EuraStudy
Samenvattingen/Wiskunde B/Integraalrekening en primitieven
Samenvattingen · Wiskunde BNL · VWO

Integraalrekening en primitieven

Integreren is de omgekeerde bewerking van differentiëren: een primitieve FFF van fff voldoet aan F′=fF'=fF′=f. De bepaalde integraal ∫abf(x) dx\int_{a}^{b}f(x)\,dx∫ab​f(x)dx meet de georiënteerde oppervlakte onder de grafiek van fff en bereken je met de hoofdstelling van de integraalrekening als F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a). Met integralen bereken je oppervlakten tussen grafieken en de inhoud van omwentelingslichamen — de belangrijkste toepassingen van de analyse in wiskunde B.

4 Onderdelen·~15 min leestijd·4 Vaardigheden·Niveau Standaard 1 · Verdieping 3

T·101010 / 16
Examenprofiel
C3 · Primitieve functies en de onbepaalde integraal \int f(x) dx=F(x)+CDe bepaalde integraal als georiënteerde oppervlakte; de hoofdstelling \intabf=F(b)-F(a)Oppervlakte tussen twee grafieken berekenenInhoud van omwentelingslichamen (π\int y² dx)
Operatoren:berekenbepaalprimitiveertoon aangeefleid af

basisniveau

Primitiveren, de bepaalde integraal en oppervlakteberekening horen tot de centraal-examenstof van subdomein C3.

verhoogd niveau

Verdieping zit in oppervlakten tussen grafieken die elkaar meermaals snijden, in het opsplitsen van integralen bij tekenwissel, en in de inhoud van omwentelingslichamen.

Diepte

Leesdiepte: Verdieping

Tekst

Tekstgrootte: Standaard

Inhoud · 4 onderdelen▾
  1. Integraalrekening en primitieven
    • 01Primitieven en de onbepaalde integraal◐
    • 02De bepaalde integraal en de hoofdstelling●
    • 03Oppervlakte tussen grafieken●
    • 04Inhoud van omwentelingslichamen●
§ 01

Primitieven en de onbepaalde integraal#

●●○StandaardLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

Kernpunten

Een primitieve functie FFF van fff is een functie waarvan de afgeleide fff is: F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x). Integreren is dus differentiëren „achterstevoren”: je zoekt de functie die, gedifferentieerd, fff oplevert. Voor f(x)=2xf(x)=2xf(x)=2x is F(x)=x2F(x)=x^{2}F(x)=x2 een primitieve, want ddxx2=2x\dfrac{d}{dx}x^{2}=2xdxd​x2=2x. Maar x2+1x^{2}+1x2+1 en x2−2x^{2}-2x2−2 zijn óók primitieven, want een constante verdwijnt bij differentiëren. In Afb. 1 zie je deze familie x2x^{2}x2, x2+1x^{2}+1x2+1, x2−2x^{2}-2x2−2 als evenwijdige parabolen: ze verschillen alleen in verticale ligging, want hun helling is overal gelijk.

