Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Technieken voor differentiëren

Zodra een functie een product, een quotiënt of een samenstelling van standaardfuncties is, heb je meer nodig dan de machtsregel: de productregel $(fg)'=f'g+fg'$ , de quotiëntregel $\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)'=\tfrac{f'g-fg'}{g^{2}}$ en de kettingregel $\tfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)$ . Met deze drie rekenregels — vaak in combinatie — differentieer je elke functie uit het examenprogramma van wiskunde B, en pas je de afgeleide toe op beweging en optimalisatie.

4 Onderdelen~16 min leestijd4 VaardighedenNiveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0999 / 16

Examenprofiel

C2 · De productregel (f·g)'=f'g+fg'De quotiëntregel \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g²}De kettingregel \dfrac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)·g'(x)Rekenregels combineren en toepassen op beweging en optimalisatie

Operatoren:differentieerberekenbepaaltoon aanlos oponderzoek

basisniveau

De product-, quotiënt- en kettingregel horen tot de centraal-examenstof van subdomein C2 en zijn nodig om samengestelde functies te differentiëren.

verhoogd niveau

Verdieping zit in het combineren van meerdere regels in één afgeleide, in het vereenvoudigen van de uitkomst en in optimaliseringsproblemen met een begrensd domein.

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Technieken voor differentiëren

De productregel#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C2

Bij een product van twee functies mag je NIET de losse afgeleiden vermenigvuldigen:

\dfrac{d}{dx}(f\cdot g)

is niet

f'\cdot g'

. De juiste regel is de productregel

(f\cdot g)'=f'\,g+f\,g'

: de afgeleide van de eerste maal de tweede, plus de eerste maal de afgeleide van de tweede. Je differentieert dus om de beurt één van de twee factoren en telt de resultaten op. In Afb. 1 staat

f(x)=x\,e^{-x}

, een product van

x

e^{-x}

; de productregel levert

f'(x)=(1-x)e^{-x}

, wat een maximum bij

x=1

voorspelt — precies de top die je in de figuur ziet.

Product met een maximum: f(x) = x·e⁻ˣ

Afb. 1Afb. 1 — f(x) = x·e⁻ˣ heeft met de productregel afgeleide f'(x) = (1 − x)e⁻ˣ; het maximum ligt bij x = 1 (f(1) = e⁻¹ ≈ 0,37).

Het toepassen van de productregel verloopt in vaste stappen: benoem de twee factoren

u

v

, bereken hun afgeleiden

u'

v'

, en vul in

(uv)'=u'v+uv'

. Voor

f(x)=x^{2}e^{x}

neem je

u=x^{2}

(dus

u'=2x

) en

v=e^{x}

(dus

v'=e^{x}

); invullen geeft

f'(x)=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}

, wat je kunt vereenvoudigen tot

(x^{2}+2x)e^{x}

. Het buiten haakjes halen van een gemeenschappelijke factor (hier

e^{x}

x

) maakt de afgeleide overzichtelijk en is vaak nodig om er daarna

f'(x)=0

mee op te lossen.

De productregel combineer je regelmatig met de kettingregel, want een van de factoren kan zelf een samengestelde functie zijn. Bij

f(x)=x\,e^{-x}

is de factor

v=e^{-x}

een samenstelling, waarvan de afgeleide met de kettingregel

v'=-e^{-x}

is (de

e

-macht blijft staan, maal de afgeleide van

-x

). Pas dan de productregel toe:

f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}

. Zulke combinaties zijn typisch voor wiskunde B; het herkennen van „een product waarin één factor zelf een ketting is” bepaalt of je de afgeleide correct krijgt.

De productregel volgt logisch uit de betekenis van de afgeleide als veranderingssnelheid: verandert een oppervlakte

A=\text{lengte}\times\text{breedte}

waarin beide zijden groeien, dan komt de totale groei van de groei van de lengte (maal de breedte) plus de groei van de breedte (maal de lengte) — precies

u'v+uv'

. Deze intuïtie helpt onthouden dat er twee termen zijn en dat elke term één factor „bevriest” terwijl de andere verandert. Een product van drie factoren differentieer je door de regel herhaald toe te passen (of door eerst uit te vermenigvuldigen als dat kan).

