Samenvattingen · Wiskunde ANL · HAVO

Telproblemen en combinatoriek (schoolexamen)

Telproblemen draaien om één vraag: op hoeveel verschillende manieren kan iets? Je leert ze systematisch aanpakken met een boomdiagram en de vermenigvuldigingsregel, en daarna rekenen met faculteit, permutaties en combinaties (de binomiaalcoëfficiënt). Combinatoriek hoort bij domein B, maar is op de HAVO wiskunde A met name schoolexamenstof: de nadruk ligt op het herkennen van de juiste telwijze en het netjes uitrekenen ervan.

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 2 · Standaard 2

T·0999 / 14

Examenprofiel

Een telprobleem systematisch aanpakken met een boomdiagram en het aantal mogelijkheden (eindwegen) tellen.De vermenigvuldigingsregel toepassen, met en zonder herhaling, om codes, routes en samenstellingen te tellen.Rekenen met faculteit, permutaties en combinaties (binomiaalcoëfficiënt) — op de HAVO met name schoolexamenstof.Beredeneren of in een telprobleem de volgorde wél of niet meetelt, en zo bewust de juiste telwijze kiezen.

Operatoren:berekentelbepaalleg uitberedeneer

basisniveau

Beheers het systematisch tellen met een boomdiagram en de vermenigvuldigingsregel — de basisgereedschappen waarmee je elk telprobleem aanpakt.

verhoogd niveau

Met name schoolexamenstof: reken met faculteit, permutaties en combinaties (binomiaalcoëfficiënt) en kies bewust tussen „volgorde telt wél" en „volgorde telt niet".

Diepte

Tekst

Inhoud · 4 onderdelen

Telproblemen en combinatoriek (schoolexamen)

Systematisch tellen met een boomdiagram#

Basisexamenblad-nl

Boomdiagram van de menukeuzes

Afb. 1Elke eindweg van links naar rechts is één menu; er zijn 2 × 3 = 6 eindwegen.

Bij een telprobleem wil je weten op hoeveel verschillende manieren iets kan gebeuren: hoeveel menu's je kunt samenstellen, hoeveel routes er van A naar B lopen, hoeveel codes een slot heeft. Het vakgebied dat zich met zulke vragen bezighoudt heet combinatoriek. De grote valkuil is om de mogelijkheden lukraak op te schrijven; dan vergeet je er bijna zeker een paar of tel je dezelfde dubbel. De oplossing is systematisch tellen: je legt een vaste volgorde op waarin je de mogelijkheden langsloopt, zodat je zeker weet dat je er geen overslaat én niets dubbel telt. In dit eerste onderwerp leer je het belangrijkste hulpmiddel daarvoor — het boomdiagram — en daarmee leg je de basis voor alle telregels die hierna komen.

Een boomdiagram brengt een keuze die uit meerdere stappen bestaat overzichtelijk in beeld. Je begint links bij één startpunt en tekent voor elke mogelijkheid van de eerste stap een tak. Aan het eind van elke tak maak je opnieuw een vertakking voor de tweede stap, en zo verder. Elk niveau van de boom hoort bij één stap (één keuze), en het aantal takken op dat niveau is het aantal mogelijkheden voor die stap. Een compleet pad van de start helemaal naar rechts heet een eindweg, en zo'n eindweg stelt precies één volledige mogelijkheid voor. Bekijk het schema hieronder: vanuit de start splitst de keuze van het voorgerecht zich, en bij elk voorgerecht splitst daarna de keuze van het hoofdgerecht — elke route door de boom is één compleet menu.

Het aantal mogelijkheden tel je af door de eindwegen te tellen: dat zijn de uiteinden (bladeren) van de boom, helemaal rechts. In het menuvoorbeeld kies je uit twee voorgerechten — soep of salade — en bij elk daarvan uit drie hoofdgerechten — vis, vlees of pasta. De boom heeft dan onder „soep" drie eindpunten en onder „salade" nog eens drie, samen zes eindwegen: soep met vis, soep met vlees, soep met pasta, salade met vis, salade met vlees en salade met pasta. Door de boom van boven naar beneden af te lopen lees je deze zes menu's stuk voor stuk af, en je weet zeker dat het er precies zes zijn — geen vergeten, geen dubbele.