De familie primitieven van f(x) = 2x

Primitieven van 2x: x² + CSchaubild von x², Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2 bis 2, Schaubild von x²+1, Tiefpunkt bei (0, 1), y-Achsenabschnitt bei y = 1, im Bereich x von -2 bis 2, Schaubild von x²−2, Nullstellen bei x = -1.414, 1.414, Tiefpunkt bei (0, -2), y-Achsenabschnitt bei y = -2, im Bereich x von -2 bis 2−2−1.5−1−0.50.511.52−2246x²x²+1x²−2yx
Afb. 1Afb. 1 — De primitieven van f(x) = 2x zijn x² + C: evenwijdige parabolen die alleen verticaal verschoven zijn (hier C = 0, 1, −2).
Omdat elke constante bij differentiëren wegvalt, hebben alle primitieven van fff dezelfde vorm op een constante na. Dat noteer je met de onbepaalde integraal ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C, waarin CCC de integratieconstante is: een willekeurig getal dat de verticale ligging bepaalt. Vergeet die +C+C+C nooit bij een onbepaalde integraal — het is geen formaliteit maar de erkenning dat er oneindig veel primitieven zijn. Pas als je een extra voorwaarde krijgt (bijvoorbeeld dat de grafiek door een gegeven punt gaat), bepaal je de specifieke waarde van CCC.
De standaardprimitieven volgen uit de standaardafgeleiden, achterstevoren gelezen. De belangrijkste is de omgekeerde machtsregel: ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C∫xndx=n+1xn+1​+C (voor n≠−1n\neq -1n=−1) — „verhoog de exponent met 111 en deel erdoor”. Verder: ∫ex dx=ex+C\int e^{x}\,dx=e^{x}+C∫exdx=ex+C, ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C∫x1​dx=ln∣x∣+C (het uitzonderingsgeval n=−1n=-1n=−1 van de machtsregel), ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\cos x\,dx=\sin x+C∫cosxdx=sinx+C en ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C∫sinxdx=−cosx+C. Net als bij differentiëren mag je een constante factor voor de integraal halen en een som term voor term integreren.
Je controleert een primitieve altijd door hem te differentiëren: krijg je fff terug, dan klopt hij. Deze controle is snel en betrouwbaar en vangt de meest gemaakte fouten — een vergeten factor, een fout in de exponent, of een verkeerd teken (denk aan het minteken bij ∫sin⁡x dx=−cos⁡x\int\sin x\,dx=-\cos x∫sinxdx=−cosx). Voor ∫(3x2−4x) dx=x3−2x2+C\int(3x^{2}-4x)\,dx=x^{3}-2x^{2}+C∫(3x2−4x)dx=x3−2x2+C controleer je: ddx(x3−2x2)=3x2−4x\dfrac{d}{dx}(x^{3}-2x^{2})=3x^{2}-4xdxd​(x3−2x2)=3x2−4x. Klopt. Maak deze terugcontrole een gewoonte; ze kost weinig tijd en voorkomt puntenverlies.
De omgekeerde machtsregel werkt niet voor n=−1n=-1n=−1, want dan zou je door n+1=0n+1=0n+1=0 delen. Juist dáár springt de logaritme in: ∫x−1 dx=∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\,dx=\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C∫x−1dx=∫x1​dx=ln∣x∣+C. Dit uitzonderingsgeval is belangrijk en wordt vaak vergeten: de primitieve van 1x\dfrac{1}{x}x1​ is niet een macht maar de natuurlijke logaritme (met absolute-waardestrepen, omdat 1x\dfrac{1}{x}x1​ ook voor negatieve xxx bestaat). Voor samengestelde integranden zoals 1x+2\dfrac{1}{x+2}x+21​ gebruik je dat de primitieve ln⁡∣x+2∣+C\ln|x+2|+Cln∣x+2∣+C is — een toepassing van de „kettingregel achterstevoren” die in het examenprogramma bij de standaardprimitieven hoort.
∫f(x) dx=F(x)+CmetF′(x)=f(x)\int f(x)\,dx=F(x)+C \quad\text{met}\quad F'(x)=f(x)∫f(x)dx=F(x)+CmetF′(x)=f(x)

Onbepaalde integraal

Alle primitieven van fff verschillen een constante; +C+C+C is de integratieconstante.

∫xn dx=xn+1n+1+C (n≠−1)∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1)\qquad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C∫xndx=n+1xn+1​+C (n=−1)∫x1​dx=ln∣x∣+C

Omgekeerde machtsregel

Verhoog de exponent met 111 en deel erdoor; het geval n=−1n=-1n=−1 geeft de logaritme.

∫ex dx=ex+C,∫cos⁡x dx=sin⁡x+C,∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int e^{x}\,dx=e^{x}+C,\quad \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C∫exdx=ex+C,∫cosxdx=sinx+C,∫sinxdx=−cosx+C

Standaardprimitieven

De standaardafgeleiden achterstevoren gelezen; let op het minteken bij de primitieve van de sinus.

Uitgewerkt voorbeeld

Primitieve met een voorwaarde voor C

Bepaal de primitieve FFF van f(x)=3x2−4x+1f(x)=3x^{2}-4x+1f(x)=3x2−4x+1 waarvoor de grafiek door het punt (1, 2)(1,\,2)(1,2) gaat.

  1. 01Algemene primitieve

    Integreer term voor term met de omgekeerde machtsregel.

    F(x)=x3−2x2+x+CF(x)=x^{3}-2x^{2}+x+CF(x)=x3−2x2+x+C
  2. 02Voorwaarde invullen

    Gebruik F(1)=2F(1)=2F(1)=2 om CCC te bepalen.

