EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde B/Afgeleide functies
Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Afgeleide functies

De afgeleide f′(x)f'(x)f′(x) geeft de momentane helling van de grafiek van fff en dus de snelheid waarmee fff verandert. Ze ontstaat als limiet van het differentiequotiënt en levert een nieuwe functie op die je met standaardafgeleiden berekent. Met de afgeleide stel je de raaklijn op, bepaal je toppen, dalen en buigpunten via f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 en het tekenverloop, en lees je met de tweede afgeleide de bolling van de grafiek af. Dit is het fundament van de hele differentiaalrekening in wiskunde B.

4 Onderdelen·~17 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Standaard 3 · Verdieping 1

T·0888 / 16
Examenprofiel
C1 · De afgeleide f'(x) als momentane helling; de notaties f'(x) en \dfrac{dy}{dx}Standaardafgeleiden: machtsregel en de afgeleiden van ex, \ln x, \sqrt{x}, \sin x en \cos xDe raaklijn opstellen met y=f(a)+f'(a)(x-a)Extremen, tekenverloop en buigpunten (met de tweede afgeleide f'')
Operatoren:differentieerberekenbepaalstel optoon aanonderzoekleid af

basisniveau

De afgeleide als momentane helling, de standaardafgeleiden, de raaklijn en extremen horen tot de centraal-examenstof van subdomein C1.

verhoogd niveau

Verdieping zit in buigpunten en de tweede afgeleide, in het opstellen van een raaklijn met een gegeven richting, en in het onderbouwen van het stijg- en daalgedrag met een tekenschema.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Afgeleide functies
    • 01De afgeleide als momentane helling◐
    • 02Standaardafgeleiden◐
    • 03De raaklijn◐
    • 04Extremen, tekenverloop en buigpunten●
§ 01

De afgeleide als momentane helling#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Kernpunten

De afgeleide beantwoordt de vraag: hoe steil loopt de grafiek van fff in één bepaald punt? Terwijl het differentiequotiënt f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}b−af(b)−f(a)​ de gemiddelde helling over een heel interval [a,b][a,b][a,b] geeft, beschrijft de momentane helling de steilheid op één enkel moment. Je krijgt haar door het interval steeds kleiner te maken: laat je het rechterpunt b=a+hb=a+hb=a+h naar aaa toe kruipen, dan draait de koorde (secant) mee tot ze samenvalt met de raaklijn in aaa. In Afb. 1 raakt de rechte lijn de grafiek van f(x)=12x2f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}f(x)=21​x2 in het punt (2,2)(2,2)(2,2); de helling van die raaklijn is de afgeleide f′(2)=2f'(2)=2f′(2)=2.

De afgeleide als helling van de raaklijn

Raaklijn aan ½x² in x = 2Schaubild von y = ½x², Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -1 bis 5−1123452468(2; 2)raaklijn(helling 2)y = ½x²yx
Afb. 1Afb. 1 — De raaklijn aan f(x) = ½x² in (2; 2) heeft helling f'(2) = 2: de momentane helling van f in x = 2.
Formeel is de afgeleide de limiet van het differentiequotiënt: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}f′(a)=limh→0​hf(a+h)−f(a)​. Voor f(x)=12x2f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}f(x)=21​x2 reken je dat uit door f(2+h)=12(2+h)2=2+2h+12h2f(2+h)=\tfrac{1}{2}(2+h)^{2}=2+2h+\tfrac{1}{2}h^{2}f(2+h)=21​(2+h)2=2+2h+21​h2 te vergelijken met f(2)=2f(2)=2f(2)=2: het differentiequotiënt wordt 2h+12h2h=2+12h\dfrac{2h+\tfrac{1}{2}h^{2}}{h}=2+\tfrac{1}{2}hh2h+21​h2​=2+21​h, en voor h→0h\to 0h→0 blijft f′(2)=2f'(2)=2f′(2)=2 over. Deze limietdefinitie is de fundering onder de rekenregels; in de praktijk gebruik je die regels, maar het begrip „limiet van het differentiequotiënt” verklaart waaróm de afgeleide de helling is.
Door f′f'f′ in élk punt te bepalen ontstaat een nieuwe functie, de afgeleide functie f′f'f′ (ook hellingfunctie genoemd). f′(x)f'(x)f′(x) vertelt voor iedere xxx hoe steil de grafiek van fff daar loopt. Naast f′(x)f'(x)f′(x) gebruik je de Leibniz-notatie dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​; beide betekenen hetzelfde. dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​ benadrukt dat de afgeleide een verhouding is van een heel kleine verandering Δy\Delta yΔy ten opzichte van een heel kleine verandering Δx\Delta xΔx — handig zodra yyy en xxx eenheden dragen, want dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​ heeft dan de eenheid „eenheid van yyy per eenheid van xxx”.
Het teken van f′f'f′ koppelt de afgeleide aan het gedrag van fff: is f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 dan stijgt fff, is f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0 dan daalt fff, en waar f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 loopt de raaklijn horizontaal. Zo verbindt de afgeleide de steilheid met stijgen en dalen: de grootte van f′f'f′ zegt hoe snel, het teken zegt of het toe- of afneemt. Deze koppeling is de motor achter het bepalen van toppen en dalen (paragraaf 4): daar zoek je immers de plekken waar de grafiek van stijgen naar dalen (of omgekeerd) overgaat, en dat is precies waar f′f'f′ van teken wisselt.
In toepassingen is de afgeleide een veranderingssnelheid. Beschrijft h(t)h(t)h(t) de hoogte (in m) op tijdstip ttt (in s), dan is h′(t)h'(t)h′(t) de verticale snelheid in m/s; beschrijft N(t)N(t)N(t) een aantal, dan is N′(t)N'(t)N′(t) de groeisnelheid per tijdseenheid. Het interpreteren van f′(a)f'(a)f′(a) in de context — mét de juiste eenheid — is op het examen wiskunde B minstens zo belangrijk als het rekenwerk. Een nette uitwerking noemt daarom in welk punt de helling wordt bepaald, gebruikt de oorspronkelijke functie voor de bijbehorende yyy-waarde, en sluit af met de betekenis van het getal.
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}f′(a)=h→0lim​hf(a+h)−f(a)​

