Samenvattingen · Wiskunde CNL · VWO

Logisch redeneren

Logisch redeneren gaat over de geldigheid van redeneringen. Je leert werken met beweringen en de logische bewerkingen niet, en, of, als-dan en dan-en-slechts-dan, en gebruikt waarheidstabellen om samengestelde beweringen te beoordelen. Daarna komen het ontkennen van beweringen (de wetten van De Morgan), de implicatie met haar contrapositie, geldige redeneervormen als modus ponens en modus tollens, het weerleggen met een tegenvoorbeeld, en het redeneren met de kwantoren alle, sommige en geen (mede met Venn-diagrammen). Dit onderwerp hoort tot de centraal-examenstof (domein F).

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

T·0777 / 17

Examenprofiel

F · Beweringen en de logische bewerkingen niet (¬), en (∧), of (∨), als-dan (⇒) en dan-en-slechts-dan (⇔) hanterenF · Waarheidstabellen opstellen en gebruiken; een samengestelde bewering ontkennen met de wetten van De MorganF · Geldige redeneervormen (modus ponens, modus tollens) onderscheiden van drogredenen en een bewering weerleggen met een tegenvoorbeeldF · Redeneren met de kwantoren alle, sommige en geen, ook met Venn-diagrammen (syllogismen)

Operatoren:beredeneerleg uittoon aanweerlegbeoordeelonderzoek

basisniveau

Logisch redeneren (domein F) is een eigen centraal-examenonderdeel van wiskunde C: het toetst het correct redeneren en het beoordelen van argumenten.

verhoogd niveau

Verdieping: de contrapositie, het onderscheid tussen een geldige redenering en een drogreden, en het weerleggen met een tegenvoorbeeld scherpen het kritisch redeneren aan.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Logisch redeneren

Beweringen en logische bewerkingen#

Basisexamenblad-wiskunde-c-domein-F

Een bewering (propositie) is een uitspraak die óf waar óf onwaar is, maar niet allebei. « Amsterdam is de hoofdstad van Nederland » is een ware bewering; «

3

is groter dan

5

» is een onwaar. Uitspraken die geen waarheidswaarde hebben — vragen, bevelen, of meningen als « rood is de mooiste kleur » — zijn geen beweringen in logische zin. Beweringen duid je aan met letters, meestal

p

q

r

. Uit eenvoudige beweringen bouw je samengestelde beweringen met logische bewerkingen (connectieven), en de kern van de logica is dat de waarheidswaarde van zo'n samengestelde bewering volledig vastligt door de waarheidswaarden van de delen.

De eenvoudigste bewerking is de negatie (ontkenning), genoteerd

\neg p

(« niet

p

»). Deze keert de waarheidswaarde om: is

p

waar, dan is

\neg p

onwaar, en omgekeerd. De conjunctie

p\wedge q

(«

p

én

q

») is alleen waar als

p

én

q

beide waar zijn; in alle andere gevallen is ze onwaar. De disjunctie

p\vee q

(«

p

óf

q

») is waar zodra minstens één van beide waar is, en alleen onwaar als ze allebei onwaar zijn. Let op: dit « of » is het insluitende of — het staat ook « allebei » toe, anders dan het uitsluitende « of … of » in het dagelijks spraakgebruik.

Afb. 1 zet deze drie bewerkingen in een waarheidstabel: voor alle vier combinaties van waarheidswaarden van

p

q

(elk waar W of onwaar O) staan de uitkomsten van

\neg p

p\wedge q

p\vee q

. Zo'n tabel is het rekengereedschap van de logica: hij somt álle mogelijkheden uitputtend op, zodat je niets over het hoofd ziet. Uit de tabel lees je meteen af dat

p\wedge q

maar in één van de vier rijen waar is (beide W), terwijl

p\vee q

juist in drie van de vier rijen waar is (alle behalve beide O).

Afb. 1 — Waarheidstabel van niet, en, of

Afb. 1Afb. 1 — De waarheidstabel van

\neg p

p\wedge q

p\vee q

(W = waar, O = onwaar).

p\wedge q

is alleen waar als beide waar zijn;

p\vee q

is waar zodra er minstens één waar is.