    F(1)=1−2+1+C=C=2  ⇒  C=2F(1)=1-2+1+C=C=2\;\Rightarrow\; C=2F(1)=1−2+1+C=C=2⇒C=2
  3. 03Controle

    Differentieer FFF om terug te komen bij fff.

    F′(x)=3x2−4x+1=f(x)F'(x)=3x^{2}-4x+1=f(x)F′(x)=3x2−4x+1=f(x)

Resultaat: F(x)=x3−2x2+x+2F(x)=x^{3}-2x^{2}+x+2F(x)=x3−2x2+x+2.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: primitieven bepalen met de omgekeerde machtsregel en de standaardprimitieven, inclusief het geval ∫1x dx=ln⁡∣x∣\int\tfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|∫x1​dx=ln∣x∣.
  • Examendoel: de integratieconstante CCC meenemen en met een gegeven voorwaarde bepalen.
  • Examendoel: een primitieve controleren door hem te differentiëren.

Veelgemaakte fouten

  • De integratieconstante +C+C+C vergeten bij een onbepaalde integraal.
  • De omgekeerde machtsregel toepassen op 1x\tfrac{1}{x}x1​ (dat geeft de logaritme, geen macht).
  • Het minteken bij ∫sin⁡x dx=−cos⁡x\int\sin x\,dx=-\cos x∫sinxdx=−cosx vergeten, of de sinus en cosinus verwisselen.
  • Bij het integreren de exponent verlagen (differentieerreflex) in plaats van te verhogen.

Actieve herhaling

Bepaal de primitieve van f(x)=4x3−2x2+exf(x)=4x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}+e^{x}f(x)=4x3−x22​+ex. Bepaal daarna de primitieve GGG van g(x)=6x−2g(x)=6x-2g(x)=6x−2 waarvoor G(2)=5G(2)=5G(2)=5.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

§ 02

De bepaalde integraal en de hoofdstelling#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

De bepaalde integraal als oppervlakte onder f(x) = 4 − x²

Bepaalde integraal als oppervlakteSchaubild von y = 4 − x², Nullstellen bei x = -2, 2, Hochpunkt bei (0, 4), y-Achsenabschnitt bei y = 4, im Bereich x von -3 bis 3−3−2−1123−112345a = −2b = 2y = 4 − x²yx
Afb. 2Afb. 1 — Het gearceerde gebied onder f(x) = 4 − x² tussen de nulpunten x = ±2 heeft oppervlakte ∫₋₂² (4 − x²) dx = 32/3.