Een boomdiagram is ideaal wanneer het aantal stappen klein is en je de mogelijkheden ook echt wilt zien: het maakt zichtbaar wélke mogelijkheden er zijn, niet alleen hoeveel. Maar je voelt meteen de grens. Bij drie voorgerechten, vier hoofdgerechten en drie nagerechten zou de boom al zesendertig eindwegen krijgen, en bij een pincode van vier cijfers tienduizend; zo'n boom is niet meer te tekenen. Tegelijk valt in de boom een patroon op dat de uitweg biedt: elk van de twee voorgerechten kreeg evenveel — drie — vervolgtakken, dus het totaal is simpelweg twee keer drie. Dat patroon is precies de vermenigvuldigingsregel uit de volgende paragraaf, waarmee je het aantal eindwegen berekent zónder de hele boom te tekenen.

Hetzelfde idee werkt voor elk telprobleem in stappen, niet alleen voor menu's. Tel je het aantal routes op een wegenkaart van knooppunt naar knooppunt, dan is elke aftakking onderweg een nieuw niveau in de boom; tel je hoeveel kledingcombinaties je kunt maken uit drie truien en twee broeken, dan is de eerste stap de trui en de tweede de broek. Wat je telt zit altijd in de eindwegen. Houd bij het tekenen twee dingen vast: zet de stappen in een vaste volgorde (eerst altijd het voorgerecht, dan het hoofdgerecht) en geef elke tak een duidelijk label, zodat je elke eindweg eenduidig kunt benoemen. Wie zo te werk gaat, maakt van een verwarrend telprobleem een nette, controleerbare opsomming.

2 \cdot 3 = 6

aantal eindwegen

Twee voorgerechten, elk met drie hoofdgerechten: samen zes menu's — precies het aantal eindwegen van het boomdiagram.

Uitgewerkt voorbeeld

Menu's tellen met een boomdiagram

Een restaurant biedt een keuzemenu aan: als voorgerecht soep of salade, en als hoofdgerecht vis, vlees of pasta. Teken het boomdiagram en tel hoeveel verschillende menu's (voorgerecht met hoofdgerecht) je kunt samenstellen.

Stap 1 — Zet de stappen op volgorde
Een menu kies je in twee stappen: eerst het voorgerecht (2 mogelijkheden: soep of salade), daarna het hoofdgerecht (3 mogelijkheden: vis, vlees of pasta). Die volgorde houd je in de hele boom aan.
Stap 2 — Teken de takken per stap
Vanuit de start teken je 2 takken voor de voorgerechten. Aan het eind van elke voorgerechttak teken je opnieuw 3 takken voor de hoofdgerechten. Onder „soep" komen zo 3 eindpunten en onder „salade" ook 3.
Stap 3 — Tel de eindwegen
Tel de bladeren helemaal rechts: 3 onder soep en 3 onder salade, samen 6. Elk blad is één compleet menu, bijvoorbeeld „soep, vis" of „salade, pasta".
$2 \cdot 3 = 6$

Resultaat: Er zijn 6 verschillende menu's. De boom laat ze ook allemaal zien: soep–vis, soep–vlees, soep–pasta, salade–vis, salade–vlees en salade–pasta.

Veelgemaakte fouten

De eindwegen verwarren met het aantal takken op één niveau; je telt de complete paden van start tot blad, niet de losse keuzemogelijkheden van één stap.
Mogelijkheden lukraak opschrijven in plaats van met een vaste volgorde; dan vergeet je er bijna altijd een of tel je dezelfde combinatie dubbel.

Actieve herhaling

In een lunchroom kies je een belegd broodje (wit, bruin of volkoren) en daarbij een drankje (thee, koffie of jus). Teken een boomdiagram van deze keuze en tel het aantal verschillende combinaties van broodje met drankje.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

De vermenigvuldigingsregel (productregel)#

Basisexamenblad-nl

Keuzes per stap

Afb. 2Per positie het aantal keuzes; het product van de kolom is het totaal.

De vermenigvuldigingsregel — ook wel de productregel genoemd — is de rekenkundige samenvatting van wat je in het boomdiagram zag. Bestaat een keuze uit twee stappen, en kun je de eerste stap op

a

manieren doen en de tweede stap op

b

manieren, dan is het totale aantal mogelijkheden

a \cdot b

. Je ziet meteen waaróm dat klopt: in het boomdiagram splitst elk van de

a

takken van de eerste stap zich in

b

vervolgtakken, dus krijg je

a

groepjes van elk

b

eindwegen, en dat zijn er samen

a \cdot b

. De regel telt dus precies de eindwegen, maar dan zonder dat je de boom hoeft te tekenen.