Twee bewerkingen komen in de volgende paragrafen uitgebreider terug. De implicatie

p\Rightarrow q

(« als

p

, dan

q

») legt een als-dan-verband, en de equivalentie

p\Leftrightarrow q

(«

p

dan en slechts dan als

q

») zegt dat

p

q

altijd dezelfde waarheidswaarde hebben. Samen vormen deze vijf connectieven — niet, en, of, als-dan, en dan-en-slechts-dan — de bouwstenen waarmee je elke redenering kunt opschrijven en beoordelen. Het correct vertalen van een zin naar deze symbolen is de eerste vaardigheid die het examen toetst.

\neg p, \quad p\wedge q, \quad p\vee q, \quad p\Rightarrow q, \quad p\Leftrightarrow q

De vijf connectieven

niet, en, of, als-dan, dan-en-slechts-dan. Hiermee bouw je samengestelde beweringen.

Uitgewerkt voorbeeld

Zinnen vertalen naar logische symbolen

Zij $p$ : « het regent » en $q$ : « ik neem een paraplu mee ». Schrijf in symbolen: (a) het regent niet; (b) het regent en ik neem geen paraplu mee; (c) het regent of ik neem een paraplu mee (of allebei).

(a) Negatie
« het regent niet » is de ontkenning van $p$ .
$\neg p$
(b) Conjunctie met negatie
« het regent » ( $p$ ) én « geen paraplu » ( $\neg q$ ).
$p\wedge\neg q$
(c) Disjunctie (inclusief)
« $p$ of $q$ », waarbij « of allebei » is toegestaan.
$p\vee q$

Resultaat: (a) $\neg p$ ; (b) $p\wedge\neg q$ ; (c) $p\vee q$ .

Veelgemaakte fouten

Het inclusieve « of » ( $p\vee q$ , ook waar als beide waar zijn) verwarren met een exclusief « of … of » uit het spraakgebruik.
Denken dat een mening of vraag een bewering is; alleen uitspraken met een waarheidswaarde tellen.

Actieve herhaling

Zij $p$ : « het is warm » en $q$ : « ik ga zwemmen ». Schrijf in symbolen: « het is niet warm en toch ga ik zwemmen » en « het is warm of ik ga niet zwemmen ». Geef bij de eerste de waarheidswaarde als $p$ onwaar en $q$ waar is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein F: Logisch redeneren (CvTE / DUO)

Waarheidstabellen, De Morgan en ontkennen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-F

Een waarheidstabel bepaalt de waarheidswaarde van een samengestelde bewering voor álle mogelijke combinaties van de deelbeweringen. Bij twee deelbeweringen zijn er

2^{2}=4

combinaties, bij drie

2^{3}=8

, enzovoort: elke deelbewering verdubbelt het aantal rijen. Je bouwt de tabel op van binnen naar buiten — eerst kolommen voor de deelbeweringen, dan voor de tussenresultaten, en ten slotte voor de hele bewering. Zo kun je zonder gevoel of intuïtie, puur mechanisch, elke logische uitspraak beoordelen. Twee beweringen heten logisch gelijkwaardig (equivalent) als hun kolommen in de waarheidstabel identiek zijn.

De implicatie

p\Rightarrow q

(« als

p

, dan

q

») verdient bijzondere aandacht, want haar waarheidstabel verrast. Afb. 2 toont hem: de implicatie is alléén onwaar in het geval dat

p

waar is maar

q

onwaar — de belofte « als

p

, dan

q

» wordt alleen gebroken wanneer

p

optreedt zonder

q

. In alle andere gevallen heet de implicatie waar, óók als

p

onwaar is (dan is er niets beloofd, dus niets gebroken). Diezelfde tabel laat zien dat

p\Rightarrow q

logisch gelijkwaardig is aan

\neg p\vee q

: beide kolommen zijn identiek. Deze gelijkwaardigheid is de sleutel tot het ontkennen van een implicatie.