De afgeleide als limiet

De momentane helling in x=ax=ax=a is de limiet van het differentiequotiënt over [a,a+h][a,a+h][a,a+h] als h→0h\to 0h→0.

f′(x)>0⇒f stijgtf′(x)<0⇒f daaltf'(x)>0 \Rightarrow f\ \text{stijgt}\qquad f'(x)<0 \Rightarrow f\ \text{daalt}f′(x)>0⇒f stijgtf′(x)<0⇒f daalt

Teken van de afgeleide

Het teken van f′f'f′ bepaalt of fff stijgt of daalt; waar f′=0f'=0f′=0 is de raaklijn horizontaal.

Uitgewerkt voorbeeld

Momentane helling als limiet

Bepaal f′(2)f'(2)f′(2) voor f(x)=12x2f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}f(x)=21​x2 met de limietdefinitie van de afgeleide.

  1. 01Functiewaarden opstellen

    Bereken f(2)f(2)f(2) en f(2+h)f(2+h)f(2+h); werk het kwadraat uit.

    f(2)=2,f(2+h)=12(4+4h+h2)=2+2h+12h2f(2)=2,\qquad f(2+h)=\tfrac{1}{2}(4+4h+h^{2})=2+2h+\tfrac{1}{2}h^{2}f(2)=2,f(2+h)=21​(4+4h+h2)=2+2h+21​h2
  2. 02Differentiequotiënt vormen

    Trek f(2)f(2)f(2) af en deel door hhh.

    f(2+h)−f(2)h=2h+12h2h=2+12h\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2h+\tfrac{1}{2}h^{2}}{h}=2+\tfrac{1}{2}hhf(2+h)−f(2)​=h2h+21​h2​=2+21​h
  3. 03Limiet nemen

    Laat h→0h\to 0h→0; de term 12h\tfrac{1}{2}h21​h verdwijnt.

    f′(2)=lim⁡h→0(2+12h)=2f'(2)=\lim_{h\to 0}\bigl(2+\tfrac{1}{2}h\bigr)=2f′(2)=h→0lim​(2+21​h)=2

Resultaat: f′(2)=2f'(2)=2f′(2)=2: de raaklijn in (2;2)(2;2)(2;2) heeft helling 222 (ter controle: f′(x)=xf'(x)=xf′(x)=x, dus f′(2)=2f'(2)=2f′(2)=2).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de afgeleide f′(a)f'(a)f′(a) herkennen en gebruiken als momentane helling en als limiet van het differentiequotiënt.
  • Examendoel: het teken van f′f'f′ koppelen aan het stijgen of dalen van fff.
  • Examendoel: f′(a)f'(a)f′(a) in een context als veranderingssnelheid interpreteren, met de juiste eenheid.