De regel stopt niet bij twee stappen. Bestaat een keuze uit meer stappen achter elkaar, dan vermenigvuldig je gewoon alle aantallen met elkaar:

n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

. Een pincode van vier cijfers maak je in vier stappen, elk met tien mogelijkheden (de cijfers 0 tot en met 9), dus zijn er

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000

pincodes. Het enige wat je hoeft te doen is het probleem in losse stappen ontleden en per stap tellen hoeveel mogelijkheden er zijn. Het product van die aantallen is het antwoord — vandaar de naam productregel.

Een cruciaal onderscheid is of bij elke stap dezelfde mogelijkheden beschikbaar blijven of niet. Mogen mogelijkheden zich herhalen (met herhaling), dan is het aantal per stap steeds gelijk: bij een pincode mag elk cijfer opnieuw gekozen worden, dus blijft het tien per positie. Mogen mogelijkheden zich níét herhalen (zonder herhaling), dan neemt het aantal per stap met één af, want wat je al gebruikt hebt valt af. Moet een code uit drie verschillende cijfers bestaan, dan heb je voor het eerste cijfer tien keuzes, voor het tweede nog negen en voor het derde acht:

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

. Lees een opgave dus altijd goed: „mag herhaald worden" en „moeten verschillend zijn" leiden tot heel verschillende berekeningen.

Wanneer je

r

stappen hebt die elk dezelfde

n

mogelijkheden hebben (met herhaling), wordt het product een macht:

n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^r

. Zo zijn er

26^3

mogelijke lettercombinaties van drie letters en

10^4

pincodes van vier cijfers — handig, want je hoeft niet alle factoren uit te schrijven. De vermenigvuldigingsregel is je standaardgereedschap zodra een keuze in losse stappen uiteenvalt en je alleen het áántal mogelijkheden wilt, niet de hele lijst. Pas wel op met situaties waarin de stappen elkaar beïnvloeden of waarin de volgorde juist niet meetelt — dan heb je de fijnere telregels van de volgende paragrafen nodig (permutaties en combinaties).

Het loont om bij een telprobleem altijd eerst hardop de stappen te benoemen voordat je gaat rekenen. Vraag je per stap af: hoeveel mogelijkheden zijn er hier, en hangt dat af van wat ik in een vorige stap koos? Bij een kenteken van twee letters gevolgd door drie cijfers zijn dat vijf stappen —

26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10

als alles herhaald mag worden — en het antwoord rolt er als één product uit. Zo verandert de vermenigvuldigingsregel een ogenschijnlijk groot telprobleem in een korte, controleerbare vermenigvuldiging, en bouwt ze rechtstreeks voort op het boomdiagram uit de vorige paragraaf.

N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

vermenigvuldigingsregel

Het totale aantal mogelijkheden van een keuze in k opeenvolgende stappen is het product van het aantal mogelijkheden per stap.

N = n^r

r gelijke stappen, met herhaling

Zijn er r stappen die elk dezelfde n mogelijkheden hebben, dan is het totaal n tot de macht r, bijvoorbeeld tien tot de macht vier oftewel 10000 pincodes.

Uitgewerkt voorbeeld

Een cijfercode tellen — met en zonder herhaling

Een kluisje heeft een code van drie cijfers, elk van 0 tot en met 9. Bereken het aantal mogelijke codes (a) als cijfers herhaald mogen worden en (b) als alle drie de cijfers verschillend moeten zijn.

Stap 1 — Ontleed in stappen
De code ontstaat in drie stappen: kies het 1e cijfer, dan het 2e, dan het 3e. Per stap tel je hoeveel cijfers je mag kiezen, en die aantallen vermenigvuldig je.
Stap 2 — (a) met herhaling
Mag elk cijfer herhaald worden, dan heb je bij elke stap alle 10 cijfers beschikbaar. Het aantal codes is dan het product van drie keer 10.
$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
Stap 3 — (b) zonder herhaling
Moeten de cijfers verschillen, dan valt na elke keuze één cijfer af: 10 keuzes voor het 1e cijfer, 9 voor het 2e en 8 voor het 3e.
$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Resultaat: Met herhaling zijn er 1000 codes, zonder herhaling 720. Het verschil ontstaat doordat de eis „verschillend" bij elke volgende stap één mogelijkheid wegneemt.