Bij de productregel let je op enkele valkuilen. Vergeet geen van beide termen — twee factoren geven twee termen. Verwar de regel niet met „

f'\cdot g'

”, wat een klassieke fout is. En vereenvoudig het antwoord waar mogelijk, want een nette vorm is nodig als je de afgeleide daarna gebruikt om

f'(x)=0

op te lossen (bijvoorbeeld voor extremen). Reken tot slot met zorg: schrijf eerst

u,v,u',v'

op, vul dan pas in — die tussenstap voorkomt de meeste fouten en levert op het examen deelscores op, ook als er in de laatste stap iets misgaat.

(f\cdot g)'=f'\,g+f\,g'

Productregel

Afgeleide van de eerste maal de tweede, plus de eerste maal de afgeleide van de tweede; twee termen.

\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x}\bigr)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}

Voorbeeld (met kettingregel)

De tweede factor $e^{-x}$ heeft afgeleide $-e^{-x}$ (kettingregel); de productregel telt de twee termen op.

Uitgewerkt voorbeeld

Productregel met de e-macht

Differentieer $f(x)=x\,e^{-x}$ met de productregel en bepaal het maximum.

Factoren en afgeleiden
Neem $u=x$ (dus $u'=1$ ) en $v=e^{-x}$ (dus $v'=-e^{-x}$ met de kettingregel).
Productregel invullen
Gebruik $(uv)'=u'v+uv'$ .
$f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$
f'(x) = 0 oplossen
Omdat $e^{-x}>0$ voor alle $x$ , is $f'(x)=0$ als $1-x=0$ .
$1-x=0\;\Rightarrow\; x=1$
Maximum berekenen
$f'$ gaat bij $x=1$ van $+$ naar $-$ (top). Bereken $f(1)$ .
$f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0{,}37$

Resultaat: $f'(x)=(1-x)e^{-x}$ ; maximum in $\bigl(1;\,\tfrac{1}{e}\bigr)\approx(1;\,0{,}37)$ .

Veelgemaakte fouten

Denken dat $(f\cdot g)'=f'\cdot g'$ ; dat is fout — gebruik $f'g+fg'$ .
Een van de twee termen vergeten.
De kettingregel binnen een factor overslaan (bijvoorbeeld $\dfrac{d}{dx}e^{-x}=e^{-x}$ in plaats van $-e^{-x}$ ).
De afgeleide niet vereenvoudigen, waardoor $f'(x)=0$ oplossen onnodig moeilijk wordt.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x)=(2x-1)e^{x}$ en $g(x)=x^{2}\sqrt{x}$ (schrijf $g$ eerst als één macht of gebruik de productregel). Vereenvoudig je antwoorden.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De quotiëntregel#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C2

Quotiëntfunctie f(x) = x/(x² + 1)

Afb. 2Afb. 1 — f(x) = x/(x² + 1): met de quotiëntregel is f'(x) = (1 − x²)/(x² + 1)²; maximum (1; 0,5), minimum (−1; −0,5).

Voor een quotiënt van twee functies gebruik je de quotiëntregel

\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}

. In de teller staat de afgeleide van de teller maal de noemer, MIN de teller maal de afgeleide van de noemer; in de noemer het kwadraat van de oorspronkelijke noemer. Twee dingen luisteren nauw: de volgorde in de teller (door het minteken mag je

f'g

fg'

niet verwisselen) en het kwadraat in de noemer. In Afb. 1 staat

f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}

, waarvan de quotiëntregel de afgeleide

f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

geeft, met een maximum bij

x=1

en een minimum bij

x=-1

Het stappenplan is als bij de productregel: benoem teller

f

en noemer

g

, bereken

f'

g'