Veelgemaakte fouten

  • Gemiddelde en momentane verandering verwarren: het differentiequotiënt hoort bij een interval, de afgeleide bij één punt.
  • De afgeleide wel uitrekenen maar niet interpreteren, of de eenheid van f′f'f′ vergeten.
  • In de limiet niet eerst wegdelen door hhh, waardoor je 00\tfrac{0}{0}00​ overhoudt.
  • f′(x)f'(x)f′(x) en dydx\dfrac{dy}{dx}dxdy​ voor verschillende dingen aanzien; ze betekenen hetzelfde.

Actieve herhaling

Bepaal met de limietdefinitie f′(3)f'(3)f′(3) voor f(x)=x2−xf(x)=x^{2}-xf(x)=x2−x, en leg uit wat f′(3)f'(3)f′(3) zegt over de steilheid van de grafiek in x=3x=3x=3.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

§ 02

Standaardafgeleiden#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Een functie en haar afgeleide in één assenstelsel

f(x) = x³ − 3x en f'(x) = 3x² − 3Schaubild von y = f(x), Nullstellen bei x = -1.732, 0, 1.732, Hochpunkt bei (-1, 2), Tiefpunkt bei (1, -2), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2.2 bis 2.2, Schaubild von y = f'(x), Nullstellen bei x = -1, 1, Tiefpunkt bei (0, -3), y-Achsenabschnitt bei y = -3, im Bereich x von -2.2 bis 2.2−2−112−4−2246top van fdal van ff' = 0f' = 0y = f(x)y = f'(x)yx
Afb. 2Afb. 1 — f (doorgetrokken) en haar afgeleide f' (gestreept). Waar f' door nul gaat (x = ±1), heeft f een top respectievelijk een dal.

Kernpunten

Voor de standaardfuncties hoef je geen limieten meer uit te rekenen: een handvol standaardafgeleiden ligt vast. De belangrijkste is de machtsregel ddxxn=n xn−1\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}dxd​xn=nxn−1 — „breng de exponent naar voren en verlaag hem met 111” — die geldt voor elke vaste macht nnn, ook negatief of gebroken. In Afb. 1 staan f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3xf(x)=x3−3x en haar afgeleide f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^{2}-3f′(x)=3x2−3 samen; merk op dat de nulpunten van f′f'f′ (bij x=−1x=-1x=−1 en x=1x=1x=1) recht onder de top en het dal van fff liggen — precies het verband tussen f′=0f'=0f′=0 en de extremen.
Twee lineariteitsregels maken van de machtsregel een complete gereedschapskist voor veeltermen. De constante-veelvoudregel (c⋅f)′=c⋅f′(c\cdot f)'=c\cdot f'(c⋅f)′=c⋅f′ laat een constante factor staan, en de som-/verschilregel (f±g)′=f′±g′(f\pm g)'=f'\pm g'(f±g)′=f′±g′ laat je term voor term differentiëren. Zo is ddx(x3−3x)=3x2−3\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x\bigr)=3x^{2}-3dxd​(x3−3x)=3x2−3 en ddx(2x4−5x2+7)=8x3−10x\dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{4}-5x^{2}+7\bigr)=8x^{3}-10xdxd​(2x4−5x2+7)=8x3−10x (de constante 777 heeft afgeleide 000). Wortels en breuken schrijf je eerst als macht: x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}x​=x1/2 geeft ddxx=12x−1/2=12x\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dxd​x​=21​x−1/2=2x​1​, en 1x=x−1\dfrac{1}{x}=x^{-1}x1​=x−1 geeft −x−2=−1x2-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}−x−2=−x21​.
Naast de machtsregel ken je de standaardafgeleiden van de andere basisfuncties uit het hoofd. Voor de exponentiële en logaritmische functie: ddxex=ex\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}dxd​ex=ex (de eee-macht is haar eigen afgeleide) en ddxln⁡x=1x\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}dxd​lnx=x1​. Voor de goniometrische functies: ddxsin⁡x=cos⁡x\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos xdxd​sinx=cosx en ddxcos⁡x=−sin⁡x\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin xdxd​cosx=−sinx (let op het minteken bij de cosinus). Deze standaardafgeleiden zijn de bouwstenen; met de rekenregels uit het volgende onderwerp (product-, quotiënt- en kettingregel) combineer je ze tot de afgeleide van elke functie uit het programma.
De afgeleide van een som of verschil is de som of het verschil van de afgeleiden, maar dit geldt NIET voor producten en quotiënten — daarvoor bestaan aparte regels (het volgende onderwerp). Een veelgemaakte fout is ddx(x2sin⁡x)=2xcos⁡x\dfrac{d}{dx}(x^{2}\sin x)=2x\cos xdxd​(x2sinx)=2xcosx opschrijven; dat is fout, want een product differentieer je met de productregel. Zolang je binnen sommen, verschillen en constante veelvouden blijft, mag je term voor term differentiëren; zodra er een echt product, quotiënt of samenstelling staat, heb je meer nodig. Het herkennen van de bouw van de formule bepaalt dus welke regel je toepast.
De afgeleide functie f′f'f′ heeft dezelfde interpretatie als f′(a)f'(a)f′(a) maar dan voor alle xxx tegelijk: ze is de hellingfunctie. Uit de grafiek van f′f'f′ lees je af waar fff stijgt (waar f′>0f'>0f′>0), waar fff daalt (f′<0f'<0f′<0) en waar fff een horizontale raaklijn heeft (f′=0f'=0f′=0). In Afb. 1 zie je dit meteen: f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^{2}-3f′(x)=3x2−3 is negatief tussen −1-1−1 en 111 (daar daalt fff) en positief erbuiten (daar stijgt fff). Deze grafische lezing van f′f'f′ maakt van de afgeleide niet alleen een rekenobject maar een middel om het gedrag van fff in één oogopslag te overzien.
ddxxn=n xn−1(cf)′=cf′(f±g)′=f′±g′\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}\qquad (c f)'=c f'\qquad (f\pm g)'=f'\pm g'dxd​xn=nxn−1(cf)′=cf′(f±g)′=f′±g′