Veelgemaakte fouten

De aantallen optellen in plaats van vermenigvuldigen; bij opeenvolgende stappen (eerst dit, dan dat) hoort vermenigvuldigen, niet optellen.
„Met herhaling" en „zonder herhaling" door elkaar halen; mogen de tekens verschillen, dan neemt het aantal keuzes per stap met één af (10, 9, 8 …), anders blijft het gelijk (10, 10, 10 …).

Actieve herhaling

Een wachtwoord bestaat uit 2 verschillende letters (uit de 26 letters) gevolgd door 2 cijfers (uit 0 t/m 9) die wél gelijk mogen zijn. Bereken het aantal mogelijke wachtwoorden en geef per stap aan met hoeveel keuzes je rekent.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Permutaties en faculteit: rangschikken waarbij de volgorde telt#

Standaardexamenblad-nl

Faculteit n!

Afb. 3De faculteit groeit razendsnel: van 0! = 1 tot 7! = 5040.

Bij sommige telproblemen gaat het niet om losse keuzes, maar om het rángschikken van dingen in een bepaalde volgorde: op hoeveel manieren kun je vijf boeken op een plank zetten, of in welke volgorde kunnen acht hardlopers finishen? Zo'n geordende rangschikking heet een permutatie. Het kenmerkende is dat de volgorde meetelt: de rij „A, B, C" is een ándere uitkomst dan „C, B, A", ook al staan er dezelfde elementen in. Je kunt zo'n rangschikking opvatten als een keuze in stappen — wie staat vooraan, wie daarachter, enzovoort — en daarmee valt het rangschikken precies onder de vermenigvuldigingsregel zonder herhaling uit de vorige paragraaf.

Bekijk het rangschikken van

n

verschillende voorwerpen in een rij. Voor de eerste plaats heb je

n

keuzes; voor de tweede plaats blijven er

n-1

over, want één voorwerp ligt al; voor de derde

n-2

, en zo door tot er voor de laatste plaats nog maar één voorwerp over is. Volgens de vermenigvuldigingsregel is het aantal rangschikkingen dan

n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1

. Dit product van alle gehele getallen van

n

tot en met

1

komt zo vaak voor dat het een eigen naam en symbool heeft: de faculteit van

n

, genoteerd

n!

(spreek uit „n-faculteit"). Zo is

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

: vijf boeken kun je op 120 volgordes neerzetten.

De faculteit groeit razendsnel, veel sneller dan een gewone macht. De tabel hiernaast laat dat zien:

3! = 6

, maar

7! = 5040

10!

is al ruim drie miljoen. Daarom kun je grote faculteiten beter met de rekenmachine uitrekenen dan met de hand. Eén afspraak verdient aandacht:

0! = 1

. Dat lijkt vreemd, maar het klopt met de betekenis — er is precies één manier om „niets" te rangschikken, namelijk de lege rij — en het zorgt ervoor dat de formules verderop netjes blijven kloppen. Onthoud die afspraak, want je hebt hem zo nodig bij de permutatie- en combinatieformules.

Vaak rangschik je niet álle voorwerpen, maar een deel ervan: uit acht hardlopers wil je weten hoeveel verschillende erelijsten van de eerste drie plaatsen er zijn. Dan stopt het aftellen eerder. Voor de eerste plaats heb je 8 keuzes, voor de tweede 7 en voor de derde 6, samen

8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

. Dit is een permutatie van

r

uit

n

, en met faculteiten schrijf je dat compact als

\frac{n!}{(n-r)!}

. De teller

n!

telt álle rangschikkingen; de noemer

(n-r)!

deelt de rangschikkingen van de

n-r

overgebleven voorwerpen weer weg, die je immers niet meetelt. Voor het voorbeeld:

\frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

, precies wat de vermenigvuldigingsregel ook gaf.

Gebruik een permutatie zodra de volgorde meetelt en je objecten in een rij of op genummerde plaatsen zet. Op de grafische rekenmachine staat de faculteit als de toets met het uitroepteken en de permutatie als nPr: kies je 8 nPr 3, dan verschijnt 336. Let goed op de vraagstelling: zit er een rangorde in — eerste, tweede, derde; een startvolgorde; een wachtwoord met verschillende tekens — dan is het een permutatie. Tel je daarentegen een groepje waarin de onderlinge volgorde niet uitmaakt, dan heb je een combinatie nodig, en juist dat verschil tussen „volgorde telt wél" en „volgorde telt niet" staat centraal in de volgende paragraaf.