, en vul in de quotiëntregel in. Voor

\dfrac{x}{x^{2}+1}

neem je

f=x

(dus

f'=1

) en

g=x^{2}+1

(dus

g'=2x

); invullen geeft

\dfrac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

. Werk de teller altijd volledig uit en vereenvoudig; de noemer laat je meestal als

g^{2}

staan, want dat is handig bij het oplossen van

f'(x)=0

Bij het oplossen van

f'(x)=0

voor een quotiënt gebruik je dat een breuk nul is precies als de teller nul is (en de noemer niet). Voor

f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

hoef je dus alleen

1-x^{2}=0

op te lossen, wat

x=\pm 1

geeft; de noemer

(x^{2}+1)^{2}

is nooit nul. Dit is precies waarom je de noemer als kwadraat laat staan: je hoeft er niet mee te rekenen om de nulpunten van

f'

te vinden. De extremen van

f

liggen dan bij

x=1

(maximum,

f(1)=\tfrac{1}{2}

) en

x=-1

(minimum,

f(-1)=-\tfrac{1}{2}

Vaak kun je een quotiëntregel vermijden door de functie eerst te herschrijven, wat foutkansen scheelt. Een breuk als

\dfrac{x^{2}+3x}{x}

vereenvoudig je tot

x+3

, dat je met de machtsregel differentieert tot

1

. En

\dfrac{2}{x^{3}}=2x^{-3}

differentieer je met de machtsregel tot

-6x^{-4}

. Gebruik de quotiëntregel dus alleen als de breuk niet te vereenvoudigen is tot een som van machten; is dat wel het geval, herschrijf dan eerst. Deze keuze — herschrijven of quotiëntregel — is een teken van rekenvaardigheid en levert vaak de kortste en veiligste weg.

De quotiëntregel is onmisbaar bij gebroken functies, die in wiskunde B veel voorkomen (denk aan asymptoten en limietgedrag). De afgeleide van een gebroken functie vertelt waar ze stijgt en daalt en waar haar extremen liggen, informatie die je nodig hebt om de grafiek volledig te beschrijven. Let bij het interpreteren op het domein: de afgeleide bestaat alleen waar de oorspronkelijke functie bestaat, dus niet op de verticale asymptoten. Een nette uitwerking noemt teller, noemer, hun afgeleiden en de vereenvoudigde afgeleide, en gebruikt de teller om

f'(x)=0

op te lossen.

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}

Quotiëntregel

Let op het minteken (de volgorde in de teller telt) en op het kwadraat in de noemer.

\frac{d}{dx}\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

Voorbeeld

Een breuk is nul als de teller nul is: $1-x^{2}=0$ geeft de extremen bij $x=\pm 1$ .

Uitgewerkt voorbeeld

Quotiëntregel en extremen

Differentieer $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ en bepaal de extremen.

Teller, noemer en afgeleiden
Neem $f=x$ (dus $f'=1$ ) en $g=x^{2}+1$ (dus $g'=2x$ ).
Quotiëntregel invullen
Gebruik $\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}$ en werk de teller uit.
$f'(x)=\frac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$
f'(x) = 0: teller nul
De noemer is nooit nul, dus los $1-x^{2}=0$ op.
$1-x^{2}=0\;\Rightarrow\; x=1\ \text{of}\ x=-1$
Extremen berekenen
Vul in $f$ in; het tekenschema geeft max bij $x=1$ , min bij $x=-1$ .
$f(1)=\tfrac{1}{2},\qquad f(-1)=-\tfrac{1}{2}$

Resultaat: $f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$ ; maximum $(1;\,\tfrac{1}{2})$ en minimum $(-1;\,-\tfrac{1}{2})$ .

Veelgemaakte fouten

De volgorde in de teller omdraaien; het is $f'g-fg'$ , niet $fg'-f'g$ .
Het kwadraat in de noemer vergeten.
Denken dat $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'}{g'}$ ; dat is fout.
De quotiëntregel gebruiken waar herschrijven tot machten sneller en veiliger is.

Actieve herhaling

Differentieer $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ en $g(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}$ . Vereenvoudig de tellers en geef bij $f$ het domein.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

De kettingregel#

Standaardexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C2

Kettingfunctie f(x) = √(x² + 1)

Afb. 3Afb. 1 — f(x) = √(x² + 1) met de kettingregel: f'(x) = x/√(x² + 1); het minimum ligt in (0; 1), waar f'(0) = 0.