Machtsregel en lineariteit

Breng de exponent naar voren en verlaag hem met 111; een constante factor blijft staan, een som differentieer je term voor term.

ddxex=exddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\qquad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}dxd​ex=exdxd​lnx=x1​

Exponentieel en logaritme

De eee-macht is haar eigen afgeleide; de natuurlijke logaritme heeft afgeleide 1x\tfrac{1}{x}x1​.

ddxsin⁡x=cos⁡xddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin xdxd​sinx=cosxdxd​cosx=−sinx

Goniometrische standaardafgeleiden

De sinus differentieert naar de cosinus; de cosinus naar min de sinus (let op het minteken).

Uitgewerkt voorbeeld

Standaardfuncties differentiëren

Differentieer f(x)=3x4−2x2+5x−7f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5x-7f(x)=3x4−2x2+5x−7 en g(x)=4x+2x−sin⁡xg(x)=4\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}-\sin xg(x)=4x​+x2​−sinx.

  1. 01Veelterm term voor term

    Pas de machtsregel toe op elke term van fff; de constante −7-7−7 heeft afgeleide 000.

    f′(x)=12x3−4x+5f'(x)=12x^{3}-4x+5f′(x)=12x3−4x+5
  2. 02Wortel en breuk als macht schrijven

    Herschrijf 4x=4x1/24\sqrt{x}=4x^{1/2}4x​=4x1/2 en 2x=2x−1\dfrac{2}{x}=2x^{-1}x2​=2x−1.

    g(x)=4x1/2+2x−1−sin⁡xg(x)=4x^{1/2}+2x^{-1}-\sin xg(x)=4x1/2+2x−1−sinx
  3. 03Standaardafgeleiden toepassen

    Machtsregel op de eerste twee termen, ddxsin⁡x=cos⁡x\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos xdxd​sinx=cosx op de laatste.

    g′(x)=2x−1/2−2x−2−cos⁡x=2x−2x2−cos⁡xg'(x)=2x^{-1/2}-2x^{-2}-\cos x=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x^{2}}-\cos xg′(x)=2x−1/2−2x−2−cosx=x​2​−x22​−cosx

Resultaat: f′(x)=12x3−4x+5f'(x)=12x^{3}-4x+5f′(x)=12x3−4x+5 en g′(x)=2x−2x2−cos⁡xg'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^{2}}-\cos xg′(x)=x​2​−x22​−cosx.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: elke standaardfunctie differentiëren met de machtsregel, de lineariteitsregels en de standaardafgeleiden van exe^{x}ex, ln⁡x\ln xlnx, sin⁡x\sin xsinx en cos⁡x\cos xcosx.
  • Examendoel: wortels en breuken eerst als macht schrijven om de machtsregel te kunnen toepassen.
  • Examendoel: uit de grafiek van f′f'f′ het stijg- en daalgedrag van fff aflezen.