Afb. 2 — Waarheidstabel van de implicatie

Afb. 2Afb. 2 —

p\Rightarrow q

is alleen onwaar als

p

waar en

q

onwaar is. De kolom is identiek aan die van

\neg p\vee q

: de implicatie is gelijkwaardig aan

\neg p\vee q

Het ontkennen (de negatie) van een samengestelde bewering doe je met de wetten van De Morgan. Die zeggen: de ontkenning van «

p

q

» is « niet-

p

of niet-

q

», en de ontkenning van «

p

q

» is « niet-

p

en niet-

q

». In symbolen:

\neg(p\wedge q)=\neg p\vee\neg q

\neg(p\vee q)=\neg p\wedge\neg q

. Bij het ontkennen wisselt « en » dus met « of », en wordt elke deelbewering ontkend. Zo is de ontkenning van « het is warm en droog » niet « het is koud en nat », maar « het is niet warm óf niet droog » — er hoeft er maar één mis te zijn.

Met de gelijkwaardigheid

p\Rightarrow q\equiv\neg p\vee q

en De Morgan ontken je ook een implicatie. De ontkenning van « als

p

, dan

q

» is niet « als

p

, dan niet-

q

», maar

\neg(\neg p\vee q)=p\wedge\neg q

: «

p

is waar én toch

q

niet ». De ontkenning van « als het regent, wordt de straat nat » is dus « het regent én de straat wordt niet nat » — precies het geval dat de belofte breekt. Dit correct ontkennen van beweringen is een klassiek examenonderdeel, en de valkuil is telkens dezelfde: alleen de delen ontkennen zonder « en » en « of » om te wisselen.

\neg(p\wedge q)=\neg p\vee\neg q, \qquad \neg(p\vee q)=\neg p\wedge\neg q

Wetten van De Morgan

Bij het ontkennen wisselen ∧ en ∨ en wordt elke deelbewering ontkend.

p\Rightarrow q \ \equiv\ \neg p\vee q

Implicatie als disjunctie

De implicatie is gelijkwaardig aan ¬p∨q; dat maakt haar ontkenning berekenbaar.

\neg(p\Rightarrow q)=p\wedge\neg q

Ontkenning van een implicatie

« als p dan q » is onwaar precies wanneer p waar is en q niet.

Uitgewerkt voorbeeld

Ontkennen met De Morgan en met een waarheidstabel

(a) Ontken « ik eet gezond en ik sport genoeg ». (b) Ontken « als ik oefen, dan haal ik het examen ». (c) Toon met een waarheidstabel aan dat $\neg(p\wedge q)$ gelijkwaardig is aan $\neg p\vee\neg q$ .

(a) De Morgan op ∧
Ontkenning van $p\wedge q$ is $\neg p\vee\neg q$ : « ik eet niet gezond óf ik sport niet genoeg ».
(b) Implicatie ontkennen
$\neg(p\Rightarrow q)=p\wedge\neg q$ : « ik oefen én toch haal ik het examen niet ».
(c) Tabel vergelijken
Voor alle vier rijen: $p\wedge q$ is alleen W bij (W,W), dus $\neg(p\wedge q)$ is O,W,W,W. En $\neg p\vee\neg q$ is O,W,W,W. De kolommen zijn gelijk, dus gelijkwaardig.
$\neg(p\wedge q)=\neg p\vee\neg q$

Resultaat: (a) « ik eet niet gezond óf ik sport niet genoeg »; (b) « ik oefen én haal het examen toch niet »; (c) de waarheidstabellen zijn identiek (beide O,W,W,W), dus de beweringen zijn gelijkwaardig.

Veelgemaakte fouten

Bij het ontkennen van « $p$ en $q$ » alleen de delen ontkennen zonder « en » in « of » te veranderen.
De ontkenning van « als $p$ dan $q$ » schrijven als « als $p$ dan niet- $q$ » in plaats van « $p$ en niet- $q$ ».