De kettingregel is nodig zodra er een functie ín een functie zit — een samengestelde (ketting)functie. Hij luidt

\dfrac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

: differentieer de buitenfunctie met de binnenkant onveranderd, en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant. In Afb. 1 staat

f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

, met buitenfunctie

\sqrt{u}

en binnenfunctie

x^{2}+1

; de kettingregel geeft

f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

, die nul is bij

x=0

— het minimum dat je in de figuur ziet.

Het herkennen van binnen- en buitenfunctie is de eerste stap. Bij

y=(3x^{2}+1)^{5}

is de binnenfunctie

g(x)=3x^{2}+1

en de buitenfunctie

f(u)=u^{5}

; bij

y=e^{2x}

is de binnenkant

2x

en de buitenkant

e^{u}

; bij

y=\ln(x^{2}+1)

is de binnenkant

x^{2}+1

en de buitenkant

\ln u

. De vuistregel „macht van een haakje,

e^{\text{iets}}

\ln(\text{iets})

\sqrt{\text{iets}}

\sin(\text{iets})

” verraadt telkens een ketting. Zonder deze herkenning pas je de kettingregel niet toe en mis je de factor

g'(x)

Met de kettingregel vind je de afgeleiden van veelvoorkomende samengestelde vormen:

\dfrac{d}{dx}(g(x))^{n}=n\,(g(x))^{n-1}\cdot g'(x)

\dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x)

\dfrac{d}{dx}\ln(g(x))=\dfrac{g'(x)}{g(x)}

\dfrac{d}{dx}\sin(g(x))=\cos(g(x))\cdot g'(x)

. Zo is

\dfrac{d}{dx}(3x^{2}+1)^{5}=5(3x^{2}+1)^{4}\cdot 6x=30x(3x^{2}+1)^{4}

\dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}

. De extra factor

g'(x)

— hier de

6x

respectievelijk de

2

— is precies wat de kettingregel toevoegt en wat het vaakst wordt vergeten.

De kettingregel volgt uit het idee dat samenstellen twee veranderingen achter elkaar zet: als

x

verandert, verandert eerst

g(x)

, en die verandering van

g

veroorzaakt op haar beurt een verandering van

f

. De totale veranderingssnelheid is dan het product van de twee: hoe snel

f

met

g

verandert (

f'(g(x))

) maal hoe snel

g

met

x

verandert (

g'(x)

). In Leibniz-notatie is dat prachtig zichtbaar:

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}

, waarin

u=g(x)

. Deze „kettingen van snelheden” verklaren de naam en helpen de regel onthouden.

Bij ingewikkelder functies zit een ketting binnen een ketting, of een ketting binnen een product of quotiënt. Bij

y=e^{\sin x}

pas je de kettingregel twee keer toe:

\dfrac{d}{dx}e^{\sin x}=e^{\sin x}\cdot\cos x

. Bij

y=x^{2}e^{3x}

combineer je de product- en de kettingregel. De strategie is telkens: werk van buiten naar binnen, differentieer elke laag met de binnenkant onveranderd, en vermenigvuldig alle „lagen” met elkaar. Een nette uitwerking benoemt de binnen- en buitenfunctie expliciet en toont de factor

g'(x)

; zo maak je zichtbaar dat je de kettingregel correct hebt toegepast.

\frac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

Kettingregel

Afgeleide van de buitenfunctie (met de binnenkant onveranderd) maal de afgeleide van de binnenfunctie.

\frac{d}{dx}(g)^{n}=n g^{n-1}g'\quad \frac{d}{dx}e^{g}=e^{g}g'\quad \frac{d}{dx}\ln g=\frac{g'}{g}

Veelvoorkomende kettingen

Steeds de standaardafgeleide van de buitenkant maal de afgeleide $g'$ van de binnenkant.