Veelgemaakte fouten

  • Een product term voor term differentiëren (ddx(x2sin⁡x)≠2xcos⁡x\dfrac{d}{dx}(x^{2}\sin x)\neq 2x\cos xdxd​(x2sinx)=2xcosx); daarvoor is de productregel nodig.
  • Het minteken bij ddxcos⁡x=−sin⁡x\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin xdxd​cosx=−sinx vergeten.
  • Bij x−1x^{-1}x−1 of x1/2x^{1/2}x1/2 de exponent verkeerd met 111 verlagen.
  • De afgeleide van een constante niet op 000 zetten.

Actieve herhaling

Differentieer f(x)=x5−4x3+2xf(x)=x^{5}-4x^{3}+2xf(x)=x5−4x3+2x en g(x)=6x+3cos⁡x−1x2g(x)=6\sqrt{x}+3\cos x-\dfrac{1}{x^{2}}g(x)=6x​+3cosx−x21​. Vereenvoudig je antwoorden zo ver mogelijk.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

§ 03

De raaklijn#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Raaklijn aan y = √x in het punt (4; 2)

Raaklijn aan √x in x = 4Schaubild von y = √x, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 924680.511.522.533.54raakpunt (4; 2)raaklijn y = ¼x+ 1y = √xyx
Afb. 3Afb. 1 — De raaklijn aan f(x) = √x in (4; 2) heeft helling f'(4) = ¼ en vergelijking y = ¼x + 1.

Kernpunten

De raaklijn aan een grafiek in een punt is de rechte lijn die de grafiek daar zowel de plaats als de richting deelt: ze gaat door het raakpunt en heeft de momentane helling van de grafiek als richtingscoëfficiënt. De vergelijking stel je op met één formule: y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)y=f(a)+f′(a)(x−a). Hierin is aaa de xxx-coördinaat van het raakpunt, f(a)f(a)f(a) de functiewaarde (de hoogte van het raakpunt) en f′(a)f'(a)f′(a) de helling. In Afb. 1 raakt de lijn y=14x+1y=\tfrac{1}{4}x+1y=41​x+1 de grafiek van f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ in het raakpunt (4,2)(4,2)(4,2); de helling is f′(4)=14f'(4)=\tfrac{1}{4}f′(4)=41​.
Het opstellen van een raaklijn verloopt in drie stappen: bereken de functiewaarde in het raakpunt f(a)f(a)f(a), bereken de helling f′(a)f'(a)f′(a), en vul beide in de raaklijnformule in. Voor f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ in x=4x=4x=4: eerst f(4)=2f(4)=2f(4)=2, dan f′(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}f′(x)=2x​1​ dus f′(4)=14f'(4)=\dfrac{1}{4}f′(4)=41​, en invullen geeft y=2+14(x−4)=14x+1y=2+\tfrac{1}{4}(x-4)=\tfrac{1}{4}x+1y=2+41​(x−4)=41​x+1. Controleer altijd dat het raakpunt op de lijn ligt: x=4⇒y=14⋅4+1=2x=4\Rightarrow y=\tfrac{1}{4}\cdot 4+1=2x=4⇒y=41​⋅4+1=2, dat klopt. Deze controle vangt reken- en tekenfouten.
Vaak vraagt een opgave niet naar de raaklijn in een gegeven punt, maar naar de raaklijn met een gegeven helling of evenwijdig aan een gegeven lijn. Dan draai je de aanpak om: stel f′(a)f'(a)f′(a) gelijk aan de gevraagde helling en los aaa op. Zoek je bijvoorbeeld de raaklijn aan f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 met helling 666, dan los je f′(a)=2a=6f'(a)=2a=6f′(a)=2a=6 op, dus a=3a=3a=3; het raakpunt is (3,9)(3,9)(3,9) en de raaklijn y=9+6(x−3)=6x−9y=9+6(x-3)=6x-9y=9+6(x−3)=6x−9. Zo gebruik je de afgeleide als „hellingmeter” om het raakpunt te vinden dat bij een gewenste steilheid hoort.
De raaklijn is de beste lineaire benadering van de functie dichtbij het raakpunt: in een klein gebied rond aaa verschilt de grafiek nauwelijks van haar raaklijn. Dit idee — een kromme lokaal vervangen door een rechte — is de kern van de differentiaalrekening en verklaart waarom de afgeleide zoveel toepassingen heeft. In een context betekent de raaklijn dat je de verandering van een grootheid over een kleine stap kunt schatten met de momentane snelheid: Δy≈f′(a)⋅Δx\Delta y\approx f'(a)\cdot\Delta xΔy≈f′(a)⋅Δx. Zo koppelt de raaklijn de meetkunde (een lijn) aan de analyse (een snelheid) aan de toepassing (een schatting).
Bij het werken met raaklijnen let je op enkele valkuilen. De helling van de raaklijn is f′(a)f'(a)f′(a), niet f(a)f(a)f(a): verwissel de functiewaarde en de afgeleide niet. Reken f′f'f′ met de rekenregels en vul dan pas aaa in — niet andersom. En bij het opstellen van de vergelijking gebruik je consequent de vorm y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)y=f(a)+f′(a)(x−a), waarin het raakpunt en de helling elk hun eigen plaats hebben. Een nette uitwerking vermeldt het raakpunt, de helling en de eindvergelijking, en controleert dat het raakpunt op de lijn ligt — precies de zorgvuldigheid die op het examen scorepunten oplevert.
y=f(a)+f′(a) (x−a)y=f(a)+f'(a)\,(x-a)y=f(a)+f′(a)(x−a)

