hoort bij een toenemende verandering; een grafiek die « hol naar beneden » kromt (als een berg) bij een afnemende verandering. Een rechte lijn heeft een constante verandering: hij stijgt of daalt overal even snel. En een horizontale raaklijn — zoals in de top of het dal — hoort bij het moment waarop de verandering even stilstaat, het omslagpunt tussen stijgen en dalen. Deze koppeling tussen kromming en veranderingsgedrag helpt je een grafiek in woorden te beschrijven.

In een context vertaal je deze begrippen naar betekenis. Een bevolking die « steeds sneller groeit » stijgt toenemend; een afkoelend kopje koffie waarvan de temperatuur « steeds langzamer daalt » daalt afnemend; en een grootheid die een maximum bereikt en daarna afneemt, heeft een top. Op het examen wordt vaak gevraagd het gedrag van een grafiek in woorden te beschrijven of, andersom, bij een beschrijving de passende grafiek te kiezen. Nauwkeurig formuleren — « stijgt afnemend » in plaats van alleen « stijgt » — levert daarbij de punten op.

Uitgewerkt voorbeeld

Veranderingsgedrag beschrijven

Voor de hoogte $h(t)=-5t^{2}+20t$ (m, $t$ in s): (a) op welk interval stijgt de bal, en op welk daalt hij? (b) Beschrijf het stijgen als toenemend of afnemend. (c) Wat is de maximale hoogte?

(a) Top bepalen
De top ligt bij $t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2$ . Vóór $t=2$ stijgt de bal, ná $t=2$ daalt hij.
(b) Aard van het stijgen
De grafiek is een bergparabool (hol naar beneden): de stijging vlakt af naar de top toe, dus de bal stijgt afnemend.
(c) Maximale hoogte
$h(2)=-5\cdot 4+40=20$ m.
$h(2)=-5\cdot 2^{2}+20\cdot 2=20$

Resultaat: (a) stijgen op $[0,2]$ , dalen op $[2,4]$ ; (b) afnemend stijgend; (c) de maximale hoogte is $20$ m op $t=2$ s.

Veelgemaakte fouten

« Stijgt » en « stijgt toenemend » door elkaar halen; een grafiek kan stijgen terwijl de stijging juist afneemt.
Denken dat een dalende grafiek altijd « afnemend » is; een grafiek kan dalend zijn en toch steeds sneller dalen (toenemend dalend).

Actieve herhaling

Een kopje thee koelt af volgens een dalende, afvlakkende grafiek. Beschrijf het veranderingsgedrag (stijgen/dalen, toenemend/afnemend) en leg uit waarom de temperatuur op den duur nauwelijks meer verandert.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein D: Verandering (CvTE / DUO)

Gemiddelde verandering en het differentiequotiënt#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-D

De gemiddelde verandering (of gemiddelde veranderingssnelheid) op een interval

[a,b]

vertelt hoeveel de grootheid gemiddeld per eenheid verandert tussen

x=a

x=b

. Je berekent hem als het differentiequotiënt

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

: de totale verandering van

y

gedeeld door de verandering van

x

. Meetkundig is dit precies de helling van de koorde (het lijnstuk) die de twee punten

(a,f(a))

(b,f(b))

op de grafiek verbindt. Afb. 2 laat zo'n koorde zien op de grafiek van

f(x)=0{,}5x^{2}

tussen

x=1

x=4

Afb. 2 — De koorde en het differentiequotiënt

Afb. 2Afb. 2 — De koorde tussen

(1;0{,}5)

(4;8)

f(x)=0{,}5x^{2}

. Zijn helling is de gemiddelde verandering:

\frac{8-0{,}5}{4-1}=2{,}5

Reken het voorbeeld uit Afb. 2 na. Op

[1,4]

geldt

f(1)=0{,}5\cdot 1=0{,}5

f(4)=0{,}5\cdot 16=8

, dus de gemiddelde verandering is

\frac{8-0{,}5}{4-1}=\frac{7{,}5}{3}=2{,}5

. Dit betekent: over dit interval neemt

f

gemiddeld met

2{,}5

per eenheid

x

toe. Merk op dat de grootheid daarbinnen níet overal even snel verandert — bij

x=1

is de grafiek nog vlak, bij

x=4

al veel steiler — maar het differentiequotiënt geeft het gemiddelde daarvan, net zoals een gemiddelde snelheid van

2{,}5

verzwijgt dat je onderweg soms harder en soms zachter reed.