Uitgewerkt voorbeeld

Kettingregel toepassen

Differentieer $p(x)=(3x^{2}+1)^{5}$ , $q(x)=e^{2x}$ en $r(x)=\ln(x^{2}+1)$ .

p: macht van een haakje
Buitenfunctie $u^{5}$ , binnenfunctie $3x^{2}+1$ (afgeleide $6x$ ).
$p'(x)=5(3x^{2}+1)^{4}\cdot 6x=30x(3x^{2}+1)^{4}$
q: e-macht met binnenkant
De $e$ -macht blijft staan, maal de afgeleide van $2x$ .
$q'(x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}$
r: logaritme met binnenkant
Gebruik $\dfrac{d}{dx}\ln g=\dfrac{g'}{g}$ met $g=x^{2}+1$ .
$r'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$

Resultaat: $p'(x)=30x(3x^{2}+1)^{4}$ , $q'(x)=2e^{2x}$ en $r'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ .

Veelgemaakte fouten

De factor $g'(x)$ vergeten: $\dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}$ (niet $e^{2x}$ ) en $\dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)^{5}=5(x^{2}+1)^{4}\cdot 2x$ .
De binnen- en buitenfunctie verwisselen.
Bij een dubbele ketting ( $e^{\sin x}$ ) maar één laag differentiëren.
De kettingregel niet toepassen omdat je de samenstelling niet herkent.

Actieve herhaling

Differentieer $p(x)=(x^{3}-2x)^{4}$ , $q(x)=e^{-x^{2}}$ en $r(x)=\sqrt{4-x^{2}}$ . Geef bij $r$ het domein.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Regels combineren en toepassen#

Verdiepingexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C2examenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Product en ketting: f(x) = x²·e⁻ˣ

Afb. 4Afb. 1 — f(x) = x²·e⁻ˣ met product- en kettingregel: f'(x) = x(2 − x)e⁻ˣ; maximum bij x = 2 (f(2) = 4e⁻² ≈ 0,54).

In de praktijk komt zelden een „kale” product-, quotiënt- of kettingregel voor: meestal moet je ze combineren. De strategie is de bouw van de formule te ontleden. Is het geheel een product, dan begin je met de productregel en differentieer je binnen elke factor verder (mogelijk met de kettingregel). Is het een quotiënt, dan de quotiëntregel; is het een macht van een haakje, dan de kettingregel. In Afb. 1 staat

f(x)=x^{2}e^{-x}

, een product waarvan één factor een ketting is; met product- én kettingregel is

f'(x)=(2x-x^{2})e^{-x}=x(2-x)e^{-x}

, met een maximum bij

x=2

Het kiezen van de juiste combinatie én de juiste volgorde is de kunst. Bij

f(x)=x^{2}e^{-x}

herken je eerst het product (

x^{2}

maal

e^{-x}

) en pas je de productregel toe; binnen de tweede factor

e^{-x}

gebruik je de kettingregel voor

\dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}

. Het resultaat

f'(x)=2x\,e^{-x}+x^{2}(-e^{-x})=(2x-x^{2})e^{-x}

vereenvoudig je door de gemeenschappelijke factor

e^{-x}

(en

x

) buiten haakjes te halen tot

x(2-x)e^{-x}

. Die nette vorm is nodig om

f'(x)=0

op te lossen:

x=0

x=2

De afgeleide is het gereedschap voor optimalisatie: het vinden van de grootste of kleinste waarde van een grootheid in een context. Het stappenplan luidt: (1) druk de te optimaliseren grootheid uit als functie van één variabele (gebruik eventueel een randvoorwaarde om overtollige variabelen te elimineren); (2) bepaal het zinvolle domein; (3) los

f'(x)=0

op en controleer met het tekenverloop of de tweede afgeleide of het een maximum of minimum is; (4) neem op een begrensd domein ook de randpunten mee; (5) beantwoord de vraag mét eenheid en interpretatie. Zo verandert een optimaliseringsprobleem in het bepalen van een extremum van een zelf opgestelde functie.