Vergelijking van de raaklijn

In het raakpunt (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)) heeft de raaklijn helling f′(a)f'(a)f′(a); deze formule levert direct de lijnvergelijking.

Δy≈f′(a)⋅Δx\Delta y \approx f'(a)\cdot \Delta xΔy≈f′(a)⋅Δx

Lineaire benadering

Dichtbij het raakpunt schat de raaklijn de verandering van fff: de afgeleide als benaderende snelheid.

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn met een gegeven helling

Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan f(x)=x2−xf(x)=x^{2}-xf(x)=x2−x die evenwijdig is aan de lijn y=3x+5y=3x+5y=3x+5.

  1. 01Gevraagde helling

    Evenwijdig aan y=3x+5y=3x+5y=3x+5 betekent helling 333; stel f′(a)=3f'(a)=3f′(a)=3.

    f′(x)=2x−1  ⇒  2a−1=3  ⇒  a=2f'(x)=2x-1\;\Rightarrow\; 2a-1=3\;\Rightarrow\; a=2f′(x)=2x−1⇒2a−1=3⇒a=2
  2. 02Raakpunt berekenen

    Bereken f(2)f(2)f(2).

    f(2)=4−2=2  ⇒  raakpunt (2, 2)f(2)=4-2=2\;\Rightarrow\;\text{raakpunt }(2,\,2)f(2)=4−2=2⇒raakpunt (2,2)
  3. 03Raaklijn opstellen

    Vul a=2a=2a=2, f(2)=2f(2)=2f(2)=2, f′(2)=3f'(2)=3f′(2)=3 in de raaklijnformule in.

    y=2+3(x−2)=3x−4y=2+3(x-2)=3x-4y=2+3(x−2)=3x−4

Resultaat: De raaklijn is y=3x−4y=3x-4y=3x−4 (raakpunt (2;2)(2;2)(2;2), helling 333).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de vergelijking van een raaklijn opstellen met y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)y=f(a)+f′(a)(x−a) en controleren dat het raakpunt op de lijn ligt.
  • Examendoel: het raakpunt bepalen wanneer een helling of evenwijdigheid gegeven is (stel f′(a)f'(a)f′(a) gelijk aan de gevraagde helling).
  • Examendoel: de raaklijn als lineaire benadering en de afgeleide als benaderende verandering gebruiken.

Veelgemaakte fouten

  • De helling van de raaklijn met f(a)f(a)f(a) berekenen in plaats van met f′(a)f'(a)f′(a).
  • f(a)f(a)f(a) en f′(a)f'(a)f′(a) verwisselen in de raaklijnformule.
  • Eerst aaa invullen en dan differentiëren; differentieer eerst fff, vul dan aaa in.
  • Bij een gegeven helling vergeten dat je het raakpunt nog moet berekenen (via f(a)f(a)f(a)).

Actieve herhaling

Stel de raaklijn op aan f(x)=x3−2xf(x)=x^{3}-2xf(x)=x3−2x in het punt met x=1x=1x=1. Bepaal daarna de raaklijn aan dezelfde grafiek met helling 101010.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

§ 04

Extremen, tekenverloop en buigpunten#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C1

Extremen en buigpunt van f(x) = x³ − 3x²

Extremen en buigpunt van x³ − 3x²Schaubild von y = f(x), Nullstellen bei x = 3, Hochpunkt bei (0, 0), Tiefpunkt bei (2, -4), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -1 bis 3.5−1123−5−4−3−2−1123top (0; 0)dal (2; −4)buigpunt (1; −2)y = f(x)yx
Afb. 4Afb. 1 — f(x) = x³ − 3x²: top (0; 0) waar f'' < 0, dal (2; −4) waar f'' > 0, en het buigpunt (1; −2) waar f'' = 0 en de bolling omslaat.