Kernpunten

De bepaalde integraal ∫abf(x) dx\int_{a}^{b}f(x)\,dx∫ab​f(x)dx meet de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek van fff en de xxx-as, van x=ax=ax=a tot x=bx=bx=b. „Georiënteerd” betekent dat oppervlakte boven de xxx-as positief telt en oppervlakte eronder negatief. In Afb. 1 is het gebied onder de parabool f(x)=4−x2f(x)=4-x^{2}f(x)=4−x2 tussen de nulpunten x=−2x=-2x=−2 en x=2x=2x=2 gearceerd; die oppervlakte is de waarde van ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx∫−22​(4−x2)dx. Het idee erachter is een limiet: verdeel het interval in heel veel smalle rechthoekjes, tel hun oppervlakten op, en laat de breedte naar nul gaan — de som nadert dan de oppervlakte onder de kromme.
De hoofdstelling van de integraalrekening verbindt deze oppervlakte met de primitieve: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a), waarin FFF een primitieve van fff is. Dit is een van de mooiste resultaten van de wiskunde: het meten van een oppervlakte (een meetkundig, „optellend” proces) blijkt te kunnen via primitiveren (het omgekeerde van differentiëren). Je berekent de integraal dus door een primitieve te zoeken en de bovengrens minus de ondergrens in te vullen. De notatie [F(x)]ab=F(b)−F(a)\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)[F(x)]ab​=F(b)−F(a) maakt die laatste stap netjes zichtbaar.
Voor ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx∫−22​(4−x2)dx neem je de primitieve F(x)=4x−x33F(x)=4x-\dfrac{x^{3}}{3}F(x)=4x−3x3​ en reken je F(2)−F(−2)F(2)-F(-2)F(2)−F(−2): F(2)=8−83=163F(2)=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}F(2)=8−38​=316​ en F(−2)=−8+83=−163F(-2)=-8+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{16}{3}F(−2)=−8+38​=−316​, dus de integraal is 163−(−163)=323\dfrac{16}{3}-\bigl(-\dfrac{16}{3}\bigr)=\dfrac{32}{3}316​−(−316​)=332​. Bij een bepaalde integraal laat je de integratieconstante CCC weg, want die valt bij F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a) toch weg. De uitkomst 323\dfrac{32}{3}332​ is de exacte oppervlakte onder de parabool tussen de nulpunten.
Let op het onderscheid tussen de integraal en de werkelijke oppervlakte. Als de grafiek deels onder de xxx-as loopt, telt dat deel negatief in de integraal, terwijl de oppervlakte altijd positief is. Voor de werkelijke oppervlakte moet je dan het interval opsplitsen bij de nulpunten en de absolute waarden van de deelintegralen optellen. Vraagt een opgave naar „de oppervlakte”, dan bereken je die opgesplitste, positieve som; vraagt ze naar „de integraal”, dan de georiënteerde waarde. Dit onderscheid goed lezen voorkomt een klassieke fout waarbij positieve en negatieve delen elkaar ten onrechte opheffen.
De bepaalde integraal heeft, naast oppervlakte, ook de betekenis van „totale verandering”. Is fff een veranderingssnelheid (bijvoorbeeld f(t)=v(t)f(t)=v(t)f(t)=v(t), de snelheid), dan is ∫abv(t) dt\int_{a}^{b}v(t)\,dt∫ab​v(t)dt de totale afgelegde verplaatsing tussen t=at=at=a en t=bt=bt=b. Dit sluit de cirkel met de differentiaalrekening: differentiëren gaat van totaal naar snelheid, integreren van snelheid terug naar totaal. Deze dubbele betekenis — georiënteerde oppervlakte én opgetelde verandering — maakt de bepaalde integraal tot een veelzijdig gereedschap dat in wiskunde B zowel meetkundig (oppervlakte, inhoud) als toegepast (totale verandering) wordt ingezet.
∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=[F(x)]ab​=F(b)−F(a)

Hoofdstelling van de integraalrekening

De georiënteerde oppervlakte onder fff is de primitieve in de bovengrens min die in de ondergrens.

∫−22(4−x2) dx=[4x−x33]−22=163−(−163)=323\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\Bigl[4x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{2}=\tfrac{16}{3}-\bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr)=\tfrac{32}{3}∫−22​(4−x2)dx=[4x−3x3​]−22​=316​−(−316​)=332​

Voorbeeld

De oppervlakte onder de parabool tussen de nulpunten is exact 323\tfrac{32}{3}332​.

Uitgewerkt voorbeeld

Een bepaalde integraal berekenen

Bereken ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx∫−22​(4−x2)dx met de hoofdstelling.

  1. 01Primitieve bepalen

    Integreer term voor term (constante CCC mag weg bij een bepaalde integraal).

    F(x)=4x−x33F(x)=4x-\frac{x^{3}}{3}F(x)=4x−3x3​
  2. 02Grenzen invullen

    Bereken F(2)F(2)F(2) en F(−2)F(-2)F(−2).

    F(2)=8−83=163,F(−2)=−8+83=−163F(2)=8-\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3},\qquad F(-2)=-8+\tfrac{8}{3}=-\tfrac{16}{3}F(2)=8−38​=316​,F(−2)=−8+38​=−316​
  3. 03Verschil nemen

    Trek F(−2)F(-2)F(−2) van F(2)F(2)F(2) af.

    ∫−22(4−x2) dx=163−(−163)=323\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\tfrac{16}{3}-\bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr)=\tfrac{32}{3}∫−22​(4−x2)dx=316​−(−316​)=332​

Resultaat: ∫−22(4−x2) dx=323\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\dfrac{32}{3}∫−22​(4−x2)dx=332​.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: een bepaalde integraal berekenen met de hoofdstelling ∫abf=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)∫ab​f=F(b)−F(a).
  • Examendoel: het onderscheid maken tussen de (georiënteerde) integraal en de werkelijke oppervlakte, en bij tekenwissel opsplitsen.
  • Examendoel: de integraal interpreteren als totale verandering (bijvoorbeeld verplaatsing uit snelheid).