De eenheid van de gemiddelde verandering volgt uit de eenheden van de assen: het is « eenheid van

y

per eenheid van

x

». Bij een afstand-tijdgrafiek is dat meter per seconde (een snelheid), bij een kosten-aantalgrafiek euro per stuk, bij een temperatuur-tijdgrafiek graden per minuut. Het teken vertelt de richting: een positief differentiequotiënt hoort bij een gemiddeld stijgende grootheid, een negatief bij een gemiddeld dalende. Zo dwingt de gemiddelde verandering je om betekenis en eenheid van je antwoord te benoemen.

Het differentiequotiënt is een gemiddelde over een heel interval, en verhult de variatie daarbinnen. Wil je weten hoe snel de grootheid verandert op één bepaald moment — de momentane verandering — dan neem je het differentiequotiënt over een steeds kleiner interval rond dat punt. Hoe kleiner het interval, hoe dichter de koorde bij de raaklijn in dat punt komt, en hoe beter het differentiequotiënt de helling in het punt benadert. Dit idee — van gemiddelde naar momentane verandering door het interval te verkleinen — is de brug naar de laatste paragraaf en, verderop bij wiskunde A en B, naar de afgeleide.

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Differentiequotiënt

De gemiddelde verandering op [a,b]; meetkundig de helling van de koorde tussen (a,f(a)) en (b,f(b)).

Uitgewerkt voorbeeld

Gemiddelde verandering berekenen en interpreteren

Het aantal inwoners van een dorp is $N(t)=200+40t+5t^{2}$ ( $t$ in jaren). (a) Bereken de gemiddelde bevolkingsgroei per jaar over $[0,4]$ . (b) Bereken die over $[4,8]$ . (c) Wat zegt de vergelijking van beide over het veranderingsgedrag?

(a) Interval [0,4]
$N(0)=200$ en $N(4)=200+160+80=440$ . Differentiequotiënt: $\frac{440-200}{4-0}=\frac{240}{4}=60$ .
$\frac{N(4)-N(0)}{4-0}=\frac{240}{4}=60$
(b) Interval [4,8]
$N(8)=200+320+320=840$ . Differentiequotiënt: $\frac{840-440}{8-4}=\frac{400}{4}=100$ .
$\frac{N(8)-N(4)}{8-4}=\frac{400}{4}=100$
(c) Interpreteren
De gemiddelde groei stijgt van $60$ naar $100$ inwoners per jaar: de bevolking groeit toenemend (steeds sneller).

Resultaat: (a) gemiddeld $60$ inwoners per jaar; (b) gemiddeld $100$ per jaar; (c) de groei neemt toe, dus de bevolking groeit steeds sneller.

Veelgemaakte fouten

$\Delta x$ en $\Delta y$ verwisselen; het differentiequotiënt is $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , dus verandering van $y$ boven verandering van $x$ .
Vergeten de eenheid te vermelden (bijv. « per jaar » of « m/s »), waardoor de betekenis van het antwoord onduidelijk blijft.

Actieve herhaling

Voor $f(x)=x^{2}-3x$ bereken je de gemiddelde verandering op $[1,5]$ en op $[2,3]$ . Interpreteer het verschil tussen beide uitkomsten.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein D: Verandering (CvTE / DUO)

Het toenamediagram#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-D

Een toenamediagram maakt de veranderingen van een grootheid zichtbaar als staafjes. In plaats van de grootheid zelf teken je per gelijke stap de toename: hoeveel de grootheid in die stap is toegenomen (of afgenomen). Afb. 3 toont het toenamediagram bij een dorp waarvan het inwonertal per jaar

10, 14, 20, 28, 38, 50

is: de toenames tussen opeenvolgende jaren zijn

4, 6, 8, 10

12

. Elke staaf staat voor de verandering in één stap, en samen laten ze in één oogopslag zien of de grootheid steeds sneller of steeds langzamer verandert.

Afb. 3 — Toenamediagram bij toenemende groei

Afb. 3Afb. 3 — De jaarlijkse toenames

4, 6, 8, 10, 12

bij een inwonertal

10, 14, 20, 28, 38, 50

. De staven worden hoger: de bevolking groeit toenemend (steeds sneller).

De hoogte van elke staaf is precies de gemiddelde verandering over die ene stap — het differentiequotiënt over een interval van breedte

1

. Zo koppelt het toenamediagram direct aan de vorige paragraaf: waar het differentiequotiënt een enkel getal geeft voor een interval, geeft het toenamediagram al die getallen naast elkaar. Neemt de grootheid steeds sneller toe (toenemende stijging), dan worden de staafjes hoger, zoals in Afb. 3; neemt de grootheid steeds langzamer toe (afnemende stijging), dan worden de staafjes lager. Een dalende grootheid geeft negatieve toenames, en dus staafjes onder de nullijn.