Actieve herhaling

Ontken de beweringen: « de deur is open of het licht brandt » en « als de temperatuur daalt, bevriest het water ». Toon met een waarheidstabel aan dat $p\Rightarrow q$ gelijkwaardig is aan $\neg p\vee q$ .

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein F: Logisch redeneren (CvTE / DUO)

Implicatie, contrapositie en geldige redeneervormen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-F

Bij een implicatie

p\Rightarrow q

horen drie afgeleide beweringen, en het is belangrijk ze uit elkaar te houden. De omkering (converse) is

q\Rightarrow p

; de inverse is

\neg p\Rightarrow\neg q

; en de contrapositie is

\neg q\Rightarrow\neg p

. De cruciale regel is dat een implicatie logisch gelijkwaardig is aan haar contrapositie:

p\Rightarrow q

zegt precies hetzelfde als

\neg q\Rightarrow\neg p

. « Als het regent, is de straat nat » is dus gelijkwaardig aan « als de straat niet nat is, regent het niet ». De omkering en de inverse zijn daarentegen níet gelijkwaardig aan de oorspronkelijke implicatie — daar dat te denken is een veelgemaakte redeneerfout.

Een redenering bestaat uit premissen (aannames) en een conclusie. Ze is geldig als de conclusie noodzakelijk volgt uit de premissen: telkens als de premissen waar zijn, is de conclusie ook waar. De bekendste geldige redeneervorm is de modus ponens: uit de premissen «

p\Rightarrow q

» en «

p

» volgt de conclusie «

q

». Afb. 3 toont dit redeneerschema: twee premissen wijzen samen naar de conclusie. Concreet: uit « als het regent, wordt de straat nat » en « het regent » volgt geldig « de straat wordt nat ».

Afb. 3 — Redeneerschema van de modus ponens

Afb. 3Afb. 3 — Modus ponens: de premissen

p\Rightarrow q

p

wijzen samen naar de conclusie

q

. De conclusie volgt noodzakelijk uit de premissen.

Een tweede geldige vorm is de modus tollens: uit «

p\Rightarrow q

» en «

\neg q

» (de conclusie is niet opgetreden) volgt «

\neg p

». Uit « als het regent, wordt de straat nat » en « de straat is niet nat » volgt geldig « het regent niet ». De modus tollens is eigenlijk de modus ponens toegepast op de contrapositie. Tegenover deze geldige vormen staan twee beruchte drogredenen. Het bevestigen van het gevolg — uit «

p\Rightarrow q

» en «

q

» concluderen «

p

» — is ongeldig: dat de straat nat is, bewijst niet dat het geregend heeft (misschien reed er een veegwagen). En het ontkennen van de voorwaarde — uit «

p\Rightarrow q

» en «

\neg p

» concluderen «

\neg q

» — is eveneens ongeldig.

Om een algemene bewering te weerleggen, volstaat één tegenvoorbeeld. Een uitspraak van de vorm « alle … zijn … » of « als …, dan altijd … » is onwaar zodra je één geval vindt waarin de voorwaarde geldt maar de conclusie niet. « Alle priemgetallen zijn oneven » weerleg je met het ene tegenvoorbeeld

2

: een even priemgetal. Je hoeft niet álle priemgetallen te controleren; één uitzondering breekt de algemene bewering. Deze asymmetrie — een algemene bewering bewijzen vraagt om een sluitende redenering, maar weerleggen vraagt slechts één tegenvoorbeeld — is een van de krachtigste ideeën uit de logica en een dankbaar examenonderwerp.

p\Rightarrow q \ \equiv\ \neg q\Rightarrow\neg p

Contrapositie

Een implicatie is gelijkwaardig aan haar contrapositie (maar niet aan haar omkering of inverse).

\text{modus ponens: } (p\Rightarrow q),\ p \ \vdash\ q

Modus ponens

Uit « als p dan q » en « p » volgt geldig « q ».

\text{modus tollens: } (p\Rightarrow q),\ \neg q \ \vdash\ \neg p

Modus tollens

Uit « als p dan q » en « niet q » volgt geldig « niet p ».