Veelgemaakte fouten

  • De grenzen in de verkeerde volgorde invullen (F(a)−F(b)F(a)-F(b)F(a)−F(b) in plaats van F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)).
  • Bij een oppervlakte die deels onder de xxx-as ligt de integraal gelijkstellen aan de oppervlakte (splits op bij de nulpunten).
  • De integratieconstante meenemen bij een bepaalde integraal (die valt weg).
  • Een tekenfout bij het invullen van een negatieve grens, zoals (−2)3=−8(-2)^{3}=-8(−2)3=−8.

Actieve herhaling

Bereken ∫13(2x+1) dx\int_{1}^{3}(2x+1)\,dx∫13​(2x+1)dx en ∫0πsin⁡x dx\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx∫0π​sinxdx. Bepaal daarna de werkelijke oppervlakte tussen de grafiek van g(x)=x2−1g(x)=x^{2}-1g(x)=x2−1 en de xxx-as op [0,2][0,2][0,2] (let op de tekenwissel bij x=1x=1x=1).

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

§ 03

Oppervlakte tussen grafieken#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

Oppervlakte tussen y = x + 2 en y = x²

Oppervlakte tussen lijn en paraboolSchaubild von y = x + 2, Nullstellen bei x = -2, y-Achsenabschnitt bei y = 2, steigend, im Bereich x von -2 bis 3, Schaubild von y = x², Nullstellen bei x = 0, Tiefpunkt bei (0, 0), y-Achsenabschnitt bei y = 0, im Bereich x von -2 bis 3−2−1123−1123456(−1; 1)(2; 4)y = x + 2y = x²yx
Afb. 3Afb. 1 — Het gearceerde gebied tussen de lijn y = x + 2 (boven) en de parabool y = x² (onder), van x = −1 tot x = 2; oppervlakte 9/2.

Kernpunten

De oppervlakte van het gebied dat door twee grafieken wordt ingesloten, bereken je met de integraal van het verschil „bovenste functie min onderste functie”. Als f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x)f(x)≥g(x) op [a,b][a,b][a,b], dan is de ingesloten oppervlakte ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx∫ab​(f(x)−g(x))dx. In Afb. 1 is het gebied tussen de lijn y=x+2y=x+2y=x+2 en de parabool y=x2y=x^{2}y=x2 gearceerd; op dit gebied ligt de lijn boven de parabool, dus integreer je ((x+2)−x2)\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)((x+2)−x2) over het interval tussen de snijpunten.
De grenzen aaa en bbb zijn de xxx-coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken; die vind je door f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) op te lossen. Voor de lijn en de parabool geeft x+2=x2x+2=x^{2}x+2=x2, dus x2−x−2=(x−2)(x+1)=0x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0x2−x−2=(x−2)(x+1)=0, de snijpunten x=−1x=-1x=−1 en x=2x=2x=2. Het bepalen van deze grenzen is een onmisbare eerste stap: zonder de juiste snijpunten integreer je over het verkeerde interval. Teken zo nodig een schets om te zien welke functie boven ligt en waar de grafieken elkaar snijden.
Met de grenzen en het verschil bereken je de oppervlakte: ∫−12((x+2)−x2) dx=∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})\,dx∫−12​((x+2)−x2)dx=∫−12​(x+2−x2)dx. De primitieve is x22+2x−x33\dfrac{x^{2}}{2}+2x-\dfrac{x^{3}}{3}2x2​+2x−3x3​; invullen van de grenzen geeft (2+4−83)−(12−2+13)=103−(−76)=92\Bigl(2+4-\dfrac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}\Bigr)=\dfrac{10}{3}-\bigl(-\dfrac{7}{6}\bigr)=\dfrac{9}{2}(2+4−38​)−(21​−2+31​)=310​−(−67​)=29​. De ingesloten oppervlakte is dus exact 92\dfrac{9}{2}29​. Het integreren van het verschil zorgt er automatisch voor dat je de „hoogte” van het gebied op elke xxx meet, ongeacht of de grafieken boven of onder de xxx-as liggen.
Cruciaal is te bepalen welke functie boven ligt, want het verschil moet „boven min onder” zijn om een positieve oppervlakte te geven. Als je niet zeker weet welke boven ligt, vul dan een tussenliggende xxx-waarde in beide functies in en vergelijk. Wisselen de grafieken van positie binnen het interval (ze snijden elkaar meer dan twee keer), dan splits je het interval bij elk snijpunt en tel je de oppervlakten van de deelgebieden op, telkens met „boven min onder” voor dat stuk. Zo blijft elke deeloppervlakte positief.
Deze methode is een van de kerntoepassingen van de integraalrekening en komt op het examen vaak voor. De aanpak is telkens dezelfde: (1) bepaal de snijpunten f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x); (2) stel vast welke functie boven ligt; (3) integreer het verschil over het interval; (4) splits op bij extra snijpunten. Het verschil met een gewone oppervlakte onder één grafiek is dat je nu twee functies hebt en dus hun verschil integreert. Een nette uitwerking toont de snijpunten, de keuze van boven- en onderfunctie, de opgestelde integraal en de exacte uitkomst.
oppervlakte=∫ab(f(x)−g(x)) dx(f≥g op [a,b])\text{oppervlakte}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx \quad (f\ge g \text{ op } [a,b])oppervlakte=∫ab​(f(x)−g(x))dx(f≥g op [a,b])