Het toenamediagram is dus een grafische « afgeleide op stapniveau »: het toont het gedrag van de veranderingen zelf. Uit de vorm van het toenamediagram lees je het veranderingsgedrag van de oorspronkelijke grafiek af. Stijgende staafjes horen bij een grafiek die hol naar boven kromt (toenemende verandering), dalende staafjes bij een grafiek die hol naar beneden kromt (afnemende verandering), en even hoge staafjes bij een rechte lijn (constante verandering). Deze vertaling tussen de grafiek van de grootheid en zijn toenamediagram is een kernvaardigheid van domein D.

Bij het maken van een toenamediagram let je op twee dingen. Ten eerste horen de stappen even breed te zijn, anders zijn de toenames niet eerlijk te vergelijken. Ten tweede plaats je elke staaf bij het interval waarvoor hij geldt, niet bij een enkel tijdstip; de eerste staaf hoort bij « van jaar

0

naar jaar

1

», niet bij « jaar

0

». Wie deze afspraken volgt, kan het toenamediagram feilloos aflezen en gebruiken om vragen te beantwoorden als « in welk jaar was de groei het grootst? » — dat is simpelweg de hoogste staaf.

\text{toename}_{n}=f(n+1)-f(n)

Toename per stap

De hoogte van elke staaf: de verandering van de grootheid in die ene stap (het differentiequotiënt over een interval van breedte 1).

Uitgewerkt voorbeeld

Een toenamediagram opstellen en aflezen

Een spaarpot bevat op dag $0$ t/m $5$ achtereenvolgens $2, 5, 9, 14, 20, 27$ euro. (a) Bepaal de dagelijkse toenames. (b) Wat voor veranderingsgedrag hoort daarbij? (c) Op welke dag was de toename het grootst?

(a) Verschillen berekenen
$5-2=3$ ; $9-5=4$ ; $14-9=5$ ; $20-14=6$ ; $27-20=7$ . De toenames zijn $3, 4, 5, 6, 7$ .
(b) Veranderingsgedrag
De toenames worden elke dag groter, dus het bedrag groeit toenemend (steeds sneller).
(c) Grootste toename
De hoogste toename is $7$ euro, in de laatste stap (van dag $4$ naar dag $5$ ).

Resultaat: (a) toenames $3, 4, 5, 6, 7$ ; (b) toenemende groei; (c) de grootste toename ( $7$ euro) was tussen dag $4$ en dag $5$ .

Veelgemaakte fouten

In een toenamediagram de grootheid zelf tekenen in plaats van de toenames (de verschillen).
De staven bij een tijdstip plaatsen in plaats van bij het interval waarover de toename geldt.

Actieve herhaling

Bij een grafiek horen de waarden $100, 96, 90, 82, 72$ op $t=0,1,2,3,4$ . Bepaal de toenames, teken het toenamediagram (let op de negatieve waarden) en beschrijf het veranderingsgedrag.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein D: Verandering (CvTE / DUO)

Helling in een punt en de hellinggrafiek#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-D

De helling in een punt is de steilheid van de grafiek op precies dat ene punt — de momentane verandering. Meetkundig is het de helling van de raaklijn: de rechte lijn die de grafiek in dat punt « aanraakt » en dezelfde richting heeft. Afb. 4 toont de raaklijn aan

f(x)=0{,}25x^{2}

in het punt

(3;2{,}25)

. Waar het differentiequotiënt de gemiddelde helling over een heel interval gaf (de koorde), geeft de raaklijn de helling in één punt. Je vindt de raaklijn door de koorde te laten « inzoomen »: neem het tweede punt steeds dichter bij het eerste, en de koorde draait naar de raaklijn toe.

Afb. 4 — De raaklijn geeft de helling in een punt

Afb. 4Afb. 4 — De raaklijn aan

f(x)=0{,}25x^{2}

(3;2{,}25)

. Zijn helling (ongeveer

1{,}5

, met de GR) is de momentane verandering in dat punt.