Uitgewerkt voorbeeld

Geldige redeneringen herkennen en een bewering weerleggen

Gegeven « als een dier een kat is, dan is het een zoogdier ». (a) Geef de contrapositie. (b) Uit « Felix is geen zoogdier » — wat volgt geldig? (c) Weerleg de bewering « alle zoogdieren zijn katten ».

(a) Contrapositie
$p\Rightarrow q$ met $p$ = « is kat », $q$ = « is zoogdier ». Contrapositie: $\neg q\Rightarrow\neg p$ .
$\text{als iets geen zoogdier is, dan is het geen kat}$
(b) Modus tollens
« Felix is geen zoogdier » is $\neg q$ ; met $p\Rightarrow q$ volgt geldig $\neg p$ : Felix is geen kat.
(c) Tegenvoorbeeld
Eén tegenvoorbeeld volstaat: een hond is een zoogdier, maar geen kat. Dus « alle zoogdieren zijn katten » is onwaar.

Resultaat: (a) « als iets geen zoogdier is, dan is het geen kat »; (b) Felix is geen kat (modus tollens); (c) een hond is een tegenvoorbeeld, dus de bewering is onwaar.

Veelgemaakte fouten

De omkering $q\Rightarrow p$ voor gelijkwaardig aanzien met $p\Rightarrow q$ (alleen de contrapositie is gelijkwaardig).
Het bevestigen van het gevolg (uit $q$ en $p\Rightarrow q$ besluiten tot $p$ ) voor een geldige redenering houden.

Actieve herhaling

Gegeven « als je slaagt, krijg je een diploma ». Geef de contrapositie. Wat kun je concluderen uit « Sam heeft geen diploma »? En is de redenering « Sam heeft een diploma, dus Sam is geslaagd » geldig? Licht toe.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein F: Logisch redeneren (CvTE / DUO)

Redeneren met kwantoren en Venn-diagrammen#

Standaardexamenblad-wiskunde-c-domein-F

Veel beweringen gaan niet over één ding, maar over een hele groep, en gebruiken dan een kwantor: een woord als « alle », « sommige » of « geen ». « Alle raven zijn zwart » is een universele bewering (over álle raven); « sommige vogels kunnen niet vliegen » is een existentiële bewering (er bestaat er minstens één). Het correct redeneren met kwantoren begint bij hun ontkenning, en die verrast vaak. De ontkenning van « alle A zijn B » is niet « geen A is B », maar « sommige A zijn geen B » — één tegenvoorbeeld volstaat immers. En de ontkenning van « sommige A zijn B » is « geen A is B ». Bij het ontkennen wisselen « alle » en « sommige » dus van rol.

Verzamelingen en Venn-diagrammen maken kwantorbeweringen zichtbaar. Je tekent elke eigenschap als een gebied; de overlap toont de dingen met beide eigenschappen. Afb. 4 gaat over de bewering « alle vogels kunnen vliegen ». In het diagram staan « vogels » (A) en « kan vliegen » (B). De overlap bevat mus en arend (vogels die vliegen), maar in het deel « vogel, kan niet vliegen » zitten pinguïn en struisvogel. Juist omdat dat deel niet leeg is, is de bewering « alle vogels kunnen vliegen » onwaar: die pinguïn is het tegenvoorbeeld. Zo vertaalt het Venn-diagram een logische bewering naar een meetkundig plaatje waarin je de geldigheid kunt aflezen.

Afb. 4 — Venn-diagram: « alle vogels kunnen vliegen »?

Afb. 4Afb. 4 — De bewering « alle vogels kunnen vliegen » is onwaar: het gebied « vogel, kan niet vliegen » is niet leeg (pinguïn, struisvogel) — een tegenvoorbeeld.