Oppervlakte tussen grafieken

Integreer bovenste min onderste functie; de grenzen zijn de snijpunten.

∫−12((x+2)−x2) dx=92\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx=\frac{9}{2}∫−12​((x+2)−x2)dx=29​

Voorbeeld

De oppervlakte tussen y=x+2y=x+2y=x+2 en y=x2y=x^{2}y=x2 tussen hun snijpunten x=−1x=-1x=−1 en x=2x=2x=2 is exact 92\tfrac{9}{2}29​.

Uitgewerkt voorbeeld

Oppervlakte tussen twee grafieken

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door y=x+2y=x+2y=x+2 en y=x2y=x^{2}y=x2.

  1. 01Snijpunten bepalen

    Stel de functies gelijk en los op.

    x+2=x2  ⇒  x2−x−2=(x−2)(x+1)=0  ⇒  x=−1, 2x+2=x^{2}\;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0\;\Rightarrow\; x=-1,\,2x+2=x2⇒x2−x−2=(x−2)(x+1)=0⇒x=−1,2
  2. 02Boven en onder vaststellen

    Op (−1,2)(-1,2)(−1,2) ligt de lijn boven de parabool (test x=0x=0x=0: 2>02>02>0), dus integreer lijn−parabool\text{lijn}-\text{parabool}lijn−parabool.

  3. 03Integraal opstellen en primitiveren

    Integreer het verschil.

    ∫−12(x+2−x2) dx=[x22+2x−x33]−12\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})\,dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+2x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2}∫−12​(x+2−x2)dx=[2x2​+2x−3x3​]−12​
  4. 04Grenzen invullen

    Bereken bovengrens min ondergrens.

    (2+4−83)−(12−2+13)=103+76=92\Bigl(2+4-\tfrac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3}\Bigr)=\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{9}{2}(2+4−38​)−(21​−2+31​)=310​+67​=29​

Resultaat: De ingesloten oppervlakte is 92\dfrac{9}{2}29​.

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de oppervlakte tussen twee grafieken berekenen door het verschil (boven min onder) te integreren tussen de snijpunten.
  • Examendoel: de snijpunten als integratiegrenzen bepalen via f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x).
  • Examendoel: het interval opsplitsen wanneer de grafieken meer dan twee keer snijden of van positie wisselen.

Veelgemaakte fouten

  • Onder min boven integreren, waardoor de oppervlakte negatief uitkomt.
  • De snijpunten (grenzen) niet eerst bepalen of ze verkeerd oplossen.
  • Bij grafieken die van positie wisselen niet opsplitsen, waardoor delen elkaar opheffen.
  • De losse integralen van fff en ggg aftrekken zonder eerst het verschil te nemen (kan bij verschillende grenzen fout gaan).