In bewegingsproblemen is de afgeleide de snelheid en de tweede afgeleide de versnelling. Beschrijft

s(t)

de afgelegde weg (in m) op tijdstip

t

(in s), dan is

v(t)=s'(t)

de snelheid (in m/s) en

a(t)=s''(t)=v'(t)

de versnelling (in m/s²). Het voorwerp staat stil waar

v(t)=0

, keert daar mogelijk om, en beweegt het snelst waar

|v|

maximaal is (dus waar

a=0

). Deze koppeling — plaats, snelheid, versnelling als

s

s'

s''

— laat zien dat de afgeleide niet alleen een meetkundige helling is maar ook een fysische veranderingssnelheid, met een directe interpretatie in de context.

Bij het combineren van regels tellen zorgvuldigheid en volledigheid. Schrijf de tussenstappen op — welke regel, welke factoren, welke afgeleiden — zodat je op het examen deelscores krijgt en fouten kunt terugvinden. Vereenvoudig het eindresultaat zodat je er

f'(x)=0

mee kunt oplossen. En interpreteer je antwoord in de context: geef het extremum of de snelheid met de juiste eenheid en leg uit wat het betekent. Deze combinatie van correcte techniek (de juiste regels in de juiste volgorde) en heldere interpretatie is precies wat de differentiaalrekening in wiskunde B van je vraagt.

\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x}\bigr)=2x e^{-x}+x^{2}(-e^{-x})=x(2-x)e^{-x}

Product- én kettingregel

Productregel op $x^{2}\cdot e^{-x}$ ; de kettingregel geeft $\dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}$ ; daarna buiten haakjes halen.

v(t)=s'(t),\qquad a(t)=s''(t)

Beweging: snelheid en versnelling

De eerste afgeleide van de plaats is de snelheid, de tweede de versnelling.

Uitgewerkt voorbeeld

Product- en kettingregel gecombineerd, met extremum

Differentieer $f(x)=x^{2}e^{-x}$ en bepaal de coördinaten van het maximum voor $x>0$ .

Productregel opzetten
Neem $u=x^{2}$ ( $u'=2x$ ) en $v=e^{-x}$ ( $v'=-e^{-x}$ met de kettingregel).
Invullen en vereenvoudigen
Gebruik $(uv)'=u'v+uv'$ en haal $e^{-x}$ en $x$ buiten haakjes.
$f'(x)=2x e^{-x}-x^{2}e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$
f'(x) = 0 oplossen
Omdat $e^{-x}>0$ , is $f'(x)=0$ als $x=0$ of $x=2$ ; voor $x>0$ is $x=2$ relevant.
$x(2-x)=0\;\Rightarrow\; x=0\ \text{of}\ x=2$
Maximum berekenen
Bij $x=2$ wisselt $f'$ van $+$ naar $-$ (maximum). Bereken $f(2)$ .
$f(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^{2}}\approx 0{,}54$

Resultaat: $f'(x)=x(2-x)e^{-x}$ ; maximum in $\bigl(2;\,4e^{-2}\bigr)\approx(2;\,0{,}54)$ .

Veelgemaakte fouten

De verkeerde regel als eerste toepassen (bijvoorbeeld de kettingregel op een product beginnen).
De afgeleide niet vereenvoudigen, waardoor $f'(x)=0$ oplossen onnodig lastig wordt.
Bij optimalisatie het domein of de randpunten vergeten, of de gevraagde grootheid (niet $x$ zelf) niet terugrekenen.
Snelheid en versnelling verwarren: $v=s'$ , $a=s''$ .

Actieve herhaling

Een blik in de vorm van een cilinder met een vast volume van $500$ cm³ heeft oppervlakte $A(r)=2\pi r^{2}+\dfrac{1000}{r}$ . Bepaal met de afgeleide de straal $r$ waarvoor $A$ minimaal is (los $A'(r)=0$ op).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Technieken voor differentiëren

Kernpunten

Productregel met de e-macht

Kernpunten

Quotiëntregel en extremen

Kernpunten

Kettingregel toepassen

Kernpunten

Product- en kettingregel gecombineerd, met extremum

Bronnen