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1

faculteit

Het aantal manieren om n verschillende voorwerpen in een rij te rangschikken; spreek uit als „n-faculteit". Afspraak: 0! = 1.

{}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}

permutaties van r uit n

Het aantal geordende rangschikkingen van r voorwerpen gekozen uit n, waarbij de volgorde meetelt; op de rekenmachine de functie nPr.

Uitgewerkt voorbeeld

Rangschikken: alle objecten én een deel

(a) Op hoeveel volgordes kun je 5 verschillende boeken op een plank zetten? (b) Uit 8 hardlopers wordt de erelijst van de eerste drie plaatsen opgemaakt; hoeveel verschillende erelijsten zijn er?

Stap 1 — (a) alle boeken rangschikken
Alle 5 boeken in een rij: 5 keuzes voor de 1e plaats, 4 voor de 2e, 3 voor de 3e, enzovoort tot 1 voor de laatste. Dat is 5-faculteit.
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
Stap 2 — (b) een deel rangschikken
Nu vul je maar 3 van de 8 plaatsen, en de volgorde (1e, 2e, 3e plaats) telt. Dat is een permutatie van 3 uit 8.
$\frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$
Stap 3 — Controleer met de stappenredenering
Reken (b) los na met de vermenigvuldigingsregel: 8 keuzes voor goud, 7 voor zilver, 6 voor brons, samen 8 · 7 · 6 = 336. Dezelfde uitkomst — de permutatieformule is alleen een snellere schrijfwijze.

Resultaat: (a) 120 volgordes voor de vijf boeken; (b) 336 verschillende erelijsten van de eerste drie plaatsen.

Veelgemaakte fouten

0! per ongeluk als 0 nemen; per afspraak geldt 0! = 1, en daar reken je gewoon mee in de formules.
Een permutatie (volgorde telt) verwarren met een combinatie (volgorde telt niet); bij rangschikken op genummerde plaatsen gebruik je de faculteit of de permutatie, niet de binomiaalcoëfficiënt.

Actieve herhaling

Een klas kiest uit 6 kandidaten een voorzitter, een secretaris en een penningmeester (drie verschillende functies). Bereken op hoeveel manieren dat kan en leg uit waarom dit een permutatie is.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Combinaties: kiezen waarbij de volgorde niet telt#

Standaardexamenblad-nl

Permutatie of combinatie?

Afb. 4Telt de volgorde mee, dan permutatie; zo niet, dan combinatie.

Bij een combinatie kies je een groepje uit een grotere verzameling, maar de volgorde waarin je kiest doet er níét toe. Kies je drie leerlingen uit een klas voor een werkgroep, dan is het groepje „Anna, Bram, Chris" hetzelfde groepje als „Chris, Anna, Bram" — het zijn dezelfde drie personen. Dat is het wezenlijke verschil met een permutatie, waar elke andere volgorde juist een nieuwe uitkomst gaf. Telkens als je een keuze maakt waarin alleen telt wélke elementen je hebt gekozen, en niet in welke volgorde, heb je met een combinatie te maken: een team, een handvol kaarten, de getrokken ballen in een loterij.

Het aantal combinaties van

r

elementen uit

n

bereken je met de binomiaalcoëfficiënt

\binom{n}{r}

(spreek uit „n boven r"). De formule is

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \, (n-r)!}

, en je begrijpt hem het best door hem uit de permutatie af te leiden. Het aantal geordende rangschikkingen van

r

uit

n

\frac{n!}{(n-r)!}

. Maar bij een combinatie telt de volgorde niet mee, en elk groepje van

r

elementen kun je op

r!

manieren ordenen. Elk groepje is in die geordende telling dus

r!

keer meegeteld. Door door

r!

te delen haal je die dubbeltelling eruit, en zo ontstaat

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \, (n-r)!}

De spilvraag bij elk telprobleem van dit type is dus: telt de volgorde mee of niet? Vergelijk twee bijna gelijke vragen over dezelfde 8 hardlopers. „Hoeveel erelijsten van de eerste drie plaatsen zijn er?" — hier telt de volgorde (goud, zilver en brons zijn verschillend), dus is het de permutatie

\frac{8!}{5!} = 336

. „Op hoeveel manieren kun je 3 van de 8 lopers kiezen voor een interview?" — hier telt de volgorde níét, dus is het de combinatie

\binom{8}{3}

. Omdat elk drietal op

3! = 6

volgordes te ordenen is, is de combinatie precies 6 keer kleiner:

\frac{336}{6} = 56

. Dezelfde getallen, maar de vraag óf de volgorde meetelt bepaalt de uitkomst.