Actieve herhaling

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door y=6−x2y=6-x^{2}y=6−x2 en y=xy=xy=x. Bepaal eerst de snijpunten en stel vast welke grafiek boven ligt.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

§ 04

Inhoud van omwentelingslichamen#

●●●VerdiepingLPexamenblad-wiskunde-b-subdomein-C3

Doorsnede van het omwentelingslichaam van y = √x

Omwentelingslichaam van y = √xSchaubild von y = √x, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, steigend, im Bereich x von 0 bis 4.5, Schaubild von y = −√x, Nullstellen bei x = 0, y-Achsenabschnitt bei y = 0, fallend, im Bereich x von 0 bis 4.51234−2−112wentelingsasy = √xy = −√xyx
Afb. 4Afb. 1 — Wentel y = √x (op [0; 4]) om de x-as: het gearceerde gebied tussen y = √x en y = −√x is de doorsnede. Inhoud V = π∫₀⁴ x dx = 8π.

Kernpunten

Draai je het gebied onder de grafiek van fff (tussen x=ax=ax=a en x=bx=bx=b) rond de xxx-as, dan ontstaat een omwentelingslichaam: een driedimensionaal lichaam met ronde dwarsdoorsneden. In Afb. 1 is de kromme y=xy=\sqrt{x}y=x​ getekend samen met haar spiegelbeeld y=−xy=-\sqrt{x}y=−x​; het gearceerde gebied tussen beide is de doorsnede van het lichaam dat ontstaat als je y=xy=\sqrt{x}y=x​ (op [0,4][0,4][0,4]) om de xxx-as wentelt. Elke dwarsdoorsnede loodrecht op de xxx-as is een cirkel met straal f(x)f(x)f(x).
De inhoud bereken je door deze cirkelvormige „plakjes” op te tellen. Een plakje op positie xxx met dikte dxdxdx is een dun schijfje met straal f(x)f(x)f(x), dus met oppervlakte π(f(x))2\pi\bigl(f(x)\bigr)^{2}π(f(x))2 en inhoud π(f(x))2 dx\pi\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dxπ(f(x))2dx. De totale inhoud is de integraal van deze schijfjes: V=π∫ab(f(x))2 dxV=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dxV=π∫ab​(f(x))2dx. Merk op dat je de functie moet kwadrateren vóór je integreert, want de oppervlakte van een cirkel gaat met het kwadraat van de straal. Deze schijvenmethode is de standaardaanpak voor de inhoud van een omwentelingslichaam om de xxx-as.
Voor de kromme y=xy=\sqrt{x}y=x​ op [0,4][0,4][0,4] wordt dat V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dxV=\pi\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dxV=π∫04​(x​)2dx=π∫04​xdx. Het kwadraat maakt de integrand hier bijzonder eenvoudig: (x)2=x\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=x(x​)2=x. De primitieve is x22\dfrac{x^{2}}{2}2x2​, dus V=π[x22]04=π⋅162=8πV=\pi\Bigl[\dfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4}=\pi\cdot\dfrac{16}{2}=8\piV=π[2x2​]04​=π⋅216​=8π. De inhoud van dit paraboloïde-vormige lichaam is dus exact 8π8\pi8π. Het kwadrateren van x\sqrt{x}x​ tot xxx laat mooi zien waarom je eerst kwadrateert en dan pas primitiveert.
De formule V=π∫aby2 dxV=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dxV=π∫ab​y2dx geldt voor wenteling om de xxx-as. Wentel je om de yyy-as, dan wissel je de rollen van xxx en yyy: je drukt xxx uit in yyy en integreert V=π∫cdx2 dyV=\pi\int_{c}^{d}x^{2}\,dyV=π∫cd​x2dy over het bijbehorende yyy-interval. En wentel je het gebied tussen twee grafieken fff (buiten) en ggg (binnen), dan trek je de „binnenste” inhoud van de „buitenste” af: V=π∫ab(f(x)2−g(x)2) dxV=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)^{2}-g(x)^{2}\bigr)\,dxV=π∫ab​(f(x)2−g(x)2)dx (de ringmethode). Het herkennen van de wentelingsas en van „vol” versus „hol” bepaalt welke van deze varianten je gebruikt.
Omwentelingslichamen verbinden de integraalrekening met de ruimtemeetkunde en met vertrouwde formules. De inhoud van een cilinder (V=πr2hV=\pi r^{2}hV=πr2h) en een kegel (V=13πr2hV=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}hV=31​πr2h) volgen als bijzondere gevallen: een cilinder ontstaat door een horizontale lijn te wentelen, een kegel door een schuine lijn door de oorsprong. Het uitrekenen van zulke inhouden met een integraal — in plaats van een kant-en-klare formule — laat zien hoe de analyse meetkundige grootheden bereikt die anders lastig te berekenen zijn. Op het examen wordt gevraagd de integraal correct op te stellen (juiste functie, juiste grenzen, kwadrateren) en exact uit te rekenen, met π\piπ in het antwoord.
V=π∫ab(f(x))2 dxV=\pi\int_{a}^{b}\bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dxV=π∫ab​(f(x))2dx

Inhoud bij wenteling om de x-as

Elke dwarsdoorsnede is een cirkel met straal f(x)f(x)f(x) en oppervlakte πf(x)2\pi f(x)^{2}πf(x)2; integreren telt de schijfjes op.