Kernpunten

In een (lokaal) maximum of minimum van een gladde functie loopt de raaklijn horizontaal, dus is daar f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0. Je zoekt kandidaat-extremen daarom door de vergelijking f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 op te lossen; de oplossingen heten kritieke of stationaire punten. Maar f′=0f'=0f′=0 alleen zegt nog niet of het een top of een dal is: dat beslist het teken van f′f'f′ eromheen. Wisselt f′f'f′ van +++ naar −-−, dan stijgt fff eerst en daalt daarna — een maximum (top); wisselt f′f'f′ van −-− naar +++, dan een minimum (dal). In Afb. 1 zie je f(x)=x3−3x2f(x)=x^{3}-3x^{2}f(x)=x3−3x2 met een top in (0,0)(0,0)(0,0) en een dal in (2,−4)(2,-4)(2,−4).
Het volledige stappenplan voor extremen luidt: (1) bereken f′(x)f'(x)f′(x); (2) los f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 op; (3) maak een tekenschema van f′f'f′ (proefwaarden of de ontbonden vorm); (4) benoem elk kritiek punt als top, dal of buigpunt met horizontale raaklijn; (5) bereken de bijbehorende yyy-waarde met de oorspronkelijke functie fff, niet met f′f'f′. Voor f(x)=x3−3x2f(x)=x^{3}-3x^{2}f(x)=x3−3x2 is f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)f′(x)=3x2−6x=3x(x−2), dus f′=0f'=0f′=0 bij x=0x=0x=0 en x=2x=2x=2; het tekenschema geeft top bij x=0x=0x=0 (f(0)=0f(0)=0f(0)=0) en dal bij x=2x=2x=2 (f(2)=−4f(2)=-4f(2)=−4).
De tweede afgeleide f′′f''f′′ (de afgeleide van f′f'f′) beschrijft de bolling van de grafiek. Is f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0, dan is de grafiek hol (bolt naar boven open, als een dal); is f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0, dan is ze bol (bolt naar beneden, als een berg). Hiermee heb je een tweede test voor extremen: als f′(a)=0f'(a)=0f′(a)=0 en f′′(a)>0f''(a)>0f′′(a)>0, dan is aaa een minimum; als f′(a)=0f'(a)=0f′(a)=0 en f′′(a)<0f''(a)<0f′′(a)<0, een maximum. Voor f(x)=x3−3x2f(x)=x^{3}-3x^{2}f(x)=x3−3x2 is f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6f′′(x)=6x−6; bij x=0x=0x=0 is f′′(0)=−6<0f''(0)=-6<0f′′(0)=−6<0 (maximum, top) en bij x=2x=2x=2 is f′′(2)=6>0f''(2)=6>0f′′(2)=6>0 (minimum, dal). Deze tweede-afgeleidetest is vaak sneller dan een volledig tekenschema.
Een buigpunt is een punt waar de bolling van de grafiek omslaat: van hol naar bol of omgekeerd. Daar wisselt f′′f''f′′ van teken, dus vind je buigpunten door f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 op te lossen én te controleren dat f′′f''f′′ daar echt van teken wisselt. Voor f(x)=x3−3x2f(x)=x^{3}-3x^{2}f(x)=x3−3x2 is f′′(x)=6x−6=0f''(x)=6x-6=0f′′(x)=6x−6=0 bij x=1x=1x=1; omdat f′′f''f′′ daar van negatief naar positief gaat, is (1,−2)(1,-2)(1,−2) een buigpunt (in Afb. 1 gemarkeerd). In een buigpunt is de grafiek het „steilst” of „vlakst” aan het veranderen van bolling; bij een derdegraadsfunctie ligt het buigpunt precies midden tussen top en dal.
Extremen en buigpunten samen geven het complete beeld van de vorm van een grafiek: waar ze stijgt en daalt (uit het teken van f′f'f′) en waar ze hol en bol is (uit het teken van f′′f''f′′). Op een begrensd domein — vaak bij contextopgaven — neem je bij het zoeken naar de grootste of kleinste waarde óók de randpunten mee, want het absolute maximum of minimum kan op een rand liggen zonder dat f′f'f′ daar nul is. Deze analyse — kritieke punten, tekenschema's van f′f'f′ en f′′f''f′′, en de randen — is het gereedschap waarmee je in het onderwerp differentieertechnieken optimaliseringsproblemen oplost en grafieken volledig beschrijft.
f′(x)=0 eˊn f′ wisselt van teken⇒extremumf'(x)=0 \text{ én } f' \text{ wisselt van teken} \Rightarrow \text{extremum}f′(x)=0 eˊn f′ wisselt van teken⇒extremum