Op de grafische rekenmachine reken je een combinatie uit met de functie nCr: kies je 8 nCr 3, dan verschijnt 56. Handig is ook de symmetrie

\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}

: kiezen wélke

r

elementen je meeneemt is hetzelfde als kiezen welke

n-r

je weglaat, dus

\binom{10}{8}

reken je sneller als

\binom{10}{2} = 45

. Pak bij een telprobleem dus eerst de hoofdvraag aan — gaat het om een geordende rij (permutatie of vermenigvuldigingsregel) of om een ongeordend groepje (combinatie)? — en kies dán pas de formule. Wie dat onderscheid scherp maakt, lost vrijwel elk combinatorisch schoolexamenvraagstuk gestructureerd op.

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \, (n-r)!}

binomiaalcoëfficiënt (combinaties)

Het aantal manieren om r elementen te kiezen uit n waarbij de volgorde niet meetelt; spreek uit „n boven r", op de rekenmachine de functie nCr.

\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}

symmetrie

Kiezen welke r je meeneemt is hetzelfde als kiezen welke n − r je weglaat; vaak rekent de kleinste van de twee het snelst.

Uitgewerkt voorbeeld

Een groepje kiezen — met getalcontrole

Uit een klas van 10 leerlingen wordt een groepje van 3 gekozen voor een project; de volgorde maakt niet uit. Bereken op hoeveel manieren dat kan, en controleer je antwoord via de bijbehorende permutatie.

Stap 1 — Herken het type
De volgorde binnen het groepje doet er niet toe (een groepje is een groepje), dus dit is een combinatie van 3 uit 10.
Stap 2 — Vul de formule in
Gebruik de binomiaalcoëfficiënt met n = 10 en r = 3, en reken de breuk uit.
$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \, 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$
Stap 3 — Controleer via de permutatie
Zou de volgorde wél tellen, dan waren er 10 · 9 · 8 = 720 geordende drietallen. Elk groepje van 3 is op 3! = 6 volgordes te ordenen, dus deel je 720 door 6: dat geeft opnieuw 120. De getallen kloppen.

Resultaat: Er zijn 120 verschillende groepjes van 3 leerlingen. De controle 720 ÷ 6 = 120 bevestigt het: de combinatie is precies 3! keer kleiner dan de bijbehorende permutatie.

Veelgemaakte fouten

Een permutatie gebruiken waar de volgorde niet meetelt, of omgekeerd; vraag je telkens expliciet af of „A, B, C" en „C, B, A" als hetzelfde of als verschillend tellen.
De binomiaalcoëfficiënt verkeerd invullen door $r!$ in de noemer te vergeten; de noemer is $r! \cdot (n-r)!$ , niet alleen $(n-r)!$ — dat laatste hoort bij de permutatie.

Actieve herhaling

In een vereniging van 12 leden wordt een commissie van 4 personen gekozen (zonder rangorde, alle functies gelijk). Bereken het aantal mogelijke commissies en leg uit waarom dit een combinatie is en geen permutatie.

Actief ophalen

Haal de kernpunten op — onthul ze daarna.

Bronnen: Examenprogramma wiskunde A (HAVO) (CvTE / Examenblad)

Referenties en bronnen

Bronnen

CvTE / Examenblad

Examenprogramma wiskunde A (HAVO)

Telproblemen en combinatoriek (schoolexamen)

4 Onderdelen~21 min leestijd4 VaardighedenNiveau Basis 2 · Standaard 2

Telproblemen en combinatoriek (schoolexamen)

Kernpunten

Menu's tellen met een boomdiagram

Kernpunten

Een cijfercode tellen — met en zonder herhaling

Kernpunten

Rangschikken: alle objecten én een deel

Kernpunten

Een groepje kiezen — met getalcontrole

Bronnen

Telproblemen en combinatoriek (schoolexamen)

Kernpunten

Menu's tellen met een boomdiagram

Kernpunten

Een cijfercode tellen — met en zonder herhaling

Kernpunten

Rangschikken: alle objecten én een deel

Kernpunten

Een groepje kiezen — met getalcontrole

Bronnen