V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dx=8πV=\pi\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=8\piV=π∫04​(x​)2dx=π∫04​xdx=8π

Voorbeeld

Kwadrateer eerst (x\sqrt{x}x​ wordt xxx), integreer dan; de inhoud is exact 8π8\pi8π.

Uitgewerkt voorbeeld

Inhoud van een omwentelingslichaam

Het gebied onder y=xy=\sqrt{x}y=x​ tussen x=0x=0x=0 en x=4x=4x=4 wordt om de xxx-as gewenteld. Bereken de inhoud van het ontstane lichaam.

  1. 01Formule opstellen

    Gebruik V=π∫aby2 dxV=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dxV=π∫ab​y2dx met y=xy=\sqrt{x}y=x​.

    V=π∫04(x)2 dxV=\pi\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\,dxV=π∫04​(x​)2dx
  2. 02Kwadrateren en primitiveren

    Kwadrateer x\sqrt{x}x​ tot xxx en bepaal de primitieve.

    V=π∫04x dx=π[x22]04V=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4}V=π∫04​xdx=π[2x2​]04​
  3. 03Grenzen invullen

    Vul de grenzen in.

    V=π⋅162=8πV=\pi\cdot\tfrac{16}{2}=8\piV=π⋅216​=8π

Resultaat: De inhoud is V=8πV=8\piV=8π (kubieke eenheden).

Eindexamen-focus

  • Examendoel: de inhoud van een omwentelingslichaam om de xxx-as berekenen met V=π∫y2 dxV=\pi\int y^{2}\,dxV=π∫y2dx, met correct kwadrateren.
  • Examendoel: de juiste wentelingsas, functie en grenzen kiezen (om de yyy-as: xxx in yyy uitdrukken).
  • Examendoel: bij een hol lichaam de ringmethode V=π∫(f2−g2) dxV=\pi\int(f^{2}-g^{2})\,dxV=π∫(f2−g2)dx toepassen.

Veelgemaakte fouten

  • Vergeten de functie te kwadrateren (de straal gaat kwadratisch in de cirkeloppervlakte).
  • π\piπ vergeten of het als π2\pi^{2}π2 noteren.
  • Bij wenteling om de yyy-as toch y2y^{2}y2 integreren in plaats van x2 dyx^{2}\,dyx2dy.
  • Bij een hol lichaam de stralen aftrekken vóór het kwadrateren in plaats van de kwadraten f2−g2f^{2}-g^{2}f2−g2.

Actieve herhaling

Het gebied onder y=x2y=x^{2}y=x2 tussen x=0x=0x=0 en x=2x=2x=2 wordt om de xxx-as gewenteld. Bereken de inhoud. Bepaal daarna de inhoud van het lichaam dat ontstaat door y=xy=\sqrt{x}y=x​ tussen x=0x=0x=0 en x=1x=1x=1 om de xxx-as te wentelen.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenblad.nl — wiskunde B (VWO) (CvTE / DUO)

Inhoud

Sectie -- / 04

    • 01Primitieven en de onbepaalde integraal◐
    • 02De bepaalde integraal en de hoofdstelling●
    • 03Oppervlakte tussen grafieken●
    • 04Inhoud van omwentelingslichamen●

0/4 Gelezen

Van samenvatting naar oefening

Integraalrekening en primitieven

Verstevig dit onderwerp met vragen uit de vragenbank.

~15
min
4
Vaardigheden
Oefenen

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / DUO

  • Examenblad.nl — wiskunde B (VWO)

Vorig onderwerp

Technieken voor differentiëren

Volgend onderwerp

Goniometrische functies en radialen

EuraStudy·Samenvattingen T·10·MMXXVI

Ga verder met het volgende onderwerp — je leerpad blijft bewaard.