Voorwaarde voor een extremum

Een extremum ligt waar de afgeleide nul is én van teken verandert; zonder tekenwisseling een buigpunt met horizontale raaklijn.

f′′(a)>0⇒minimumf′′(a)<0⇒maximumf''(a)>0 \Rightarrow \text{minimum}\qquad f''(a)<0 \Rightarrow \text{maximum}f′′(a)>0⇒minimumf′′(a)<0⇒maximum

Tweede-afgeleidetest

Bij een kritiek punt (f′(a)=0f'(a)=0f′(a)=0) bepaalt het teken van f′′(a)f''(a)f′′(a) of het een minimum of maximum is.

f′′(x)=0 met tekenwisseling⇒buigpuntf''(x)=0 \text{ met tekenwisseling} \Rightarrow \text{buigpunt}f′′(x)=0 met tekenwisseling⇒buigpunt

Buigpunt

Een buigpunt ligt waar de tweede afgeleide van teken wisselt: daar slaat de bolling om.

Uitgewerkt voorbeeld

Extremen en buigpunt bepalen

Onderzoek f(x)=x3−3x2f(x)=x^{3}-3x^{2}f(x)=x3−3x2 op extremen en het buigpunt; geef de coördinaten.

  1. 01Eerste afgeleide en kritieke punten

    Differentieer en los f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 op.

    f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0  ⇒  x=0 of x=2f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)=0\;\Rightarrow\; x=0\ \text{of}\ x=2f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0⇒x=0 of x=2
  2. 02Soort extremum met f''

    Bereken f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6f′′(x)=6x−6 en het teken in de kritieke punten.

    f′′(0)=−6<0 (top),f′′(2)=6>0 (dal)f''(0)=-6<0\ (\text{top}),\qquad f''(2)=6>0\ (\text{dal})f′′(0)=−6<0 (top),f′′(2)=6>0 (dal)
  3. 03Coördinaten van de extremen

    Vul x=0x=0x=0 en x=2x=2x=2 in fff in.

    f(0)=0,f(2)=8−12=−4f(0)=0,\qquad f(2)=8-12=-4f(0)=0,f(2)=8−12=−4
  4. 04Buigpunt

    Los f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 op en bereken de yyy-waarde.

    6x−6=0⇒x=1,f(1)=1−3=−26x-6=0\Rightarrow x=1,\qquad f(1)=1-3=-26x−6=0⇒x=1,f(1)=1−3=−2

Resultaat: Top (0; 0)(0;\,0)(0;0), dal (2; −4)(2;\,-4)(2;−4) en buigpunt (1; −2)(1;\,-2)(1;−2).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: extremen bepalen met f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 en een tekenschema van f′f'f′ (of de tweede-afgeleidetest).
  • Examendoel: buigpunten bepalen met f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 en een tekenwisseling van f′′f''f′′, en de bolling (hol/bol) beschrijven.
  • Examendoel: de yyy-coördinaten met de oorspronkelijke functie berekenen en op een begrensd domein de randpunten meenemen.

Veelgemaakte fouten

  • De yyy-coördinaat van een extremum met f′f'f′ (of f′′f''f′′) berekenen in plaats van met de oorspronkelijke functie fff.
  • Aannemen dat elk punt met f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 een extremum is; zonder tekenwisseling is het een buigpunt met horizontale raaklijn.
  • Een buigpunt melden waar f′′=0f''=0f′′=0 zonder te controleren dat f′′f''f′′ daar echt van teken wisselt.
  • Bij een begrensd domein de randpunten vergeten bij het zoeken naar de grootste of kleinste waarde.

Actieve herhaling

Onderzoek f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^{3}-6x^{2}+9xf(x)=x3−6x2+9x op extremen (met de tweede-afgeleidetest) en bepaal het buigpunt. Geef alle coördinaten en beschrijf waar fff hol en waar ze bol is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01De afgeleide als momentane helling◐
    • 02Standaardafgeleiden◐
    • 03De raaklijn◐
    • 04Extremen, tekenverloop en buigpunten●

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Afgeleide functies

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~17
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Vorig onderwerp

Asymptoten en limietgedrag van functies

Volgend onderwerp

Technieken voor differentiëren

EuraStudy·Samenvattingen T·08·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.