Met Venn-diagrammen beoordeel je ook syllogismen: redeneringen met twee premissen over verzamelingen. Een klassiek geldig voorbeeld is « alle mensen zijn sterfelijk; Socrates is een mens; dus Socrates is sterfelijk ». Teken je « mensen » helemaal binnen « sterfelijke wezens », en plaats je Socrates binnen « mensen », dan zit hij automatisch ook binnen « sterfelijke wezens » — de conclusie volgt dwingend uit de ligging. Zit een premisse-gebied volledig binnen een ander, dan erven de elementen die eigenschap. Zo maakt het diagram een abstracte redenering concreet en controleerbaar.

Bij het redeneren met kwantoren loeren enkele valkuilen. Uit « sommige A zijn B » mag je níet « sommige A zijn geen B » afleiden (misschien zijn wel álle A ook B). Uit « alle A zijn B » volgt niet « alle B zijn A » — dat is de ongeldige omkering weer, nu voor verzamelingen. En « geen A is B » is symmetrisch (dan is ook « geen B is A »), maar « alle A zijn B » is dat niet. Wie deze regels beheerst en in twijfelgevallen een Venn-diagram tekent, kan vrijwel elke redenering met kwantoren correct beoordelen — precies wat domein F van je vraagt.

\neg(\text{alle } A \text{ zijn } B)=\text{sommige } A \text{ zijn geen } B

Ontkenning van « alle »

Eén tegenvoorbeeld weerlegt een universele bewering; « alle » wordt « sommige … niet ».

\neg(\text{sommige } A \text{ zijn } B)=\text{geen } A \text{ is } B

Ontkenning van « sommige »

De ontkenning van een existentiële bewering is een universele.

Uitgewerkt voorbeeld

Kwantoren ontkennen en een syllogisme beoordelen

(a) Ontken « alle leerlingen hebben een fiets ». (b) Ontken « sommige planten bloeien in de winter ». (c) Is de redenering geldig: « alle kunstenaars zijn creatief; Ties is creatief; dus Ties is een kunstenaar »? Licht toe met een Venn-diagram.

(a) « alle » ontkennen
Ontkenning: « sommige leerlingen hebben geen fiets » (één tegenvoorbeeld volstaat).
(b) « sommige » ontkennen
Ontkenning: « geen enkele plant bloeit in de winter ».
(c) Syllogisme toetsen
« Alle kunstenaars zijn creatief » plaatst kunstenaars binnen de creatieve mensen. Maar Ties zit ergens in « creatief » — dat hoeft niet binnen « kunstenaars » te zijn. De conclusie volgt niet: de redenering is ongeldig (het bevestigen van het gevolg).

Resultaat: (a) « sommige leerlingen hebben geen fiets »; (b) « geen enkele plant bloeit in de winter »; (c) ongeldig — creatief zijn maakt je nog geen kunstenaar (Ties kan buiten de kunstenaars liggen).

Veelgemaakte fouten

« Alle A zijn B » ontkennen met « geen A is B » in plaats van « sommige A zijn geen B ».
Uit « alle A zijn B » de omkering « alle B zijn A » afleiden (ongeldig, zoals de omkering van een implicatie).

Actieve herhaling

Ontken « alle drie-de-klassers hebben Frans ». Beoordeel de redenering « geen reptiel heeft veren; een slang is een reptiel; dus een slang heeft geen veren » op geldigheid en teken zo nodig een Venn-diagram.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein F: Logisch redeneren (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — syllabus wiskunde C (VWO), domein F: Logisch redeneren

Logisch redeneren

4 Onderdelen~18 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 1 · Standaard 3

Logisch redeneren

Kernpunten

Zinnen vertalen naar logische symbolen

Kernpunten

Ontkennen met De Morgan en met een waarheidstabel

Kernpunten

Geldige redeneringen herkennen en een bewering weerleggen

Kernpunten

Kwantoren ontkennen en een syllogisme beoordelen

Bronnen

Logisch redeneren

Kernpunten

Zinnen vertalen naar logische symbolen

Kernpunten

Ontkennen met De Morgan en met een waarheidstabel

Kernpunten

Geldige redeneringen herkennen en een bewering weerleggen

Kernpunten

Kwantoren ontkennen en een syllogisme beoordelen

Bronnen