Bij wiskunde C bereken je de helling in een punt niet met formele differentieerregels, maar benader je hem numeriek. Dat kan met een klein interval rond het punt: bereken het differentiequotiënt over bijvoorbeeld

[2{,}99;\,3{,}01]

, en dat ligt heel dicht bij de echte helling. Handiger is de grafische rekenmachine: met de functie dy/dx (of nDeriv) geeft de GR de helling in een gekozen punt rechtstreeks. Voor

f(x)=0{,}25x^{2}

x=3

vindt de GR een helling van ongeveer

1{,}5

— de raaklijn stijgt daar dus met

1{,}5

per eenheid.

Als je de helling in elk punt bepaalt en die waarden zelf als grafiek uitzet, krijg je de hellinggrafiek. De hellinggrafiek geeft bij elke

x

de steilheid van de oorspronkelijke grafiek in dat punt. Waar de oorspronkelijke grafiek stijgt, is de helling positief (de hellinggrafiek ligt boven de

x

-as); waar hij daalt, is de helling negatief (hellinggrafiek onder de as); en in een top of dal is de helling nul, dus daar snijdt de hellinggrafiek de

x

-as. Zo lees je uit de nulpunten van de hellinggrafiek precies de toppen en dalen van de oorspronkelijke grafiek af.

Het schetsen van een hellinggrafiek is daarmee een kwestie van systematisch aflezen. Loop de oorspronkelijke grafiek van links naar rechts na en noteer waar de helling positief, nul of negatief is, en waar hij groot of klein is. Een steile stijging geeft een hoog positief punt op de hellinggrafiek, een vlakke daling een klein negatief punt. Deze redenering — van grafiek naar hellinggrafiek en terug — vormt de kern van het veranderingsdenken bij wiskunde C, en bereidt voor op het formele afgeleide-begrip in de andere wiskundevakken.

\text{helling in } x \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \quad (h \text{ klein})

Numerieke benadering van de helling

Het differentiequotiënt over een klein interval rond x benadert de helling in het punt; op de GR met dy/dx.

Uitgewerkt voorbeeld

De helling benaderen en een hellinggrafiek redeneren

Gegeven $f(x)=0{,}25x^{2}$ . (a) Benader de helling in $x=3$ met het differentiequotiënt over $[2{,}9;\,3{,}1]$ . (b) Wat is de helling in de top $x=0$ ? (c) Ligt de hellinggrafiek links van $x=0$ boven of onder de $x$ -as?

(a) Klein interval
$f(2{,}9)=0{,}25\cdot 8{,}41=2{,}1025$ en $f(3{,}1)=0{,}25\cdot 9{,}61=2{,}4025$ . Differentiequotiënt: $\frac{2{,}4025-2{,}1025}{3{,}1-2{,}9}=\frac{0{,}3}{0{,}2}=1{,}5$ .
$\frac{f(3{,}1)-f(2{,}9)}{3{,}1-2{,}9}=\frac{0{,}3}{0{,}2}=1{,}5$
(b) Helling in de top
In het dal $x=0$ is de grafiek horizontaal: de helling is $0$ .
(c) Teken van de helling links van 0
Links van $x=0$ daalt de parabool, dus de helling is negatief: de hellinggrafiek ligt daar onder de $x$ -as.

Resultaat: (a) de helling in $x=3$ is ongeveer $1{,}5$ ; (b) in $x=0$ is de helling $0$ ; (c) links van $x=0$ ligt de hellinggrafiek onder de $x$ -as (negatieve helling).

Veelgemaakte fouten

De helling in een punt gelijkstellen aan de functiewaarde in dat punt; het gaat om de steilheid, niet om de hoogte.
Vergeten dat de helling in een top of dal nul is (daar snijdt de hellinggrafiek de $x$ -as).

Actieve herhaling

Benader voor $g(x)=x^{2}-4x$ de helling in $x=1$ met het differentiequotiënt over $[0{,}9;\,1{,}1]$ . Bepaal daarna in welk punt de helling nul is en schets grofweg de hellinggrafiek.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein D: Verandering (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein D: Verandering

Veranderingen en veranderingsgedrag

4 Onderdelen~15 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

Veranderingen en veranderingsgedrag

Kernpunten

Veranderingsgedrag beschrijven

Kernpunten

Gemiddelde verandering berekenen en interpreteren

Kernpunten

Een toenamediagram opstellen en aflezen

Kernpunten

De helling benaderen en een hellinggrafiek redeneren

Bronnen

Veranderingen en veranderingsgedrag

Kernpunten

Veranderingsgedrag beschrijven

Kernpunten

Gemiddelde verandering berekenen en interpreteren

Kernpunten

Een toenamediagram opstellen en aflezen

Kernpunten

De helling benaderen en een hellinggrafiek redeneren

Bronnen